Natura unui triunghi din lungimile laturilor (M2, științe ale naturii)

Pe o foaie de hârtie, un unghi de $88^{\circ }$ și unul de $92^{\circ }$ arată aproape la fel, iar ochiul nu poate spune care dintre ele trece de unghiul drept. Dacă însă știi lungimile celor trei laturi ale triunghiului, verdictul vine dintr-o singură comparație de numere, fără să măsori vreun unghi. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această lecție arată cum afli, doar din laturi, dacă triunghiul are toate unghiurile ascuțite, unul drept sau unul obtuz, citind semnul cosinusului din teorema cosinusului. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă de examen conține teorema cosinusului printre aplicațiile trigonometriei în geometrie; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință despre natura unui triunghi. Pentru cei care au început clasa a IX-a în 2026, matematica devine în 2030 o probă la alegere la științe ale naturii, iar cine alege proba MAT_P2 găsește tema în domeniul „Geometrie. Trigonometrie”.

Lecția se sprijină pe două rezultate din unitatea ta. Din sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze la M2 știi că un unghi obtuz are cosinusul negativ, iar din teorema cosinusului pentru aflarea unghiurilor la M2 ai formula care dă cosinusul unui unghi din cele trei laturi. Aici nu mai calculăm măsuri de unghiuri; ne interesează un singur lucru: dacă unghiul cel mai mare trece sau nu de $90^{\circ }$.

Ce vei învăța

• Vei spune precis ce înseamnă natura unui triunghi și de ce este suficient să privești un singur unghi.
• Vei verifica existența triunghiului înainte de orice verdict și vei recunoaște cazul degenerat, cu trei puncte coliniare.
• Vei decide natura comparând pătratul laturii celei mai lungi cu suma pătratelor celorlalte două și vei explica regula prin semnul cosinusului.
• Vei stabili natura unui triunghi dat prin coordonatele vârfurilor, lucrând cu pătratele distanțelor, fără radicali.
• Vei trata o latură necunoscută ca parametru și vei găsi intervalele în care triunghiul își schimbă natura.
• Vei judeca un verdict obținut din lungimi măsurate, cu erori de măsurare, așa cum se lucrează în laborator.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă natura unui triunghi?

Natura unui triunghi este clasificarea lui după unghiuri: triunghiul este ascuțitunghic dacă toate cele trei unghiuri ale lui sunt ascuțite, dreptunghic dacă unul dintre unghiuri este drept și obtuzunghic dacă unul dintre unghiuri este obtuz. Cele trei situații se exclud una pe alta și acoperă toate triunghiurile posibile.

De ce nu pot apărea două unghiuri „mari” în același triunghi? Suma unghiurilor este $180^{\circ }$, adică $\pi$ radiani. Două unghiuri de cel puțin $90^{\circ }$ ar consuma deja întreaga sumă și n-ar mai lăsa nimic pentru al treilea. Prin urmare, un triunghi are cel mult un unghi care nu este ascuțit, iar acela, dacă există, este neapărat cel mai mare dintre cele trei.

Clasificarea după laturi, în scalen, isoscel și echilateral, este o altă întrebare, independentă de aceasta. Un triunghi isoscel poate avea oricare dintre cele trei naturi, iar lecția de față vorbește numai despre unghiuri.

2. Există triunghiul?

Orice discuție despre natură presupune că cele trei lungimi chiar închid un triunghi. Regula o știi din clasa a VI-a: fiecare latură rămâne sub suma celorlalte două. Pentru lungimile $2$, $6$ și $9$ regula cade, pentru că $2+6=8<9$: cele două segmente scurte nu ajung să se unească deasupra celui lung.

Un caz aparte este egalitatea. Pentru lungimile $4$, $6$ și $10$ avem $4+6=10$, iar cele trei puncte ar sta pe aceeași dreaptă: segmentele se suprapun peste latura lungă, fără să închidă o suprafață. Un astfel de „triunghi turtit” se numește degenerat și nu are natură, fiindcă nu are trei unghiuri adevărate. De aceea inegalitatea triunghiului se cere strictă.

Nu e nevoie să scrii toate cele trei inegalități. Dacă latura cea mai lungă este mai mică decât suma celorlalte două, celelalte două inegalități sunt adevărate de la sine, fiindcă o latură scurtă este oricum mai mică decât una lungă adunată cu încă ceva. Verificarea se reduce la un singur calcul.

3. Care unghi hotărăște verdictul?

Știi deja că triunghiul poate avea cel mult un unghi drept sau obtuz și că acela este cel mai mare. Rămâne să găsim acest unghi fără raportor. În lecția de clasa a VI-a despre inegalitățile dintre laturile și unghiurile triunghiului ai văzut că într-un triunghi unghiul cel mai mare se află în fața laturii celei mai lungi.

Asta ne dă convenția pe care o folosim până la sfârșitul lecției: notăm cu $a$ latura cea mai lungă, cu $b$ și $c$ celelalte două, iar cu $A$ unghiul opus laturii $a$. Dacă unghiul $A$ este ascuțit, toate unghiurile sunt ascuțite; dacă este drept sau obtuz, el singur dă numele triunghiului. Toată munca se concentrează pe un singur unghi, iar celelalte două rămân automat ascuțite.

Când două laturi sunt egale și sunt cele mai lungi, unghiurile din fața lor sunt egale între ele. Niciunul nu poate fi drept sau obtuz, pentru că ar exista două asemenea unghiuri. Un astfel de triunghi este sigur ascuțitunghic, observație care scurtează multe exerciții cu triunghiuri isoscele.

4. De ce ajunge semnul unui singur număr?

Teorema cosinusului, scrisă pentru unghiul $A$, dă

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$$

Numitorul $2bc$ este un produs de lungimi, deci un număr strict pozitiv. Fracția are, așadar, semnul numărătorului. Pe de altă parte, pe intervalul $(0,\pi )$, adică pentru unghiurile unui triunghi, cosinusul este pozitiv exact la unghiurile ascuțite, zero doar la unghiul drept și negativ exact la unghiurile obtuze. Punând cele două fapte împreună, obținem criteriul.

Rândul din mijloc este reciproca teoremei lui Pitagora, pe care o știi din gimnaziu; celelalte două rânduri o completează. Observă că în criteriu nu apare nicio valoare de cosinus și nicio măsură de unghi: calculul lui $\cos A$ explică regula, dar pentru verdict ajunge semnul diferenței $b^2+c^2-a^2$.

Mai există o observație utilă. Dacă $a^2\le b^2+c^2$, atunci $a^2<(b+c{)}^2$, pentru că $(b+c{)}^2=b^2+c^2+2bc$, deci $a<b+c$ și triunghiul există. Verdictele „ascuțitunghic” și „dreptunghic” garantează singure existența; doar concluzia „obtuzunghic” trebuie însoțită de verificarea inegalității triunghiului.

5. Ce arată cercul cu diametrul latura cea mai lungă?

Criteriul are și o imagine geometrică, legată de ecuația cercului la M2. Fixăm latura lungă $AB$ pe axa $Ox$, cu $A(-5,0)$ și $B(5,0)$, și desenăm cercul care o are ca diametru: centrul este originea, raza este $5$, iar ecuația lui este $x^2+y^2=25$. Al treilea vârf, $C$, poate sta în trei locuri față de acest cerc.

Pentru $C_2(4,3)$, pe cerc, avem $C_2{A}^2=81+9=90$, $C_2{B}^2=1+9=10$, iar suma lor este $100=A{B}^2$: unghiul din $C_2$ este drept, cum spune teorema unghiului înscris într-un semicerc. Pentru $C_1(-1,3)$, din interior, suma $16+9+36+9=70$ este mai mică decât $100$, deci unghiul din $C_1$ este obtuz. Pentru $C_3(-2,6)$, din exterior, suma $9+36+49+36=130$ depășește $100$, iar unghiul din $C_3$ este ascuțit.

Regula care se vede pe desen: vârful din interiorul cercului „privește” latura lungă sub un unghi obtuz, cel de pe cerc sub un unghi drept, iar cel din afară sub un unghi ascuțit. Pentru ca triunghiul să fie ascuțitunghic mai trebuie ca vârful să cadă deasupra segmentului $AB$, între verticalele prin $A$ și $B$; altfel unghiul obtuz se mută în $A$ sau în $B$, iar $AB$ nu mai este latura cea mai lungă.

6. Ce se întâmplă când o latură este necunoscută?

Să luăm un triunghi cu laturile $4$, $7$ și $t$, unde $t>0$. Existența cere $7-4<t<7+4$, adică $t$ între $3$ și $11$. Rolul laturii celei mai lungi se schimbă pe parcurs, așa că împărțim discuția în două cazuri.

Dacă $t\le 7$, latura cea mai lungă este $7$ și comparăm $49$ cu $16+t^2$. Triunghiul este ascuțitunghic când $t^2>33$, adică $t>\sqrt{33}$, și obtuzunghic când $t<\sqrt{33}$. Dacă $t>7$, latura cea mai lungă este chiar $t$ și comparăm $t^2$ cu $16+49=65$: ascuțitunghic pentru $t<\sqrt{65}$ și obtuzunghic pentru $t>\sqrt{65}$.

Adunând cazurile, triunghiul este ascuțitunghic exact pentru $t$ între $\sqrt{33}\approx 5,74$ și $\sqrt{65}\approx 8,06$, dreptunghic la cele două capete și obtuzunghic în rest, până la marginile $3$ și $11$ ale existenței. Imaginea e firească: o latură foarte scurtă sau foarte lungă „deschide” unul dintre unghiuri peste $90^{\circ }$.

7. Lungimi măsurate: când este sigur verdictul?

În laborator, lungimile vin din măsurători, cu o eroare. Să presupunem că trei bare au $29,0$ cm, $40,0$ cm și $49,4$ cm, fiecare măsurată cu o precizie de $0,1$ cm. Calculul cu valorile citite dă $841+1600=2441$ și $49,4^2=2440,36$, deci o diferență de numai $0,64$ în favoarea verdictului „ascuțitunghic”.

Este un verdict pe care nu te poți baza. Dacă bara lungă ar avea de fapt $49,5$ cm, pătratul ei ar fi $2450,25$, mai mare decât $2441$, iar triunghiul ar deveni obtuzunghic. Nici nu e nevoie de o eroare atât de mare: o sutime de centimetru, mult sub precizia riglei, ajunge, fiindcă $49,41^2\approx 2441,35$ depășește deja $2441$. Cu numere exacte, un verdict este sigur; cu numere măsurate, el este sigur doar dacă diferența dintre cele două pătrate rămâne de același semn pentru toate valorile permise de eroare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un triunghi ascuțitunghic și unghiul lui cel mai mare

Un triunghi are laturile $9$ cm, $10$ cm și $12$ cm. Stabilește natura lui și spune care unghi este cel mai mare.

Rezolvare. Latura cea mai lungă este $a=12$ cm. Existența: $9+10=19>12$, deci triunghiul există. Comparăm $a^2=144$ cu $9^2+10^2=81+100=181$.

Cum $181>144$, cosinusul unghiului opus laturii de $12$ cm este pozitiv, iar triunghiul este ascuțitunghic. Unghiul cel mai mare este cel opus laturii de $12$ cm; el rămâne sub $90^{\circ }$, iar celelalte două unghiuri sunt și mai mici.

Exemplul 2 — Vârfurile date în reper

Punctele $A(-2,1)$, $B(4,-1)$ și $C(1,3)$ sunt vârfurile unui triunghi. Stabilește natura triunghiului $ABC$.

Rezolvare. Cu distanța dintre două puncte la M2 calculăm direct pătratele laturilor, fără să extragem radicali: $A{B}^2=36+4=40$, $A{C}^2=9+4=13$ și $B{C}^2=9+16=25$. Cel mai mare pătrat este $A{B}^2=40$, deci latura cea mai lungă este $AB$, iar unghiul de examinat este $C$.

Comparăm: $A{C}^2+B{C}^2=13+25=38<40$. Unghiul din $C$ este obtuz, iar triunghiul este obtuzunghic. Pătratele sunt numere întregi, deci verdictul este exact; dacă am fi rotunjit $\sqrt{13}$, $\sqrt{25}$ și $\sqrt{40}$ înainte de comparație, diferența de $2$ ar fi rămas vizibilă, dar pe alte date o rotunjire poate schimba verdictul.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Pentru triunghiul cu laturile $6$, $11$ și $8$, un elev scrie: „Compar pătratul ultimei laturi cu suma pătratelor primelor două: iese mai mic, deci triunghiul este ascuțitunghic.” Unde greșește și care este verdictul corect?

Rezolvare. Elevul a luat latura după poziția ei în enunț, nu după lungime. Comparația lui arată doar că unghiul opus laturii de $8$ este ascuțit, lucru adevărat, dar fără legătură cu natura triunghiului. Latura cea mai lungă este $a=11$, iar existența se verifică: $6+8=14>11$.

Comparăm $a^2=121$ cu $6^2+8^2=36+64=100$. Cum $100<121$, unghiul opus laturii de $11$ este obtuz, iar triunghiul este obtuzunghic. Ordonarea laturilor este primul rând al oricărei rezolvări, nu un detaliu.

Exemplul 4 — Electrozii unei electrocardiograme

În modelul lui Einthoven, trei electrozi ai unei electrocardiograme formează un triunghi echilateral în jurul inimii. Pe trunchiul unui pacient, electrozii de sub clavicula dreaptă, de sub clavicula stângă și de pe abdomen, în stânga jos, formează un triunghi cu laturile de $30$ cm, $44$ cm și $50$ cm. Este triunghiul real ascuțitunghic, ca modelul?

Rezolvare. Latura cea mai lungă este $a=50$ cm, iar existența se verifică: $30+44=74>50$. Comparăm $a^2=2500$ cu $30^2+44^2=900+1936=2836$.

Cum $2836>2500$, triunghiul este ascuțitunghic, ca modelul, deși nu este echilateral. Diferența de $336$ este mare față de erorile unei rulete de croitorie, deci verdictul nu depinde de precizia măsurării. Modelul echilateral rămâne o idealizare, folosită la interpretarea semnalelor; calculul arată doar că triunghiul real păstrează natura ascuțitunghică a modelului, nu și unghiurile lui egale.

Exemplul 5 — Un punct pe latura unui dreptunghi

Dreptunghiul $ABCD$ are $AB=12$ și $BC=5$, iar punctul $M$ se află pe latura $CD$, cu $DM=3$. Stabilește natura triunghiului $ABM$.

Rezolvare. Laturile triunghiului $ABM$ se obțin din triunghiurile dreptunghice $ADM$ și $BCM$, cu $CM=12-3=9$: $A{M}^2=5^2+3^2=34$ și $B{M}^2=5^2+9^2=106$. Latura cea mai lungă este $AB$, cu $A{B}^2=144$, pentru că $\sqrt{34}$ și $\sqrt{106}$ sunt amândouă sub $12$.

Comparăm: $A{M}^2+B{M}^2=34+106=140<144$. Unghiul din $M$ este obtuz, iar triunghiul $ABM$ este obtuzunghic. Imaginea din §5 explică rezultatul: cercul cu diametrul $AB$ are raza $6$, iar latura $CD$ se află la distanța $5$ de centrul lui, deci o parte din $CD$ cade în interiorul cercului. Punctele acelei părți sunt la distanța de $D$ cuprinsă între $6-\sqrt{11}\approx 2,68$ și $6+\sqrt{11}\approx 9,32$, iar $M$, cu $DM=3$, este printre ele.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=7$, $AC=9$ și $BC=14$. Arătați că triunghiul $ABC$ este obtuzunghic și calculați $\cos A$.

Rezolvare. Latura cea mai lungă este $BC=14$, opusă unghiului $A$, iar $7+9=16>14$ confirmă existența. Comparăm $B{C}^2=196$ cu $A{B}^2+A{C}^2=49+81=130$; cum $130<196$, unghiul $A$ este obtuz, iar triunghiul este obtuzunghic.

Cosinusul: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{130-196}{126}=-\frac{11}{21}$, negativ, în acord cu verdictul. Cerința este construită în stilul Subiectului I, cu verbul „Arătați”, și nu reproduce un subiect oficial.

Să exersăm

Scrie mai întâi latura cea mai lungă, verifică existența, apoi compară pătratele. Verdictul se scrie întotdeauna despre triunghi, iar unghiul care îl decide se numește.

1. Stabilește natura triunghiului cu laturile $10$, $11$ și $14$.

2. Stabilește natura triunghiului cu laturile $9$, $10$ și $14$.

3. Stabilește natura triunghiului cu laturile $16$, $63$ și $65$.

4. Stabilește dacă există un triunghi cu laturile $3$, $7$ și $11$ și, dacă există, precizează-i natura.

5. Stabilește natura triunghiului cu laturile $10$, $13$ și $16$.

6. Stabilește natura triunghiului cu laturile $2,8$, $4,5$ și $5,3$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Triunghiul cu laturile $2$, $3$ și $4$ este obtuzunghic; dacă mărim fiecare latură cu $1$, obținem un triunghi ascuțitunghic.”

8. Punctele $A(0,0)$, $B(7,1)$ și $C(2,5)$ sunt vârfurile unui triunghi. Stabilește natura triunghiului $ABC$.

9. Punctele $P(-1,2)$, $Q(3,5)$ și $R(6,1)$ sunt vârfurile unui triunghi. Stabilește natura triunghiului $PQR$ și precizează unghiul care o decide.

10. Un triunghi are laturile $6$, $11$ și $t$, cu $t>0$. Determină valorile lui $t$ pentru care triunghiul este dreptunghic.

11. Stabilește natura triunghiului isoscel cu laturile $7$, $7$ și $10$.

12. Un triunghi isoscel are laturile egale de $5$ și baza $d$. Pentru ce valori ale lui $d$ triunghiul este obtuzunghic?

13. (Problemă aplicată.) Trei stații de măsurare a calității aerului, Nord, Centru și Sud, formează un triunghi cu laturile de $12$ km, $16$ km și $21$ km: între Nord și Centru sunt $12$ km, între Centru și Sud $16$ km, iar între Nord și Sud $21$ km. Stabilește natura triunghiului și la care stație se află unghiul care o decide.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=6$, $BC=10$ și $AC=7$. Arătați că triunghiul $ABC$ este obtuzunghic.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=\sqrt{5}$, $AC=\sqrt{7}$ și $BC=2\sqrt{3}$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=3$, $AC=5$ și $BC=6$. Calculați $\cos A$ și precizați natura triunghiului.

17. Laturile unui triunghi sunt proporționale cu numerele $5$, $6$ și $7$. Stabilește natura triunghiului, oricât de mare ar fi el.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice număr natural $n\ge 2$, numerele $n^2-1$, $2n$ și $n^2+1$ sunt laturile unui triunghi dreptunghic.

Răspunsuri și explicații

1. $a=14$; $10+11=21>14$. Comparăm $196$ cu $100+121=221$. Cum $221>196$, triunghiul este ascuțitunghic.

2. $a=14$; $9+10=19>14$. Comparăm $196$ cu $81+100=181$. Cum $181<196$, triunghiul este obtuzunghic, cu unghiul obtuz opus laturii de $14$.

3. $a=65$; $16+63=79>65$. Avem $16^2+63^2=256+3969=4225=65^2$. Egalitatea arată un triunghi dreptunghic; unghiul drept se află în fața laturii de $65$.

4. Triunghiul nu există: latura cea mai lungă este $11$, iar $3+7=10<11$. Comparația pătratelor ar da $9+49=58<121$, un „verdict” fără obiect; tocmai de aceea existența se verifică prima.

5. $a=16$; $10+13=23>16$. Comparăm $256$ cu $100+169=269$. Cum $269>256$, triunghiul este ascuțitunghic.

6. $a=5,3$; $2,8+4,5=7,3>5,3$. Avem $2,8^2+4,5^2=7,84+20,25=28,09=5,3^2$, deci triunghiul este dreptunghic. Înmulțind toate laturile cu $10$ obții tripletul $28$, $45$, $53$, care are aceeași proprietate.

7. Fals. Prima parte e corectă: $4+9=13<16$, deci triunghiul $2$, $3$, $4$ este obtuzunghic. După mărire, laturile sunt $3$, $4$ și $5$, iar $9+16=25=5^2$: triunghiul nou este dreptunghic, nu ascuțitunghic. Adunarea aceluiași număr la toate laturile schimbă forma, spre deosebire de înmulțirea cu același număr.

8. $A{B}^2=49+1=50$, $A{C}^2=4+25=29$, $B{C}^2=25+16=41$. Cel mai mare pătrat este $A{B}^2=50$, iar $A{C}^2+B{C}^2=29+41=70>50$. Unghiul din $C$ este ascuțit, deci triunghiul este ascuțitunghic.

9. $P{Q}^2=16+9=25$, $Q{R}^2=9+16=25$, $P{R}^2=49+1=50$. Cel mai mare pătrat este $P{R}^2=50=P{Q}^2+Q{R}^2$, deci unghiul din $Q$ este drept, iar triunghiul este dreptunghic. Cum $PQ=QR=5$, triunghiul este și isoscel.

10. Existența cere $5<t<17$. Dacă latura cea mai lungă este $11$, condiția este $t^2+36=121$, deci $t=\sqrt{85}\approx 9,22$. Dacă latura cea mai lungă este $t$, condiția este $t^2=36+121=157$, deci $t=\sqrt{157}\approx 12,53$. Ambele valori respectă existența, deci sunt două răspunsuri.

11. $a=10$; $7+7=14>10$. Comparăm $100$ cu $49+49=98$. Cum $98<100$, unghiul din vârful dintre laturile egale este obtuz, iar triunghiul este obtuzunghic, la limită.

12. Existența cere $0<d<10$. Dacă $d\le 5$, laturile cele mai lungi sunt cele egale, iar triunghiul e ascuțitunghic, ca în §3. Dacă $d>5$, baza devine latura cea mai lungă, iar triunghiul este obtuzunghic exact când $d^2>25+25=50$, adică $d>5\sqrt{2}\approx 7,07$. Răspuns: $5\sqrt{2}<d<10$.

13. Latura cea mai lungă, $a=21$ km, unește Nordul cu Sudul, iar unghiul opus ei se află la stația Centru. Existența: $12+16=28>21$. Comparăm $441$ cu $144+256=400$; cum $400<441$, triunghiul este obtuzunghic, cu unghiul obtuz la stația Centru.

14. Latura cea mai lungă este $BC=10$, iar $6+7=13>10$. Comparăm $B{C}^2=100$ cu $A{B}^2+A{C}^2=36+49=85$. Cum $85<100$, unghiul $A$ este obtuz, deci triunghiul $ABC$ este obtuzunghic.

15. Avem $A{B}^2=5$, $A{C}^2=7$ și $B{C}^2=12$. Latura cea mai lungă este $BC$, iar $A{B}^2+A{C}^2=5+7=12=B{C}^2$. Egalitatea pătratelor, citită cu reciproca lui Pitagora, face din $A$ un unghi drept, deci triunghiul este dreptunghic.

16. $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{9+25-36}{30}=-\frac{1}{15}$. Cosinusul este negativ, iar $BC=6$ este latura cea mai lungă, deci unghiul $A$ este obtuz și triunghiul este obtuzunghic. Existența: $3+5=8>6$.

17. Laturile sunt $5k$, $6k$ și $7k$, cu $k>0$. Comparăm $49k^2$ cu $25k^2+36k^2=61k^2$; cum $61>49$, triunghiul este ascuțitunghic pentru orice $k$. Factorul $k^2$ apare în ambele părți, deci mărimea triunghiului nu schimbă verdictul.

18. Toate trei numerele sunt pozitive pentru $n\ge 2$. Cel mai mare este $n^2+1$, fiindcă $n^2+1-2n=(n-1{)}^2>0$. Calculăm $(n^2-1{)}^2+(2n{)}^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1{)}^2$, deci, prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic. Existența rezultă din observația din §4: egalitatea pătratelor garantează că latura cea mai lungă este mai mică decât suma celorlalte două.

De reținut

• Natura unui triunghi se referă la unghiuri: ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic. Un singur unghi, cel mai mare, are voie să treacă de ascuțit, iar el stă în fața laturii celei mai lungi.
• Cu $a$ latura cea mai lungă: $a^2<b^2+c^2$ înseamnă ascuțitunghic, $a^2=b^2+c^2$ dreptunghic, $a^2>b^2+c^2$ obtuzunghic; explicația este semnul numărătorului din formula lui $\cos A$.
• Existența se verifică înainte de verdict; concluziile „ascuțitunghic” și „dreptunghic” o implică, dar concluzia „obtuzunghic” nu.
• Când vârfurile sunt date prin coordonate, se compară direct pătratele distanțelor, fără radicali și fără rotunjiri.
• O latură necunoscută se tratează pe cazuri, după cine este latura cea mai lungă; cu lungimi măsurate, verdictul e sigur doar dacă diferența pătratelor își păstrează semnul în limita erorii.

Greșeli frecvente

• Lungimi în unități diferite. Pentru laturile de $0,5$ m, $40$ cm și $30$ cm, cine compară $0,25$ cu $1600+900$ obține un verdict fără sens. Toate lungimile se aduc la aceeași unitate înainte de ridicarea la pătrat.
• Radicali rotunjiți înainte de comparație. Pentru laturile $\sqrt{10}$, $\sqrt{15}$ și $5$, cine lucrează cu $3,16$ și $3,87$ obține $9,9856+14,9769=24,9625<25$ și declară triunghiul obtuzunghic. Cu pătratele exacte, $10+15=25$, iar triunghiul este dreptunghic.
• Semnul pierdut la pătratul unei diferențe de coordonate. La distanța dintre $(-2,1)$ și $(4,-1)$, diferența absciselor este $6$, iar cea a ordonatelor este $-2$, al cărei pătrat este $4$, nu $-4$. Un pătrat negativ într-o distanță este semnul sigur al acestei greșeli.
• Un singur caz la latura necunoscută. La laturile $4$, $7$ și $t$, cine presupune din start că $t$ este cea mai lungă latură găsește doar pragul $\sqrt{65}$ și pierde pragul $\sqrt{33}$, unde latura cea mai lungă este $7$.
• Numărătorul scris pentru alt unghi. În formula cosinusului, pătratul care se scade este al laturii opuse unghiului studiat. Scris $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ pentru unghiul $A$, rezultatul descrie unghiul $C$, iar semnul lui nu spune nimic despre $A$.

Aplică acasă

1. Regiunile din jurul unui diametru, digital. Într-un program de geometrie dinamică, fixează punctele $A(-5,0)$ și $B(5,0)$, desenează cercul de diametru $AB$ și un punct $C$ liber. Afișează măsura unghiului din $C$ și mută punctul prin interiorul cercului, pe cerc și în afara lui. Notează în ce regiune unghiul trece de $90^{\circ }$ și verifică pe trei poziții cu pătratele distanțelor.
2. O foaie de calcul care dă verdictul. Construiește o foaie de calcul în care introduci trei lungimi, iar formulele le ordonează, verifică existența și scriu natura triunghiului. Încearcă douăzeci de triplete alese la întâmplare între $1$ și $20$ și numără câte sunt obtuzunghice. Rezultatul te va surprinde.
3. Triunghiul de lucru din bucătărie. Proiectanții de bucătării vorbesc despre „triunghiul de lucru” format de chiuvetă, aragaz și frigider. Măsoară cele trei distanțe dintre ele, în aceeași unitate, și stabilește natura triunghiului. Discută apoi dacă un unghi obtuz înseamnă că unul dintre obiecte este „ocolit” la drumurile obișnuite.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă formula cosinusului într-un instrument de decizie: nu se mai cere măsura unghiului, ci doar poziția lui față de unghiul drept. La profilul științe ale naturii, tema stă în clasa a IX-a, în unitatea de trigonometrie, imediat după aflarea unghiurilor cu teorema cosinusului. Am adăugat trei direcții specifice profilului: vârfurile date în reper, legate de geometria analitică din aceeași clasă; latura necunoscută tratată ca parametru; lungimile măsurate, pentru care verdictul trebuie judecat împreună cu eroarea. Întrebări bune de control: „De ce este suficient un singur unghi?”; „Ce verdict poate fi dat chiar dacă ai comparat cu altă latură decât cea mai lungă?”; „Când nu poți avea încredere într-un verdict obținut din măsurători?”. Un elev care a înțeles ordonează laturile din reflex, lucrează cu pătratele distanțelor fără să extragă radicali și ține separat verdictul despre unghiuri de cel despre laturi. Pentru reluarea teoremei din gimnaziu este utilă reciproca teoremei lui Pitagora din clasa a VII-a.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; activitățile competenței IX.CS.4.7 numesc explicit determinarea naturii unui triunghi într-o configurație geometrică dată, folosind relații metrice. Pentru generația care a început liceul în 2026, matematica este din 2030 o probă la alegere la științe ale naturii (OME 4138/2026); cine o alege dă proba MAT_P2 (programa din anexa 4.2 la OMEC 5077/2026), unde tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține teorema cosinusului printre aplicațiile trigonometriei în geometria plană. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o singură cerință de trigonometrie, într-un triunghi dreptunghic, și nicio cerință despre natura unui triunghi; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul Subiectului I, nu preluate dintr-un subiect oficial.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: natura unui triunghi determinată din lungimile laturilor are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2, lecția următoare este teorema sinusurilor: enunț și aplicații la M2, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la natura triunghiului în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, tema se învață în clasa a IX-a, în aceeași unitate cu funcțiile trigonometrice, nu în clasa a X-a. Lecția M2 adaugă vârfurile date prin coordonate, legătura cu cercul care are ca diametru latura cea mai lungă, parametrul în lungimi și judecarea unui verdict obținut din măsurători, cu eroare.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea natura unui triunghi?

Programa de examen pentru 2027–2029 conține teorema cosinusului printre aplicațiile trigonometriei în geometria plană, iar în modelul oficial cerințele scurte de geometrie și trigonometrie sunt la Subiectul I. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință despre natura unui triunghi; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul acelui subiect, cu verbul „Arătați”.

Pot afla natura unui triunghi din coordonatele vârfurilor fără radicali?

Da. Formula distanței dă mai întâi pătratul lungimii, ca sumă de două pătrate de diferențe. Criteriul compară tocmai pătratele laturilor, deci radicalul nu mai este necesar. Pe lângă economia de calcul, câștigi exactitatea: la coordonate întregi, pătratele sunt numere întregi, iar comparația lor nu depinde de nicio rotunjire.

De ce verdictul „obtuzunghic” poate fi dat din orice latură, dar „ascuțitunghic” nu?

Dacă pătratul unei laturi depășește suma pătratelor celorlalte două, acea latură este sigur cea mai lungă, iar unghiul din fața ei este obtuz. Invers, o latură scurtă verifică ușor inegalitatea contrară, fără să spună ceva despre unghiul cel mai mare. De aceea verdictul ascuțitunghic cere latura cea mai lungă.

Ce fac când lungimile sunt măsurate și diferența pătratelor iese foarte mică?

Refaci comparația pentru valorile extreme permise de precizia instrumentului: toate lungimile mărite sau micșorate cu eroarea, în sensul cel mai defavorabil. Dacă diferența pătratelor își păstrează semnul în toate aceste cazuri, verdictul este sigur. Dacă semnul se poate schimba, spui cinstit că datele nu permit o concluzie.

Ce legătură are cercul cu diametrul latura cea mai lungă cu natura triunghiului?

Cercul care are latura cea mai lungă ca diametru împarte planul în trei zone. Un vârf aflat în interiorul lui vede latura sub un unghi obtuz, unul aflat pe cerc sub un unghi drept, iar unul din exterior sub un unghi ascuțit. Comparația pătratelor este traducerea în numere a acestei poziții.