Cum calculez valoarea unui model N₀e^(kt) după un timp dat?

Înlocuiești timpul în exponent. Pentru o populație P(t)=500e^(0,2t), după t=5 ani exponentul este 1, deci P(5)=500e≈1359. Constanta k=0,2 este pozitivă, deci populația crește; cu k negativ ar fi scăzut.

Unde e graficul lui e la x față de 2 la x?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Numărul e și graficul lui eˣ

Toate trei graficele, $2^{x}$ , $e^{x}$ și $3^{x}$ , trec prin $(0, 1)$ . Pentru $x > 0$ , graficul lui $e^{x}$ stă între cele două, cu $2^{x} < e^{x} < 3^{x}$ , pentru că $2 < e < 3$ . Pentru $x < 0$ ordinea se inversează: $3^{x} < e^{x} < 2^{x}$ . Exemplu: la $x = 1$ valorile sunt $2 < 2, 718 < 3$ , iar la $x = - 1$ sunt $0, 333 < 0, 368 < 0, 5$ .

Numărul $e$ apare când o creștere de sută la sută este împărțită în tot mai mulți pași egali: valorile expresiei $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ cresc odată cu $n$ , dar nu trec de un anumit prag, iar primele lor cifre se stabilizează. Pragul este $e = 2, 71828 \dots$ , un număr irațional pe care îl folosim prin aproximări rotunjite corect, de exemplu $e \approx 2, 718$ .

Funcția $f (x) = e^{x}$ este exponențiala cu baza $e$ . Pentru că baza este supraunitară, funcția este strict crescătoare, ia numai valori pozitive, trece prin $(0; 1)$ și are axa $O x$ drept asimptotă spre stânga. La dreapta axei $O y$ graficul stă între cele ale lui $2^{x}$ și $3^{x}$ ; la stânga ei rămâne tot între ele, dar ordinea celor două se inversează.

O ecuație $e^{x} = m$ are o singură soluție dacă $m$ este pozitiv și niciuna altfel. Soluția se încadrează între valori din tabel sau, fără calculator, folosind $2, 7 < e < 3$ . În științe, modelele de forma $N_{0} e^{k t}$ descriu procese continue: $N_{0}$ este mărimea de la momentul zero, iar un $k$ pozitiv înseamnă creștere, unul negativ scădere. Orice asemenea model are un interval în care descrie bine realitatea.

De reținut

$e \approx 2, 718$ și $2 < e < 3$
$e^{x}$ este strict crescătoare, cu imaginea $(0, + \infty)$
în $N_{0} e^{k t}$ , $k > 0$ înseamnă creștere, $k < 0$ scădere

Greșeala tipică

Se crede că graficul lui $e^{x}$ este deasupra celui al lui $2^{x}$ peste tot; la stânga axei $O y$ el este dedesubt, de exemplu $e^{- 1} \approx 0, 37 < 0, 5 = 2^{- 1}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x}$ , intersectează axa $O y$ în punctul:
- a) $(1; 0)$
- b) $(0; 1)$
- c) $(0; e)$
- d) $(1; e)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0; 1)$

Pe axa $O y$ abscisa este zero, iar $e^{0} = 1$ , deci punctul este $(0; 1)$ .
Între ce numere se află $e^{- 1}$ ?
- a) $0$ și $0, 25$
- b) $0, 25$ și $0, 5$
- c) $0, 5$ și $1$
- d) $1$ și $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0, 25$ și $0, 5$

Din $2, 7 < e < 3$ rezultă $\frac{1}{3} < \frac{1}{e} < \frac{1}{2 , 7}$ , deci $e^{- 1}$ este între aproximativ $0, 33$ și $0, 37$ , adică între $0, 25$ și $0, 5$ .
Soluția ecuației $e^{x} = 15$ se află între:
- a) $1$ și $2$
- b) $2$ și $3$
- c) $3$ și $4$
- d) $14$ și $16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2$ și $3$

Avem $e^{2} \approx 7, 389 < 15 < 20, 086 \approx e^{3}$ , iar funcția este crescătoare, deci soluția este între $2$ și $3$ .

Întrebări conexe

Cum calculez valoarea unui model $N_{0} e^{k t}$ după un timp dat?

Înlocuiești timpul în exponent. Pentru o populație $P (t) = 500 e^{0, 2 t}$ , după $t = 5$ ani exponentul este $1$ , deci $P (5) = 500 e \approx 1359$ . Constanta $k = 0, 2$ este pozitivă, deci populația crește; cu $k$ negativ ar fi scăzut.

Cum scade amplitudinea unei corzi care vibrează în aer?

Un model des folosit este $A (t) = 4 e^{- 0, 5 t}$ milimetri. După $2$ secunde exponentul este $- 1$ , deci $A = \frac{4}{e} \approx 1, 47$ mm. Amplitudinea scade tot mai încet și, în model, nu ajunge niciodată la zero, deși practic sunetul se stinge.

Ce asimptotă are graficul funcției $e^{- x}$ ?

Scrii $e^{- x} = (\frac{1}{e})^{x}$ , o exponențială cu baza subunitară, deci descrescătoare. Pentru $x$ foarte mare valorile se apropie de $0$ , așa că axa $O x$ este asimptotă orizontală spre dreapta. Graficul este oglinda lui $e^{x}$ față de axa $O y$ .

Cum rezolv inecuația $e^{x} > 1$ ?

Scrii $1 = e^{0}$ , iar inecuația devine $e^{x} > e^{0}$ . Baza $e$ este mai mare decât unu, deci funcția crește și păstrează ordinea: $x > 0$ . Pe grafic, curba stă deasupra orizontalei $y = 1$ exact la dreapta axei $O y$ .

Ce bază are funcția $e^{2 x}$ scrisă ca exponențială obișnuită?

Din regulile puterilor, $e^{2 x} = (e^{2})^{x}$ , iar $e^{2} \approx 7, 389$ . Deci $e^{2 x}$ este exponențiala cu baza aproximativ $7, 39$ și crește mult mai repede decât $e^{x}$ : la $x = 1$ valorile sunt $7, 39$ și $2, 72$ .

Oamenii mai întreabă și: graficul lui e la x între 2 la x și 3 la x · compararea graficelor exponențiale · e la x față de 3 la x · poziția graficului exponențialei naturale

Unde e graficul lui e la x față de 2 la x?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum calculez valoarea unui model N0​ekt după un timp dat?

Cum scade amplitudinea unei corzi care vibrează în aer?

Ce asimptotă are graficul funcției e−x?

Cum rezolv inecuația ex>1?

Ce bază are funcția e2x scrisă ca exponențială obișnuită?

Continuă cu

Cum calculez valoarea unui model $N_{0} e^{k t}$ după un timp dat?

Ce asimptotă are graficul funcției $e^{- x}$ ?

Cum rezolv inecuația $e^{x} > 1$ ?

Ce bază are funcția $e^{2 x}$ scrisă ca exponențială obișnuită?