Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Reguli ca formule: și, sau, nu

Unde pun parantezele când „sau” stă lângă „și”?

Desfaci fraza în propoziții simple, le dai litere și pui între paranteze „sau”-ul care stă lângă „și”. Exemplu: „transport gratuit dacă comanda depășește $300$ de lei și clientul e din oraș sau a plătit în avans” devine $p \land (q \lor r)$ . Proba: o comandă de $250$ de lei, din afara orașului, plătită în avans nu primește transport, dar $p \land q \lor r$ ar da adevărat.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Operațiile logice leagă propoziții simple. „Și” formează conjuncția, adevărată doar când ambele părți sunt adevărate; „sau” formează disjuncția, falsă doar când ambele sunt false; „nu” schimbă valoarea; „dacă … atunci” este falsă numai când ipoteza e adevărată și concluzia falsă. Echivalența cere aceeași valoare de ambele părți.

O regulă din viața de zi cu zi se transformă în pași: desparți fraza în propoziții simple, le dai litere, scrii formula și pui paranteze în jurul lui „sau” când vine lângă „și”, apoi calculezi pe fiecare caz din registru. Ordinea calculului este: parantezele, negația, conjuncția, disjuncția, apoi implicația și echivalența.

Atenție la „sau”: în matematică este inclusiv, deci rămâne adevărat și când ambele părți sunt îndeplinite, spre deosebire de „ori … ori”. La praguri, „cel mult” include valoarea, iar „depășește” nu o include.

Controlul unei decizii: calculezi valoarea regulii pe cazul respectiv și o compari cu decizia luată; dacă ele coincid, decizia este bună. Verifici cazurile de margine și refaci un caz cu cuvintele regulii. Dacă se cere un caz care încalcă o implicație, cauți ipoteza adevărată și concluzia falsă.

De reținut

„și” cere ambele părți adevărate, „sau” cere cel puțin una
„sau” stă între paranteze când este lângă „și”
o implicație e falsă numai cu ipoteza adevărată și concluzia falsă

Greșeala tipică

Se citește „sau” ca „ori…ori”: clientul din oraș care a plătit și în avans ar fi refuzat, deși $q \lor r$ este adevărată. Corect, dacă sunt îndeplinite și avansul, și domiciliul, „sau” dă tot adevărat.

Exerciții din această mini-lecție

Regula de siguranță a unei prese spune: „Presa pornește numai dacă ușa de protecție este închisă și cel puțin unul dintre butoanele A și B este apăsat.” Notezi $u$ : „ușa este închisă”, $a$ : „butonul A este apăsat”, $b$ : „butonul B este apăsat”. Care dintre formule descrie regula?
- a) $(u \land a) \lor b$
- b) $u \lor (a \land b)$
- c) $u \land (a \lor b)$
- d) $(u \lor a) \land b$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $u \land (a \lor b)$

Regula cere două lucruri deodată: ușa închisă și cel puțin un buton apăsat, deci formula este $u \land (a \lor b)$ . Formula $(u \land a) \lor b$ pornește presa cu ușa deschisă, dacă butonul B este apăsat. Formula $u \lor (a \land b)$ cere ambele butoane, nu doar unul, iar $(u \lor a) \land b$ cere butonul B în orice caz.
Regula de laborator spune: „Dacă soluția are pH sub $3$ , atunci se poartă mănuși.” Patru eșantioane au fost manipulate în felul de mai jos. Care dintre ele încalcă regula?
- a) pH $2, 8$ , fără mănuși
- b) pH $3, 0$ , fără mănuși
- c) pH $3, 6$ , fără mănuși
- d) pH $2, 4$ , cu mănuși
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) pH $2, 8$ , fără mănuși

Regula este încălcată numai când ipoteza este adevărată și concluzia falsă, adică pH sub $3$ și fără mănuși, ca la pH $2, 8$ . Cazul cu pH $3, 0$ nu are ipoteza îndeplinită, fiindcă $3, 0$ nu este sub $3$ . La pH $3, 6$ ipoteza este falsă, deci regula nu poate fi încălcată, iar la pH $2, 4$ cu mănuși concluzia este adevărată.
Irigarea unui câmp pornește după regula $(u \land \neg p) \lor c$ , unde $u$ : „umiditatea solului este sub $30$ %”, $p$ : „plouă” și $c$ : „comutatorul manual este pornit”. Jurnalul are șase rânduri: R1: $35$ %, nu plouă, comutator pornit · R2: $24$ %, nu plouă, comutator pornit · R3: $31$ %, plouă, comutator oprit · R4: $38$ %, nu plouă, comutator pornit · R5: $22$ %, plouă, comutator oprit · R6: $44$ %, nu plouă, comutator pornit. Pe câte rânduri pornește irigarea conform regulii?
- a) $1$
- b) $3$
- c) $5$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $4$

Irigarea pornește la R1, R2, R4 și R6, adică pe $4$ rânduri: la R2 sunt îndeplinite ambele părți ale lui „sau”, iar la celelalte trei comutatorul pornit este de ajuns. La R3 și R5 comutatorul este oprit, iar $u \land \neg p$ este falsă. Răspunsul $3$ citește „sau” ca „ori … ori” și scoate R2, răspunsul $5$ ignoră negația lui $p$ și adaugă R5, iar $1$ cere ambele părți, cu „și” în loc de „sau”.

Întrebări conexe

Cum scriu „cel puțin două din trei” ca formulă?

Scrii fiecare pereche de condiții legată prin „și”, apoi unești perechile prin „sau”: $(a \land b) \lor (a \land c) \lor (b \land c)$ . O piesă care trece testele $a$ și $c$ , dar nu pe $b$ , face adevărată a doua paranteză, deci este acceptată. Una care trece doar testul $b$ are toate parantezele false.

Cum verific o regulă doar pe cazurile din registru?

Pentru fiecare rând scrii A sau F la propozițiile simple, calculezi formula și compari rezultatul cu decizia luată. Cu regula $p \land \neg r$ , unde $p$ : „în stoc” și $r$ : „produs retras”, rândul „în stoc, produs retras” dă $A \land F = F$ , deci livrarea lui ar fi o decizie greșită.

Cum tratez un prag numeric într-o condiție logică?

Transformi pragul într-o propoziție adevărată sau falsă pentru fiecare valoare. „Cel mult $5$ zile” este adevărată pentru $5$ , dar „sub $5$ zile” nu. Pentru $4$ , $5$ și $6$ zile, prima condiție dă A, A, F, iar a doua A, F, F.

Cum aflu de ce o regulă a dat fals?

Calculezi formula din interior spre exterior și cauți partea falsă care decide rezultatul. La $(f \lor b) \land \neg s$ , cu $f$ , $b$ și $s$ false, $\neg s$ este adevărată, dar paranteza este falsă, deci refuzul vine din lipsa ambelor acte. Ar ajunge unul singur, de pildă bonul $b$ , ca regula să devină adevărată.

Cum scriu o regulă cu „dar” sau „iar” ca formulă?

În regulă, „dar” și „iar” se citesc ca „și”. „Intrarea este gratuită pentru copii, dar nu în weekend” devine $c \land \neg w$ : adevărată pentru un copil într-o zi de lucru, falsă pentru un copil sâmbăta.

Oamenii mai întreabă și: paranteze într-o regulă cu și și sau · ordinea lui și și sau într-o formulă logică · când pun paranteze la sau · paranteze într-o condiție de garanție