Și, sau, nu: logica garanției la tehnologic

Un certificat de garanție se scrie în cuvinte, dar se aplică pe cazuri, iar la „sau” două persoane îl pot citi diferit. Matematica fixează sensul fiecărei legături: „și”, „sau”, „nu”, „dacă … atunci”. Cu ele verifici, la filiera tehnologică (clasa a IX-a), deciziile dintr-un registru. Operațiile logice elementare figurează în programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), lângă propoziții și cuantificatori.

Situația de pornire

Magazinul unui lanț de scule electrice are un serviciu post-vânzare. Certificatul de garanție al unei mașini de găurit spune (date din exemplu): „Garanția se acordă dacă au trecut cel mult 24 de luni de la cumpărare și se prezintă factura sau bonul fiscal, iar sigiliul de service nu este rupt.” Casierul decide pe loc fiecare cerere, iar la sfârșitul săptămânii gestionarul controlează registrul.

Gestionarul vrea o regulă scrisă astfel încât oricine, aplicând-o, să ajungă la aceeași decizie.

Întrebare: care dintre cele șase decizii respectă certificatul, care nu, și cum scrii regula ca s-o poți verifica pe orice cerere?

De la situație la model

Tabelul pune cuvintele din certificat lângă cele din matematică.

Conjuncția $p\wedge q$ este adevărată numai când ambele propoziții sunt adevărate. Disjuncția $p\vee q$ este adevărată când cel puțin una dintre ele este adevărată, deci și când sunt adevărate amândouă. Negația $\neg p$ are valoarea opusă lui $p$. Implicația $p\Rightarrow q$ este falsă numai când $p$ este adevărată și $q$ este falsă. Echivalența $p\iff q$ este adevărată când $p$ și $q$ au aceeași valoare. Fiecare dintre $p$, $q$, $r$, $s$ este o propoziție simplă, cu valoare de adevăr pe fiecare cerere.

Cum scrii certificatul cu litere?

Notezi $p$: „au trecut cel mult 24 de luni”, $q$: „se prezintă factura”, $r$: „se prezintă bonul” și $s$: „sigiliul este rupt”. Certificatul cere trei lucruri deodată: termenul, un act și sigiliul bun, deci $G=p\wedge (q\vee r)\wedge \neg s$. Textul se citește „garanția se acordă dacă și numai dacă $G$”: condițiile sunt și suficiente, și necesare. Parantezele contează: fără ele „și” se calculează înaintea lui „sau”, iar $p\wedge q\vee r$ înseamnă $(p\wedge q)\vee r$, adică un bon ar fi de ajuns chiar și după 26 de luni. Pe mulțimea cererilor, „și” înseamnă intersecția mulțimilor în care propozițiile sunt adevărate, „sau” înseamnă reuniunea lor, iar „nu” înseamnă complementara.

Decizia din registru este și ea o propoziție, $D$: „cererea se acceptă”. Decizia e corectă dacă $G\iff D$ este adevărată: regula și decizia sunt amândouă adevărate sau amândouă false.

Ce înseamnă „sau” când clientul are și factura, și bonul?

Cererea 6 are ambele acte. Disjuncția $q\vee r$ cere cel puțin un act, nu exact unul, deci este adevărată. „Ori factura, ori bonul” ar fi disjuncție exclusivă, iar certificatul nu o cere.

Când este încălcată o regulă „dacă … atunci …”?

Regula casierului „Dacă sigiliul este rupt, atunci cererea se refuză” se verifică căutând un caz care o încalcă: ipoteza adevărată și concluzia falsă. O cerere cu sigiliul intact nu o poate încălca, oricare ar fi decizia, așa că regula se controlează numai pe cererile cu sigiliul rupt. Cazul care o încalcă este chiar negația ei: regula e $s\Rightarrow \neg D$, iar $\neg (s\Rightarrow \neg D)$ are aceeași valoare ca $s\wedge D$, sigiliu rupt și cerere acceptată. Cum se neagă un enunț legat prin „și” sau „sau” afli în lecția despre cuantificatori și negarea enunțurilor; lunile din exercițiul 11 se compară cu pragurile ca pe axă, ca în ordonarea numerelor reale.

Metoda pas cu pas

1. Desparte regula în propoziții simple, dă fiecăreia o literă și scrie ce înseamnă „adevărat” pentru ea. Fiecare propoziție are o singură condiție, de pildă „se prezintă factura”, nu „factura sau bonul”.
2. Marchează legăturile „și”, „sau”, „nu”, „dacă … atunci” și scrie formula, cu paranteze acolo unde „sau” stă lângă „și”. Dacă fraza poate fi citită în două feluri, scrie ambele formule și alege-o pe cea care dă regulamentului sensul bun.
3. Pentru fiecare cerere din registru, scrie A sau F la fiecare propoziție simplă, citind coloanele; la pragurile numerice compară cu atenție, „cel mult 24” incluzând pe 24.
4. Calculează întâi parantezele, apoi „nu”, apoi „și”, apoi „sau”, iar la urmă implicația și echivalența. Rezultatul este valoarea regulii pe acea cerere.
5. Compară cu decizia luată: decizia e corectă dacă regula și decizia au aceeași valoare, adică dacă $G\iff D$ este adevărată.
6. Verifică: refă o cerere cu cuvintele certificatului, înlocuind în frază valorile din registru, și numără: deciziile corecte plus cele greșite dau toate cererile. Controlează și cazul de margine, cererea cu exact 24 de luni.

Fișa de buzunar

$$v(p\wedge q)=\text{A}⟺v(p)=v(q)=\text{A}$$

$$v(p\Rightarrow q)=\text{F}⟺v(p)=\text{A}\text{ și }v(q)=\text{F}$$

$$v(p\iff q)=\text{A}⟺v(p)=v(q)$$

Disjuncția $p\vee q$ este falsă numai când ambele sunt false, iar negația schimbă valoarea. Ordinea calculului: parantezele, $\neg$, $\wedge$, $\vee$, apoi $\Rightarrow$ și $\iff$. Se aplică după ce fiecare propoziție simplă are valoarea ei pe cazul controlat. Verificare rapidă: cu $p$ adevărată și $q$ falsă, $p\wedge q$ este falsă, $p\vee q$ adevărată, $p\Rightarrow q$ falsă și $p\iff q$ falsă.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Registrul de garanții

Domeniu: comert.

Enunț. Reia registrul din situația de pornire. a) Scrie certificatul ca formulă. b) Pentru fiecare cerere află valoarea lui $G$ și spune dacă decizia e corectă. c) Pentru ce cereri este încălcată regula „Dacă produsul costă peste 400 lei, atunci cererea are factură”?

Rezolvare. a) $G=p\wedge (q\vee r)\wedge \neg s$. b) Tabelul dă valorile propozițiilor, ale lui $G$ și ale deciziei $D$ („acceptată” este A).

Deciziile 1, 2 și 4 sunt corecte; 3, 5 și 6 sunt greșite. La cererea 3 au trecut 26 de luni, la 5 sigiliul e rupt, iar la 6 toate condițiile sunt îndeplinite, deși a fost refuzată. c) Regula se încalcă numai unde prețul depășește 400 lei și factura lipsește: cererea 5 (489 lei, doar bon). Cererile 1, 3 și 4 au prețul sub 400 lei și nu o pot încălca.

Capcană. Cine citește „factura sau bonul” ca disjuncție exclusivă calculează $q\vee r$ falsă la cererea 6, obține $G$ falsă și socotește corectă decizia „refuzată”. Ar găsi două decizii greșite, 3 și 5, în loc de trei.

Verificare. Pe alt drum, cu cuvintele certificatului: la cererea 6, 24 de luni înseamnă cel mult 24, are factură și bon, iar sigiliul e intact, deci garanția se acordă și „refuzată” e greșit. Cele 3 decizii corecte și cele 3 greșite dau 6 cereri.

Exemplul 2 — Proiectoarele unui depozit

Domeniu: electric.

Enunț. Fișa de montaj a proiectoarelor unui depozit spune: „Proiectoarele se aprind dacă e întuneric și senzorul detectează mișcare sau comutatorul de pază este pe «pornit».” „Întuneric” înseamnă sub 50 lx. Notăm $I$: „e întuneric”, $S$: „senzorul detectează mișcare”, $C$: „comutatorul de pază e pe «pornit»”. Electricianul citește $I\wedge (S\vee C)$, ucenicul $(I\wedge S)\vee C$. Jurnalul automatului (date din exemplu):

a) Ce dă fiecare citire pe fiecare rând? b) După care citire e legat automatul? c) Ce rând hotărăște?

Rezolvare. a) La J1 ($I$, $S$ adevărate) și la J2 ($I$, $C$ adevărate) ambele citiri dau „aprinse”. La J4, 135 lx nu e sub 50 și comutatorul e oprit, deci ambele dau „stinse”. La J3, $I$ și $S$ sunt false, $C$ adevărată: electricianul obține $\text{F}\wedge (\text{F}\vee \text{A})=\text{F}$, „stinse”, ucenicul $(\text{F}\wedge \text{F})\vee \text{A}=\text{A}$, „aprinse”. b) La J3 jurnalul arată proiectoarele aprinse: automatul e legat după citirea ucenicului, iar comutatorul de pază le aprinde și ziua. c) Doar rândul J3, singurul cu $I$ falsă și $C$ adevărată.

Capcană. Cine socotește 135 lx „întuneric”, fiindcă e seară, ia $I$ adevărată la J4 și obține la ambele citiri „aprinse”, deși jurnalul arată „stinse”: ar declara automatul defect.

Verificare. Pe alt drum, cu fișa: la J3, ziua, sunt 860 lx, deci nu e întuneric, iar după electrician proiectoarele ar sta stinse oricum ar fi comutatorul. Jurnalul le arată aprinse, deci comutatorul le aprinde singur.

Exemplul 3 — Anularea unei rezervări

Domeniu: turism.

Enunț. Regula unui camping: „Anularea este gratuită dacă s-a făcut cu cel puțin 72 de ore înainte de sosire sau dacă are motiv medical, dar nu în sezonul de vârf.” Prima parte se leagă prin „sau”, iar „dar” se citește „și”.

Scrie regula ca formulă și spune care anulări sunt gratuite.

Rezolvare. Fie $a$: „cel puțin 72 de ore”, $m$: „motiv medical”, $v$: „sezon de vârf”; regula este $(a\vee m)\wedge \neg v$. În ore: A are $3\cdot 24+5=77$ h, B are $2\cdot 24+20=68$ h, C are $4\cdot 24=96$ h, D are $2\cdot 24+23=71$ h. A: $a$ adevărată și $v$ falsă, deci gratuită. B: $a$ falsă, dar $m$ adevărată, deci gratuită. C: $a$ adevărată, dar $v$ adevărată, deci nu e gratuită. D: $a$ falsă ($71<72$) și $m$ falsă, deci nu e gratuită.

Capcană. Cine rotunjește „2 zile și 23 de ore” la 3 zile socotește anularea D gratuită. Regula cere 72 de ore, iar 71 de ore nu ajung.

Verificare. Pe alt drum, vezi câte ore lipsesc: la D lipsește o oră ($72-71=1$), la B lipsesc 4 ore ($72-68=4$), dar B are motiv medical. Gratuite sunt A și B.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce termen aplica service-ul

Domeniu: auto.

Enunț. Problema inversă: din deciziile corecte afli numărul din regulă. La un service auto, regulamentul s-a pierdut, iar cel nou trebuie să aibă un termen care nu contrazice nicio decizie din registru: „Lucrarea se reface gratuit dacă reclamația vine în cel mult $T$ zile și nu este uzură normală.” Din registru, patru decizii corecte: reclamație la 18 zile, fără uzură, refăcută; la 27 de zile, fără uzură, refăcută; la 33 de zile, fără uzură, refuzată; la 25 de zile, cu uzură, refuzată. Între ce numere întregi se află $T$? Ce număr poate tipări?

Rezolvare. Pentru o decizie cu lucrare refăcută, „cel mult $T$ zile” este adevărată: din 27 de zile rezultă $T\ge 27$. Pentru refuzul la 33 de zile, fără uzură, „cel mult $T$ zile” este falsă: $33>T$. Deci $27\le T\le 32$. Decizia de la 18 zile nu aduce nimic nou, fiindcă $18\le 27$. Decizia de la 25 de zile cu uzură nu spune nimic despre $T$: uzura singură o face refuzată, oricare ar fi $T$. Poate tipări orice întreg de la 27 la 32, de pildă 30 de zile.

Capcană. Cine ia refuzul de la 25 de zile drept dovadă că termenul e mai mic de 25 ajunge la $T<25$, în contradicție cu refacerea de la 27 de zile.

Verificare. Pentru $T=30$: 18 și 27 sunt cel mult 30, deci cu uzura falsă sunt refăcute; 33 depășește 30, deci refuz; la 25, uzura adevărată face conjuncția falsă, deci refuz.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. O cerere nouă are 12 luni de la cumpărare, factură și bon, dar sigiliul rupt. Scrie valorile lui $p$, $q$, $r$, $s$ și valoarea lui $G=p\wedge (q\vee r)\wedge \neg s$.

2. Pentru cererile 2, 4 și 5 din registru, calculează $q\vee r$ și $\neg s$.

3. Scrie formula, cu litere la alegere: a) „Condiția de reducere: clientul are card și cumpărături de peste 230 lei.” b) „Condiția de livrare gratuită: valoarea comenzii depășește 580 lei sau clientul este din oraș.” c) „Dacă produsul mai are stoc, atunci nu se retrage de pe raft.”

4. Verifică regula „Dacă au trecut mai mult de 24 de luni, atunci cererea se refuză” pe cererile 3 și 6 din registru. Care o încalcă?

Nivelul 2 — situații

5. O bancă: „Comisionul de administrare se anulează dacă soldul mediu depășește 3000 lei sau salariul se virează în cont, și contul nu este blocat.” Clientul X: sold 3400 lei, salariul nu se virează, contul neblocat. Clientul Y: sold 2100 lei, salariul se virează, contul blocat. Clientul Z: sold 2800 lei, salariul se virează, contul neblocat. Cui i se anulează comisionul?

6. La o fermă: „Dacă un animal are febră, atunci este izolat.” Fișa: vaca V1, febră, izolată; vaca V2, fără febră, în grajd; vaca V3, fără febră, izolată; vaca V4, febră, în grajd. Ce vaci încalcă regula?

7. Pe un șantier: „Macaraua ridică sarcina dacă vântul este sub 40 km/h și sarcina este cel mult 2,5 t.” Trei ridicări: 35 km/h și 2,4 t; 38 km/h și 2,8 t; 45 km/h și 1,9 t. La care se poate ridica sarcina?

8. O firmă de service pentru restaurante golește separatoarele de grăsimi după regula: „Separatorul se golește dacă este plin peste 80 % sau nu a fost golit de 30 de zile.” Separatoarele a trei restaurante: R1, 85 % și 12 zile; R2, 60 % și 30 de zile; R3, 70 % și 21 de zile. Care se golesc?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Pentru regula $G=p\wedge (q\vee r)\wedge \neg s$, în câte dintre cele 16 combinații de valori ale lui $p$, $q$, $r$, $s$ este $G$ adevărată? Scrie-le.

10. (Sinteză.) Arată, pe toate cele 16 combinații, că „garanția se refuză”, adică $\neg G$, are aceeași valoare cu $\neg p\vee (\neg q\wedge \neg r)\vee s$.

11. (Sinteză.) Luna $x$ de la cumpărare ia valori în $\{0,1,\dots ,36\}$. Fie $A$ mulțimea lunilor la care termenul de 24 de luni nu e depășit și $B$ mulțimea lunilor la care nu e nevoie de semnătura șefului, adică $x\le 12$. Câte luni sunt în $A$, dar nu în $B$?

12. (Sinteză.) În regula $G$ înlocuiești „sau” inclusiv cu „ori … ori”, adică disjuncție exclusivă. În câte dintre cele 16 combinații diferă valoarea regulii? Ce cerere din registru este în acea combinație?

Răspunsuri și verificări

1. $p$ este A, $q$ este A, $r$ este A, $s$ este A; $G$ este F, fiindcă $\neg s$ este F. Verificare: sigiliul rupt oprește garanția.

2. Cererea 2: $q\vee r$ A, $\neg s$ A. Cererea 4: $q\vee r$ F, $\neg s$ A. Cererea 5: $q\vee r$ A, $\neg s$ F. Verificare: doar cererea 4 nu are niciun act.

3. a) $c\wedge v$. b) $v\vee o$, „sau” inclusiv. c) $s\Rightarrow \neg r$. Verificare: cu card și 230 lei exact, a) este falsă; la b) un client din oraș, cu 600 lei, are ambele motive.

4. Cererea 3 încalcă regula: 26 > 24 este A, iar „se refuză” este F. Cererea 6 nu: 24 > 24 este F. Verificare: o implicație cu ipoteza falsă este adevărată.

5. X primește: sold peste 3000 lei, contul neblocat. Y nu: contul este blocat. Z primește: salariul se virează, contul neblocat. Verificare: Y îndeplinește prima parte, dar nu a doua.

6. V4 încalcă regula: febră (A), neizolată (F). Celelalte nu: V1 o respectă, V2 și V3 nu au febră. Verificare: V3 izolată fără febră nu o contrazice.

7. Prima: 35 km/h < 40 km/h și 2,4 t ≤ 2,5 t, deci se ridică. A doua: 38 km/h < 40 km/h, dar 2,8 t > 2,5 t. A treia: 45 km/h ≥ 40 km/h, deși 1,9 t ≤ 2,5 t. Verificare: doar prima îndeplinește ambele condiții.

8. R1 se golește: 85 % > 80 %, deși au trecut doar 12 zile. R2 se golește: au trecut 30 de zile. R3 nu: 70 % ≤ 80 % și 21 de zile < 30 de zile. Verificare: R2 (60 %) se golește doar prin a doua condiție.

9. Trebuie $p$ adevărată, $s$ falsă și cel puțin una dintre $q$, $r$ adevărată: 3 combinații. $(p,q,r,s)$ este $(\text{A},\text{A},\text{A},\text{F})$, $(\text{A},\text{A},\text{F},\text{F})$ sau $(\text{A},\text{F},\text{A},\text{F})$. Verificare: din $2^4=16$ combinații, restul de 13 dau $G$ falsă.

10. Pe cele 16 combinații, cele două expresii au aceeași valoare: adevărate în 13, false în 3. Cele 3 combinații cu ambele false sunt cele de la 9. Verificare: $13+3=16$.

11. $A=\{0,1,\dots ,24\}$ are 25 de luni, $B=\{0,1,\dots ,12\}$ are 13 luni. În $A$, dar nu în $B$: 13, 14, …, 24, adică 12 luni. Verificare: $25-13=12$.

12. Diferă într-o combinație: $(\text{A},\text{A},\text{A},\text{F})$, unde ambele acte există. Cu „sau” inclusiv $G$ este adevărată, cu disjuncție exclusivă este falsă. Cererea 6 este în ea. Verificare: cele 3 combinații de la 9 devin 2.

Așa vine la Bac M3

În programa de examen, operațiile logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență) stau lângă operațiile cu mulțimi (complementară, intersecție, reuniune), dar tema lor nu a apărut în probele 2013–2026. Enunțurile celor 1 494 de cerințe din indexul probelor oficiale au fost căutate după cuvintele „conjuncție”, „disjuncție”, „implicație” și „echivalență”: niciunul nu apare, și nicio cerință nu are ca temă această lecție. Secțiunea rămâne deci fără cerințe reale de citat și fără cerințe-model.

Sintezele de la sfârșit, exercițiile 9–12 cu marcajul (Sinteză.), nu sunt copii după probe: numeri combinații, compari două formule și treci de la propoziții la mulțimi. Alte lecții din același bloc stau în pagina clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Citești „sau” ca „ori … ori” → refuzi clientul care aduce și factura, și bonul, ca la cererea 6; cum o prinzi: încerci regula pe un caz cu ambele acte.
• Scrii regula fără paranteze, $p\wedge q\vee r\wedge \neg s$ → accepți un bon după 26 de luni; cum o prinzi: pui parantezele după structura certificatului și încerci formula pe o cerere de 26 de luni.
• Socotești încălcată regula „Dacă produsul costă peste 400 lei, atunci cererea are factură” de orice cerere fără factură → găsești 3 încălcări (cererile 1, 4 și 5) în loc de una; cum o prinzi: te uiți numai la rândurile cu prețul peste 400 lei.
• Socotești 24 de luni ca fiind peste termen → refuzi cererea 6 din motiv de termen; cum o prinzi: „cel mult 24” include 24, adică $24\le 24$.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, noțiunea de operație logică face parte din programa de examen (programa de examen o așază în clasa a IX-a). În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută.

Întrebări frecvente

Ce arată zona verde din figură și unde sunt cererile 3, 4 și 5? Zona verde, comună celor trei cercuri, adună cererile 1, 2 și 6: cele la care $G$ este adevărată, adică intersecția celor trei mulțimi. Fiecare dintre cererile 3, 4 și 5 e în afara câte unui cerc: 3 are 26 de luni, 4 nu are niciun act, 5 are sigiliul rupt.

Care dintre cele 16 combinații posibile apar în registru? Apar doar 6, câte una pe cerere. Registrul cuprinde toate cele 3 combinații în care garanția se acordă (cererile 1, 2 și 6), dar numai 3 din cele 13 în care nu se acordă (cererile 3, 4 și 5). Un control serios nu se oprește la ce a apărut în registru: verifică regula pe toate cele 16 combinații.

Cum scrii certificatul fără negație, cu „sigiliul este intact”? Notezi $i$: „sigiliul este intact”. Pe orice cerere, $i$ are valoarea opusă lui $s$, iar $G=p\wedge (q\vee r)\wedge i$ dă aceleași valori ca înainte: adevărată la cererile 1, 2 și 6, falsă la 3, 4 și 5. Alegi forma care se citește mai ușor; ambele sunt corecte.

Ce se schimbă dacă certificatul ar da 36 de luni? Cererea 3, de 26 de luni, devine acceptabilă, deci decizia ei e corectă. Rămân greșite cererile 5 și 6: una cu sigiliu rupt, cealaltă refuzată fără motiv. Din 3 decizii greșite rămân 2: termenul mai lung o îndreaptă doar pe a cererii 3.

Dacă casierul ar accepta toate cererile, câte decizii ar fi corecte? Trei din șase, la cererile 1, 2 și 6, unde $G$ este adevărată. Ar greși la 3, 4 și 5, unde $G$ este falsă. Atâtea decizii corecte are și casierul de acum, dar la alte cereri: el greșește la 6, refuzată, și acceptă greșit 3 și 5.

Găsesc operațiile logice în programa de examen M_tehnologic? Da, chiar în blocul „Mulțimi și elemente de logică matematică”, cu care începe clasa a IX-a, unde sunt legate de operațiile cu mulțimi. Indexul celor 83 de probe 2013–2026 nu are nicio cerință cu aceste operații ca temă, însă programa le conține, deci pot fi cerute.