Test tehnologic: logică matematică

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Elemente de logică matematică

Exerciții

Partea I – Recunoaștere și calcul scurt (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din Partea I are 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Fișa de produse a unui salon de coafură arată așa:

Care dintre enunțurile de mai jos este o propoziție adevărată?

Variantele: a) „Balsamul costă mai mult decât masca”; b) „Cât costă 100 ml de gel?”; c) „Produsul $x$ are volumul de cel puțin 200 ml”; d) „Șamponul are 250 ml și costă 24 lei”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

O stație de incubație a notat, pentru fiecare lot, câte ouă a pus și câți pui au ieșit:

Fie predicatul $p(x)$: „Lotul $x$ a avut cel puțin 90 % din ouă eclozate”. Scrie mulțimea de adevăr a lui $p$ pe domeniul format din cele șase loturi.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Regula unui post de transformare spune: „Dacă temperatura bobinajului depășește 85 °C, atunci ventilatorul pornește.” Jurnalul a înregistrat opt citiri:

Câte dintre citirile cu ventilatorul oprit respectă regula?

Exercițiul 4 (5 puncte)

Pentru o piesă turnată se știe că: $p$ este „piesa trece controlul dimensional” și este falsă, $q$ este „piesa trece controlul de rugozitate” și este adevărată, iar $r$ este „piesa este vopsită” și este falsă. Fie $E_1=\neg p\wedge r$, $E_2=q\Rightarrow r$, $E_3=p\iff r$ și $E_4=\neg q\vee p$. Scrie valoarea de adevăr, A sau F, a fiecăruia dintre cele patru enunțuri compuse.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Registrul a șase silozuri de cereale arată umiditatea și temperatura boabelor din fiecare:

Hotărăște fiecare dintre enunțurile (1) „Există un siloz cu umiditatea peste 15 % și există un siloz cu temperatura de cel puțin 25 °C” și (2) „Există un siloz cu umiditatea peste 15 % și cu temperatura de cel puțin 25 °C”.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Un depozit afișează enunțul „Orice lot de grinzi are masa sub 40 kg sau lungimea peste 2 m”. Care dintre enunțurile de mai jos este negația lui?

Variantele: a) „Niciun lot nu are masa sub 40 kg sau lungimea peste 2 m”; b) „Există un lot cu masa de cel puțin 40 kg și lungimea de cel mult 2 m”; c) „Există un lot cu masa de cel puțin 40 kg sau lungimea de cel mult 2 m”; d) „Există un lot cu masa peste 40 kg și lungimea sub 2 m”.

Partea a II-a – Cazuri din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a II-a are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Regula unui șantier spune: „Dacă un muncitor lucrează la înălțime de peste 2 m, atunci poartă ham de siguranță și are aviz medical valabil.” Registrul zilei:

Notăm $p$: „lucrează la înălțime de peste 2 m”, $q$: „poartă ham” și $r$: „are aviz valabil”.

a) (5 puncte) Scrie regula ca formulă cu $p$, $q$ și $r$ și spune ce muncitori o încalcă.

b) (5 puncte) În câte dintre cele 8 combinații de valori ale lui $p$, $q$ și $r$ este regula respectată? Scrie combinațiile în care este încălcată.

Exercițiul 8 (10 puncte)

O firmă de salubrizare controlează șapte containere de colectare, după umplere și vechime:

Fie $a(x)$: „containerul $x$ are umplerea de cel mult 85 %” și $v(x)$: „containerul $x$ are vechimea de cel mult 8 ani”. Un container este în regulă dacă verifică și $a$, și $v$.

a) (5 puncte) Hotărăște enunțurile „Toate containerele au umplerea de cel mult 85 %” și „Există un container cu vechimea de cel puțin 11 ani”. La fiecare, spune ce container o hotărăște.

b) (5 puncte) Scrie mulțimea containerelor în regulă, apoi negația enunțului „Toate containerele sunt în regulă” și numărul containerelor care nu sunt în regulă.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Fișa unui magazin de electrocasnice are cinci produse:

a) (5 puncte) Scrie mulțimea de adevăr a predicatului $p(x)$: „Produsul $x$ are garanția de cel puțin 3 ani și costă mai puțin de 800 lei”.

b) (5 puncte) Fie $q_g(x)$: „Produsul $x$ are garanția de cel puțin $g$ ani”, cu $g$ număr natural. Pentru ce valoare a lui $g$ are mulțimea de adevăr a lui $q_g$ exact 3 elemente? Există un $g$ pentru care ea are exact 4 elemente?

Partea a III-a – Exerciții de sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a III-a are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Sinteză.) O stație de pompare este condusă de două reguli. R1: „Dacă nivelul din puț este sub minim, atunci pompa nu pornește.” R2: „Dacă rezervorul consumatorilor cere apă, atunci pompa pornește.” Notăm $p$: „nivelul din puț este sub minim”, $q$: „pompa este pornită” și $r$: „rezervorul cere apă”. Registrul a șapte citiri:

a) (5 puncte) Scrie R1 și R2 ca formule cu $p$, $q$ și $r$, apoi regula comună R, adică cele două reguli respectate deodată.

b) (5 puncte) Spune, pentru fiecare citire, care dintre R1 și R2 sunt respectate, și la câte citiri nu este respectată regula comună R.

c) (5 puncte) În câte dintre cele 8 combinații de valori ale lui $p$, $q$ și $r$ este respectată regula comună R? Arată că, dacă $p$ și $r$ sunt amândouă adevărate, regula comună nu este respectată pentru nicio valoare a lui $q$, și spune ce înseamnă asta pentru stație.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Un excavator încarcă pietriș într-un camion. După $n$ cupe, încărcătura camionului are $m(n)=1,8n$ tone, pentru $n\in D=\{0,1,2,\dots ,15\}$. Fie predicatele $p(n)$: „$m(n)\ge 16$”, adică transportul este rentabil, și $q(n)$: „$m(n)\le 20$”, adică nu se depășește sarcina admisă a camionului.

a) (5 puncte) Scrie mulțimile de adevăr $M_p$ și $M_q$ pe domeniul $D$.

b) (5 puncte) Arată că enunțul „Pentru orice $n\in D$, $p(n)$ sau $q(n)$” este adevărat, deși enunțurile „Pentru orice $n\in D$, $p(n)$” și „Pentru orice $n\in D$, $q(n)$” sunt amândouă false.

c) (5 puncte) Hotărăște enunțul „Pentru orice $n\in D$, dacă $p(n)$, atunci $q(n)$”, scrie negația lui în cuvinte și spune pentru ce valori ale lui $n$ este adevărată negația.

Barem și răspunsuri

Baremul scrie rezolvările pe pași; punctele fiecărui pas sunt între paranteze, iar o rezolvare diferită, dar corectă, se notează la fel. Răspunsurile de tipul „adevărat”, „fals” sau o mulțime sunt îngroșate. La Partea a III-a, un răspuns fără justificare nu ia tot punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

Un enunț este propoziție dacă se poate hotărî că este adevărat sau fals. Varianta b) este o întrebare, iar varianta c) conține variabila $x$: este predicat, nu propoziție (2 p). Varianta a) este propoziție, dar falsă, fiindcă balsamul costă 31 lei, mai puțin decât masca, de 38 lei (1 p). Varianta d) este propoziție adevărată: șamponul are 250 ml și costă 24 lei, ca în fișă, deci răspunsul este $\mathbf{d})$ (2 p). Verificare: din patru enunțuri, două sunt propoziții, a) și d), dar numai d) este adevărată. Cine alege a) confundă „propoziție” cu „propoziție adevărată”.

Exercițiul 2.

Procentele de ouă eclozate sunt $\frac{162}{180}=90\%$, $\frac{204}{240}=85\%$, $\frac{141}{150}=94\%$, $\frac{197}{220}\approx 89,5\%$, $\frac{108}{120}=90\%$ și $\frac{279}{300}=93\%$ (3 p). „Cel puțin 90 %” înseamnă 90 % sau mai mult, deci lotul A și lotul E, cu exact 90 %, intră în mulțime: $M_p=\{\text{A},\text{C},\text{E},\text{F}\}$ (2 p). Verificare: mulțimea are 4 elemente, iar loturile B și D sunt sub prag. Lotul D arată ca 90 % dacă rotunjești, dar $197\cdot 100=19700$ este mai mic decât $90\cdot 220=19800$, deci nu intră. Cine citește „mai mult de 90 %” scoate loturile A și E și obține doar $\{\text{C},\text{F}\}$.

Exercițiul 3.

Regula este o implicație, $p\Rightarrow q$, cu $p$: „temperatura depășește 85 °C” și $q$: „ventilatorul pornește” (1 p). O implicație este falsă numai când $p$ este adevărată și $q$ este falsă (1 p). Ventilatorul este oprit la citirile 1, 3, 4, 6 și 8. La citirile 4 și 6, $91>85$ și $95>85$, deci $p$ este adevărată, $q$ este falsă și regula este încălcată (1 p). La citirile 1, 3 și 8, temperaturile $79$, $85$ și $70$ nu depășesc 85, deci $p$ este falsă și implicația este adevărată; la citirea 3, 85 nu este mai mare decât 85 (1 p). Așadar $3$ citiri cu ventilatorul oprit respectă regula (1 p). Verificare: citirile cu ventilatorul pornit, 2, 5 și 7, respectă regula oricare ar fi temperatura, iar $3+2+3=8$ citiri. Cine bifează ca „încălcate” toate citirile cu ventilatorul oprit numără 5 încălcări, nu 2.

Exercițiul 4.

Valorile sunt $v(p)=\text{F}$, $v(q)=\text{A}$ și $v(r)=\text{F}$ (1 p). La $E_1$, $\neg p$ este A, dar $r$ este F, deci $E_1$ este F. La $E_2$, $q$ este A și $r$ este F, deci $E_2$ este F. La $E_4$, $\neg q$ este F și $p$ este F, deci $E_4$ este F (2 p). La $E_3$, $p$ și $r$ au aceeași valoare, F, deci $E_3$ este A (2 p). Așadar ${\mathbf{E}}_3$ este singurul enunț adevărat. Verificare: trei enunțuri sunt false și unul adevărat. Cine crede că o echivalență cere două propoziții adevărate socotește și $E_3$ falsă și nu găsește niciun enunț adevărat.

Exercițiul 5.

Enunțul (1) cere doi martori, câte un siloz pentru fiecare condiție, care pot fi diferiți; enunțul (2) cere un singur siloz care să verifice ambele condiții (1 p). S4 are umiditatea $15,6>15$, iar S3 are temperatura $27\ge 25$, deci enunțul (1) este adevărat (2 p). Singurul siloz cu umiditatea peste 15 % este S4, care are 22 °C, sub 25 °C; niciun siloz nu verifică ambele condiții, deci enunțul (2) este fals (2 p). Verificare: singurul siloz cu cel puțin 25 °C este S3, iar umiditatea lui este $14,9\le 15$. Cine ia și la enunțul (2) doi martori diferiți, S4 și S3, îl socotește, greșit, adevărat.

Exercițiul 6.

Negația lui „orice” începe cu „există” (1 p). Negația lui „A sau B” este „nu A și nu B” (1 p). „Masa sub 40 kg” se neagă prin „masa de cel puțin 40 kg”, iar „lungimea peste 2 m” prin „lungimea de cel mult 2 m” (2 p). Negația este deci „există un lot cu masa de cel puțin 40 kg și lungimea de cel mult 2 m”, adică $\mathbf{b})$ (1 p). Verificare: un lot de exact 40 kg și exact 2 m nu are masa sub 40 kg și nici lungimea peste 2 m, deci infirmă enunțul inițial și verifică varianta b). Varianta d) nu îl acoperă, fiindcă cere masa peste 40 kg și lungimea sub 2 m.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Regula „dacă $p$, atunci $q$ și $r$” este $p\Rightarrow (q\wedge r)$ (2 p). Ea este încălcată numai când $p$ este adevărată și $q\wedge r$ este falsă. Lucrează la peste 2 m muncitorii 214, 223 și 236. Dintre ei, muncitorul 223 nu are aviz și muncitorul 236 nu are ham, deci $q\wedge r$ este falsă la ei (2 p). Muncitorul 231 lucrează la exact 2,0 m, deci $p$ este falsă la el. Regula este încălcată de muncitorii $\text{223 și 236}$ (1 p).

b) (5 p) Cu $p$ adevărată, regula este falsă dacă $q\wedge r$ este falsă, adică în combinațiile $(p,q,r)$ egale cu $(\text{A},\text{A},\text{F})$, $(\text{A},\text{F},\text{A})$ și $(\text{A},\text{F},\text{F})$ (3 p). Regula este respectată în celelalte $8-3=5$ combinații (2 p). Verificare: patru combinații au $p$ falsă și una singură cu $p$ adevărată, $(\text{A},\text{A},\text{A})$, deci $4+1=5$. Cine citește regula ca $(p\Rightarrow q)\wedge r$ socotește încălcat și un muncitor la înălțime mică, fără aviz.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Umplerea este peste 85 % la C2, cu 88 %, și la C4, cu 91 %. Primul, C2, este un contraexemplu, deci „Toate containerele au umplerea de cel mult 85 %” este fals (2 p). C5 are vechimea de 11 ani, deci „Există un container cu vechimea de cel puțin 11 ani” este adevărat, hotărât de exemplul C5 (2 p). La „toate” îți trebuie un contraexemplu, iar la „există”, un exemplu (1 p).

b) (5 p) $M_a=\{\text{C1},\text{C3},\text{C5},\text{C6},\text{C7}\}$ și $M_v=\{\text{C1},\text{C2},\text{C4},\text{C6},\text{C7}\}$; C7 intră în ambele, fiindcă $85\le 85$ și $8\le 8$ (2 p). În regulă sunt containerele din intersecție, $\{\text{C1},\text{C6},\text{C7}\}$ (1 p). Negația este „există un container cu umplerea peste 85 % sau cu vechimea peste 8 ani” (1 p). Containerele care nu sunt în regulă sunt $7-3=4$: C2, C3, C4 și C5 (1 p). Verificare: C2 și C4 au umplerea peste 85 %, C3 și C5 au vechimea peste 8 ani, iar $2+2=4$. Cine scrie negația cu „și” ar număra doar containerele care greșesc la ambele condiții, adică niciunul.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Garanția este de cel puțin 3 ani la fierul de călcat, cuptor și robot; prețul este sub 800 lei la aspirator, mixer, fier de călcat și cuptor, fiindcă $799<800$ (3 p). Mulțimea de adevăr a predicatului cu „și” este intersecția, $\{\text{fier de ca˘lcat},\text{cuptor}\}$ (2 p).

b) (5 p) Garanțiile sunt 2, 2, 3, 5 și 3. Pentru $g\le 2$ mulțimea are 5 elemente. Pentru $g=3$ intră fierul de călcat, cuptorul și robotul, adică $3$ elemente (2 p), iar pentru $g=4$ și $g=5$ rămâne doar cuptorul, cu 1 element (1 p). De la 5 elemente la $g=2$ se trece direct la 3 elemente la $g=3$, fiindcă două produse au garanția exact 3: nu există niciun $g$ pentru care mulțimea să aibă exact 4 elemente (2 p). Verificare: pentru $g\ge 6$ mulțimea este vidă, deci numărul elementelor nu crește niciodată odată cu $g$.

Exercițiul 10.

a) (5 p) R1 este $p\Rightarrow \neg q$, fiindcă „pompa nu pornește” este negația lui $q$ (2 p). R2 este $r\Rightarrow q$ (1 p). Respectate deodată, regula comună R este $(p\Rightarrow \neg q)\wedge (r\Rightarrow q)$ (2 p).

b) (5 p) Valorile lui $(p,q,r)$ la citirile 1–7 sunt $(\text{F},\text{A},\text{A})$, $(\text{A},\text{F},\text{F})$, $(\text{F},\text{A},\text{F})$, $(\text{A},\text{A},\text{A})$, $(\text{F},\text{F},\text{A})$, $(\text{A},\text{F},\text{A})$ și $(\text{A},\text{A},\text{F})$ (2 p). R1 este încălcată numai când $p$ și $q$ sunt adevărate, adică la citirile 4 și 7; R2 este încălcată numai când $r$ este adevărată și $q$ falsă, adică la citirile 5 și 6 (2 p). Regula comună nu este respectată la citirile 4, 5, 6 și 7, adică la $4$ citiri (1 p).

c) (5 p) Regula R este adevărată la $(\text{F},\text{F},\text{F})$, $(\text{F},\text{A},\text{F})$, $(\text{F},\text{A},\text{A})$ și $(\text{A},\text{F},\text{F})$ (2 p), adică în $4$ combinații (1 p). Dacă $p$ și $r$ sunt adevărate, R1 cere $q$ falsă, iar R2 cere $q$ adevărată: nicio valoare a lui $q$ nu le satisface pe amândouă, deci regulile se contrazic atunci când nivelul este sub minim și rezervorul cere apă (2 p). Verificare: combinația $(\text{A},\text{A},\text{A})$ încalcă R1, iar $(\text{A},\text{F},\text{A})$ încalcă R2, iar $4+4=8$. Stația are nevoie de o regulă de prioritate între cele două reguli; cine caută o stare a pompei care să le respecte pe amândouă nu o găsește.

Exercițiul 11.

a) (5 p) $m(n)\ge 16$ înseamnă $1,8n\ge 16$, adică $n\ge \frac{16}{1,8}$, iar $8<\frac{16}{1,8}<9$; cum $n$ este natural, $n\ge 9$. Verificare: $m(8)=14,4<16$ și $m(9)=16,2\ge 16$ (2 p). $m(n)\le 20$ înseamnă $n\le \frac{20}{1,8}$, iar $11<\frac{20}{1,8}<12$, deci $n\le 11$. Verificare: $m(11)=19,8\le 20$ și $m(12)=21,6>20$ (2 p). Așadar $M_p=\{9,10,11,12,13,14,15\}$ și $M_q=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$ (1 p).

b) (5 p) Reuniunea $M_p\cup M_q$ conține toate numerele de la 0 la 15, adică tot domeniul $D$: fiecare $n$ verifică cel puțin una dintre condiții, deci „Pentru orice $n\in D$, $p(n)$ sau $q(n)$” este adevărat (3 p). Pentru „Pentru orice $n\in D$, $p(n)$”, $n=0$ este contraexemplu, fiindcă $m(0)=0<16$: enunțul este fals (1 p). Pentru „Pentru orice $n\in D$, $q(n)$”, $n=15$ este contraexemplu, fiindcă $m(15)=27>20$: și acest enunț este fals (1 p). Un „pentru orice” cu „sau” poate fi adevărat chiar dacă niciuna dintre cele două condiții nu este îndeplinită pentru toți $n$.

c) (5 p) Implicația $p(n)\Rightarrow q(n)$ este falsă numai când $p(n)$ este adevărată și $q(n)$ este falsă. Pentru $n=12$, $m(12)=21,6$, iar $21,6\ge 16$, dar $21,6>20$; enunțul este fals, cu contraexemplul $n=12$ (2 p). Negația lui este „Există $n\in D$ pentru care $m(n)\ge 16$ și $m(n)>20$”, adică există un număr de cupe la care camionul este supraîncărcat (2 p). Ea este adevărată pentru $n\in \{12,13,14,15\}$ (1 p). Verificare: $m(12)=21,6$ și $m(15)=27$ trec de 20, iar $m(11)=19,8$ nu. Cine scrie negația ca „Pentru orice $n\in D$, dacă $p(n)$, atunci nu $q(n)$” păstrează și cuantificatorul, și implicația; negația unui „pentru orice” începe cu „există”, iar negația unei implicații este „$p(n)$ și nu $q(n)$”.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică unitatea de logică a clasei a IX-a, filiera tehnologică, pe cele trei lecții ale ei: „Propoziții și predicate pentru tehnologic”, „Și, sau, nu: logica garanției la tehnologic” și „Toți, niciunul, unii: cuantificatori la tehnologic”. Operațiile cu mulțimi, intervalele și inducția matematică rămân în sarcina testului „Test tehnologic: numere reale, mulțimi, șiruri”.

• Punctaj: 100 de puncte în total: 90 de puncte din cele unsprezece exerciții și 10 puncte din oficiu.
• Durata: 50 de minute.
• Cum se aplică: testul se lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La Partea I răspunsurile pot fi scurte, dar la Partea a II-a și a III-a trebuie scris și motivul fiecărui răspuns, de pildă ce rând din tabel infirmă un enunț. Ghidajul pleacă de la regula pe care o aplici și îți pune pe rând întrebări cu patru variante și numere de calculat; dacă alegi greșit, afli unde a fost greșeala. Îl deschizi numai la exercițiul care nu iese.
• Între 90 și 100 de puncte: logica ți-e sigură și treci la testul următor.
• Între 75 și 89 de puncte: refaci, cu ghidajul, exercițiile la care ai greșit.
• Între 60 și 74 de puncte: alegi din tabelul de mai jos lecția fiecărui exercițiu la care ai luat mai puțin de jumătate dintre puncte, o reiei și refaci testul peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: reiei cele trei lecții, în ordinea lor, apoi lucrezi testul din nou, cu ghidajul deschis de la început.
• Formule de reținut: o propoziție are exact una dintre valorile A și F; $M_p=\{x\in D\mid p(x)\text{ este adeva˘rat}\}$; $p\wedge q$ este adevărată numai când ambele sunt adevărate; $p\vee q$ este falsă numai când ambele sunt false; $p\Rightarrow q$ este falsă numai când $p$ este adevărată și $q$ este falsă; $p\iff q$ este adevărată când $p$ și $q$ au aceeași valoare; ordinea calculului este parantezele, $\neg$, $\wedge$, $\vee$, apoi $\Rightarrow$ și $\iff$; $\neg (\forall xt(x))$ este $\exists x\neg t(x)$, iar $\neg (\exists xt(x))$ este $\forall x\neg t(x)$; $\neg (A\wedge B)$ este $\neg A\vee \neg B$, iar $\neg (A\vee B)$ este $\neg A\wedge \neg B$.

Niciun exercițiu nu are marcajul „tip Bacalaureat M3”, fiindcă temele de logică nu au apărut în probele oficiale; Partea a III-a este de sinteză, nu copie după probe.

Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026); testul acoperă unitatea «IX.1. Elemente de logică matematică», iar pentru ei toate cele unsprezece exerciții sunt în programa de examen, inclusiv regulile de negare. Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, propoziția, predicatul, cuantificatorii și operațiile logice elementare fac parte din programa de examen (programa de examen le așază în clasa a IX-a), dar regulile de negare, folosite la exercițiile 6, 8 b) și 11 c), nu sunt numite în ea. În probele oficiale 2013–2026 nicio temă a testului nu a apărut încă; fiind în programă, pot fi cerute.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.