Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Panta: procente, cote, panta medie

Cum verific dacă o rampă respectă panta maximă?

Împarți diferența de cotă la distanța orizontală și compari rezultatul, fără semn, cu limita scrisă ca zecimală. Limita ține și la urcare, și la coborâre. Exemplu: o rampă de acces coboară $0, 45$ m pe $5$ m orizontali, deci panta este $- 0, 09$ , adică $9$ % fără semn, sub limita de $10$ %. Proba: cu $10$ % s-ar coborî $0, 5$ m pe $5$ m, mai mult decât $0, 45$ m.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Panta unei drepte arată cât se schimbă înălțimea la fiecare unitate parcursă pe orizontală: $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ . Dacă iei punctele în aceeași ordine în ambele scăderi, semnul spune sensul: pozitiv la urcare, negativ la coborâre. Oricare două puncte ale aceleiași drepte dau același rezultat.

În practică panta se dă în procente, adică $m \cdot 100$ : o limită de $12$ % înseamnă $0, 12$ și se aplică la urcare, dar și la coborâre, în valoare absolută. Deplasarea orizontală se măsoară în plan, nu de-a lungul drumului, iar cota și distanța se aduc la aceeași unitate. Cu panta cunoscută, cota de la capăt rezultă din $y_{B} = y_{A} + m (x_{B} - x_{A})$ .

Pentru mai multe tronsoane la rând, panta medie se obține împărțind variația totală de cotă la distanța totală, nu făcând media pantelor: tronsoanele lungi cântăresc mai mult decât cele scurte. Trei puncte sunt pe aceeași dreaptă dacă pantele dintre ele sunt egale, iar o dreaptă verticală nu are pantă.

Controlează rezultatul: pornind de la cota inițială și adăugând panta înmulțită cu distanța, trebuie să ajungi la cota finală. La sfârșit scrii unitatea, procente pentru pantă și metri pentru cotă.

De reținut

$m = \frac{Δ y}{Δ x}$ , cu $Δ x$ măsurat pe orizontală
limita se compară cu panta fără semn, la urcare și la coborâre
procentul este panta înmulțită cu $100$

Greșeala tipică

Se compară cu limita doar pantele care urcă: o coborâre cu panta $- 0, 14$ pare în regulă, fiindcă $- 0, 14 < 0, 12$ . Corect se compară $0, 14$ , panta fără semn, care trece de limita de $12$ %.

Exerciții din această mini-lecție

Un traseu turistic montan are patru tronsoane consecutive. Tronsonul $T_{1}$ urcă $12$ m pe o distanță orizontală de $100$ m, $T_{2}$ coboară $27$ m pe $150$ m, $T_{3}$ urcă $9$ m pe $60$ m, iar $T_{4}$ urcă $28$ m pe $200$ m. Care tronson este cel mai înclinat?
- a) $T_{1}$
- b) $T_{2}$
- c) $T_{3}$
- d) $T_{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $T_{2}$

Compari valorile absolute ale pantelor: $\frac{12}{100} = 0, 12$ la $T_{1}$ , $\frac{27}{150} = 0, 18$ la $T_{2}$ , $\frac{9}{60} = 0, 15$ la $T_{3}$ și $\frac{28}{200} = 0, 14$ la $T_{4}$ , deci cel mai înclinat este $T_{2}$ , deși coboară. $T_{3}$ are cea mai mare pantă dacă ții cont de semn, dar semnul arată numai sensul. $T_{4}$ urcă cel mai mult în metri, însă pe cea mai lungă distanță, iar $T_{1}$ are cel mai mare raport $Δ x : Δ y$ , adică panta răsturnată.
La un depozit angro, rampa pentru motostivuitoare urcă de la cota $0, 60$ m, cu panta de $12$ %, pe o distanță orizontală de $7, 5$ m. La ce cotă se termină rampa?
- a) $0, 90$ m
- b) $- 0, 30$ m
- c) $90, 60$ m
- d) $1, 50$ m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $1, 50$ m

Panta de $12$ % înseamnă $0, 12$ , deci rampa urcă $0, 12 \cdot 7, 5 = 0, 9$ m, iar cota de la capăt este $0, 60 + 0, 9 = 1, 50$ m. Varianta $0, 90$ m dă numai urcarea, fără cota de plecare, iar $- 0, 30$ m scade urcarea în loc s-o adune. Varianta $90, 60$ m folosește $12$ în loc de $0, 12$ .
O platformă de abonamente video are la $120$ de abonați un preț de $18$ lei pe lună, iar la $200$ de abonați $14$ lei pe lună; prețul variază liniar cu numărul de abonați. Care este panta dreptei preț–număr de abonați, în lei pe abonat?
- a) $- 0, 05$
- b) $0, 05$
- c) $- 20$
- d) $0, 07$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 0, 05$

Panta este $\frac{14 - 18}{200 - 120} = - 0, 05$ lei pe abonat: prețul scade cu $5$ bani la fiecare abonat în plus. Varianta $0, 05$ scade în ordine diferită sus și jos, iar $- 20$ răstoarnă raportul. Varianta $0, 07$ împarte ordonata unui singur punct la abscisa lui, adică $\frac{14}{200}$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă o pantă de 1:12 la o rampă?

Rampa urcă o unitate la fiecare $12$ unități măsurate pe orizontală, deci panta este $\frac{1}{12} \approx 0, 0833$ , adică aproximativ $8, 33$ %. O rampă de 1:20 este mai blândă: $\frac{1}{20} = 0, 05$ , adică $5$ %.

Ce înseamnă o pantă de 5 ‰ la o conductă?

Semnul ‰ înseamnă „la mie”: $5$ ‰ este $\frac{5}{1000} = 0, 005$ , adică $0, 5$ %, iar conducta coboară $5$ mm la fiecare metru măsurat pe orizontală. Invers, o pantă de $2$ % se scrie $20$ ‰.

Se schimbă panta pe un desen la scară?

Nu, fiindcă scara micșorează la fel diferența de cotă și distanța orizontală, iar raportul lor rămâne același. Pe o schiță la scara 1:100, o rampă care urcă $1, 2$ cm pe $15$ cm are panta $\frac{1 , 2}{15} = 0, 08$ , adică $8$ %, ca rampa reală, care urcă $1, 2$ m pe $15$ m.

De ce verific limita pe fiecare tronson, nu pe tot drumul?

Pentru că un tronson scurt poate trece singur de limită, chiar dacă drumul e aproape plat în ansamblu. Un tronson de $12$ m care urcă $1, 8$ m are $\frac{1 , 8}{12} = 0, 15$ , adică $15$ %, peste limita de $12$ %, oricât de blând ar fi restul drumului.

Cum apare panta în probele oficiale?

Panta a apărut în 2 probe M_tehnologic din 2013–2026. Ea intervine ca regulă: pante egale înseamnă drepte paralele, iar trei puncte stau pe aceeași dreaptă când pantele dintre ele coincid.

Oamenii mai întreabă și: verificarea pantei maxime la o rampă · rampa depășește limita de pantă · cum compar panta cu limita dintr-o normă · pantă maximă admisă la urcare și coborâre