Panta la tehnologic: rampe, drumuri, acoperișuri

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Fișa unei remorci, proiectul unui drum de exploatație și desenul unei șarpante dau înclinarea sau limita ei în procente, iar pe teren ai doar cote și distanțe. Din ele calculezi panta fiecărei porțiuni și vezi unde se trece de limită. Panta se învață în clasa a IX-a, la liceul tehnologic, chiar pe asemenea măsurători. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), panta a apărut în 2 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, ca regulă pentru drepte paralele și pentru trei puncte aflate pe aceeași dreaptă.

Situația de pornire

Un fermier are o livadă de meri pe un platou și vrea să scoată recolta cu tractorul și remorca încărcată pe un drum de exploatație lung de 360 m, până la șoseaua județeană. Fișa tehnică a remorcii cere ca panta drumului să nu treacă de 12 %, nici la urcare, nici la coborâre (valoare din exemplu). Inginerul agronom a măsurat drumul în șase puncte: distanța de la începutul lui, citită pe orizontală, și cota fiecărui punct, adică altitudinea lui, în metri.

Punct	Distanța pe orizontală de la P0 (m)	Cota (m)
P0	0	214,30
P1	48	217,18
P2	120	226,54
P3	272	218,94
P4	336	224,70
P5	360	228,18

Un drum nu se judecă din priviri. Inginerul vrea să știe, tronson cu tronson, unde trebuie nivelat terenul înainte de recoltă și cât de înclinat e drumul în ansamblu.

Întrebare: care tronsoane ale drumului depășesc panta de 12 % și care este panta medie pe tot drumul, de la P0 la P5?

De la situație la model

Fiecare mărime din tabel are un nume în matematică, iar raportul dintre două dintre ele este tocmai panta.

În situație	În matematică
distanța dintre două puncte, măsurată pe orizontală	deplasarea orizontală $Δ x$
diferența de cotă dintre aceleași puncte	deplasarea verticală $Δ y$
cât urcă drumul la fiecare metru parcurs pe orizontală	panta $m = \frac{Δ y}{Δ x}$
un tronson care coboară	pantă negativă, $m < 0$
„panta de 12 %”	$m = 0, 12$

Panta unei drepte neverticale este raportul dintre deplasarea pe verticală și deplasarea pe orizontală între două puncte oarecare ale ei:

$m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$

Raportul are aceeași valoare pentru orice pereche de puncte de pe aceeași dreaptă, pentru că triunghiurile dreptunghice formate sunt asemenea. De aceea panta descrie dreapta, nu perechea de puncte aleasă.

Ce arată semnul și mărimea pantei?

Panta pozitivă înseamnă că dreapta urcă spre dreapta, cea negativă că scade, iar panta 0 că dreapta e orizontală. Cu cât numărul, fără semnul lui, e mai mare, cu atât dreapta e mai abruptă. O dreaptă verticală nu are pantă: deplasarea pe orizontală ar fi 0, iar împărțirea la 0 nu se poate face. Procentul e panta înmulțită cu 100, așa că 0,12 înseamnă 12 %; limitele drumurilor, ale rampelor și ale acoperișurilor se dau de obicei în procente.

De ce panta medie nu este media pantelor?

Un tronson scurt și abrupt cântărește mai puțin decât unul lung și blând. Panta medie a mai multor tronsoane consecutive se calculează din cota totală și distanța totală, adică din panta dreptei care unește capetele drumului. Media aritmetică a pantelor tronsoanelor ar da fiecărui tronson aceeași greutate, oricât de lung ar fi.

Cum afli panta dintr-o ecuație?

Dacă dreapta e dată prin $y = m x + n$ , panta e coeficientul lui $x$ : dreapta $y = 0, 12 x + 3$ urcă 0,12 m la fiecare metru parcurs. Dreapta $y = c$ e orizontală, deci are panta 0, iar dreapta $x = c$ e verticală și nu are pantă. La o ecuație de forma $a x + b y = c$ , cu $b \neq = 0$ , îl scoți pe $y$ : rezultă $y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}$ , deci panta e $- \frac{a}{b}$ .

Când sunt trei puncte pe aceeași dreaptă?

Trei puncte $A$ , $B$ , $C$ stau pe aceeași dreaptă atunci când pantele $A B$ și $A C$ sunt egale: dacă $A C$ ar urca altfel decât $A B$ , punctul $C$ ar ieși din dreapta $A B$ . Așa verifici dacă un cordon de sudură sau un canal de cablu e drept: pantele dintre punctele vecine trebuie să fie aceleași. La Bacalaureatul M3 apare și o regulă din programa de examen a clasei a X-a: două drepte cu aceeași pantă sunt paralele sau coincid.

Metoda pas cu pas

Află cele două deplasări dintre punctele alese: pe orizontală, $Δ x$ , adică distanța măsurată în plan, nu pe pantă, și pe verticală, $Δ y$ , adică diferența de cotă. Pune-le în aceeași unitate: milimetrii, centimetrii și metrii nu se amestecă, iar 7 200 mm și 126 cm se aduc întâi în metri.
Calculează panta $m = \frac{Δ y}{Δ x}$ , scăzând în aceeași ordine la numărător și la numitor. Păstrează semnul: la un drum care urcă, panta trebuie să iasă pozitivă.
Dacă situația o cere în procente, înmulțește cu 100 și compară cu limita dată, fără semn: o limită de 12 % se aplică și la coborâre.
La mai multe tronsoane, calculează panta fiecăruia separat, iar panta medie din cota totală împărțită la distanța totală.
Pentru trei puncte pe aceeași dreaptă, egalează pantele: $m_{A B} = m_{A C}$ . Aceeași egalitate de pante descrie, la Bac M3, două drepte paralele. O dreaptă verticală nu are pantă, deci nu intră în această egalitate.
Verifică: pornește de la cota de început și adaugă $m \cdot Δ x$ , ca să regăsești cota de la capăt; semnul pantei trebuie să corespundă cu urcarea sau coborârea; 12 % se scrie 0,12, nu 12; scrie unitatea, adică procente la o pantă și metri la o cotă.

Când tronsonul nu e dat prin puncte, ci prin ecuația lui, panta e coeficientul lui $x$ . Cum se scrie ecuația unei drepte cu panta dată vezi în lecția ecuația dreptei. Tot din coordonate afli distanța și mijlocul, ca în lecția despre reperul cartezian. Panta apare și în lecția despre funcția de gradul I, ca ritm de variație. Restul lecțiilor clasei sunt strânse în traseul clasei a IX-a pentru tehnologic.

Fișa de buzunar

$m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$

$m_{A B} = m_{A C} ⟺ A, B, C sunt coliniare$

$y_{B} = y_{A} + m (x_{B} - x_{A})$

Se aplică numai când $x_{B} \neq = x_{A}$ (la trei puncte, și $x_{C} \neq = x_{A}$ ), adică dreptele nu sunt verticale, iar $Δ x$ și $Δ y$ sunt în aceeași unitate; procentul este $m \cdot 100$ . Verificare rapidă: din $y_{A}$ , cu panta găsită și deplasarea $Δ x$ , trebuie să ajungi la $y_{B}$ ; semnul pantei spune dacă dreapta urcă sau coboară.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Drumul de exploatație, tronson cu tronson

Domeniu: agricol.

Enunț. Reluăm drumul din situația de pornire, cu cele șase puncte din tabel, P0 până la P5. Calculați panta fiecărui tronson, în procente, spuneți care tronsoane depășesc 12 % și calculați panta medie pe tot drumul.

Rezolvare. Pentru fiecare tronson scădem distanțele și cotele consecutive, în aceeași ordine, apoi împărțim cota la distanță. Rezultatele le punem într-un tabel, ca inginerul să vadă dintr-o privire unde drumul trebuie nivelat.

Tronson	$Δ x$ (m)	$Δ y$ (m)	$m$	în %
P0–P1	48	2,88	0,06	6 %
P1–P2	72	9,36	0,13	13 %
P2–P3	152	−7,60	−0,05	−5 %
P3–P4	64	5,76	0,09	9 %
P4–P5	24	3,48	0,145	14,5 %

Limita de 12 % e depășită pe P1–P2 (13 %) și pe P4–P5 (14,5 %). Pe P2–P3 panta e negativă, deci drumul coboară, dar cu 5 % rămâne sub limită. Pentru panta medie, cota totală este $228, 18 - 214, 30 = 13, 88$ m, iar distanța totală este 360 m:

$m = \frac{13 , 88}{360} \approx 0, 0386$

Panta medie e de 3,86 %.

Capcană. Cine face media celor cinci pante obține $\frac{6 + 13 - 5 + 9 + 14 , 5}{5} = 7, 5$ %. Cu 7,5 % pe 360 m, drumul ar urca 27 m și ar ajunge la cota 241,30 m, nu la 228,18 m cât are P5.

Verificare. Înălțimile tronsoanelor se adună la cota totală: $2, 88 + 9, 36 - 7, 60 + 5, 76 + 3, 48 = 13, 88$ m, iar $214, 30 + 13, 88 = 228, 18$ m, exact cota lui P5.

Exemplul 2 — Rampa unei remorci pentru utilaje

Domeniu: auto.

Enunț. Un fermier vrea să urce un tractor mic pe o remorcă pentru utilaje. Platforma remorcii se află la 1,18 m deasupra solului, iar fișa ei limitează panta rampei de încărcare la 22 % (valoare din exemplu). a) Calculați lungimea orizontală minimă a rampei, rotunjită în sus la centimetru. b) Spuneți dacă o rampă cu 5,6 m pe orizontală poate fi folosită.

Rezolvare. a) Rampa urcă $Δ y = 1, 18$ m, iar panta nu are voie să treacă de 0,22: din $\frac{1 , 18}{Δ x} \leq 0, 22$ rezultă $Δ x \geq \frac{1 , 18}{0 , 22} \approx 5, 364$ . Rotunjim în sus, la 5,37 m. b) Pentru 5,6 m, $m = \frac{1 , 18}{5 , 6} \approx 0, 2107$ , adică 21,07 %, sub 22 %: rampa poate fi folosită.

Capcană. Cine rotunjește în jos, la 5,36 m, obține $\frac{1 , 18}{5 , 36} \approx 0, 2201$ , adică 22,01 %: puțin peste limită, deși cifra arată aproape la fel.

Verificare. Cu rampa de 5,37 m, panta este $\frac{1 , 18}{5 , 37} \approx 0, 2197$ , adică 21,97 %, sub 22 %.

Exemplul 3 — Șarpanta unui șopron

Domeniu: lemn.

Enunț. Un dulgher execută șarpanta cu două ape a unui șopron. Deschiderea dintre pereții laterali este de 7 200 mm, iar coama stă la 126 cm deasupra planului pereților. a) Calculați panta acoperișului, în procente. b) Calculați lungimea unui căprior, de la perete la coamă, fără streașină, rotunjită în sus la centimetru.

Rezolvare. a) Aducem măsurile în metri: 7 200 mm înseamnă 7,2 m, deci de la perete la coamă sunt 3,6 m pe orizontală, iar 126 cm înseamnă 1,26 m pe verticală. Panta este $m = \frac{1 , 26}{3 , 6} = 0, 35$ , adică 35 %. b) Căpriorul e ipotenuza triunghiului cu catetele 3,6 m și 1,26 m:

$c = 3, 6^{2} + 1, 2 6^{2} = 12, 96 + 1, 5876 = 14, 5476 \approx 3, 8141$

Rotunjit în sus, la centimetru, căpriorul are 3,82 m.

Capcană. Dacă împarți înălțimea la lungimea căpriorului, nu la deschiderea orizontală, obții $\frac{1 , 26}{3 , 8141} \approx 0, 3304$ , adică 33,0 % în loc de 35 %.

Verificare. O pantă de 35 % înseamnă 0,35 m urcare la fiecare metru orizontal, deci pe 3,6 m urcarea e $3, 6 \cdot 0, 35 = 1, 26$ m, exact înălțimea coamei din enunț.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: trei dibluri pe aceeași dreaptă

Domeniu: electric.

Enunț. Pe modelul cerințelor din Subiectul I, problema pornește de la un canal de cablu montat drept pe peretele casei scării, care coboară odată cu scara. Pe schița peretelui, cu distanțele în decimetri (un decimetru are 10 cm) și originea în centrul dozei de derivație, primele două dibluri ale canalului sunt $A (- 3; 5)$ și $B (6; - 1)$ în reperul cartezian $x O y$ , iar al treilea diblu trebuie dat în $C (0; a)$ , pe verticala dozei, pe aceeași dreaptă cu primele două. a) Determinați panta dreptei $A B$ . b) Determinați numărul real $a$ , știind că dreapta $A B$ conține punctul $C$ .

Rezolvare. a) $m_{A B} = \frac{- 1 - 5}{6 - ( - 3 )} = \frac{- 6}{9} = - \frac{2}{3}$ . b) Panta dreptei $A C$ este $m_{A C} = \frac{a - 5}{0 - ( - 3 )} = \frac{a - 5}{3}$ . Punctele sunt pe aceeași dreaptă dacă $m_{A C} = m_{A B}$ , adică $\frac{a - 5}{3} = - \frac{2}{3}$ . Înmulțim ambii membri cu 3 și obținem $a - 5 = - 2$ , deci $a = 3$ .

Capcană. Cine înmulțește doar primul membru cu 3 scrie $a - 5 = - \frac{2}{3}$ și obține $a = \frac{13}{3} \approx 4, 33$ . Cu această valoare panta lui $A C$ ar fi $- \frac{2}{9}$ , nu $- \frac{2}{3}$ , deci diblul ar ieși de pe linia canalului.

Verificare. Cu $a = 3$ , panta dreptei $B C$ este $\frac{3 - ( - 1 )}{0 - 6} = \frac{4}{- 6} = - \frac{2}{3}$ , aceeași cu $m_{A B}$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează panta dreptei care trece prin $A (- 9; 14)$ și $B (6; - 11)$ și spune dacă urcă sau coboară.

2. Scrie panta fiecărei drepte, dacă există: a) $y = \frac{3}{8} x - 5$ ; b) $y = 12$ ; c) $x = - 3$ ; d) $4 x + 7 y = 56$ .

3. Un drum urcă 5,22 m pe 36 m orizontali. Calculează panta în procente și compar-o cu limita de 12 %.

4. Un acoperiș are panta de 45 %. Cât urcă pe 2,4 m orizontali?

Nivelul 2 — situații

5. Tabelul dă cotele jgheabului unei hale, măsurate cu nivela laser:

Punct	Distanța (m)	Cota (mm)
J1	0	2 480
J2	4	2 464
J3	9	2 434
J4	15,4	2 386

Calculează panta fiecărei porțiuni, în procente, spune care e sub minima de 0,5 % cerută de producător și calculează panta medie.

6. Panta unei scări e raportul dintre contratreaptă (înălțimea treptei) și treaptă; tabelul dă trei scări:

Scara	Treapta (cm)	Contratreapta (cm)
A	26	18
B	31	16,5
C	23	18,5

Calculează panta fiecărei scări, în procente, rotunjită la zecimi, și spune care depășește limita de 72 %.

7. Tabelul dă masa unui stup pe cântar, în zilele înfloririi:

Ziua	2	5	9	12
Masa (kg)	38,4	46,5	57,3	65,4

Calculează creșterea pe zi între zilele din tabel, spune dacă punctele (zi; masă) sunt pe o dreaptă și ce masă are stupul în ziua 15, la același ritm.

8. Un controlor măsoară patru puncte ale unui cordon de sudură care trebuie să fie drept; tabelul le dă în milimetri, față de colțul piesei.

Punct	$x$ (mm)	$y$ (mm)
S1	40	70
S2	100	110
S3	160	150
S4	220	200

Calculează pantele dintre punctele vecine, spune care punct iese de pe linie și unde ar trebui să fie.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Punctele $A (- 5; 9)$ , $B (3; - 7)$ și $C (0; a)$ sunt date în reperul cartezian $x O y$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că dreapta $A B$ conține punctul $C$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Punctele $A (6; - 5)$ și $B (- 2; 13)$ sunt date în reperul cartezian $x O y$ . Dreapta $d$ trece prin mijlocul segmentului $A O$ și este paralelă cu dreapta $A B$ , adică are aceeași pantă ca $A B$ (regulă de clasa a X-a). Determinați panta dreptei $d$ și verificați dacă punctul $N (7; - 11, 5)$ se află pe $d$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Punctele $A (- 18; 21)$ și $B (30; - 35)$ sunt date în reperul cartezian $x O y$ . Demonstrați că punctele $A$ , $O$ și $B$ sunt coliniare.

12. (Sinteză.) Pardoseala unei hale de lactate coboară spre un sifon. De la peretele opus până la sifon sunt 7,8 m, iar norma internă cere o pantă între 1,5 % și 2 %. a) Între ce valori, în cm, trebuie să fie căderea de la perete la sifon? b) Constructorul a măsurat 13,6 cm: se respectă norma? c) Cu câți cm trebuie coborât sifonul pentru o pantă de exact 2 %?

Răspunsuri și verificări

1. $m = \frac{- 11 - 14}{6 - ( - 9 )} = \frac{- 25}{15} = - \frac{5}{3}$ , negativă, deci dreapta coboară. Verificare: din $A$ , cu $Δ x = 15$ , ordonata devine $14 + (- \frac{5}{3}) \cdot 15 = - 11$ , adică ordonata lui $B$ .

2. a) $m = \frac{3}{8}$ . b) $m = 0$ , dreapta e orizontală. c) Nu are pantă: dreapta e verticală. d) $y = - \frac{4}{7} x + 8$ , deci $m = - \frac{4}{7}$ , la fel ca $- \frac{a}{b} = - \frac{4}{7}$ . Verificare: punctul $(14; 0)$ e pe dreapta d), iar pentru $x = 7$ ordonata e $- \frac{4}{7} \cdot 7 + 8 = 4$ .

3. $m = \frac{5 , 22}{36} = 0, 145$ , adică 14,5 %, peste 12 %: limita e depășită. Verificare: $0, 145 \cdot 36 = 5, 22$ m, înălțimea din enunț.

4. $Δ y = 0, 45 \cdot 2, 4 = 1, 08$ m. Verificare: $\frac{1 , 08}{2 , 4} = 0, 45$ , adică 45 %.

5. În metri, porțiunile coboară cu 0,016 m pe 4 m, cu 0,030 m pe 5 m și cu 0,048 m pe 6,4 m, deci pantele sunt $- 0, 4$ %, $- 0, 6$ % și $- 0, 75$ %. Sub minima de 0,5 % e porțiunea J1–J2. Panta medie este $\frac{- 0 , 094}{15 , 4} \approx - 0, 0061$ , adică $- 0, 61$ %, cu apa spre J4. Verificare: $16 + 30 + 48 = 94$ mm, adică $2480 - 2386$ .

6. A: $\frac{18}{26} \approx 0, 692$ , adică 69,2 %; B: $\frac{16 , 5}{31} \approx 0, 532$ , adică 53,2 %; C: $\frac{18 , 5}{23} \approx 0, 804$ , adică 80,4 %. Doar scara C depășește 72 %. Verificare: scara C urcă $0, 804 \cdot 23 \approx 18, 5$ cm la 23 cm de treaptă, deci contratreapta din tabel.

7. $\frac{46 , 5 - 38 , 4}{3} = 2, 7$ , $\frac{57 , 3 - 46 , 5}{4} = 2, 7$ și $\frac{65 , 4 - 57 , 3}{3} = 2, 7$ kg pe zi. Ritmul fiind același, cele patru puncte sunt pe o dreaptă. În ziua 15 stupul are $65, 4 + 3 \cdot 2, 7 = 73, 5$ kg. Verificare: de la ziua 2, $38, 4 + 13 \cdot 2, 7 = 73, 5$ kg.

8. Pantele sunt $\frac{110 - 70}{100 - 40} = \frac{2}{3}$ , $\frac{150 - 110}{160 - 100} = \frac{2}{3}$ și $\frac{200 - 150}{220 - 160} = \frac{5}{6}$ . Iese de pe linie S4: pe dreapta primelor trei, la abscisa 220 mm, ordonata ar fi $150 + \frac{2}{3} \cdot 60 = 190$ mm, deci abaterea e de 10 mm. Verificare: panta dintre S3 și punctul corect, $(220; 190)$ , e $\frac{190 - 150}{220 - 160} = \frac{2}{3}$ .

9. $m_{A B} = \frac{- 7 - 9}{3 - ( - 5 )} = \frac{- 16}{8} = - 2$ . $m_{A C} = \frac{a - 9}{0 - ( - 5 )} = \frac{a - 9}{5}$ , iar $m_{A C} = m_{A B}$ dă $a - 9 = - 10$ , deci $a = - 1$ . Verificare: $m_{B C} = \frac{- 1 - ( - 7 )}{0 - 3} = \frac{6}{- 3} = - 2$ , aceeași cu $m_{A B}$ .

10. Dreapta $d$ are aceeași pantă ca $A B$ : $m_{A B} = \frac{13 - ( - 5 )}{- 2 - 6} = \frac{18}{- 8} = - \frac{9}{4}$ , deci $m_{d} = - \frac{9}{4}$ . Mijlocul lui $A O$ e $M (3; - 2, 5)$ , iar $m_{M N} = \frac{- 11 , 5 - ( - 2 , 5 )}{7 - 3} = - \frac{9}{4} = m_{d}$ , deci $N$ e pe $d$ . Verificare: din $M$ , cu $Δ x = 4$ , ordonata devine $- 2, 5 + (- \frac{9}{4}) \cdot 4 = - 11, 5$ .

11. Pantele sunt $m_{O A} = \frac{21 - 0}{- 18 - 0} = - \frac{7}{6}$ și $m_{O B} = \frac{- 35 - 0}{30 - 0} = - \frac{7}{6}$ . Dreptele $O A$ și $O B$ au aceeași pantă și punctul $O$ comun, deci coincid: $A$ , $O$ , $B$ sunt coliniare. Verificare: din $O$ , cu $Δ x = 30$ , ordonata devine $- \frac{7}{6} \cdot 30 = - 35$ , adică ordonata lui $B$ .

12. a) Căderea minimă este $7, 8 \cdot 0, 015 = 0, 117$ m, adică 11,7 cm, iar cea maximă $7, 8 \cdot 0, 02 = 0, 156$ m, adică 15,6 cm. b) $m = \frac{0 , 136}{7 , 8} \approx 0, 0174$ , adică 1,74 %, între 1,5 % și 2 %: norma se respectă. c) Pentru 2 % trebuie 15,6 cm, deci sifonul se coboară cu $15, 6 - 13, 6 = 2$ cm. Verificare: 13,6 cm stă între 11,7 cm și 15,6 cm, în acord cu punctul a).

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), panta intervine la cerința 5 din Subiectul I, cea de 5 puncte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 2 probe, iar ambele cer o egalitate de pante. Cele două cerințe reale arată formele în care vine:

Modelul din 2018, Subiectul I, exercițiul 5: se dau două puncte, $A$ și $B$ , și se cere ecuația dreptei $d$ care trece prin mijlocul segmentului $A O$ și e paralelă cu $A B$ , deci pasul 5 din Metodă: baremul probei scrie panta dreptei $A B$ și o egalează cu panta lui $d$ (2 puncte), apoi mijlocul lui $A O$ și ecuația lui $d$ (3 puncte).
Simularea din 2021, Subiectul I, exercițiul 5: se dau $A$ , $B$ și $C (0, a)$ și se cere $a$ , știind că dreapta $A B$ conține punctul $C$ , deci pasul 5 din Metodă: baremul scrie pantele $A B$ și $A C$ , cea din urmă cu $a$ (2 puncte), apoi le egalează și află $a$ (3 puncte).

Panta nu e numită în programa de examen, iar în cele două probe nu e cerută singură: servește la o egalitate. Programa cere ecuația dreptei dată de un punct și o direcție și condițiile de paralelism ale dreptelor, la clasa a X-a. Exercițiile 9 și 10 au formele celor două cerințe, cu alte numere; la exercițiul 10 afli panta dreptei $d$ , iar ecuația ei o scrii după lecția despre ecuația dreptei. Exercițiul 11 cere tot o coliniaritate, cu originea printre cele trei puncte. În toate trei, greutatea e în egalitatea pantelor, nu în calcul.

Greșeli care costă puncte

Faci media pantelor tronsoanelor în loc să împarți cota totală la distanța totală. → Cum o prinzi: pornește de la cota de început și adaugă panta ta înmulțită cu distanța; dacă nu ajungi la cota de la capăt, panta e greșită. La drumul din lecție, 7,5 % ar fi dus la 241,30 m, nu la 228,18 m.
Împarți înălțimea la lungimea căpriorului sau a rampei, nu la distanța orizontală. → Cum o prinzi: panta se cere pe orizontală; la șarpanta din lecție, împărțirea la căprior dă 33,0 % în loc de 35 %.
Scazi în ordine inversă la numărător și la numitor, adică $Δ y$ într-un sens și $Δ x$ în celălalt. → Cum o prinzi: dacă drumul urcă, panta trebuie să fie pozitivă; un semn greșit răstoarnă răspunsul.
Scrii 12 % ca 12 într-o formulă. → Cum o prinzi: 12 înseamnă 12 m urcați la fiecare metru, un perete; panta de 12 % e 0,12.
Spui că o dreaptă verticală are panta 0. → Cum o prinzi: panta 0 e a orizontalei; la verticală, deplasarea orizontală e 0 și împărțirea nu se poate face, deci nu există pantă.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, panta unei drepte face parte din programa de examen doar în parte: panta nu e numită, dar direcția dată a dreptei și paralelismul sunt la clasa a X-a. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 2 probe.

Întrebări frecvente

Cum aflu panta medie a drumului, pe toți cei 360 m?

Împarți cota totală la distanța totală pe orizontală: de la P0 la P5, $\frac{228 , 18 - 214 , 30}{360} = \frac{13 , 88}{360} \approx 0, 0386$ , adică 3,86 %. Nu aduni pantele tronsoanelor și nu le împarți la cinci, pentru că tronsoanele au lungimi foarte diferite, de la 24 m la 152 m.

Cum citesc semnul minus de la tronsonul al treilea?

Tronsonul P2–P3 coboară: cota scade de la 226,54 m la 218,94 m, deci $Δ y = - 7, 60$ m pe $Δ x = 152$ m, iar $m = - 0, 05$ . Semnul arată doar că, mergând spre P5, drumul coboară; pentru limita de 12 % contează numărul fără semn, 5 %, care e sub limită.

Cât de lung trebuie să fie un tronson ca să urce 3 m fără să treacă de 12 %?

Din $\frac{3}{Δ x} \leq 0, 12$ rezultă $Δ x \geq \frac{3}{0 , 12} = 25$ m. Un tronson mai scurt de 25 m, care urcă tot 3 m, ar depăși limita de 12 %, așa că ar cere nivelare sau un traseu mai lung. Unul mai lung de 25 m ar fi mai blând și ar rămâne în fișa tehnică a remorcii.

Pot măsura tronsonul cu ruleta, pe teren, în loc de distanța orizontală?

Pentru pante mici diferența e mică, dar nu dispare. Tronsonul P1–P2 are 72 m pe orizontală și urcă 9,36 m, deci pe teren măsoară $7 2^{2} + 9, 3 6^{2} \approx 72, 61$ m. Împărțit la această lungime, 9,36 m dă 12,89 %, nu 13 %.

La Bacalaureatul M3, în ce cerințe intervine panta?

Numai ca regulă de calcul. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 2 din cele 83 de probe, la Subiectul I, cerința 5: o dreaptă paralelă cu alta, prin pantă, și un punct aflat pe dreapta dată de alte două puncte. Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) nu folosește cuvântul „pantă”.