Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Parte stabilă: verificare și contraexemplu

Cum arăt că un interval e parte stabilă?

Iei două numere oarecare din interval, scrii inegalitățile care le descriu și ajungi la inegalitatea pentru compusul lor. Pentru $x * y = 4 (x - 6) (y - 6) + 6$ și $[6, + \infty)$ : din $x \geq 6$ și $y \geq 6$ rezultă $(x - 6) (y - 6) \geq 0$ , deci $x * y \geq 6$ . Dacă o pereche iese din interval, intervalul nu e stabil.

O submulțime nevidă $H$ a lui $M$ este parte stabilă față de legea $\circ$ dacă, pentru orice $x, y \in H$ , rezultatul $x \circ y$ este tot în $H$ : compunând două elemente din $H$ , nu ieși din $H$ .

Ca să respingi, ajunge o pereche din $H$ al cărei compus iese din $H$ ; perechea poate avea elemente egale, ca $∣ 5 - 5 ∣ = 0$ pentru ${5, 10}$ și legea $∣ x - y ∣$ . Ca să demonstrezi, folosești forma generală a elementelor: multiplii lui 20 sunt $20 a$ , numerele terminate în 5 sunt $10 a + 5$ , multiplii lui 3 sunt $3 a$ . La intervale pornești de la inegalități: dacă $x \geq 5$ și $y \geq 5$ , atunci $x - 5 \geq 0$ și $y - 5 \geq 0$ , iar un produs de factori nenegativi este nenegativ.

Aceeași mulțime poate fi stabilă față de o lege și nu față de alta: numerele terminate în 5 sunt stabile la înmulțire, dar nu la adunare.

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), cerința „dacă $x$ și $y$ sunt în interval, atunci și compusul lor e” a apărut în iunie 2026, la proba de rezervă.

De reținut

$H$ parte stabilă: $x, y \in H \Rightarrow x \circ y \in H$
un contraexemplu ajunge ca să respingi
la $[a, + \infty)$ folosești factorii $x - a \geq 0$ și $y - a \geq 0$

Greșeala tipică

Se alege contraexemplul cu un element din afara intervalului, de pildă $0$ pentru $[6, + \infty)$ . Perechea trebuie să aibă ambele elemente în interval; abia rezultatul are voie să iasă.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre mulțimi este parte stabilă a lui $Z$ față de adunare?
- a) numerele terminate în $5$
- b) ${1}$
- c) multiplii lui $7$
- d) ${- 2, 2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) multiplii lui $7$

$7 a + 7 b = 7 (a + b)$ , tot multiplu de $7$ . Celelalte cad la câte o pereche: $5 + 15 = 20$ nu se termină în $5$ , $1 + 1 = 2 \in / {1}$ , iar $2 + 2 = 4 \in / {- 2, 2}$ .
Ce pereche arată că ${1, 2, 3}$ nu este parte stabilă față de înmulțire?
- a) $(1, 3)$
- b) $(2, 2)$
- c) $(1, 1)$
- d) $(1, 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(2, 2)$

$2 \cdot 2 = 4$ , iar $4$ nu e în mulțime. Celelalte perechi dau $3$ , $1$ și $2$ , toate în mulțime, deci nu dovedesc nimic; cine uită perechile cu elemente egale nu vede contraexemplul.
Pe $R$ se definește $x \circ y = x + y - 30$ . Care interval este parte stabilă față de $\circ$ ?
- a) $[10, + \infty)$
- b) $[20, + \infty)$
- c) $[0, + \infty)$
- d) $[30, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $[30, + \infty)$

Dacă $x \geq 30$ și $y \geq 30$ , atunci $x + y - 30 \geq 30$ . Pentru celelalte, perechea capătului cu el însuși iese: $10 \circ 10 = - 10$ , $20 \circ 20 = 10$ , $0 \circ 0 = - 30$ .

Întrebări conexe

De unde știu ce factor să scriu la o parte stabilă de tip interval?

Te uiți la capătul intervalului: pentru $[a, + \infty)$ cauți în lege factorii $x - a$ și $y - a$ , care sunt nenegativi pe interval. Dacă legea se poate scrie ca un produs de astfel de factori plus $a$ , concluzia vine imediat; în iunie 2026, la rezervă, forma cu paranteze fusese cerută la o cerință anterioară.

Cum resping un interval care nu este parte stabilă?

Alegi o pereche din interval, des capetele sau numere apropiate de ele, și arăți că rezultatul iese. Pentru $x \circ y = x + y - 24$ , intervalul $[5, + \infty)$ cade la $5 \circ 5 = - 14$ . O singură pereche bine aleasă ajunge.

Este o mulțime cu un singur element parte stabilă?

Doar dacă elementul compus cu el însuși dă tot el. Pentru $x \circ y = x + y - 24$ , mulțimea ${24}$ e stabilă, fiindcă $24 \circ 24 = 24$ , iar ${4}$ nu, fiindcă $4 \circ 4 = - 16$ . La înmulțire, ${0}$ și ${1}$ sunt stabile.

Poate o mulțime să fie stabilă la înmulțire și nu la adunare?

Da. Intervalul $(0; 0, 5]$ e stabil la înmulțire, fiindcă jumătate dintr-o jumătate e un sfert, dar nu la adunare: $0, 4 + 0, 4 = 0, 8$ . La fel, numerele terminate în $5$ sunt stabile la înmulțire, dar $5 + 15 = 20$ iese din ele.

Ce rol au perechile cu două elemente egale?

Sunt perechi ca oricare altele și dau des contraexemplul. La ${5, 10}$ și legea $∣ x - y ∣$ , perechile $(5, 10)$ și $(10, 5)$ dau $5$ , care e în mulțime, iar $(5, 5)$ dă $0$ , care iese. Pe tablă, ele stau pe diagonală.

Cum apare partea stabilă la Bacalaureatul M4?

Nu cu numele ei: în probele M_pedagogic din 2013–2026, o cerință a avut forma „dacă $x$ și $y$ sunt în $[4, + \infty)$ , atunci și $x * y$ este”, în iunie 2026, la rezervă. Inegalități de tipul „ $x \circ y \geq 2$ pentru $x, y \geq 2$ ” spun același lucru.

Oamenii mai întreabă și: interval parte stabilă lege de compoziție · cum demonstrez că x compus y aparține intervalului · parte stabilă la un interval exemplu · dacă x și y sunt mai mari decât a atunci compusul