Parte stabilă: cum o verifici, la pedagogic

Suma a două numere din șirul 0, 20, 40, … e tot în șir, dar suma a două numere terminate în 5 nu se mai termină în 5. Asta înseamnă că multiplii lui 20 formează o parte stabilă față de adunare, iar numerele terminate în 5 nu. În clasa a XI-a, la profilul pedagogic, înveți să verifici o parte stabilă pe mulțimi finite, pe mulțimi de numere și pe intervale. La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), o cerință de acest tip a apărut o dată direct, iar ideea ei, în alte cerințe.

Situația de pornire

O învățătoare de clasa a II-a, care tocmai a exersat cu elevii numărarea din 20 în 20, împarte clasa în două echipe. Echipa „Din 20 în 20” are cartonașe cu numerele 0, 20, 40, 60, …, iar echipa „Terminat în 5” are cartonașe cu numere terminate în 5: 5, 15, 25 și așa mai departe. Fiecare copil trage două cartonașe ale echipei lui și le adună. Echipa primește un punct dacă suma se potrivește tot echipei ei. După primele încercări, tabla arată așa.

Copilul	echipa	primul cartonaș	al doilea cartonaș	suma	punct pentru echipă?
Irina	Din 20 în 20	20	40	60	da
Paul	Din 20 în 20	60	40	100	da
Andra	Terminat în 5	15	35	50	nu
Victor	Terminat în 5	45	25	70	nu
Ilinca	Terminat în 5	5	5	10	nu

Întrebare: poate echipa „Terminat în 5” să câștige vreodată un punct? Ce s-ar schimba dacă, în loc să adune, copiii ar înmulți cartonașele?

De la situație la model

Fiecare echipă e o submulțime a lui $N$ , iar regula de joc întreabă dacă adunarea „rămâne în echipă”.

În situație	În matematică
numerele din 20 în 20, numerele terminate în 5	$D = {0, 20, 40, \dots}$ și $T = {5, 15, 25, \dots}$ , submulțimi ale lui $N$
două cartonașe ale aceleiași echipe	$x, y \in D$ , respectiv $x, y \in T$
suma se potrivește echipei	$x + y \in D$ , respectiv $x + y \in T$
„echipa câștigă orice tragere”	submulțimea e parte stabilă față de adunare
Andra, $15 + 35 = 50$	contraexemplu: $T$ nu e parte stabilă

Fie $\circ$ o lege de compoziție pe $M$ și $H$ o submulțime nevidă a lui $M$ . Partea stabilă este o submulțime $H$ pentru care $x \circ y \in H$ oricare ar fi $x, y \in H$ . Altfel spus, compunând două elemente din $H$ , nu ieși din $H$ .

Cum demonstrezi că o mulțime de numere e parte stabilă?

Scrii elementele în forma lor generală și calculezi. Un număr din șirul 0, 20, 40, … este $20 a$ , cu $a \in N$ , deci $20 a + 20 b = 20 (a + b)$ , tot în șir. La înmulțire, două numere terminate în 5, $10 a + 5$ și $10 b + 5$ , dau $(10 a + 5) (10 b + 5) = 10 (10 ab + 5 a + 5 b + 2) + 5$ , tot terminat în 5. Așadar $T$ e parte stabilă față de înmulțire, deși nu e față de adunare.

Cum arăți că o mulțime nu e parte stabilă?

Dai un contraexemplu: două elemente din $H$ al căror compus iese din $H$ . Pentru $T$ și adunare ajunge perechea lui Ilinca: $5 \in T$ , dar $5 + 5 = 10 \in / T$ . Elementele pot fi și egale; perechea $(x, x)$ e o pereche ca oricare alta.

Ce faci la un interval?

Pornești de la inegalitățile care descriu intervalul și ajungi la inegalitatea pentru $x \circ y$ . Pentru $[2, + \infty)$ și adunare: din $x \geq 2$ și $y \geq 2$ rezultă $x + y \geq 4 \geq 2$ . La o lege dată prin formulă, o formă cu paranteze, ca $(x - 5) (y - 5)$ , face pasul ușor, ca în Exemplul 4.

Metoda pas cu pas

Scrie $H$ , legea și ce trebuie arătat: „dacă $x, y \in H$ , atunci $x \circ y \in H$ ”.
Încearcă perechile de margine din $H$ : elementele cele mai mici sau cele mai mari, perechea unui element cu el însuși, numerele negative, capetele intervalului.
Dacă o pereche iese din $H$ , scrie contraexemplul complet: perechea, calculul, „ $\in / H$ ”.
Altfel, demonstrează pentru orice $x, y \in H$ : la mulțimi finite verifici toate perechile, la mulțimi de numere folosești forma generală ( $20 a$ , $3 a$ , $10 a + 5$ ), la intervale pornești de la inegalități.
Verifică: o pereche nouă, aleasă la întâmplare, trebuie să rămână în $H$ ; la intervale încearcă și capătul.

Compunerea în sine e calculul din calcule cu o lege dată prin formulă, iar la mulțimile mici ajută tabla operației. Lecția Parte stabilă și legea de compoziție indusă duce noțiunea mai departe. Toată materia clasei e pe pagina clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

$H parte stabil \overset{a}{˘} ⟺ (x, y \in H \Rightarrow x \circ y \in H)$

Submulțimea	față de adunare	față de înmulțire
numerele din 20 în 20	da: $20 a + 20 b = 20 (a + b)$	da
numerele terminate în 5	nu: $5 + 5 = 10$	da
${1}$	nu: $1 + 1 = 2$	da
$(0; 0, 5]$	nu: $0, 3 + 0, 3 = 0, 6$	da

Un singur contraexemplu ajunge ca să respingi. Verificare rapidă pentru ultimul rând: $0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25$ , tot în interval.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Echipele „Din 20 în 20” și „Terminat în 5”

Domeniu: joc didactic în clasa a II-a.

Enunț. Reia jocul din situația de pornire. a) Arată că echipa „Terminat în 5” nu poate câștiga niciun punct la adunare. b) Arată că mulțimea $D$ a numerelor din 20 în 20 este parte stabilă față de adunare. c) Dacă se înmulțesc cartonașele, care echipă primește punct la fiecare tragere?

Rezolvare. a) Două numere terminate în 5 se scriu $10 a + 5$ și $10 b + 5$ , iar suma lor este $10 a + 10 b + 10 = 10 (a + b + 1)$ , un număr terminat în 0; „Terminat în 5” nu primește niciodată punct. b) $20 a + 20 b = 20 (a + b)$ , tot din 20 în 20. c) Amândouă: $20 a \cdot 20 b = 20 \cdot 20 ab$ e tot multiplu de 20, iar $(10 a + 5) (10 b + 5) = 10 (10 ab + 5 a + 5 b + 2) + 5$ se termină în 5.

Capcană. Cine spune „Terminat în 5 pierde fiindcă Andra, Victor și Ilinca au pierdut” folosește trei exemple, nu o demonstrație. Pentru „niciodată” e nevoie de forma generală $10 a + 5$ .

Verificare. O tragere nouă: $15 + 25 = 40$ , terminat în 0, iar $15 \cdot 25 = 375$ , terminat în 5, exact cum spune demonstrația. La fel, $15 \cdot 35 = 525$ .

Exemplul 2 — Felia de tort

Domeniu: educație pentru sănătate la grădiniță.

Enunț. La gustarea de la grădiniță, educatoarea taie o fracțiune $x$ dintr-un tort, iar apoi, din felia obținută, o fracțiune $y$ pentru un copil; niciuna dintre cele două fracțiuni nu trece de jumătate. Copilul primește $x \cdot y$ din tort. a) Ce parte din tort primește copilul dacă $x = 0, 4$ și $y = 0, 25$ ? b) Arată că $H = (0; 0, 5]$ este parte stabilă a lui $R$ față de înmulțire. c) Este $[1, 2]$ parte stabilă față de înmulțire?

Rezolvare. a) $0, 4 \cdot 0, 25 = 0, 1$ , adică o zecime din tort. b) Dacă $0 < x \leq 0, 5$ și $0 < y \leq 0, 5$ , atunci $x y > 0$ , ca produs de numere pozitive, iar $x y \leq 0, 5 y \leq 0, 25 < 0, 5$ . Deci $x y \in (0; 0, 5]$ . c) Nu: $1, 5 \in [1, 2]$ , dar $1, 5 \cdot 1, 5 = 2, 25 \in / [1, 2]$ .

Capcană. Cine încearcă la c) doar perechile cu numere mici, ca $1, 1 \cdot 1, 2 = 1, 32$ , crede că intervalul e stabil. Perechile de margine sunt cele de lângă 2.

Verificare. În cuvinte: jumătate dintr-o jumătate este un sfert, deci nu trece de jumătate. Numeric, $0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25 \leq 0, 5$ .

Exemplul 3 — Mulțimi mici de numere

Domeniu: numere naturale și întregi.

Enunț. Pe $N$ se definește legea $x \circ y = ∣ x - y ∣$ . a) Este ${0, 5, 10}$ parte stabilă față de $\circ$ ? b) Dar ${5, 10}$ ? c) Este ${- 2, 2}$ parte stabilă a lui $Z$ față de adunare?

Rezolvare. a) Da. Rezultatele posibile sunt $∣ 0 - 0 ∣ = ∣ 5 - 5 ∣ = ∣ 10 - 10 ∣ = 0$ , $∣ 0 - 5 ∣ = ∣ 5 - 10 ∣ = 5$ și $∣ 0 - 10 ∣ = 10$ , toate în mulțime. b) Nu: $5 \circ 5 = ∣ 5 - 5 ∣ = 0 \in / {5, 10}$ . c) Nu: $2 + 2 = 4 \in / {- 2, 2}$ .

Capcană. La b), cine verifică doar perechile cu elemente diferite, $(5, 10)$ și $(10, 5)$ , găsește 5, care e în mulțime, și nu vede perechea $(5, 5)$ .

Verificare. La a), tabla lui $\circ$ pe ${0, 5, 10}$ are 9 căsuțe, iar în ele apar doar 0, 5 și 10.

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: un interval ca parte stabilă

Domeniu: fără context.

Enunț. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = \frac{1}{5} (x - 5) (y - 5) + 5$ . a) Arătați că $10 * 7 = 7$ . b) Arătați că, dacă $x \in [5, + \infty)$ și $y \in [5, + \infty)$ , atunci $x * y \in [5, + \infty)$ . c) Arătați că intervalul $(- \infty, 5]$ nu este parte stabilă față de legea „ $*$ ”.

Rezolvare. a) $10 * 7 = \frac{1}{5} \cdot 5 \cdot 2 + 5 = 2 + 5 = 7$ . b) Din $x \geq 5$ și $y \geq 5$ rezultă $x - 5 \geq 0$ și $y - 5 \geq 0$ , deci produsul $(x - 5) (y - 5) \geq 0$ . Atunci $x * y \geq 0 + 5 = 5$ . c) $0 \in (- \infty, 5]$ , dar $0 * 0 = \frac{1}{5} \cdot 25 + 5 = 10 \in / (- \infty, 5]$ .

Capcană. La c), cine ia doi factori negativi crede că produsul lor scade rezultatul. De fapt, $(x - 5) (y - 5)$ e pozitiv când ambii factori sunt negativi, deci rezultatul trece peste 5.

Verificare. Desfăcut, legea este $\frac{x y}{5} - x - y + 10$ : $10 * 7 = 14 - 10 - 7 + 10 = 7$ și $0 * 0 = 10$ . La capăt, $5 * y = 5$ , deci rămâne în interval.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Arată că mulțimea multiplilor lui 3, ${3 a ∣ a \in Z}$ , este parte stabilă a lui $Z$ față de adunare și față de înmulțire.

2. Este ${0, 1}$ parte stabilă a lui $Z$ față de înmulțire? Dar față de scădere?

3. Este intervalul $[2, + \infty)$ parte stabilă a lui $R$ față de adunare și față de înmulțire? Dar intervalul $[0, 1]$ ?

4. Pe $N$ , $x \circ y$ este cel mai mare dintre $x$ și $y$ . Este $H = {1, 2, 4, 8}$ parte stabilă față de $\circ$ ? Dar față de înmulțire?

Nivelul 2 — situații

5. La ziua sportului, copiii stau în coloane de câte 4; două coloane alăturate au $x + y$ copii. a) Arată că multiplii lui 4 formează o parte stabilă față de adunare. b) Mulțimea numerelor de forma $4 a + 1$ este parte stabilă față de adunare? Dar față de înmulțire?

6. O învățătoare trece în catalog media a două note, rotunjită la cel mai apropiat întreg, iar jumătățile se rotunjesc în sus: $x \circ y$ , pentru $x, y \in N^{*}$ . a) Calculează $7 \circ 8$ , $5 \circ 10$ și $9 \circ 10$ . b) Este $M = {5, 6, 7, 8, 9, 10}$ parte stabilă față de $\circ$ ? c) Este ${9, 10}$ parte stabilă? Dar ${5, 10}$ ?

7. Copiii din clasa a IV-a fac pătrate din jetoane: 1, 4, 9, 16, … jetoane. a) Arată că produsul a două pătrate perfecte e pătrat perfect. b) Este mulțimea pătratelor perfecte parte stabilă față de adunare?

8. O plantă din grădina clasei își mărește înălțimea de $x$ ori într-o săptămână și de $y$ ori în următoarea, deci de $x y$ ori în total. a) Calculează creșterea totală pentru $x = 1, 2$ și $y = 1, 5$ . b) Arată că $(1, + \infty)$ e parte stabilă față de înmulțire. c) Este $(0, 2)$ parte stabilă?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = 3 (x - 3) (y - 3) + 3$ . a) Arătați că $4 * 5 = 9$ . b) Arătați că, dacă $x \in [3, + \infty)$ și $y \in [3, + \infty)$ , atunci $x * y \in [3, + \infty)$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = (x + 38) (y + 38) - 38$ . a) Arătați că, dacă $x > - 38$ și $y > - 38$ , atunci $x \circ y > - 38$ . b) Arătați că $(- \infty, - 38)$ nu este parte stabilă față de legea „ $\circ$ ”.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = \frac{x y}{2} + 3 x + 3 y$ . Arătați că numărul $m \circ n$ este natural par, pentru orice numere naturale pare $m$ și $n$ .

12. (Sinteză.) Pe $R$ se definește $x \circ y = x + y - 47$ . Care dintre $H_{1} = [20, + \infty)$ , $H_{2} = [47, + \infty)$ , $H_{3} = {47}$ și $H_{4} = Z$ sunt părți stabile? Justifică fiecare răspuns.

Răspunsuri și verificări

1. $3 a + 3 b = 3 (a + b)$ și $3 a \cdot 3 b = 3 (3 ab)$ , ambele multipli de 3. Verificare: $6 + 9 = 15 = 3 \cdot 5$ și $6 \cdot 9 = 54 = 3 \cdot 18$ .

2. La înmulțire da: $0 \cdot 0 = 0$ , $0 \cdot 1 = 0$ , $1 \cdot 1 = 1$ . La scădere nu: $0 - 1 = - 1 \in / {0, 1}$ . Verificare: tabla înmulțirii pe ${0, 1}$ are doar 0 și 1.

3. $[2, + \infty)$ : da la amândouă, fiindcă $x + y \geq 4$ și $x y \geq 4$ . $[0, 1]$ : nu la adunare, $1 + 1 = 2$ ; da la înmulțire, fiindcă $0 \leq x y \leq y \leq 1$ . Verificare: $2 \cdot 2 = 4 \geq 2$ și $0, 5 \cdot 1 = 0, 5 \in [0, 1]$ .

4. Față de $\circ$ da: rezultatul e unul dintre cele două numere. Față de înmulțire nu: $2 \cdot 8 = 16 \in / H$ . Verificare: $4 \circ 8 = 8 \in H$ .

5. a) $4 a + 4 b = 4 (a + b)$ . b) La adunare nu: $1 + 1 = 2$ , care nu e de forma $4 a + 1$ ; la înmulțire da: $(4 a + 1) (4 b + 1) = 4 (4 ab + a + b) + 1$ . Verificare: $5 \cdot 9 = 45 = 4 \cdot 11 + 1$ .

6. a) $7 \circ 8 = 8$ , $5 \circ 10 = 8$ și $9 \circ 10 = 10$ , din mediile 7,5, 7,5 și 9,5. b) Da: media stă între cele două note, iar rotunjirea nu iese din intervalul dintre ele. c) ${9, 10}$ da: $9 \circ 9 = 9$ , $9 \circ 10 = 10$ , $10 \circ 10 = 10$ . ${5, 10}$ nu: $5 \circ 10 = 8$ . Verificare: $\frac{9 + 10}{2} = 9, 5$ , rotunjit la 10.

7. a) $a^{2} \cdot b^{2} = (ab)^{2}$ . b) Nu: $1 + 4 = 5$ , care nu e pătrat perfect. Verificare: $4 \cdot 9 = 36 = 6^{2}$ .

8. a) $1, 2 \cdot 1, 5 = 1, 8$ ori. b) Din $x > 1$ și $y > 1$ : $x y > 1 \cdot y = y > 1$ . c) Nu: $1, 5 \cdot 1, 5 = 2, 25 \in / (0, 2)$ . Verificare: o plantă de 10 cm ajunge la 12 cm, apoi la 18 cm, adică de $1, 8$ ori.

9. a) $4 * 5 = 3 \cdot 1 \cdot 2 + 3 = 9$ . b) Din $x \geq 3$ și $y \geq 3$ : $x - 3 \geq 0$ , $y - 3 \geq 0$ , deci $(x - 3) (y - 3) \geq 0$ . Atunci $x * y \geq 0 + 3 = 3$ . Verificare: $3 * 7 = 0 + 3 = 3 \in [3, + \infty)$ .

10. a) $x + 38 > 0$ și $y + 38 > 0$ , deci $(x + 38) (y + 38) > 0$ și $x \circ y > - 38$ . b) $- 39 \in (- \infty, - 38)$ , dar $(- 39) \circ (- 39) = (- 1) \cdot (- 1) - 38 = - 37 \in / (- \infty, - 38)$ . Verificare: desfăcut, $x \circ y = x y + 38 x + 38 y + 1406$ , iar $1521 - 1482 - 1482 + 1406 = - 37$ .

11. Scrii $m = 2 a$ și $n = 2 b$ , cu $a, b \in N$ . Atunci $m \circ n = \frac{4 ab}{2} + 6 a + 6 b = 2 ab + 6 a + 6 b = 2 (ab + 3 a + 3 b)$ . Numărul e natural și par. Verificare: $2 \circ 4 = 4 + 6 + 12 = 22$ , par.

12. $H_{1}$ nu: $20 \circ 20 = - 7 \in / H_{1}$ . $H_{2}$ da: $x + y - 47 \geq 94 - 47 = 47$ . $H_{3}$ da: $47 \circ 47 = 47$ . $H_{4}$ da: suma a doi întregi minus 47 e întreagă. Verificare: $50 \circ 60 = 63 \in H_{2}$ .

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), expresia „parte stabilă” nu apare în cele 60 de probe din 2013–2026, dar cerința „dacă $x$ și $y$ sunt în interval, atunci și compusul lor e în interval” a apărut o dată, la proba de rezervă din iunie 2026. Aceeași idee, fără nume, apare în alte cerințe.

Iunie 2026, rezervă, cerința 5: intervalul $[4, + \infty)$ și o lege cu forma $\frac{1}{4} (x - 4) (y - 4) + 4$ , ca în Exemplul 4 b). Pagina probei dă 3 puncte pentru produsul nenegativ și 2 puncte pentru concluzie.
Simularea din 2024, cerința 5: „arătați că $x \circ y \geq 2$ pentru $x \geq 2$ și $y \geq 2$ ”, adică $[2, + \infty)$ e parte stabilă, spus altfel. Pagina probei dă 2 puncte pentru produsul nenegativ și 3 puncte pentru rescrierea legii și concluzie.
Modelul din 2024, cerința 4: compusul a două numere naturale nenule pare este natural par, ca la exercițiul 11. Pagina probei dă 2 puncte pentru scrierea $m = 2 k$ , $n = 2 p$ și 3 puncte pentru calcul și concluzie.

Greșeli care costă puncte

Demonstrezi cu exemple → trei trageri pierdute nu arată că „Terminat în 5” pierde mereu; cum o prinzi: scrii forma generală $10 a + 5$ .
Uiți perechea unui element cu el însuși → la ${5, 10}$ și $∣ x - y ∣$ ratezi $∣ 5 - 5 ∣ = 0$ ; cum o prinzi: verifici și diagonala tablei.
Iei un contraexemplu din afara lui $H$ → o pereche cu un element din afară nu dovedește nimic; cum o prinzi: scrii „ $x \in H$ , $y \in H$ ” înainte de calcul.
Crezi că un produs de factori negativi micșorează rezultatul → la Exemplul 4 c), $0 * 0 = 10$ ; cum o prinzi: semnul produsului se stabilește după semnul fiecărui factor.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006), la conținutul „Legi de compoziție, proprietăți” și la exemplele pe ℕ, ℤ, ℚ și ℝ. Expresia „parte stabilă” nu e scrisă în programa de examen, dar cerința corespunzătoare a apărut în probe. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

Poate echipa „Terminat în 5” să câștige un punct dacă trage de trei ori și adună trei cartonașe? Da. Suma a trei numere terminate în 5 se termină în 5: $(10 a + 5) + (10 b + 5) + (10 c + 5) = 10 (a + b + c + 1) + 5$ . De exemplu, $5 + 15 + 25 = 45$ . Regula din joc vorbea însă despre două cartonașe, iar pentru două, suma se termină mereu în 0.

Ce echipă ar câștiga dacă copiii ar scădea cartonașele? La scădere, numărul mai mic se scade din cel mare. Diferența a două numere din 20 în 20 e tot din 20 în 20, de pildă $80 - 20 = 60$ , deci „Din 20 în 20” câștigă mereu. Diferența a două numere terminate în 5 se termină în 0, de pildă $35 - 15 = 20$ , deci „Terminat în 5” tot nu câștigă.

Este mulțimea cartonașelor de la 1 la 20 parte stabilă față de adunare? Nu, fiindcă $13 + 9 = 22$ , iar 22 nu se află pe niciun cartonaș. Orice mulțime finită de numere naturale nenule iese din ea însăși la adunare: suma celui mai mare element cu el însuși e mai mare decât el. Față de „cel mai mare dintre două numere”, aceeași mulțime ar fi parte stabilă.

Cum găsesc repede un contraexemplu pentru o parte stabilă? Încerci întâi perechile de margine: cel mai mare element cu el însuși, cel mai mic cu el însuși, capetele intervalului, numerele negative. La $(0, 2)$ și înmulțire, $1, 5 \cdot 1, 5 = 2, 25$ iese din interval; la ${5, 10}$ și $∣ x - y ∣$ , perechea $(5, 5)$ dă 0.

Cum apare partea stabilă la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? În probele din 2013–2026, cerința „dacă $x$ și $y$ sunt în interval, atunci și $x * y$ este” a apărut o dată, în iunie 2026, la rezervă. Ideea mai apare în inegalități de forma „ $x \circ y \geq 2$ pentru $x \geq 2$ și $y \geq 2$ ” și în cerințe despre numere pare, ca în modelul din 2024.