Consumul orar de motorină al unui motor se modelează cu polinomul $$f = (X^2 + 3)(2X - 5)(X + 7)$$, lăsat sub formă de produs. Care afirmație despre $$f$$ este adevărată?

gradul $$4$$, termenul liber $$-105$$

gradul $$3$$, termenul liber $$-105$$

gradul $$4$$, termenul liber $$105$$

gradul $$4$$, termenul liber $$5$$

Două pompe de irigat absorb, la turația de $$x$$ sute de rotații pe minut, puterile (în W) $$P_1 = 2X^3 + 5X^2 - 7X$$ și $$P_2 = 2X^3 - 3X + 4$$. Care sunt gradul și coeficientul dominant al diferenței $$P_1 - P_2$$?

gradul $$2$$, coeficientul dominant $$5$$

gradul $$3$$, coeficientul dominant $$4$$

gradul $$3$$, coeficientul dominant $$2$$

gradul $$2$$, coeficientul dominant $$-4$$

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Polinoame: grad, coeficienți, valori

Cum arăt că f(1)+f(−1) nu depinde de m?

Calculezi separat $f (1)$ și $f (- 1)$ , cu $m$ lăsat literă, apoi le aduni: dacă $m$ se reduce, suma este un număr. Exemplu: pentru $f = X^{3} - 7 X^{2} + m X + 2$ obții $f (1) = m - 4$ și $f (- 1) = - m - 6$ , deci $f (1) + f (- 1) = - 10$ . Proba: la $m = 0$ valorile sunt $- 4$ și $- 6$ , iar suma este tot $- 10$ , ca pentru orice alt $m$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Un polinom este o sumă de termeni de forma $a_{k} X^{k}$ , cu puteri naturale ale lui $X$ ; scris cu puterile în ordine descrescătoare, este în forma algebrică. Cea mai mare putere cu coeficient nenul dă gradul, coeficientul ei este cel dominant, iar numărul fără $X$ este termenul liber. Puterile care lipsesc primesc coeficientul $0$ , deci un polinom de gradul $n$ are $n + 1$ coeficienți. Egalitatea a două polinoame cere coeficienți identici la fiecare putere în parte.

Adunarea și scăderea merg coeficient cu coeficient, la aceeași putere; un număr înmulțește toți coeficienții, termenul liber la fel. La produs, fiecare termen al unui polinom se înmulțește cu fiecare termen al celuilalt, apoi se strâng termenii de același fel, iar gradul produsului este suma gradelor. Gradul unei diferențe poate scădea, atunci când coeficienții dominanți se reduc.

Valoarea $f (a)$ se obține punând $a$ între paranteze în locul lui $X$ . Scurtăturile sunt $f (0)$ , termenul liber, $f (1)$ , suma coeficienților, și $f (- 1)$ , unde semnele alternează. La un parametru, acesta rămâne literă până la capăt.

Capcanele frecvente sunt pătratul unui număr negativ scris fără paranteză și termenul liber uitat la înmulțirea cu un număr. Controlul: valoarea în $1$ a unui produs este produsul valorilor în $1$ ale factorilor, iar a unei sume este suma lor.

De reținut

$f (1)$ este suma coeficienților, iar $f (- 1)$ alternează semnele puterilor
la un parametru, valorile se calculează cu $m$ literă și se adună abia la final
o expresie care nu depinde de $m$ se reduce la un număr

Greșeala tipică

Se ia $(- 1)^{2} = - 1$ : în exemplul de mai sus, $f (- 1)$ iese $8 - m$ în loc de $- 6 - m$ , iar suma $4$ în loc de $- 10$ . Constanta greșită trece neobservată, deci verifici valorile la $m = 0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Consumul orar de motorină al unui motor se modelează cu polinomul $f = (X^{2} + 3) (2 X - 5) (X + 7)$ , lăsat sub formă de produs. Care afirmație despre $f$ este adevărată?
- a) gradul $3$ , termenul liber $- 105$
- b) gradul $4$ , termenul liber $105$
- c) gradul $4$ , termenul liber $- 105$
- d) gradul $4$ , termenul liber $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) gradul $4$ , termenul liber $- 105$

Gradul produsului este suma gradelor factorilor, $2 + 1 + 1 = 4$ , iar termenul liber este produsul termenilor liberi, $3 \cdot (- 5) \cdot 7 = - 105$ . Gradul $3$ numără factorii, nu gradele lor; termenul liber $5$ adună termenii liberi în loc să-i înmulțească; $105$ uită semnul minus din $2 X - 5$ .
Două pompe de irigat absorb, la turația de $x$ sute de rotații pe minut, puterile (în W) $P_{1} = 2 X^{3} + 5 X^{2} - 7 X$ și $P_{2} = 2 X^{3} - 3 X + 4$ . Care sunt gradul și coeficientul dominant al diferenței $P_{1} - P_{2}$ ?
- a) gradul $2$ , coeficientul dominant $5$
- b) gradul $3$ , coeficientul dominant $4$
- c) gradul $3$ , coeficientul dominant $2$
- d) gradul $2$ , coeficientul dominant $- 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) gradul $2$ , coeficientul dominant $5$

La diferență se scad coeficienții de la aceeași putere: la $X^{3}$ iese $2 - 2 = 0$ , deci gradul scade, iar $P_{1} - P_{2} = 5 X^{2} - 4 X - 4$ , cu gradul $2$ și coeficientul dominant $5$ . Gradul $3$ cu dominantul $2$ uită că termenii în $X^{3}$ se anulează, dominantul $4$ vine din $2 + 2$ , adică din adunare în loc de scădere, iar $- 4$ este coeficientul lui $X$ , nu cel al celei mai mari puteri.
Pentru un polinom $f$ cu coeficienți reali se cunosc $f (1) = 9$ și $f (- 1) = - 5$ . Cât este suma coeficienților lui $f$ care stau la puteri impare ale lui $X$ ?
- a) $2$
- b) $14$
- c) $4$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $7$

Notăm cu $p$ suma coeficienților de la puteri pare și cu $i$ suma celor de la puteri impare. Atunci $f (1) = p + i = 9$ și $f (- 1) = p - i = - 5$ . Scăzând a doua egalitate din prima obținem $2 i = 14$ , deci $i = 7$ . Valoarea $2$ este $p$ , adică suma de la puteri pare; $14$ uită împărțirea la $2$ ; $4$ este $f (1) + f (- 1) = 2 p$ .

Întrebări conexe

Ce combinație elimină parametrul de la o putere pară?

Dacă $m$ stă la $X^{2}$ , suma $f (1) + f (- 1)$ îl dublează, iar diferența $f (1) - f (- 1)$ îl elimină. Pentru $f = X^{3} + m X^{2} - 4 X + 7$ avem $f (1) = m + 4$ și $f (- 1) = m + 10$ : suma este $2 m + 14$ , iar diferența este $- 6$ .

Cum aflu m dacă f(1)+f(−1) are o valoare dată?

Aduni cele două valori, strângi termenii în $m$ și rezolvi ecuația. Pentru $f = X^{3} + m X^{2} - 6 X + 5$ avem $f (1) = m$ și $f (- 1) = m + 10$ , deci suma este $2 m + 10$ ; din $2 m + 10 = 36$ rezultă $m = 13$ . Proba: $13 + 23 = 36$ .

Cum arăt că f(a)+f(−a) ≥ k pentru orice a?

În $f (a) + f (- a)$ termenii cu putere impară se anulează, iar cei cu putere pară se dublează. Pentru $f = X^{3} + 7 X^{2} - 3 X + 2$ suma este $14 a^{2} + 4$ , deci $f (a) + f (- a) - 4 = 14 a^{2} \geq 0$ , oricare ar fi numărul real $a$ .

Cum aflu f(1) fără să desfac parantezele?

Pui $1$ în fiecare factor și înmulțești rezultatele, fiindcă valoarea unui produs este produsul valorilor factorilor. Pentru $f = (X^{2} + 2) (2 X - 7) (X + 4)$ obții $3 \cdot (- 5) \cdot 5 = - 75$ . Controlul: desfăcut, $f = 2 X^{4} + X^{3} - 24 X^{2} + 2 X - 56$ are suma coeficienților $- 75$ .

Cum apare polinomul în probele oficiale?

Polinomul a apărut în 29 de probe M_tehnologic din 2013–2026, la problema 2 din Subiectul al II-lea. La o valoare într-un punct înlocuiești cu paranteze, iar la un parametru îl lași literă și strângi termenii abia la final.

Oamenii mai întreabă și: suma valorilor în 1 și −1 pentru orice parametru · polinom cu parametru și expresie constantă · f de 1 plus f de minus 1 nu depinde de m · arătați că valoarea nu depinde de parametru