Polinoame: grad, coeficienți, adunare, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Betonul unei fose septice se comandă după un singur număr hotărât pe șantier, grosimea pereților, iar volumul lui se scrie ca un polinom în acel număr. La filiera tehnologică, în clasa a XII-a, lecția arată cum îl citești și cum calculezi cu el: gradul, coeficienții, termenul liber, adunarea, înmulțirea și valoarea într-un punct. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), polinomul a venit în 29 dintre cele 83 de probe din 2013–2026, la Subiectul al II-lea, problema 2.

Situația de pornire

Pe șantierul unei case noi se toarnă o fosă septică monobloc din beton armat. Cuva e un paralelipiped închis: pereții, fundul și capacul au aceeași grosime, iar cofrajul se montează după dimensiunile interioare din proiect. Betonul vine cu autobetoniera, în m³, deci inginerul de șantier are nevoie de volumul de beton al cuvei, nu de cel al golului dinăuntru (golul gurii de vizitare se neglijează). Proiectul dă grosimea de 15 cm, dar inginerul vrea volumul pentru orice grosime, ca să știe cât beton în plus comandă dacă armătura cere pereți mai groși. Pentru calcul treci toate cotele în decimetri (1 dm = 10 cm), iar volumele ies în dm³; 1000 dm³ fac un m³.

Mărimea	Valoarea
lungimea interioară	2,4 m
lățimea interioară	1,3 m
adâncimea interioară	1,7 m
grosimea pereților, fundului și capacului	15 cm

Întrebare: câți m³ de beton intră în cuvă la grosimea de 15 cm și cum scrii volumul de beton pentru o grosime oarecare $x$ ?

De la situație la model

Notează cu $x$ grosimea pereților, în dm. Betonul ocupă spațiul dintre cuva exterioară și golul interior. Peretele se toarnă pe ambele părți ale golului, iar fundul și capacul la fel, deci fiecare dimensiune exterioară e cu două grosimi mai mare decât cea interioară. Volumul de beton este volumul exterior minus cel interior:

$V = (24 + 2 x) (13 + 2 x) (17 + 2 x) - 24 \cdot 13 \cdot 17.$

Scris așa, nu vezi cum depinde de $x$ . Dacă desfaci parantezele, obții o sumă de puteri ale lui $x$ cu coeficienți numerici, adică un polinom. Calculul e la exemplul 1.

În situație	În matematică
grosimea pereților, în dm	numărul $x$ , pus în locul nedeterminatei $X$
volumul de beton pentru grosimea $x$ , în dm³	valoarea $V (x)$ a polinomului $V = 8 X^{3} + 216 X^{2} + 1882 X$
cele 8 colțuri ale cuvei, câte un cub de latură $x$	termenul $8 X^{3}$ : gradul 3 și coeficientul dominant 8
lungimea celor 12 muchii, $4 \cdot (24 + 13 + 17) = 216$ dm	coeficientul 216 al lui $X^{2}$
aria celor șase fețe interioare, $2 \cdot (24 \cdot 13 + 13 \cdot 17 + 24 \cdot 17) = 1882$ dm²	coeficientul 1882 al lui $X$
grosime zero, deci nicio cuvă de beton	termenul liber 0, adică $V (0) = 0$

Polinomul este o sumă finită de termeni de forma $a_{k} X^{k}$ , cu $k$ număr natural; scris cu puterile lui $X$ ordonate, de la cea mai mare la termenul liber, e în forma algebrică. Litera $X$ se numește nedeterminată: nu are o valoare anume, e locul în care pui numere. Numerele $a_{k}$ sunt coeficienții. Ei pot fi numere raționale, reale sau complexe, ori clase de resturi modulo un număr prim $p$ (vezi inelul și exemplele numerice și corpurile ℤₚ). În lecție lucrezi cu numere reale, iar exercițiul 12 are coeficienți în $Z_{11}$ .

Cum citești gradul, coeficienții și termenul liber?

Ordonezi termenii descrescător și pui coeficientul 0 la puterile care lipsesc: $V = 8 X^{3} + 216 X^{2} + 1882 X + 0$ . Gradul polinomului este cea mai mare putere a lui $X$ cu coeficientul nenul, aici 3. Coeficientul ei, 8, e coeficientul dominant, iar coeficientul fără $X$ , aici 0, e termenul liber. Un polinom de gradul $n$ are $n + 1$ coeficienți, de la $a_{0}$ la $a_{n}$ . Polinomul nul, cu toți coeficienții 0, nu are grad. Două polinoame sunt egale când au aceiași coeficienți la fiecare putere.

Cum aduni polinoame și le înmulțești cu un număr?

Adunarea merge pe puteri: aduni coeficientul lui $X^{3}$ cu coeficientul lui $X^{3}$ , pe cel al lui $X^{2}$ cu cel al lui $X^{2}$ , și tot așa. La scădere schimbi semnul fiecărui coeficient al celui de-al doilea polinom. Înmulțirea cu un număr $k$ înmulțește fiecare coeficient cu $k$ , inclusiv termenul liber. Gradul unei sume e cel mult cel mai mare dintre grade și poate scădea, dacă se reduc coeficienții dominanți: $(X^{3} + 5 X) - (X^{3} - 2 X) = 7 X$ are gradul 1, nu 3.

Cum înmulțești două polinoame, și ce grad are produsul?

Înmulțești fiecare termen al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea, apoi aduni termenii de aceeași putere. E ca la înmulțirea în scris a numerelor: fiecare cifră cu fiecare, apoi aduni după poziție, doar că aici poziția e puterea lui $X$ . Gradul produsului e suma gradelor: $V$ vine dintr-un produs de trei factori de gradul 1, deci are gradul 3.

Cum afli valoarea polinomului într-un punct?

Valoarea polinomului $f$ în numărul $a$ este numărul $f (a)$ pe care îl obții punând pe $a$ în locul lui $X$ , între paranteze, și calculând. Două valori nu cer puteri: $f (0)$ e termenul liber, iar $f (1)$ e suma coeficienților, fiindcă $1^{k} = 1$ . La $f (- 1)$ semnul alternează: coeficienții puterilor pare se adună, ai celor impare se scad. La cuva din situație, $V (1) = 8 + 216 + 1882 = 2106$ dm³ e betonul pentru pereți de 1 dm.

Metoda pas cu pas

Scrie polinomul în forma algebrică. Dacă e o sumă sau un produs de paranteze, desfă-le, grupează termenii cu aceeași putere a lui $X$ și ordonează descrescător. Dacă mai rămân doi termeni cu aceeași putere, îi aduni într-unul singur. La puterile care lipsesc pui coeficientul 0.
Citește gradul, coeficienții, coeficientul dominant și termenul liber. La un polinom cu parametru, vezi dacă parametrul poate anula coeficientul dominant.
La sumă, diferență și multiplu lucrezi coeficient cu coeficient, la aceeași putere, iar la multiplu înmulțești și termenul liber. La produs înmulțești fiecare termen cu fiecare, apoi grupezi; gradul produsului e suma gradelor.
La valoarea $f (a)$ pui $a$ în locul lui $X$ , între paranteze, calculezi puterile, apoi înmulțirile, apoi adunările. Un număr negativ intră în calcul tot între paranteze, ca să nu pierzi un minus. La un parametru $m$ îl lași literă până la sfârșit și strângi termenii în $m$ .
Folosește scurtăturile: $f (0)$ e termenul liber, $f (1)$ e suma coeficienților, iar $f (- 1)$ e suma coeficienților puterilor pare minus suma celor ale puterilor impare.
Verifică pe alt drum: valoarea în 1 a unui produs trebuie să fie produsul valorilor în 1 ale factorilor, iar a unei sume, suma lor. Gradul și coeficientul dominant ale rezultatului trebuie să vină din cele ale polinoamelor date. O valoare o recalculezi cu altă grupare a termenilor sau cu o scurtătură din pasul 5.

Împărțirea unui polinom la altul continuă tiparul calculului în scris, în lecția despre tabelul lui Horner. Restul lecțiilor clasei sunt grupate în traseul clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$f = k = 0 \sum n a_{k} X^{k}, f (0) = a_{0}, f (1) = k = 0 \sum n a_{k}$

$grad (f \cdot g) = grad f + grad g, (f \cdot g) (1) = f (1) \cdot g (1)$

Se aplică polinoamelor nenule. Gradul unei sume e cel mult maximul gradelor, cu egalitate când coeficienții dominanți nu se anulează. Valorile $f (0)$ și $f (1)$ nu cer calculul puterilor. Verificare rapidă: valoarea în 1 a rezultatului, calculată din coeficienții lui, trebuie să iasă la fel ca din factori.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Volumul de beton al cuvei

Domeniu: constructii.

Enunț. Reia cuva din situația de pornire: dimensiuni interioare de 24 dm, 13 dm și 17 dm, iar pereții, fundul și capacul au grosimea $x$ . a) Scrie volumul de beton $V$ ca polinom în forma algebrică. b) Calculează volumul la $x = 1, 5$ dm, în dm³ și în m³. c) Cu cât crește volumul dacă grosimea ajunge la 2 dm?

Rezolvare. a) Dimensiunile exterioare sunt $24 + 2 x$ , $13 + 2 x$ și $17 + 2 x$ . Înmulțești întâi primii doi factori (pasul 3): $(24 + 2 x) (13 + 2 x) = 312 + 74 x + 4 x^{2}$ , fiindcă $24 \cdot 13 = 312$ , $24 \cdot 2 x + 2 x \cdot 13 = 74 x$ și $2 x \cdot 2 x = 4 x^{2}$ . Cei trei factori au gradul 1, deci produsul are gradul 3 și patru coeficienți. Apoi înmulțești cu al treilea factor:

$(312 + 74 x + 4 x^{2}) (17 + 2 x) = 5304 + 1882 x + 216 x^{2} + 8 x^{3} .$

Scazi volumul golului, $24 \cdot 13 \cdot 17 = 5304$ , și ordonezi: $V = 8 X^{3} + 216 X^{2} + 1882 X$ . Gradul e 3, coeficientul dominant 8, termenul liber 0 (pasul 2). b) Pasul 4:

$V (1, 5) = 8 \cdot 3, 375 + 216 \cdot 2, 25 + 1882 \cdot 1, 5 = 27 + 486 + 2823 = 3336,$

adică 3336 dm³ = 3,336 m³. c) La 2 dm: $V (2) = 64 + 864 + 3764 = 4692$ dm³, deci volumul crește cu $4692 - 3336 = 1356$ dm³, adică 1,356 m³.

Capcană. Cine pune grosimea doar pe o parte și scrie $(24 + x) (13 + x) (17 + x) - 5304$ obține, la $x = 1, 5$ , $6840, 375 - 5304 = 1536, 375$ dm³, mai puțin de jumătate din volumul corect. Peretele are grosime de ambele părți, deci fiecare dimensiune crește cu $2 x$ .

Verificare. Pe alt drum, cu dimensiunile exterioare la $x = 1, 5$ : $(24 + 3) (13 + 3) (17 + 3) = 27 \cdot 16 \cdot 20 = 8640$ dm³, iar $8640 - 5304 = 3336$ dm³, ca la b).

Exemplul 2 — Puterea ventilatoarelor unei săli de sport

Domeniu: electric.

Enunț. Centrala de ventilație a unei săli de sport are 3 ventilatoare de introducere, de tip A, și 2 de evacuare, de tip B. La turația de $x$ sute de rotații pe minut, un ventilator A absoarbe $P_{A} (x) = 2 x^{3} + 18 x + 120$ W, iar unul B, $P_{B} (x) = x^{3} + 24 x + 95$ W (modele din exemplu: termenul în $x^{3}$ e puterea dată aerului, cel în $x$ sunt pierderile din rulmenți și înfășurări, iar termenul liber, consumul electronicii de comandă). a) Scrie puterea totală $P$ a celor cinci ventilatoare ca polinom și spune gradul și termenul liber. b) Calculează $P (8)$ , la 800 de rotații pe minut.

Rezolvare. a) Înmulțești fiecare polinom cu numărul de ventilatoare, termenul liber inclus (pasul 3): $3 P_{A} = 6 x^{3} + 54 x + 360$ și $2 P_{B} = 2 x^{3} + 48 x + 190$ . Polinoamele nu au termen în $x^{2}$ , adică acolo coeficientul e 0, și în sumă. Aduni pe puteri: la $x^{3}$ , $6 + 2 = 8$ ; la $x$ , $54 + 48 = 102$ ; la termenul liber, $360 + 190 = 550$ . Deci $P = 8 X^{3} + 102 X + 550$ , de gradul 3, cu termenul liber 550 W, consumul care rămâne și când turația tinde spre 0. b) Pasul 4: $P (8) = 8 \cdot 512 + 102 \cdot 8 + 550 = 4096 + 816 + 550 = 5462$ W, adică aproape 5,5 kW.

Capcană. Cine înmulțește cu 3 doar termenii în $x$ și uită termenul liber ia $3 P_{A} = 6 x^{3} + 54 x + 120$ , apoi $P = 8 X^{3} + 102 X + 310$ și $P (8) = 5222$ W, cu 240 W mai puțin. Multiplul se aplică fiecărui coeficient, deci și termenului liber.

Verificare. Ventilator cu ventilator, la $x = 8$ : $P_{A} (8) = 1024 + 144 + 120 = 1288$ W și $P_{B} (8) = 512 + 192 + 95 = 799$ W, iar $3 \cdot 1288 + 2 \cdot 799 = 3864 + 1598 = 5462$ W. Valoarea în 1 confirmă și coeficienții: $P_{A} (1) = 140$ W și $P_{B} (1) = 120$ W dau $3 \cdot 140 + 2 \cdot 120 = 660$ , iar $8 + 102 + 550 = 660$ .

Exemplul 3 — Chiria indexată trei ani la rând

Domeniu: economic.

Enunț. Contractul de închiriere al unui spațiu comercial prevede o chirie de 2340 de lei pe lună, indexată în fiecare an cu aceeași rată $r$ , scrisă ca fracție: 4,5 % înseamnă $r = 0, 045$ . După trei indexări, chiria din anul al patrulea este $2340 (1 + r)^{3}$ . a) Scrie chiria ca polinom în $r$ . b) Calculeaz-o pentru 4,5 %, rotunjit la ban.

Rezolvare. a) Pasul 3: $(1 + r)^{2} = 1 + 2 r + r^{2}$ , iar încă o înmulțire cu $1 + r$ dă coeficienții 1, 3, 3, 1. Înmulțești cu 2340 (multiplu, termenul liber inclus): $C = 2340 r^{3} + 7020 r^{2} + 7020 r + 2340$ , de gradul 3, cu termenul liber 2340, chiria de dinainte de indexări. b) Cu $r = 0, 045$ avem $r^{2} = 0, 002025$ și $r^{3} = 0, 000091125$ . Pasul 4:

$C (0, 045) = 2340 + 7020 \cdot 0, 045 + 7020 \cdot 0, 002025 + 2340 \cdot 0, 000091125 = 2340 + 315, 9 + 14, 2155 + 0, 2132325 = 2670, 3287325 \approx 2670, 33,$

deci chiria din anul al patrulea e de 2670,33 lei pe lună.

Capcană. Cine adună cele trei procente, $3 \cdot 4, 5 % = 13, 5 %$ , obține $2340 \cdot 1, 135 = 2655, 90$ lei, cu 14,43 lei mai puțin. Lipsesc termenii în $r^{2}$ și în $r^{3}$ , care însumează $14, 2155 + 0, 2132 \approx 14, 43$ lei: fiecare indexare se aplică și peste cele de dinainte.

Verificare. An cu an, cu rotunjire la ban: $2340 \cdot 1, 045 = 2445, 30$ , apoi $2445, 30 \cdot 1, 045 \approx 2555, 34$ , apoi $2555, 34 \cdot 1, 045 \approx 2670, 33$ lei. Valoarea în 1 verifică coeficienții: $2340 + 7020 + 7020 + 2340 = 18720 = 2340 \cdot 2^{3}$ , chiria după trei indexări de 100 %.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: valori ale unui polinom cu parametru

Domeniu: comert.

Enunț. Exercițiul următor are tiparul din Subiectul al II-lea, problema 2: e un calcul fără poveste, iar polinomul nu descrie vreo comandă sau vreun produs. Fie polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 13 X + 9$ , cu $m$ număr real. a) Arătați că $f (1) = m - 3$ , oricare ar fi numărul real $m$ . b) Aflați valoarea lui $m$ pentru care $f (- 1) + f (1) = 40$ .

Rezolvare. a) Pasul 4, cu parametrul lăsat literă: $f (1) = 1^{3} + m \cdot 1^{2} - 13 \cdot 1 + 9 = 1 + m - 13 + 9 = m - 3$ . b) La fel, cu paranteze: $f (- 1) = (- 1)^{3} + m \cdot (- 1)^{2} - 13 \cdot (- 1) + 9 = - 1 + m + 13 + 9 = m + 21$ . Atunci $f (- 1) + f (1) = (m + 21) + (m - 3) = 2 m + 18$ , iar $2 m + 18 = 40$ dă $m = 11$ .

Capcană. Cine ia $(- 1)^{2} = - 1$ obține $f (- 1) = 21 - m$ , suma $18$ și concluzia, greșită, că ecuația $18 = 40$ nu are soluție. Pătratul lui $- 1$ este $1$ .

Verificare. Cu $m = 11$ , $f = X^{3} + 11 X^{2} - 13 X + 9$ : $f (1) = 1 + 11 - 13 + 9 = 8$ , ca $m - 3$ , iar $f (- 1) = - 1 + 11 + 13 + 9 = 32$ . Suma $8 + 32 = 40$ , valoarea din enunț.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie în forma algebrică polinomul $f = 6 X - 5 X^{4} + 13 - 2 X^{2}$ și precizează gradul, coeficientul dominant, termenul liber și coeficientul lui $X^{3}$ .

2. Se dau $f = 2 X^{3} - 9 X + 4$ și $g = X^{2} + 4 X - 9$ . Calculează $f + g$ , $f - g$ și $4 g - f$ .

3. Calculează produsul $(2 X - 3) (X^{2} + 5 X - 4)$ și verifică rezultatul calculând valorile pentru $X = 1$ .

4. Pentru $f = X^{3} - 5 X^{2} + 2 X - 8$ calculează $f (0)$ , $f (1)$ , $f (- 1)$ și $f (3)$ .

Nivelul 2 — situații

5. La o crescătorie de rațe, necesarul zilnic de nutreț, în grame pe pasăre, la vârsta de $t$ săptămâni, cu $1 \leq t \leq 7$ , este $h (t) = - 4 t^{2} + 64 t - 30$ pentru rațele din hala A și $k (t) = - 3 t^{2} + 58 t - 20$ pentru cele din hala B (modele din exercițiu). Hala A are 62 de rațe, hala B are 48. Scrie necesarul zilnic total $N (t)$ , în grame, ca polinom și calculează-l pentru $t = 6$ .

6. Un depozit are două linii de ambalare a paleților. Costul zilnic, în lei, al liniei 1 la $x$ paleți ambalați este $C_{1} (x) = 5 x^{2} + 62 x + 370$ , iar al liniei 2, $C_{2} (x) = 3 x^{2} + 85 x + 350$ ; termenul în $x^{2}$ vine din orele suplimentare (modele din exercițiu). a) Scrie diferența $C_{1} - C_{2}$ și calculeaz-o pentru $x = 10$ și $x = 11$ ; spune care linie costă mai puțin în fiecare caz. b) Depozitul facturează clientului costul liniei 1 plus TVA de 21 %, adică $1, 21 C_{1} (x)$ : scrie suma ca polinom și calculeaz-o pentru $x = 8$ .

7. Terasa unui restaurant de pe litoral are 6 rânduri a câte 11 mese. Proprietarul o extinde cu $x$ rânduri și cu $x$ mese pe fiecare rând. La o masă sunt 4 locuri. a) Scrie numărul de mese $M$ și numărul de locuri $L$ ca polinoame în $x$ . b) Calculează-le pentru $x = 3$ .

8. La o platformă de compostare, cantitatea de deșeuri verzi aflată pe platformă la $t$ săptămâni după începutul sezonului, în tone, este $a (t) = t^{3} - 5 t^{2} + m t + 16$ , unde $m$ depinde de ritmul colectării. a) Cu câte tone începe sezonul? b) Arată că $a (1) = m + 12$ și află $m$ , dacă după o săptămână sunt pe platformă 40 t. c) Pentru acest $m$ , calculează $a (2)$ .

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie polinomul $f = X^{3} + 6 X^{2} - m X + 5$ , cu $m$ număr real. Arătați că $f (- 1) + f (1) = 22$ , oricare ar fi numărul real $m$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie polinomul $f = X^{3} - 4 X^{2} + m X - 3$ , cu $m$ număr real. a) Arătați că $f (0) = - 3$ , oricare ar fi $m$ . b) Pentru $m = 8$ , arătați că $f (2) = 5$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie polinomul $f = X^{3} + 4 X^{2} - 3 X + 2$ . Arătați că $f (a) + f (- a) - 4 \geq 0$ , oricare ar fi numărul real $a$ .

12. (Sinteză.) În $Z_{11} [X]$ se consideră polinoamele $f = \hat{7} X^{2} + \hat{9} X + \hat{5}$ și $g = \hat{6} X^{3} + \hat{4} X + \hat{8}$ . Calculează $f + g$ , $\hat{3} f$ și $f \cdot g$ , reducând coeficienții modulo 11.

Răspunsuri și verificări

1. $f = - 5 X^{4} - 2 X^{2} + 6 X + 13$ , de gradul 4, cu coeficientul dominant $- 5$ , termenul liber 13 și coeficientul lui $X^{3}$ egal cu 0. Verificare: gradul 4 cere $4 + 1 = 5$ coeficienți, iar ei sunt $- 5$ , 0, $- 2$ , 6, 13.

2. $f + g = 2 X^{3} + X^{2} - 5 X - 5$ , $f - g = 2 X^{3} - X^{2} - 13 X + 13$ și $4 g - f = - 2 X^{3} + 4 X^{2} + 25 X - 40$ . Verificare: $f (1) = - 3$ și $g (1) = - 4$ , iar valorile în 1 ale celor trei rezultate sunt $- 7$ , 1 și $- 13$ , adică $- 3 + (- 4)$ , $- 3 - (- 4)$ și $4 \cdot (- 4) - (- 3)$ .

3. $(2 X - 3) (X^{2} + 5 X - 4) = 2 X^{3} + 7 X^{2} - 23 X + 12$ , de gradul $1 + 2 = 3$ . Verificare: valorile în 1 ale factorilor sunt $- 1$ și 2, cu produsul $- 2$ , iar $2 + 7 - 23 + 12 = - 2$ .

4. $f (0) = - 8$ , $f (1) = - 10$ , $f (- 1) = - 16$ și $f (3) = 27 - 45 + 6 - 8 = - 20$ . Verificare: $f (1)$ e suma coeficienților, $1 - 5 + 2 - 8 = - 10$ , iar $f (- 1) = (- 5 - 8) - (1 + 2) = - 16$ .

5. $N = 62 h + 48 k = - 392 X^{2} + 6752 X - 2820$ , iar $N (6) = 23580$ g, adică aproape 23,6 kg. Verificare: pe hale, $h (6) = 210$ g și $k (6) = 220$ g, iar $62 \cdot 210 + 48 \cdot 220 = 13020 + 10560 = 23580$ g.

6. a) $C_{1} - C_{2} = 2 X^{2} - 23 X + 20$ . La $x = 10$ diferența e $- 10$ , deci linia 1 costă cu 10 lei mai puțin. La $x = 11$ e $+ 9$ , deci linia 2 costă cu 9 lei mai puțin. b) $1, 21 C_{1} = 6, 05 X^{2} + 75, 02 X + 447, 70$ , iar la $x = 8$ suma facturată e de 1435,06 lei. Verificare: $C_{1} (8) = 1186$ lei, iar $1, 21 \cdot 1186 = 1435, 06$ lei.

7. a) Numărul de mese e $M = (6 + x) (11 + x) = x^{2} + 17 x + 66$ , iar numărul de locuri, $L = 4 M = 4 x^{2} + 68 x + 264$ . b) La $x = 3$ : $M = 126$ de mese și $L = 504$ locuri. Verificare: $(6 + 3) (11 + 3) = 9 \cdot 14 = 126$ , iar $126 \cdot 4 = 504$ .

8. a) $a (0) = 16$ t. b) $a (1) = 1 - 5 + m + 16 = m + 12$ ; din $m + 12 = 40$ rezultă $m = 28$ . c) $a (2) = 8 - 20 + 56 + 16 = 60$ t. Verificare: cu $m = 28$ , $a (1) = 1 - 5 + 28 + 16 = 40$ t, valoarea dată.

9. Calculezi $f (1) = 1 + 6 - m + 5 = 12 - m$ . Apoi $f (- 1) = - 1 + 6 + m + 5 = m + 10$ . Suma e $(12 - m) + (m + 10) = 22$ , fără $m$ . Verificare: la $m = 2$ , $f = X^{3} + 6 X^{2} - 2 X + 5$ , cu $f (1) = 10$ și $f (- 1) = 12$ , iar $10 + 12 = 22$ .

10. a) $f (0) = 0 - 0 + 0 - 3 = - 3$ , termenul liber, oricare ar fi $m$ . b) Pentru $m = 8$ , $f = X^{3} - 4 X^{2} + 8 X - 3$ . Atunci $f (2) = 8 - 16 + 16 - 3 = 5$ . Verificare: grupat altfel, $f (2) = ((2 - 4) \cdot 2 + 8) \cdot 2 - 3 = 4 \cdot 2 - 3 = 5$ .

11. Calculezi $f (a) = a^{3} + 4 a^{2} - 3 a + 2$ . Apoi $f (- a) = - a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2$ . Suma e $8 a^{2} + 4$ , deci $f (a) + f (- a) - 4 = 8 a^{2} \geq 0$ , pentru orice $a$ . Verificare: la $a = 1$ , $f (1) = 4$ și $f (- 1) = 8$ , iar $4 + 8 - 4 = 8 = 8 \cdot 1^{2}$ .

12. Adunarea: $f + g = \hat{6} X^{3} + \hat{7} X^{2} + \hat{13} X + \hat{13} = \hat{6} X^{3} + \hat{7} X^{2} + \hat{2} X + \hat{2}$ . Multiplul: $\hat{3} f = 21 X^{2} + 27 X + 15 = \hat{10} X^{2} + \hat{5} X + \hat{4}$ . Produsul, înainte de reducere, are coeficienții 42, 54, 58, 92, 92, 40, de la $X^{5}$ la termenul liber, iar după reducere $f \cdot g = \hat{9} X^{5} + \hat{10} X^{4} + \hat{3} X^{3} + \hat{4} X^{2} + \hat{4} X + \hat{7}$ . Verificare: $f (\hat{1}) = 21 = \hat{10}$ și $g (\hat{1}) = 18 = \hat{7}$ , produsul $70 = \hat{4}$ , iar suma coeficienților lui $f \cdot g$ e $37 = \hat{4}$ .

Așa vine la Bac M3

Din 2013 până în 2026 au fost 83 de probe la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic). În 29 dintre ele, problema 2 de la Subiectul al II-lea a fost despre un polinom, iar în 28 dintre acestea prima cerință, a), a cerut valoarea polinomului într-un punct; în a 29-a, modelul din 2013, valoarea în 1 era dată, iar cerința era suma a doi coeficienți. Iată patru cerințe reale, fiecare luată din altă probă, cu forma fiecăreia:

Modelul din 2019, Subiectul al II-lea, exercițiul 2a: polinomul de gradul al treilea are un parametru la termenul de gradul întâi, iar suma valorilor în $- 1$ și în 1 trebuie să iasă o constantă, pentru orice valoare a parametrului, deci pasul 4 din Metodă cere fiecare valoare cu paranteze, pasul 3 cere adunarea lor, iar punctajul probei e de 2 puncte pentru valoarea în $- 1$ și de 3 puncte pentru valoarea în 1 și pentru sumă.
Proba specială din 2024, Subiectul al II-lea, exercițiul 2a: cerința e valoarea polinomului în 0, pentru orice valoare a parametrului, adică termenul liber de la pasul 5, iar punctajul probei e de 3 puncte pentru înlocuirea lui $X$ cu 0 și de 2 puncte pentru rezultat.
August 2026, Subiectul al II-lea, exercițiul 2a: parametrul are o valoare dată, iar cerința e valoarea polinomului în $- 1$ , deci pasul 4 cere înlocuirea cu paranteze, iar punctajul probei e de 3 puncte pentru înlocuire și de 2 puncte pentru calculul rezultatului.
August 2015, Subiectul al II-lea, exercițiul 2b: cerința e o inegalitate pentru orice număr real $a$ , făcută din suma valorilor în $a$ și în $- a$ plus o constantă, deci pasul 4 dă cele două valori, pasul 3 le adună, iar punctajul probei e de 2 puncte pentru cele două valori și de 3 puncte pentru suma, care se reduce la un termen negativ sau nul.

Exercițiile 9–11 au trei dintre aceste forme: suma valorilor în $- 1$ și în 1, valoarea în 0 și într-un punct la parametru dat, inegalitatea cu $a$ și $- a$ . Valoarea în 0 cu parametru lăsat literă e și în exemplul 4, la punctul a).

Greșeli care costă puncte

Scrii $- 1^{2}$ în loc de $(- 1)^{2}$ → ajungi la un semn greșit, ca în capcana exemplului 4; cum o prinzi: pui fiecare valoare negativă între paranteze și verifici cu scurtătura $f (- 1) =$ suma coeficienților puterilor pare minus suma celor ale puterilor impare.
Uiți termenul liber la un multiplu, $3 P_{A} = 6 x^{3} + 54 x + 120$ → rezultatul iese mai mic, ca la exemplul 2; cum o prinzi: valoarea în 1 a rezultatului trebuie să fie multiplul valorii în 1 a polinomului dat.
Aduni termeni de grade diferite, $2 x^{3} + 18 x = 20 x^{4}$ → gradul crește fără motiv; cum o prinzi: aduni numai coeficienții de la aceeași putere, iar gradul sumei nu depășește maximul gradelor.
Înlocuiești parametrul $m$ cu un număr ales la întâmplare, la o cerință cu „pentru orice număr real $m$ ” → arăți egalitatea doar pentru acea valoare; cum o prinzi: lași $m$ literă până la sfârșit, iar rezultatul trebuie să nu mai conțină $m$ .
Iei rata $4, 5$ în loc de $0, 045$ într-un polinom în $r$ → chiria iese de peste o sută de ori mai mare; cum o prinzi: pui rezultatul lângă chiria de pornire, pe care câteva indexări de câteva procente nu o pot înmulți cu o sută.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Forma algebrică a unui polinom se cere la Subiectul al II-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 29 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă la volumul de beton dacă fosa e mai lungă, de 28 dm în loc de 24 dm? Se schimbă doar coeficienții lui $X^{2}$ și $X$ : $V = 8 X^{3} + 232 X^{2} + 2122 X$ , adică lungimea muchiilor, $4 \cdot 58 = 232$ dm, și aria fețelor, 2122 dm². Cuva mai lungă nu are mai multe colțuri. Gradul rămâne 3, coeficientul dominant 8, iar la grosimea de 1,5 dm iese $V (1, 5) = 3732$ dm³.

Ce polinom iese dacă fundul și capacul au câte 2 dm, iar pereții rămân de grosime $x$ ? Înălțimea exterioară devine $17 + 2 + 2 = 21$ dm, iar lungimea și lățimea cresc cu $2 x$ fiecare, deci $V = 21 \cdot (312 + 74 x + 4 x^{2}) - 5304 = 84 X^{2} + 1554 X + 1248$ . Gradul scade la 2, iar termenul liber, 1248 dm³, e volumul celor două plăci, de câte 624 dm³, când pereții ar avea grosime 0. La $x = 1, 5$ iese 3768 dm³.

Cum se scrie volumul dacă fosa nu are capac? Lungimea și lățimea cresc cu $2 x$ fiecare, iar adâncimea doar cu $x$ , fiindcă grosimea se adaugă numai la fund. Înmulțești cele trei dimensiuni exterioare și scazi 5304: $V = 4 X^{3} + 142 X^{2} + 1570 X$ , de gradul 3, cu coeficientul dominant 4. La $x = 1, 5$ , $V = 2688$ dm³, cu 648 dm³ mai puțin decât la cuva închisă.

De ce coeficientul dominant e 8, oricare ar fi dimensiunile cuvei? Termenul în $x^{3}$ numără cuburile de latură $x$ din colțuri, iar un paralelipiped închis are 8 colțuri. Dimensiunile interioare intră doar în coeficienții lui $X^{2}$ și $X$ : lungimea muchiilor și aria fețelor. De aceea, la 28 dm sau la 24 dm, termenul în $x^{3}$ rămâne $8 x^{3}$ .

Cum arată polinomul la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? În 29 dintre cele 83 de probe din 2013–2026, problema 2 de la Subiectul al II-lea a fost despre un polinom, iar prima cerință, a), a pornit de fiecare dată de la valoarea lui într-un punct. În celelalte 54 de probe, problema 2 a fost despre o lege de compoziție pe o mulțime de numere.

Cum reduci rezultatul când lucrezi cu clase de resturi modulo 11? După fiecare adunare sau înmulțire împarți coeficientul la 11 și păstrezi restul, ca la exercițiul 12: 42 devine 9, iar 54 devine 10. Gradul se citește la fel. Peste $Z_{11}$ gradul produsului rămâne suma gradelor, fiindcă 11 e prim: $f \cdot g$ de la exercițiul 12 are gradul $2 + 3 = 5$ .