Ce este un predicat în matematică?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Predicate și variabile

Este un enunț care conține o literă nefixată și care capătă valoare de adevăr abia după ce litera primește un număr. Se notează $p (x)$ și seamănă cu o propoziție, dar depinde de $x$ . La $p (x)$ : „ $x + 3 = 10$ ”, cu $x$ natural, doar $x = 7$ dă un enunț adevărat. Mulțimea numerelor care îl fac adevărat se numește mulțime de adevăr, iar domeniul ales o poate schimba.

Un predicat este un enunț care conține o variabilă și care devine propoziție abia după ce înlocuim variabila cu o valoare concretă. Îl notăm $p (x)$ , $q (x)$ etc.

Exemplu: $p (x)$ : « $x + 3 = 10$ », cu $x \in N$ . Pentru $x = 7$ obținem o propoziție adevărată, pentru orice altă valoare — una falsă. Enunțul în sine, cu $x$ nefixat, nu este nici adevărat, nici fals: nu este propoziție.

Ceea ce ne interesează la un predicat este mulțimea valorilor care îl fac adevărat. Pentru $p (x)$ : « $x^{2} = 9$ », cu $x \in Z$ , această mulțime este ${- 3, 3}$ — atenție, nu doar ${3}$ , pentru că și $(- 3)^{2} = 9$ .

Predicatul poate avea și mai multe variabile: $p (x, y)$ : « $x + y = 5$ ».

Reține ideea centrală: variabila blochează valoarea de adevăr. Ca s-o deblochezi, ai două căi — fie înlocuiești variabila cu o valoare, fie pui în față un cuantificator («oricare», «există»), despre care vorbim în lecția următoare.

De reținut

predicatul devine propoziție după înlocuirea variabilei
$A_{p}$ strânge valorile din domeniu care fac predicatul adevărat
domeniul face parte din enunț și îi schimbă răspunsul

Greșeala tipică

Predicatului i se dă o valoare de adevăr, deși litera din el nu a fost încă înlocuită. Corect se spune că enunțul este adevărat pentru anumite valori, nu că ar fi adevărat sau fals în sine.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele enunțuri este predicat (nu propoziție)?
- a) « $5 + 2 = 7$ »
- b) « $x + 3 = 10$ »
- c) « $3$ este număr prim»
- d) « $2^{3} = 8$ »
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) « $x + 3 = 10$ »

Doar b) conține o variabilă: până nu știm cine este $x$ , nu putem spune dacă enunțul este adevărat sau fals. Celelalte trei au valoare de adevăr fixă (toate trei sunt adevărate), deci sunt propoziții.
Pentru ce valoare a lui $x$ devine adevărat predicatul $p (x)$ : « $2 x - 6 = 0$ »?
- a) $x = 2$
- b) $x = 3$
- c) $x = 6$
- d) $x = - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 3$

Rezolvăm ecuația: $2 x = 6$ , deci $x = 3$ . Verificare: $2 \cdot 3 - 6 = 0$ . Pentru $x = 2$ obținem $- 2$ , pentru $x = 6$ obținem $6$ , iar pentru $x = - 3$ obținem $- 12$ — toate diferite de zero.
Care este mulțimea valorilor $x \in Z$ pentru care predicatul « $x^{2} = 9$ » este adevărat?
- a) ${3}$
- b) ${- 3, 3}$
- c) ${9}$
- d) ${- 9, 9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${- 3, 3}$

Căutăm numerele întregi al căror pătrat este $9$ : atât $3^{2} = 9$ , cât și $(- 3)^{2} = 9$ . Mulțimea este ${- 3, 3}$ . Uitarea soluției negative este cea mai frecventă greșeală la acest tip de predicat.

Întrebări conexe

Ce mulțime de adevăr are enunțul x la pătrat egal cu 9?

Pe mulțimea numerelor întregi ea este ${- 3, 3}$ , fiindcă și pătratul lui $- 3$ face $9$ . Pe mulțimea numerelor naturale rămâne doar ${3}$ . Se vede de aici că răspunsul nu poate fi dat înainte de a ști pe ce mulțime se lucrează.

Cum se transformă un predicat într-o propoziție?

Sunt două căi. Fie înlocuiești litera cu o valoare din domeniu, fie pui în față „oricare ar fi” ori „există”. Prima cale dă un enunț despre un singur număr, a doua un enunț despre întreaga mulțime, dar amândouă au valoare de adevăr.

Poate un predicat să nu fie adevărat pentru nicio valoare?

Da, iar atunci mulțimea lui de adevăr este vidă. „ $x^{2} = - 4$ ” nu se împlinește pentru niciun număr real, deci enunțul este identic fals pe acest domeniu. La cealaltă extremă stau predicatele adevărate peste tot, cum este „ $x^{2} \geq 0$ ”.

Cum arată mulțimea de adevăr a unei inecuații?

De obicei ca un interval sau ca o reuniune de intervale, nu ca o listă de numere. Pentru „ $2 x - 6 > 0$ ”, cu $x$ real, mulțimea este $(3, \infty)$ . De aceea răspunsul se scrie cu paranteze de interval, nu cu un singur număr.

De ce răspunsul la o ecuație se scrie ca mulțime?

Pentru că ecuația este un predicat, iar ce se caută sunt toate valorile care îl fac adevărat. Scrierea $S = {2, 5}$ arată limpede că au fost găsite două soluții și că altele nu există. Un răspuns cu un singur număr lasă impresia că restul au fost pierdute.

Ce înseamnă notația p de 5 la un predicat?

Că litera a fost înlocuită cu numărul $5$ , deci enunțul a devenit propoziție și are acum o valoare de adevăr. Pentru $p (x)$ : „ $x > 3$ ”, propoziția $p (5)$ este adevărată, iar $p (1)$ este falsă. Notația se citește „predicatul calculat în $5$ ”.

Oamenii mai întreabă și: ce este un predicat · predicat cu variabilă · mulțimea de adevăr a unui predicat · enunț cu x în logică · predicat și propoziție