Cât e probabilitatea ca A sau B să apară?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Probabilitatea reuniunii

„Cel puțin unul dintre $A$ și $B$ ” este reuniunea $A \cup B$ , iar $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ . Exemplu: într-un lot de semințe, $22%$ au mucegai, $15%$ sunt atacate de insecte, iar $6%$ au ambele probleme. Cel puțin o problemă: $0, 22 + 0, 15 - 0, 06 = 0, 31$ , adică $31%$ . Semințele curate sunt restul: $1 - 0, 31 = 0, 69$ . Partea comună se scade o dată, pentru că altfel semințele cu ambele probleme ar fi numărate de două ori.

Reuniunea $A \cup B$ are loc când se produce măcar unul dintre cele două evenimente, deci și atunci când se produc amândouă.

Regula. $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ . Termenul scăzut corectează dubla socotire a rezultatelor comune; regula vine din numărarea elementelor unei reuniuni, împărțită la numărul cazurilor egal posibile. Dacă evenimentele nu au nimic în comun, scăderea dispare.

Procente măsurate. Aceeași relație merge pe frecvențe și pe procente dintr-un raport, cu o singură condiție: toate procentele trebuie să privească același lot, altfel partea comună nu are sens.

Patru zone. Pe desenul Venn, $Ω$ se împarte în „doar $A$ ”, „doar $B$ ”, „ambele” și „niciunul”; pornești de la zona din mijloc, iar suma celor patru probabilități trebuie să fie $1$ . „Niciunul” se obține scăzând reuniunea din $1$ , iar „exact unul” este $P (A) + P (B) - 2 P (A \cap B)$ .

Controlul datelor. Partea comună nu poate depăși evenimentul mai mic și nu poate coborî sub $P (A) + P (B) - 1$ . Un raport din care reuniunea ar ieși peste $1$ are o greșeală; dacă două probabilități adunate trec de $1$ , evenimentele au sigur rezultate comune.

De reținut

„cel puțin unul” înseamnă reuniunea: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
„niciunul” este restul până la $1$ : $1 - P (A \cup B)$
procentele folosite în formulă trebuie să privească același lot

Greșeala tipică

Se adună procentele și se uită partea comună, ca în $22% + 15% = 37%$ pentru semințele cu probleme; corect se scade o dată partea comună și rezultatul este $31%$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru două evenimente se știe că $P (A) = 0, 35$ , $P (B) = 0, 4$ și $P (A \cap B) = 0, 1$ . Cât este $P (A \cup B)$ ?
- a) $0, 75$
- b) $0, 85$
- c) $0, 65$
- d) $0, 55$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 65$

$P (A \cup B) = 0, 35 + 0, 4 - 0, 1 = 0, 65$ . Valoarea $0, 75$ apare dacă uiți să scazi partea comună.
Într-un sat sunt $160$ de ferme familiale: $64$ cresc găini, $45$ cresc porci, iar $20$ cresc și găini, și porci. Care este probabilitatea ca o fermă aleasă la întâmplare să crească cel puțin unul dintre cele două animale?
- a) $\frac{109}{160}$
- b) $\frac{89}{160}$
- c) $\frac{69}{160}$
- d) $\frac{1}{8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{89}{160}$

Cel puțin unul: $64 + 45 - 20 = 89$ de ferme, deci $\frac{89}{160}$ . $\frac{69}{160}$ numără doar fermele cu un singur fel de animale ( $44 + 25$ ).
Se știe că $P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 35$ și $P (A \cap B) = 0, 15$ . Care este probabilitatea ca exact unul dintre evenimente să aibă loc?
- a) $0, 6$
- b) $0, 75$
- c) $0, 3$
- d) $0, 45$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $0, 45$

Exact unul: $0, 4 + 0, 35 - 2 \cdot 0, 15 = 0, 45$ . Valoarea $0, 6$ este probabilitatea reuniunii, care include și cazurile cu ambele.

Întrebări conexe

Cum aflu partea comună când știu reuniunea și cele două probabilități?

Formula reuniunii se folosește ca ecuație cu o necunoscută: $P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$ . De exemplu, dacă $P (A) = 0, 45$ , $P (B) = 0, 3$ și $P (A \cup B) = 0, 6$ , atunci partea comună este $0, 75 - 0, 6 = 0, 15$ . Rezultatul trebuie să fie între $0$ și cea mai mică dintre $P (A)$ și $P (B)$ .

Ce probabilități au cele patru zone Venn în exemplul cu semințele?

Se pornește de la mijloc: ambele probleme, $0, 06$ . Doar mucegai: $0, 22 - 0, 06 = 0, 16$ . Doar insecte: $0, 15 - 0, 06 = 0, 09$ . Niciuna: $0, 69$ . Proba este suma celor patru zone, care trebuie să dea exact $1$ : $0, 06 + 0, 16 + 0, 09 + 0, 69 = 1$ .

Câți pacienți au cel puțin o analiză modificată din două?

Dacă la un control $12%$ dintre pacienți au tensiunea mare, $9%$ au glicemia mare și $4%$ le au pe amândouă, atunci cel puțin o valoare modificată apare la $0, 12 + 0, 09 - 0, 04 = 0, 17$ , adică $17%$ . Pe un lot de $500$ de pacienți, asta înseamnă $85$ de persoane.

Când se pot aduna direct probabilitățile a două evenimente la reuniune?

Doar când evenimentele nu se pot produce împreună, deci partea comună are probabilitatea $0$ . La o aruncare de zar, „iese $2$ ” și „iese $5$ ” dau $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ . În schimb „iese par” și „iese peste $3$ ” au comune fețele $4$ și $6$ , iar reuniunea lor este $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ , nu $1$ .

Care e probabilitatea ca un număr de două cifre să se dividă cu $3$ sau cu $5$ ?

Sunt $90$ de numere de două cifre. Multiplii lui $3$ sunt $30$ , ai lui $5$ sunt $18$ , iar cei comuni sunt multiplii lui $15$ , adică $6$ . Favorabile: $30 + 18 - 6 = 42$ , deci probabilitatea este $\frac{42}{90} = \frac{7}{15}$ . Fără scăderea celor $6$ numere comune, multiplii lui $15$ s-ar fi numărat de două ori.

Cum se scrie probabilitatea reuniunii pentru două evenimente independente?

La evenimente independente partea comună este produsul: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ . Dacă două becuri se ard independent în primul an, cu probabilitățile $0, 1$ și $0, 3$ , măcar unul se arde cu probabilitatea $0, 1 + 0, 3 - 0, 03 = 0, 37$ . Același rezultat dă $1 - 0, 9 \cdot 0, 7 = 0, 37$ .

Oamenii mai întreabă și: probabilitatea ca măcar unul să se producă · cel puțin unul dintre două evenimente probabilitate · probabilitatea reuniunii cu procente măsurate · cât la sută au cel puțin una dintre două probleme · reuniunea evenimentelor din procente