Pentru două evenimente se știe doar că $$P(A \mid B) = 0{,}3$$. Ce se poate spune despre $$P(B \mid A)$$?

nu se poate afla fără alte date

Cum compar riscul în două grupuri diferite?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Probabilități condiționate

Riscul dintr-un grup este o probabilitate condiționată: numărul cazurilor din grup împărțit la mărimea grupului, $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ . Exemplu: dintre $1000$ de persoane vaccinate, $30$ s-au îmbolnăvit; dintre $250$ nevaccinate, $25$ . Numerele brute par să spună contrariul, dar riscurile sunt $\frac{30}{1000} = 3%$ și $\frac{25}{250} = 10%$ . Se compară proporțiile, nu căsuțele, fiindcă grupurile au mărimi diferite.

O probabilitate condiționată răspunde la întrebarea „cât de probabil este $B$ , dacă aflăm că s-a produs $A$ ?”. Se notează $P (B ∣ A)$ .

Restrângerea. Informația micșorează grupul din care alegi: numitorul devine numărul rezultatelor lui $A$ , iar la numărător rămân cele care îl realizează și pe $B$ . Cu probabilități, $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ , cu $P (A) > 0$ .

Tabel. Condiția alege un rând sau o coloană, iar totalul lor ia locul totalului general. Întrebarea inversă, $P (A ∣ B)$ , are același numărător, dar alt numitor; cele două valori diferă de obicei și nu se deduc una din alta fără alte date.

Arbore. Fracțiile de pe al doilea nivel depind de ramura pe care ai ajuns acolo: sunt probabilități condiționate de rezultatul primei etape, iar probabilitatea unui traseu este $P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .

Contrarul. Sub aceeași condiție, $P (\overline{B} ∣ A) = 1 - P (B ∣ A)$ ; despre grupul în care $A$ nu are loc această relație nu spune nimic.

Folosire. Compari proporțiile din două grupuri, nu numerele brute din căsuțe, și folosești comportarea observată pentru a estima ce urmează, fără să tragi concluzii despre cauze.

De reținut

riscul dintr-un grup = cazurile din grup împărțite la mărimea grupului
$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ pe un traseu din arbore
sub aceeași condiție, $P (\overline{B} ∣ A) = 1 - P (B ∣ A)$

Greșeala tipică

Se compară numerele brute din căsuțe, ca $30$ și $25$ de bolnavi, deși grupurile au $1000$ și $250$ de persoane; corect se compară proporțiile $3%$ și $10%$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un catalog cuprinde $30$ de sateliți artificiali: $16$ sunt pe orbită joasă, iar $6$ dintre aceștia sunt sateliți de observare a Pământului. Se alege un satelit aflat pe orbită joasă. Care este probabilitatea ca el să fie de observare a Pământului?
- a) $\frac{1}{5}$
- b) $\frac{8}{15}$
- c) $\frac{3}{8}$
- d) $\frac{5}{8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{3}{8}$

Condiția restrânge grupul la cei $16$ sateliți de pe orbită joasă: $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ . $\frac{1}{5} = \frac{6}{30}$ păstrează greșit tot catalogul la numitor.
Un laborator a testat la cădere $300$ de telefoane: $180$ aveau husă, iar $135$ dintre ele au rămas cu ecranul intact; $120$ nu aveau husă, iar $60$ dintre ele au rămas cu ecranul intact. Care este probabilitatea ca un telefon să rămână cu ecranul intact, știind că avea husă?
- a) $\frac{9}{20}$
- b) $\frac{3}{4}$
- c) $\frac{9}{13}$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{3}{4}$

Pe rândul „cu husă”: $\frac{135}{180} = \frac{3}{4}$ . $\frac{9}{13} = \frac{135}{195}$ răspunde la întrebarea inversă, cu condiția „ecran intact”.
Pentru două evenimente se știe doar că $P (A ∣ B) = 0, 3$ . Ce se poate spune despre $P (B ∣ A)$ ?
- a) este tot $0, 3$
- b) este $1 - 0, 3 = 0, 7$
- c) este mai mare decât $0, 3$
- d) nu se poate afla fără alte date
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nu se poate afla fără alte date

Cele două probabilități au același numărător, $P (A \cap B)$ , dar numitori diferiți, $P (B)$ și $P (A)$ . Fără aceste valori, $P (B ∣ A)$ nu se poate calcula.

Întrebări conexe

Ce înseamnă un rezultat fals pozitiv în limbajul probabilităților condiționate?

Este probabilitatea ca testul să iasă pozitiv știind că persoana e sănătoasă, $P (pozitiv ∣ s \overset{a}{˘} n \overset{a}{˘} tos)$ . Dacă din $800$ de persoane sănătoase testate $24$ primesc rezultat pozitiv, rata fals pozitivă este $\frac{24}{800} = 3%$ . Condiția este „sănătos”, deci numitorul conține doar persoanele sănătoase.

Cum calculez probabilitatea unui traseu folosind o probabilitate condiționată?

Înmulțești probabilitatea primei etape cu probabilitatea condiționată de pe ramura a doua: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ . Dacă $60%$ dintre semințe provin din lotul I și $85%$ dintre acestea germinează, o sămânță aleasă este din lotul I și germinează cu probabilitatea $0, 6 \cdot 0, 85 = 0, 51$ .

Cum aflu probabilitatea totală când am două grupuri cu condiționate diferite?

Aduni traseele care duc la același rezultat. În exemplul cu semințele, lotul II are $40%$ din semințe, iar $70%$ dintre ele germinează. Probabilitatea ca o sămânță oarecare să germineze este $0, 6 \cdot 0, 85 + 0, 4 \cdot 0, 7 = 0, 51 + 0, 28 = 0, 79$ .

Cât este probabilitatea evenimentului contrar sub aceeași condiție?

Sub aceeași condiție, $P (\overline{B} ∣ A) = 1 - P (B ∣ A)$ . Dacă în lotul I germinează $85%$ din semințe, nu germinează $15%$ dintre ele. Valoarea nu spune nimic despre lotul II: acolo proporția semințelor care nu germinează este $1 - 0, 7 = 0, 3$ , calculată separat.

Arată o probabilitate condiționată mare că un fenomen îl provoacă pe altul?

Nu. O probabilitate condiționată descrie cât de des apar împreună două fenomene, nu cauza. Vara, arsurile solare sunt mai frecvente printre cei care cumpără înghețată, dar amândouă sunt produse de vreme. Pentru o concluzie despre cauză e nevoie de un experiment controlat, nu doar de un tabel.

Care e probabilitatea ca suma a două zaruri să fie $8$ , știind că ambele arată numere pare?

Condiția păstrează doar perechile cu ambele fețe pare: $3 \cdot 3 = 9$ perechi. Dintre ele, suma $8$ apare la $(2, 6)$ , $(4, 4)$ și $(6, 2)$ . Probabilitatea condiționată este $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ , deși fără informație ar fi fost doar $\frac{5}{36}$ .

Oamenii mai întreabă și: compararea a două grupuri cu probabilități condiționate · cum compar procentele din două grupuri · riscul într-un grup probabilitate condiționată · probabilitatea condiționată pe grupuri diferite