Cât de sigur e un rezultat pozitiv la un test?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Probabilități practice

Se transformă procentele în oameni și se citește doar grupul celor cu rezultat pozitiv. Exemplu: boala atinge $2%$ din $10000$ de persoane, testul prinde $90%$ dintre bolnavi și dă greșit pozitiv la $5%$ dintre sănătoși. Bolnavi pozitivi: $180$ ; sănătoși pozitivi: $5%$ din $9800$ , adică $490$ . Un pozitiv este bolnav cu probabilitatea $\frac{180}{670} = \frac{18}{67} \approx 27%$ . La o boală rară, pozitivii falși pot fi mai mulți decât cei adevărați.

În laborator și pe teren, probabilitățile se calculează după ce datele sunt așezate corect.

Testele. Procentele unui test se transformă în oameni: alegi un număr rotund, afli câți sunt bolnavi și câți sănătoși, apoi câți ies pozitivi în fiecare grup. Întrebarea „cât de sigur e un rezultat pozitiv?” se citește pe coloana pozitivilor. Când boala e rară, rezultatele false ale sănătoșilor pot fi mai multe decât cele corecte ale bolnavilor.

Repetarea. Când testul se reia, procentele se aplică din nou fiecărui grup în parte; ipoteza de independență privește bolnavii între ei și sănătoșii între ei, nu toată populația.

Loturile. Pentru „măcar o piesă defectă” numeri, cu combinări, alegerile fără nicio piesă defectă și scazi raportul din $1$ . Probabilitatea crește cu numărul pieselor verificate, dar tot mai încet.

Genetica. Tabelul lui Punnett trece în revistă toate combinațiile de alele primite de la cei doi părinți, fiecare la fel de probabilă; un genotip care apare în două combinații are probabilitate dublă.

Estimarea. O frecvență observată pe un eșantion ține loc de probabilitate, iar o prognoză pe alt grup se spune cu „aproximativ” și cu ipoteza că grupurile seamănă.

De reținut

procentele unui test se transformă în oameni pe un număr rotund
„bolnav, dacă e pozitiv” se citește doar pe grupul pozitivilor
„măcar un defect” se calculează prin contrar: $1 - \frac{C _{n - d}^{k}}{C _{n}^{k}}$

Greșeala tipică

Se ia sensibilitatea testului, $90%$ , drept probabilitatea ca un pozitiv să fie bolnav; corect se împart bolnavii pozitivi la toți pozitivii, $\frac{180}{670} \approx 27%$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un părinte are genotipul $AA$ , iar celălalt $aa$ . Care este probabilitatea ca un urmaș să fie heterozigot ( $A a$ )?
- a) $\frac{1}{4}$
- b) $\frac{1}{2}$
- c) $\frac{3}{4}$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $1$

Primul părinte transmite mereu $A$ , al doilea mereu $a$ , deci toate cele patru căsuțe ale pătratului lui Punnett conțin $A a$ .
Dintre $1000$ de persoane testate, $60$ sunt bolnave. Testul iese pozitiv la $48$ dintre bolnavi și la $47$ dintre sănătoși. Care este probabilitatea ca o persoană cu rezultat pozitiv să fie bolnavă?
- a) $\frac{4}{5}$
- b) $\frac{47}{95}$
- c) $\frac{3}{50}$
- d) $\frac{48}{95}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{48}{95}$

Pozitivii sunt $48 + 47 = 95$ , dintre care $48$ bolnavi: $\frac{48}{95}$ . Varianta $\frac{4}{5} = \frac{48}{60}$ este partea bolnavilor depistați, adică altă întrebare, iar $\frac{47}{95}$ este partea sănătoșilor printre pozitivi.
Dintr-un lot de $10$ piese, dintre care $2$ sunt defecte, se verifică $2$ piese alese la întâmplare. Care este probabilitatea de a găsi măcar o piesă defectă?
- a) $\frac{2}{5}$
- b) $\frac{17}{45}$
- c) $\frac{1}{45}$
- d) $\frac{28}{45}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{17}{45}$

Perechile sunt $C_{10}^{2} = 45$ , iar cele fără piesă defectă $C_{8}^{2} = 28$ . Deci $1 - \frac{28}{45} = \frac{17}{45}$ . Suma $\frac{2}{10} + \frac{2}{10}$ numără de două ori perechea cu ambele piese defecte.

Întrebări conexe

Ce înseamnă sensibilitatea unui test scrisă ca probabilitate?

Sensibilitatea este probabilitatea ca testul să iasă pozitiv știind că persoana este bolnavă, $P (pozitiv ∣ bolnav)$ . Un test cu sensibilitatea $90%$ prinde $180$ din $200$ de bolnavi. Ea nu spune însă cât de probabil e ca un om cu rezultat pozitiv să fie bolnav; aceea e întrebarea inversă.

De ce un test bun dă mulți pozitivi falși la o boală rară?

Pentru că grupul sănătoșilor e mult mai mare. În exemplul cu $10000$ de persoane, $5%$ din $9800$ de sănătoși înseamnă $490$ de rezultate false, iar $90%$ din $200$ de bolnavi înseamnă doar $180$ de rezultate corecte. Un procent mic dintr-un grup mare depășește un procent mare dintr-un grup mic.

Cât de probabil e ca o persoană cu test negativ să fie sănătoasă?

Citești grupul negativilor. În același exemplu, sănătoșii negativi sunt $9800 - 490 = 9310$ , iar bolnavii ratați de test sunt $200 - 180 = 20$ . Probabilitatea cerută este $\frac{9 310}{9 330} \approx 99, 8%$ . De aceea un rezultat negativ liniștește mai mult decât alarmează unul pozitiv.

Ce culori au urmașii la dominanța incompletă, ca probabilități?

La o plantă cu flori roșii ( $R R$ ), albe ( $r r$ ) și roz ( $R r$ ), încrucișarea $R r \times R r$ dă în pătratul lui Punnett căsuțele $R R$ , $R r$ , $r R$ și $r r$ . Probabilitățile sunt: roșu $\frac{1}{4}$ , roz $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , alb $\frac{1}{4}$ . Rozul apare în două căsuțe, deci are probabilitate dublă.

Cum calculez șansa de a găsi măcar o piesă defectă verificând câteva piese?

Treci prin contrar, cu combinări. Un lot de $12$ piese are $3$ defecte; verifici $3$ piese. Alegeri fără defect: $C_{9}^{3} = 84$ din $C_{12}^{3} = 220$ , deci măcar una defectă apare cu $1 - \frac{21}{55} = \frac{34}{55} \approx 0, 62$ . Cu $4$ piese verificate: $1 - \frac{126}{495} = \frac{41}{55} \approx 0, 75$ .

Cum estimez o probabilitate din datele unui experiment de germinare?

Frecvența relativă observată ține loc de probabilitate. Dacă din $500$ de semințe au germinat $460$ , estimarea este $\frac{460}{500} = 0, 92$ . Pentru un lot de $2000$ de semințe din aceeași sursă, în aceleași condiții, prognoza este de aproximativ $0, 92 \cdot 2000 = 1840$ de semințe germinate.

Oamenii mai întreabă și: probabilitatea să fii bolnav dacă testul e pozitiv · cât de sigur este un test pozitiv · valoarea unui rezultat pozitiv la un test medical · test pozitiv fals probabilitate