Probabilități aplicate: jocuri și teste: pe scurt

Probabilitățile devin utile atunci când decid ceva concret: câștig la joc, cost al unei asigurări, interpretarea unui test. La loterie, numărul variantelor se calculează cu combinări, de exemplu $C_{49}^6=13983816$, iar un bilet are probabilitatea de câștig $\frac{1}{13983816}$.

Un joc se judecă pe multe partide, nu pe una: înmulțești probabilitatea de câștig cu numărul de partide, afli câte premii apar și compari banii încasați cu cei plătiți. Aceeași logică stă la baza primei de asigurare: numărul de daune (clienți $\times$ probabilitate) ori despăgubirea, împărțit la numărul de clienți, dă prima de echilibru.

La testele medicale, un rezultat pozitiv nu înseamnă diagnostic sigur. Se lucrează cu un tabel de frecvențe naturale, pe $10000$ de persoane: chiar și un test foarte bun poate da, la o boală rară, mai multe rezultate fals pozitive decât adevărat pozitive, pentru că sănătoșii sunt mult mai numeroși.

La controlul calității, probabilitatea de „cel puțin o piesă defectă” se calculează prin evenimentul contrar, cu combinări: $1$ minus probabilitatea ca toate piesele extrase să fie bune. Probabilitate mică nu înseamnă imposibil, iar probabilitate mare nu înseamnă certitudine.

Exerciții din această mini-lecție

1. La o loterie „$5$ din $40$” se extrag $5$ numere dintre $40$. Câte variante posibile există?

   • a) $658008$
   • b) $120$
   • c) $40$
   • d) $8145060$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $658008$

   Numărul variantelor este $C_{40}^5=\frac{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37\cdot 36}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=658008$. Ca la orice loterie, ordinea în care ies numerele nu contează, deci se folosesc combinări, nu aranjamente.

2. Un test pentru o boală care apare la $5\%$ din populație depistează boala la $90\%$ dintre bolnavi și dă rezultat pozitiv și la $10\%$ dintre oamenii sănătoși. Probabilitatea ca o persoană cu test pozitiv să fie bolnavă este cel mai aproape de:

   • a) aproximativ $90\%$
   • b) aproximativ $32\%$
   • c) aproximativ $5\%$
   • d) aproximativ $50\%$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) aproximativ $32\%$

   Pe $1000$ de persoane: $50$ bolnavi, $950$ sănătoși. Dintre bolnavi ies pozitivi $45$ ($90\%$ din $50$); dintre sănătoși ies pozitivi (fals) $95$ ($10\%$ din $950$). Total pozitivi: $140$, din care doar $45$ sunt bolnavi: $P=\frac{45}{140}=\frac{9}{28}\approx 0,321$.

3. Un lot de $25$ de piese conține $4$ defecte. Controlorul extrage $3$ piese și respinge lotul dacă găsește cel puțin una defectă. Probabilitatea ca lotul să fie respins este cel mai aproape de:

   • a) $0,58$
   • b) $0,16$
   • c) $0,42$
   • d) $0,83$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $0,42$

   Cazuri posibile: $C_{25}^3=2300$. Contrarul „nicio piesă defectă” înseamnă toate cele $3$ alese dintre cele $21$ bune: $C_{21}^3=1330$, deci $P(\text{acceptat})=\frac{1330}{2300}=\frac{133}{230}\approx 0,578$, iar $P(\text{respins})\approx 0,422$.