Probabilități în situații practice (M2, științe ale naturii)

Un test rapid pentru o infecție respiratorie iese pozitiv la $85\%$ dintre bolnavi, dar și la $10\%$ dintre oamenii sănătoși. Într-o săptămână în care infecția atinge $4\%$ din populație, un elev primește rezultat pozitiv. Cât de probabil este să fie bolnav? Răspunsul, calculat în lecție fără nicio formulă nouă, este sub $27\%$. Același fel de raționament decide câte probe verifică un laborator dintr-un lot și ce urmași poate avea o plantă. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul de probabilități, care cere abordarea prin contexte practice. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile, adică partea de numărare a lecției, dar nu probabilitățile condiționate.

Lecția adună instrumentele unității: numărarea cazurilor favorabile și posibile, evenimentul contrar, probabilitățile condiționate și evenimentele independente. Nu adaugă formule, ci arată cum se așază datele unei situații reale înainte de calcul.

Ce vei învăța

• Vei ști să transformi procentele unui test într-un tabel de frecvențe naturale pe un număr rotund de oameni și să citești din el ce înseamnă un rezultat pozitiv sau negativ.
• Vei ști de ce un al doilea test schimbă mult încrederea într-un rezultat pozitiv și ce ipoteză stă în spatele calculului.
• Vei ști să calculezi probabilitatea de a găsi măcar o piesă defectă într-un lot și să alegi câte piese trebuie verificate pentru un prag dat.
• Vei ști să folosești pătratul lui Punnett ca mulțime de rezultate egal posibile și să calculezi probabilitățile urmașilor.
• Vei ști să estimezi o probabilitate din date și să prognozezi un număr aproximativ de cazuri, spunând cât de sigură e prognoza.
• Vei ști să rezolvi cerințe scurte de numărare aplicată pe loturi, cu alegeri simultane, ca în exercițiile marcate „tip Bacalaureat M2”.

Hai să descoperim împreună

1. Cum transform procentele unui test într-un tabel?

Luăm datele din deschidere și lucrăm cu oameni, nu cu procente: o populație de $10000$ de persoane.

• Bolnavi: $4\%$ din $10000$, adică $400$; sănătoși: $9600$.
• Testul iese pozitiv la $85\%$ dintre bolnavi: $340$ de rezultate pozitive corecte; $60$ de bolnavi ies negativi.
• Testul iese pozitiv la $10\%$ dintre sănătoși: $960$ de rezultate fals pozitive; ceilalți $8640$ ies negativi.

Tabelul de frecvențe naturale este un tabel în care fiecare celulă numără oameni, nu procente. Întrebarea „cât de probabil e să fiu bolnav, dacă am ieșit pozitiv?” se citește pe coloana rezultatelor pozitive, adică exact o probabilitate condiționată:

$$P(\text{bolnav}\mid \text{pozitiv})=\frac{340}{1300}=\frac{17}{65}\approx 26,15\%.$$

Surpriza vine din mărimea grupurilor: $10\%$ dintr-un grup de $9600$ de oameni înseamnă mai mulți oameni decât $85\%$ dintr-un grup de $400$. Pe coloana negativilor, în schimb, bolnavii sunt $60$ din $8700$, deci un rezultat negativ e foarte liniștitor: $P(\text{sa˘na˘tos}\mid \text{negativ})=\frac{8640}{8700}=\frac{144}{145}$. Numărul rotund de oameni se alege astfel încât toate celulele să iasă întregi.

2. De ce se repetă un test pozitiv?

Cei $1300$ de pozitivi fac un al doilea test, de același fel. Presupunem că, în interiorul grupului bolnavilor, rezultatele celor două testări sunt independente, și la fel în interiorul grupului sănătoșilor. Atunci:

• dintre cei $340$ de bolnavi, al doilea test iese pozitiv la $85\%$, adică la $289$;
• dintre cei $960$ de sănătoși, iese pozitiv la $10\%$, adică la $96$.

Dintre cei $289+96=385$ de oameni cu două rezultate pozitive, bolnavi sunt $289$:

$$P(\text{bolnav}\mid \text{doua˘ rezultate pozitive})=\frac{289}{385}\approx 75,06\%.$$

Încrederea a urcat de la sub $27\%$ la peste $75\%$. Atenție la ipoteză: pe toată populația, cele două rezultate nu sunt independente, pentru că ambele depind de starea persoanei. De aceea calculul se face separat pe cele două grupuri. În practică, al doilea test e de obicei de alt tip, tocmai ca erorile lui să nu aibă aceeași cauză cu ale primului.

3. Câte obiecte verific dintr-un lot?

Un laborator primește $16$ kituri de testare, dintre care $2$ sunt defecte, fără să știe care. Verifică $n$ kituri alese la întâmplare. Cu cât $n$ e mai mare, cu atât e mai probabil să găsească un kit defect; întrebarea este cât de repede crește această probabilitate.

Alegerile de $n$ kituri sunt $C_{16}^n$, egal posibile. Contrarul lui „găsește cel puțin un defect” e „toate kiturile verificate sunt bune”, cu $C_{14}^n$ alegeri. Raportul se simplifică frumos: $\frac{C_{14}^n}{C_{16}^n}=\frac{(16-n)(15-n)}{16\cdot 15}$, deci

$$P(\text{cel puțin un defect ga˘sit})=1-\frac{(16-n)(15-n)}{240}.$$

Dacă laboratorul vrea să prindă lotul defect cu probabilitatea de cel puțin $\frac{1}{2}$, trebuie să verifice $5$ kituri, pentru că la $4$ probabilitatea e $\frac{9}{20}<\frac{1}{2}$, iar la $5$ este $\frac{13}{24}>\frac{1}{2}$. Barele nu cresc la fel de fiecare dată: diferențele sunt $\frac{14}{120}$, $\frac{13}{120}$, $\frac{12}{120}$, $\frac{11}{120}$, pentru că fiecare kit nou verificat vine dintr-un lot deja micșorat.

4. Ce legătură are pătratul lui Punnett cu mulțimea $\Omega$?

La tomate, culoarea roșie a fructului (alela $R$) domină culoarea galbenă (alela $r$). Două plante heterozigote $Rr$ se încrucișează. Fiecare părinte transmite alela $R$ sau alela $r$ cu aceeași probabilitate, independent de celălalt părinte, deci rezultatele sunt perechile (alela mamei, alela tatălui), patru la număr și egal posibile. Pătratul lui Punnett este chiar mulțimea $\Omega$ scrisă ca tabel.

Fructul e galben doar în căsuța $rr$, deci $P(\text{galben})=\frac{1}{4}$ și $P(\text{roșu})=\frac{3}{4}$. Dintre cele trei căsuțe cu fruct roșu, două sunt $Rr$: o plantă cu fructe roșii din această încrucișare e heterozigotă cu probabilitatea $\frac{2}{3}$. Căsuțele se numără, nu genotipurile: $Rr$ ocupă două căsuțe, pentru că poate veni cu $R$ de la oricare părinte.

5. Cum folosesc o probabilitate estimată din date?

Uneori probabilitatea nu se poate număra, ci doar estima. Un herpetolog a urmărit $400$ de ouă de broască dintr-o baltă-martor, iar $52$ nu au eclozat. Frecvența relativă $\frac{52}{400}=\frac{13}{100}=0,13$ devine estimarea probabilității ca un ou să nu eclozeze. Pentru o altă baltă cu aproximativ $3000$ de ouă, prognoza este $3000\cdot 0,13=390$ de ouă neeclozate. Cuvântul „aproximativ” e obligatoriu: numărul real va fi în jurul lui $390$, nu exact $390$, iar estimarea e valabilă doar dacă noua baltă seamănă cu cea măsurată (temperatură, prădători, poluare). Cu cât eșantionul de pornire e mai mare, cu atât estimarea e mai stabilă, cum ai văzut în lecția despre frecvențele relative.

6. Ce nu poate spune un calcul de probabilitate?

Un calcul descrie ce se întâmplă în medie pe multe cazuri, nu ce se întâmplă cu un om, o plantă sau un lot anume. „Probabilitatea $\frac{1}{4}$ de fruct galben” nu înseamnă că din patru plante exact una va avea fructe galbene. Orice calcul se sprijină și pe ipoteze care trebuie spuse: gameți egal probabili, erori independente în interiorul fiecărui grup, alegere la întâmplare din lot. Când o ipoteză nu mai e adevărată, rezultatul se schimbă, chiar dacă aritmetica e corectă. De aceea un raport de laborator scrie ipotezele înaintea numerelor: cine citește raportul poate verifica apoi dacă ele se potrivesc situației lui.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul unui test de depistare

Un test de depistare pentru o afecțiune care apare la $8\%$ dintre persoanele examinate iese pozitiv la $95\%$ dintre bolnavi și la $6\%$ dintre sănătoși. Construiește tabelul de frecvențe naturale pentru $5000$ de persoane și calculează: a) probabilitatea ca o persoană cu rezultat pozitiv să fie bolnavă; b) cât de probabil este ca un rezultat negativ să aparțină unei persoane sănătoase.

Rezolvare. Bolnavi: $8\%$ din $5000$, adică $400$, dintre care pozitivi $95\%$, adică $380$, și negativi $20$. Sănătoși: $4600$, dintre care pozitivi $6\%$, adică $276$, și negativi $4324$. Total pozitivi: $380+276=656$; total negativi: $20+4324=4344$.

a) $P(\text{bolnav}\mid \text{pozitiv})=\frac{380}{656}=\frac{95}{164}\approx 57,93\%$.

b) $P(\text{sa˘na˘tos}\mid \text{negativ})=\frac{4324}{4344}=\frac{1081}{1086}\approx 99,54\%$.

Aici rezultatele pozitive corecte, $380$, le întrec pe cele false, $276$, așa că un rezultat pozitiv spune mult mai mult decât în testul din subsecțiunea 1, unde falșii pozitivi erau aproape de trei ori mai mulți decât bolnavii depistați.

Exemplul 2 — Microscoapele unui liceu

Un liceu primește $18$ microscoape, dintre care $5$ au obiectivul decalat. Laborantul școlii verifică $3$ microscoape alese la întâmplare. Calculează probabilitatea ca laborantul să găsească cel puțin un microscop defect și probabilitatea ca printre cele verificate să fie exact unul defect.

Rezolvare. Alegerile sunt $C_{18}^3=\frac{18\cdot 17\cdot 16}{6}=816$. Contrarul lui „cel puțin unul defect” e „toate trei bune”: $C_{13}^3=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{6}=286$ de alegeri. Deci

$$P(\text{cel puțin unul defect})=1-\frac{286}{816}=\frac{530}{816}=\frac{265}{408}\approx 0,65.$$

Exact unul defect: $C_5^1\cdot C_{13}^2=5\cdot 78=390$ de alegeri, deci $P=\frac{390}{816}=\frac{65}{136}$. Control: rămân alegerile cu două sau trei microscoape defecte, $C_5^2\cdot C_{13}^1+C_5^3=130+10=140$, iar $286+390+140=816$.

Exemplul 3 — Gura-leului: dominanță incompletă

La gura-leului, încrucișarea unei plante cu flori roșii ($RR$) cu una cu flori albe ($rr$) dă plante cu flori roz ($Rr$): nicio alelă nu o domină pe cealaltă. Se încrucișează două plante cu flori roz. a) Calculează probabilitățile ca un urmaș să aibă flori roșii, roz, respectiv albe. b) Din această încrucișare se seamănă două semințe, independent. Calculează probabilitatea ca ambele plante să aibă flori roz și probabilitatea ca cel puțin una să aibă flori albe.

Rezolvare. a) Pătratul lui Punnett pentru $Rr\times Rr$ are căsuțele $RR$, $Rr$, $Rr$, $rr$, egal posibile. Aici fiecare genotip are altă culoare: $P(\text{roșu})=\frac{1}{4}$, $P(\text{roz})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, $P(\text{alb})=\frac{1}{4}$.

b) Cele două semințe sunt independente, deci $P(\text{ambele roz})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. „Cel puțin una albă” are contrarul „niciuna albă”: $\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$, deci probabilitatea cerută este $1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$.

Exemplul 4 — Frotiurile de la ora de biologie

Un laborator școlar are $30$ de lame cu frotiuri de sânge, dintre care $6$ provin de la purtători ai anemiei falciforme, la care o parte dintre globulele roșii au formă de seceră. Profesorul alege la întâmplare $2$ lame pentru microscop. Calculează probabilitatea ca exact una dintre lame să fie de la un purtător și probabilitatea ca ambele să fie.

Rezolvare. Perechile posibile sunt $C_{30}^2=\frac{30\cdot 29}{2}=435$. Pentru „exact una” alegem una dintre cele $6$ lame de la purtători și una dintre celelalte $24$: $6\cdot 24=144$ de perechi, deci

$$P(\text{exact una})=\frac{144}{435}=\frac{48}{145}\approx 0,33.$$

Ambele de la purtători: $C_6^2=15$ perechi, $P=\frac{15}{435}=\frac{1}{29}$. Control: niciuna de la un purtător, $C_{24}^2=276$ de perechi, iar $276+144+15=435$.

Exemplul 5 — Loca americană a albinelor

Într-un an, $18$ dintre cele $240$ de familii de albine ale unei asociații de apicultori au fost atinse de loca americană. Estimează probabilitatea ca o familie să fie atinsă și prognozează numărul de familii atinse într-o zonă cu $400$ de familii, în condiții asemănătoare. Explică de ce prognoza nu e un număr sigur.

Rezolvare. Estimarea este frecvența relativă: $\frac{18}{240}=\frac{3}{40}=0,075$, adică $7,5\%$. Prognoza pentru $400$ de familii: $400\cdot \frac{3}{40}=30$ de familii, aproximativ.

Prognoza nu e sigură din trei motive. Estimarea vine dintr-un singur an și dintr-o singură asociație, deci alt eșantion ar fi dat altă frecvență. Chiar cu probabilitatea exactă, numărul familiilor atinse variază de la un an la altul în jurul valorii prognozate. În plus, boala se transmite de la o familie la alta, deci familiile nu sunt independente: un focar poate da mult mai mult de $30$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Într-un dulap sunt $13$ cutii de mănuși de laborator, dintre care $3$ conțin mănuși de mărimea S. Se aleg la întâmplare, simultan, $2$ cutii. a) Determinați câte perechi de cutii se pot forma. b) Determinați probabilitatea ca exact una dintre cutiile alese să conțină mănuși de mărimea S. c) Determinați probabilitatea ca cel puțin una dintre cutiile alese să conțină mănuși de mărimea S.

Rezolvare. a) Ordinea nu contează, deci numărul alegerilor este $C_{13}^2=\frac{13\cdot 12}{2}=78$.

b) Alegem o cutie dintre cele $3$ de mărimea S și una dintre celelalte $10$: $3\cdot 10=30$ de alegeri, deci $P=\frac{30}{78}=\frac{5}{13}$.

c) Contrarul: ambele cutii sunt din celelalte $10$, cu $C_{10}^2=45$ de alegeri. Deci $P=1-\frac{45}{78}=\frac{33}{78}=\frac{11}{26}$.

Cerința urmează forma cerinței de probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, unde cazurile se numără direct; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

1. O boală apare la $20\%$ dintr-o populație; testul ei iese pozitiv la $70\%$ dintre bolnavi și la $5\%$ dintre sănătoși. Construiește tabelul de frecvențe naturale pentru $1000$ de persoane. Cât de probabil este ca un rezultat pozitiv să aparțină unui bolnav?

2. Un test a fost aplicat la $2000$ de persoane. Rezultatul a fost pozitiv la $120$ de persoane, dintre care $90$ bolnave, și negativ la $1880$ de persoane, dintre care $10$ bolnave. Calculează: a) ce parte dintre bolnavi a depistat testul; b) ce parte dintre rezultatele pozitive aparțin bolnavilor; c) ce parte dintre rezultatele negative aparțin bolnavilor.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La lotul de $16$ kituri cu $2$ defecte din lecție, dacă laboratorul verifică $7$ kituri, probabilitatea de a găsi cel puțin un kit defect depășește $\frac{3}{4}$.”

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un lot de $17$ baloane cotate conține $3$ baloane cu gradația ștearsă. Se aleg la întâmplare, simultan, $3$ baloane. Determinați probabilitatea ca cel puțin unul dintre baloanele alese să aibă gradația ștearsă.

5. La pisici, blana scurtă ($L$) domină blana lungă ($l$). O pisică $Ll$ se împerechează cu un motan $ll$. Calculează probabilitatea ca un pui să aibă blana lungă, apoi probabilitatea ca, din doi pui cu genotipuri independente, cel puțin unul să aibă blana scurtă.

6. (Problemă aplicată.) Un lot de $12$ centrifuge de laborator conține $2$ centrifuge cu rotorul dezechilibrat. Câte centrifuge trebuie verificate, cel puțin, pentru ca probabilitatea de a găsi măcar una dezechilibrată să fie cel puțin $65\%$?

7. O fabrică a găsit $9$ cutii de lapte cu sigiliul defect într-un eșantion de $1200$ de cutii. Estimează probabilitatea ca o cutie să aibă sigiliul defect și prognozează numărul de cutii defecte dintr-o producție de $20000$ de cutii.

8. Un test dă rezultat pozitiv la $5\%$ dintre persoanele sănătoase. $2000$ de persoane sănătoase sunt testate de două ori, iar erorile celor două testări sunt independente. Câte dintre ele se așteaptă să iasă pozitive de ambele ori?

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Dintre cei $16$ elevi ai unui cerc de biologie, $5$ au participat deja la o expediție de teren. Se aleg la întâmplare $2$ elevi pentru următoarea expediție. Determinați probabilitatea ca niciunul dintre elevii aleși să nu fi participat la o expediție.

10. Un părinte are genotipul $Aa$, iar celălalt $AA$. Calculează probabilitatea ca un copil al lor să aibă genotipul $aa$ și probabilitatea ca el să fie purtător ($Aa$).

11. Un test nu dă niciodată rezultat pozitiv la persoanele sănătoase, dar ratează $30\%$ dintre bolnavi. Boala apare la $5\%$ dintre cei $1000$ de testați. Cât de probabil este ca un rezultat pozitiv să aparțină unui bolnav? Dar un rezultat negativ?

12. Un lot de $21$ de biurete conține $8$ biurete cu robinetul defect. Se aleg la întâmplare $2$ biurete. Calculează probabilitatea ca exact una dintre ele să aibă robinetul defect.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Un program de depistare a examinat $800$ de persoane, dintre care $40$ aveau afecțiunea căutată. Rezultatul a fost pozitiv la $36$ dintre persoanele cu afecțiunea și la $76$ dintre cele fără afecțiune. Calculați probabilitatea ca o persoană cu rezultat pozitiv să aibă afecțiunea.

14. Într-o fermă, un pui de rață supraviețuiește primei luni cu probabilitatea estimată de $0,8$. Pentru doi pui, supraviețuirile sunt independente. Calculează probabilitatea ca exact unul dintre cei doi pui să supraviețuiască primei luni.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Într-un insectar sunt $12$ fluturi etichetați: $5$ fluturi de zi și $7$ fluturi de noapte. Se aleg la întâmplare $2$ fluturi. Determinați probabilitatea ca unul dintre ei să fie fluture de zi, iar celălalt fluture de noapte.

16. Un test depistează o boală la $90\%$ dintre bolnavi. Un bolnav face testul de două ori, iar rezultatele sunt independente. Calculează probabilitatea ca cel puțin un rezultat să fie pozitiv.

17. a) Dintr-un lot foarte mare de semințe, în care $10\%$ sunt goale, se iau $2$ semințe; lotul e atât de mare încât scoaterea a două semințe nu-i modifică proporțiile. Calculează probabilitatea ca niciuna să nu fie goală. b) Dintr-un lot de $10$ semințe, dintre care exact $1$ e goală, se iau simultan $2$. Calculează aceeași probabilitate și compară.

18. (Provocare.) Un lot are $n$ piese, dintre care $2$ sunt defecte. Se verifică $2$ piese alese la întâmplare. Probabilitatea ca printre piesele verificate să fie măcar una defectă este $\frac{3}{5}$. Determină $n$.

Răspunsuri și explicații

1. Bolnavi $200$: pozitivi $140$, negativi $60$. Sănătoși $800$: pozitivi $40$, negativi $760$. Total pozitivi $180$, deci $P(\text{bolnav}\mid \text{pozitiv})=\frac{140}{180}=\frac{7}{9}\approx 77,78\%$.

2. Bolnavii sunt $90+10=100$. a) $\frac{90}{100}=\frac{9}{10}=90\%$. b) $\frac{90}{120}=\frac{3}{4}$. c) $\frac{10}{1880}=\frac{1}{188}$.

3. Fals. Cu formula din lecție, $1-\frac{(16-7)(15-7)}{240}=1-\frac{72}{240}=\frac{7}{10}$, iar $\frac{7}{10}<\frac{3}{4}$. Pentru a depăși $\frac{3}{4}$ ar trebui verificate cel puțin $8$ kituri: $1-\frac{8\cdot 7}{240}=\frac{23}{30}$.

4. Alegerile sunt $C_{17}^3=680$, iar cele fără balon cu gradația ștearsă $C_{14}^3=364$. $P=1-\frac{364}{680}=\frac{316}{680}=\frac{79}{170}$.

5. Pătratul lui Punnett pentru $Ll\times ll$ are căsuțele $Ll$, $Ll$, $ll$, $ll$: $P(\text{blana˘ lunga˘})=\frac{1}{2}$. Contrarul lui „cel puțin unul cu blana scurtă” e „ambii cu blana lungă”, cu probabilitatea $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, deci $P=\frac{3}{4}$.

6. Pentru $n$ centrifuge verificate, $P=1-\frac{(12-n)(11-n)}{132}$. La $n=4$: $1-\frac{56}{132}=\frac{19}{33}\approx 57,6\%$, sub prag. La $n=5$: $1-\frac{42}{132}=\frac{15}{22}\approx 68,2\%$, peste prag. Trebuie verificate cel puțin $5$ centrifuge.

7. Estimarea: $\frac{9}{1200}=\frac{3}{400}=0,0075$. Prognoza: $20000\cdot \frac{3}{400}=150$ de cutii, aproximativ.

8. O persoană sănătoasă iese pozitivă de ambele ori cu probabilitatea $0,05\cdot 0,05=0,0025$, deci se așteaptă aproximativ $2000\cdot 0,0025=5$ persoane.

9. Alegerile sunt $C_{16}^2=120$, iar cele din cei $11$ elevi fără expediție $C_{11}^2=55$. $P=\frac{55}{120}=\frac{11}{24}$.

10. Părintele $AA$ transmite mereu $A$, deci copilul nu poate fi $aa$: probabilitatea este $0$. Copilul e $Aa$ exact când primește $a$ de la celălalt părinte: $P=\frac{1}{2}$.

11. Bolnavi $50$: pozitivi $35$, negativi $15$. Sănătoși $950$, toți negativi. Toți cei $35$ de pozitivi sunt bolnavi, deci $P(\text{bolnav}\mid \text{pozitiv})=1$. Negativii sunt $15+950=965$, deci $P(\text{bolnav}\mid \text{negativ})=\frac{15}{965}=\frac{3}{193}$.

12. Alegerile sunt $C_{21}^2=210$; cele cu exact o biuretă defectă $C_8^1\cdot C_{13}^1=8\cdot 13=104$. $P=\frac{104}{210}=\frac{52}{105}$.

13. Rezultatele pozitive sunt $36+76=112$, dintre care $36$ la persoane cu afecțiunea. $P=\frac{36}{112}=\frac{9}{28}$.

14. „Exact unul” înseamnă primul da și al doilea nu, sau invers: $0,8\cdot 0,2+0,2\cdot 0,8=0,32$.

15. Alegerile sunt $C_{12}^2=66$; cele cu un fluture de fiecare fel $5\cdot 7=35$. $P=\frac{35}{66}$.

16. Contrarul: ambele rezultate negative, cu probabilitatea $0,1\cdot 0,1=0,01$. $P=1-0,01=0,99$.

17. a) $0,9\cdot 0,9=0,81$. b) $\frac{C_9^2}{C_{10}^2}=\frac{36}{45}=\frac{4}{5}=0,8$. La lotul mic probabilitatea e puțin mai mică; de ce la un lot foarte mare cele două calcule aproape coincid ai văzut în lecția despre probabilitatea intersecției.

18. $P(\text{nicio piesa˘ defecta˘})=\frac{C_{n-2}^2}{C_n^2}=\frac{(n-2)(n-3)}{n(n-1)}=\frac{2}{5}$. Rezultă $5(n^2-5n+6)=2(n^2-n)$, adică $3n^2-23n+30=0$, cu rădăcinile $6$ și $\frac{5}{3}$. Cum $n$ e natural, $n=6$. Verificare: $\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.

De reținut

• La un test, procentele se transformă într-un tabel pe un număr rotund de oameni; „bolnav, dacă a ieșit pozitiv” se citește pe coloana rezultatelor pozitive.
• Mărimea grupurilor decide: câteva procente de erori printre mulți sănătoși pot depăși, ca număr de oameni, rezultatele corecte ale puținilor bolnavi.
• Repetarea testului se calculează separat pe grupul bolnavilor și pe cel al sănătoșilor, cu erori independente în interiorul fiecărui grup.
• La un lot mic cu $d$ piese defecte, probabilitatea de a găsi măcar una se calculează prin contrar, cu combinări, și crește tot mai încet când verifici mai multe piese.
• Pătratul lui Punnett este mulțimea $\Omega$ a perechilor de gameți egal posibile; se numără căsuțele, nu genotipurile distincte.

Greșeli frecvente

• Aplici procentul de fals pozitivi la toată populația. $10\%$ se ia din cei $9600$ de sănătoși, nu din $10000$ de oameni; altfel tabelul nu mai are totalurile corecte.
• Înmulțești rezultatele a două testări pe toată populația. Cele două rezultate depind amândouă de starea persoanei; independența e adevărată numai în interiorul fiecărui grup.
• Crezi că dublând eșantionul dublezi probabilitatea de detectare. La lotul de $16$ kituri, $2$ kituri dau $\frac{29}{120}$, iar $4$ kituri dau $\frac{9}{20}=\frac{54}{120}$, mai puțin decât dublul.
• Numeri genotipurile distincte în locul căsuțelor. La $Rr\times Rr$ există trei genotipuri, dar patru căsuțe egal posibile; $P(rr)$ este $\frac{1}{4}$, nu $\frac{1}{3}$.
• Alegi un total prea mic pentru tabelul de frecvențe naturale. Pe $100$ de persoane, $4\%$ bolnavi înseamnă $4$ oameni, iar $85\%$ dintre ei ar fi $3,4$ oameni; totalul se alege astfel încât toate celulele să iasă întregi, ca $10000$ în subsecțiunea 1.

Aplică acasă

1. Lotul simulat. Ia $16$ cartonașe și marchează $2$ cu un X. Amestecă-le, trage $5$ și notează dacă ai prins un X. Repetă de $40$ de ori și compară frecvența reușitelor cu $\frac{13}{24}\approx 0,54$.
2. Punnett cu monede. Fiecare monedă e gametul unui părinte $Rr$: stema înseamnă $R$, banul înseamnă $r$. Aruncă două monede de $60$ de ori, numără perechile $rr$ și compară frecvența cu $\frac{1}{4}$. Numără separat perechile „stemă–ban” și „ban–stemă”.
3. Prognoză la cumpărături. La o ladă de $50$ de mere, numără câte au pete. Estimează probabilitatea ca un măr să aibă pete și prognozează câte ar avea o ladă de $200$. La următoarea ladă verifică prognoza și scrie de ce a ieșit sau nu aproape.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie partea de calcul a unității prin trei tipuri de situații din științe: testele medicale, controlul unui lot și genetica mendeliană simplă. Nu introduce formule noi; folosește numărarea, evenimentul contrar, citirea condiționată a unui tabel și independența a două evenimente. Metoda frecvențelor naturale, cu un tabel pe un număr rotund de oameni, este partea cea mai importantă, pentru că face vizibil de ce un test bun poate da multe rezultate pozitive false la o boală rară.

De urmărit în caiet: construiește elevul tabelul complet, cu totaluri, înainte de orice fracție; spune pe ce coloană citește; scrie ipoteza de independență când repetă un test; numără căsuțele lui Punnett. Întrebări bune de control: „Câte persoane are fiecare grup?”, „Ce se schimbă dacă boala e mai rară?”, „Ce ipoteză ai folosit când ai înmulțit?”. Semn de înțelegere: elevul explică singur de ce al doilea test se calculează separat pe bolnavi și pe sănătoși. Legătura cu clasa a IX-a: implicația „pozitiv, deci bolnav” e o implicație falsă, iar tabelul arată contraexemplele.

Lecția următoare, despre compararea probabilităților și deciziile informate, folosește aceste calcule pentru a alege între variante. Unitatea se verifică prin testul de probabilități. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: probabilități în situații practice.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, iar programa clasei a X-a (anexa 28) cere, într-o notă, abordarea acestor conținuturi prin contexte practice. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde „probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”: de aici marcajul „Bacalaureat M2” la exercițiile de numărare pe loturi. Citirea condiționată a unui tabel nu e numită în programa din 2014, deci exercițiul de acest tip poartă marcajul „MAT_P2 2030”. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I conține o cerință de probabilitate rezolvată prin numărarea cazurilor. Programa din 2014 cere ca aplicațiile capitolului să fie din domeniul financiar; exercițiile lecției folosesc contexte de laborator, de teren și de producție.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția despre probabilități în situații practice de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Metodele sunt aceleași: numărarea, evenimentul contrar, tabelul de frecvențe naturale. La științe ale naturii, lecția lasă deoparte jocurile de noroc și calculele de prețuri ale versiunii M1 și lucrează pe teste medicale, loturi de laborator, genetică mendeliană și estimări din date de teren, cu ipotezele fiecărui model spuse explicit.

La ce subiect apare această temă la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 cere probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de probabilitate de la Subiectul I se rezolvă prin numărarea cazurilor pe numerele de două cifre; loturile din lecție exersează aceeași numărare, pe alt fel de mulțime. Citirea condiționată a unui tabel intră la proba MAT_P2 din 2030.

Ce sunt frecvențele naturale și de ce se folosesc? Sunt numere de oameni sau de obiecte, nu procente: în loc de „$4\%$ bolnavi” spui „$400$ din $10000$”. Tabelul construit astfel păstrează totalurile fiecărui grup la vedere, iar orice probabilitate devine o simplă împărțire între două celule. Greșelile de tipul „procent din procent” se văd imediat.

De ce un al doilea test pozitiv crește atât de mult probabilitatea de boală? Pentru că la al doilea test rămân în joc doar cei pozitivi la primul. Printre ei, bolnavii trec din nou cu un procent mare, iar sănătoșii doar cu procentul mic de erori. Grupul sănătoșilor se micșorează mult mai repede decât al bolnavilor. Calculul presupune erori independente în interiorul fiecărui grup.

De ce pătratul lui Punnett are patru căsuțe egal probabile? Fiecare părinte heterozigot transmite una dintre cele două alele cu probabilitatea $\frac{1}{2}$, iar alela primită de la un părinte nu depinde de cea primită de la celălalt. Perechile ordonate de alele sunt patru, fiecare cu probabilitatea $\frac{1}{4}$. Genotipul heterozigot apare în două căsuțe, de aceea are probabilitatea $\frac{1}{2}$.

Cât de sigur este un număr prognozat din date, cum ar fi „aproximativ $390$ de ouă neeclozate”? E o valoare în jurul căreia se așteaptă rezultatul, nu o certitudine. Prognoza moștenește nesiguranța eșantionului din care a fost estimată probabilitatea și presupune că noua situație seamănă cu cea măsurată. Cu cât eșantionul inițial e mai mare și mai asemănător, cu atât prognoza e mai bună.