Probleme practice de numărare: pe scurt

La probleme practice, greutatea nu e în calcul, ci în traducere: citești un enunț despre coduri, echipe sau drumuri, și decizi ce instrument matematic se potrivește, cu cele trei întrebări deja cunoscute (repetiție? ordine? câte din câte?).

Coduri și parole: cu repetiție, regula produsului ($10^k$ pentru un cod de $k$ cifre); cu simboluri distincte, aranjamente ($A_n^k$). Echipe și comisii cu categorii (fete/băieți, roluri distincte): alegi separat din fiecare categorie și înmulțești — $C_a^p\cdot C_b^q$. Pentru «cel puțin unu», numărarea prin complement e aproape întotdeauna mai rapidă decât pe cazuri: total $-$ cazuri fără niciunul.

Drumurile minime într-o rețea de străzi sunt combinări deghizate: un drum cu $m$ pași într-o direcție și $n$ pași în cealaltă se alege prin poziția pașilor «sus» printre cei $m+n$ pași totali, deci $C_{m+n}^n$ drumuri.

Verificarea rezultatului se face prin trei obiceiuri: testul pe caz mic (enumeri manual o variantă redusă), testul celor două drumuri (numeri în două feluri și compari), testul ordinului de mărime (rezultatul cu restricție trebuie să fie mai mic decât totalul).

Exerciții din această mini-lecție

1. Câte coduri PIN de $5$ cifre există, cifrele putându-se repeta?

   • a) $100000$
   • b) $30240$
   • c) $15120$
   • d) $50000$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $100000$

   Fiecare din cele $5$ poziții are $10$ variante, cu repetiție permisă: $10^5=100000$.

2. Dintr-un grup de $7$ bărbați și $8$ femei se alege o comisie de $5$ persoane, cu exact $2$ bărbați. Câte comisii există?

   • a) $792$
   • b) $1176$
   • c) $56$
   • d) $336$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $1176$

   Alegerile pe categorii sunt independente, deci se înmulțesc: $C_7^2\cdot C_8^3=21\cdot 56=1176$.

3. Într-o rețea de străzi, de la un punct la altul trebuie parcurși $5$ blocuri spre est și $2$ blocuri spre nord. Câte drumuri minime există?

   • a) $10$
   • b) $35$
   • c) $21$
   • d) $7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $21$

   Orice drum minim are $7$ pași, dintre care $2$ sunt «nord»: alegerea pozițiilor lor dă $C_7^2=21$ drumuri.