Abaterea unei fâșii de beton de $$9$$ m față de cota proiectată, în mm, este $$d(x) = \dfrac{(x - 1{,}2)(x - 3{,}5)(x - 6)}{20}$$, cu $$x$$ în metri, $$0 \le x \le 9$$. Pe ce mulțime este $$d(x) \ge 0$$?

$$[1{,}2;\,3{,}5] \cup [6;\,9]$$

$$[0;\,1{,}2] \cup [3{,}5;\,6]$$

$$(1{,}2;\,3{,}5) \cup (6;\,9]$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Darboux: semne contrare la capete

Semne la fel la capete: pot exista rădăcini?

Da. Dacă $f (a) \cdot f (b) > 0$ , Darboux nu garantează și nici nu exclude ceva: între capete rădăcinile pot lipsi sau pot exista două. Exemplu: $f (x) = 2 x^{2} - 15 x + 22$ pe $[0; 8]$ are $f (0) = 22$ și $f (8) = 30$ , același semn, dar $f (4) = - 6 < 0$ , iar funcția se anulează în $2$ și în $5, 5$ . De aceea mai calculezi funcția într-un punct din interior, înainte să afirmi ceva.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Proprietatea lui Darboux spune că o funcție continuă pe un interval nu poate trece de la o valoare la alta fără să treacă prin toate valorile dintre ele. Practic, dacă $f$ este continuă pe $[a; b]$ și $f (a) \cdot f (b) < 0$ , ecuația $f (x) = 0$ are cel puțin o soluție în $(a; b)$ .

Aplicarea cere continuitate pe tot intervalul, apoi semnele calculate la capete, apoi restrângerea: calculezi $f$ în mijloc și păstrezi jumătatea cu semne contrare, ceea ce înjumătățește intervalul la fiecare calcul. Pentru unicitate arăți că $f$ este strict monotonă. Când valoarea cerută este un număr $y$ oarecare, aplici pașii funcției $f (x) - y$ .

Dacă semnele de la capete coincid, proprietatea tace: între capete rădăcinile pot lipsi cu totul sau pot fi câte două ori mai multe. O funcție cu salt nu se supune proprietății. Pentru semn, zerourile taie axa în intervale fără rădăcini, iar un punct de probă din fiecare interval, care nu este rădăcină, dă semnul; la o rădăcină dublă semnul se păstrează.

Verifici păstrând semnele contrare la capetele intervalului final și controlând unitățile și ordinul de mărime.

De reținut

$f$ continuă și $f (a) \cdot f (b) < 0$ : cel puțin o rădăcină în $(a; b)$
$f (a) \cdot f (b) > 0$ : proprietatea nu spune nimic
$f (a) \cdot f (b) = 0$ : un capăt este rădăcină

Greșeala tipică

Se conchide că nu există rădăcini când semnele sunt la fel. La $2 x^{2} - 15 x + 22$ pe $[0; 8]$ capetele dau $22$ și $30$ , dar $f (4) = - 6$ arată rădăcini în $2$ și în $5, 5$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un senzor măsoară săgeata unui arbore, în mm, la cinci poziții consecutive, din $2$ în $2$ metri: $d (0) = 3$ , $d (2) = 1$ , $d (4) = - 2$ , $d (6) = - 5$ și $d (8) = 4$ . Mărimea variază continuu. Pe care dintre intervalele $[0; 2]$ , $[2; 4]$ , $[4; 6]$ , $[6; 8]$ garantează proprietatea lui Darboux o rădăcină?
- a) pe $[0; 2]$ și pe $[4; 6]$
- b) pe $[2; 4]$ și pe $[6; 8]$
- c) pe toate patru
- d) numai pe $[2; 4]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) pe $[2; 4]$ și pe $[6; 8]$

Proprietatea garantează o rădăcină acolo unde cele două valori de la capete au semne contrare: $d (2) \cdot d (4) = - 2 < 0$ și $d (6) \cdot d (8) = - 20 < 0$ . Pe $[0; 2]$ și pe $[4; 6]$ semnele coincid, deci nu se garantează nimic. Varianta cu toate patru ignoră semnele, iar cea cu un singur interval o uită pe a doua schimbare de semn.
Abaterea unei fâșii de beton de $9$ m față de cota proiectată, în mm, este $d (x) = \frac{( x - 1 , 2 ) ( x - 3 , 5 ) ( x - 6 )}{20}$ , cu $x$ în metri, $0 \leq x \leq 9$ . Pe ce mulțime este $d (x) \geq 0$ ?
- a) $[1, 2; 3, 5] \cup [6; 9]$
- b) $[0; 1, 2] \cup [3, 5; 6]$
- c) $[1, 2; 6]$
- d) $(1, 2; 3, 5) \cup (6; 9]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[1, 2; 3, 5] \cup [6; 9]$

Rădăcinile $1, 2$ , $3, 5$ și $6$ taie $[0; 9]$ în patru intervale. Pentru $x = 0$ produsul este negativ, apoi semnele alternează: $-$ , $+$ , $-$ , $+$ . Deci $d \geq 0$ pe $[1, 2; 3, 5] \cup [6; 9]$ . Prima variantă inversează semnele, a treia ignoră rădăcina din mijloc, iar ultima exclude rădăcinile, deși inegalitatea este largă.
Se studiază ecuația $e^{x} + x = 6$ , folosind $f (x) = e^{x} + x - 6$ și $e \approx 2, 718$ . Pe care dintre intervale garantează proprietatea lui Darboux o soluție?
- a) $(- 1; 0)$
- b) $(0; 1)$
- c) $(1; 2)$
- d) $(2; 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(1; 2)$

Funcția $f$ este continuă pe $R$ . Avem $f (1) \approx 2, 718 + 1 - 6 = - 2, 282 < 0$ și $f (2) \approx 7, 389 + 2 - 6 = 3, 389 > 0$ , deci semne contrare în $(1; 2)$ . În celelalte intervale ambele valori au același semn: $f (- 1) < 0$ și $f (0) = - 5 < 0$ , $f (0) < 0$ și $f (1) < 0$ , iar $f (2) > 0$ și $f (3) > 0$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă funcția are un salt între capete?

Atunci proprietatea nu se aplică, fiindcă cere continuitate pe tot intervalul. Pentru $f (x) = x - 4$ pe $[0; 3)$ și $f (x) = x$ pe $[3; 6]$ avem $f (0) = - 4$ și $f (6) = 6$ , semne contrare, dar $f$ nu se anulează nicăieri: pe prima ramură rămâne sub $- 1$ , iar pe a doua pornește de la $3$ .

Cum aflu tensiunea de echilibru dintr-un circuit cu două căderi?

Scrii partea din sursă rămasă nepreluată: $f (U) = E - U - R I (U)$ , și cauți unde se anulează. Pentru o sursă de $20$ V, un rezistor de $25$ Ω și curentul $I (U) = 0, 01 U^{3}$ avem $f (U) = 20 - U - 0, 25 U^{3}$ , iar $f (4) = 20 - 4 - 16 = 0$ .

Ce se întâmplă dacă produsul f(a)·f(b) este zero?

Atunci un capăt este rădăcină. La $f (x) = 3 x^{2} - 17 x + 20$ pe $[4; 6]$ avem $f (4) = 0$ și $f (6) = 26$ , deci rădăcina $4$ este chiar capătul. A doua rădăcină, $\frac{5}{3}$ , nu se află în interval, iar Darboux nu spune nimic despre ea.

Cum scriu concluzia dintr-un tabel de măsurători?

Spui între ce momente se schimbă semnul. Dacă o tensiune măsurată este $+ 2, 4$ V la 10:00 și $- 1, 6$ V la 10:05, iar mărimea variază continuu, ea a trecut prin zero între 10:00 și 10:05. Despre momentul exact nu afirmi nimic fără un calcul în plus.

În ce unitate este rădăcina găsită prin Darboux?

În unitatea variabilei, nu a funcției. La $d (x)$ în mm, cu $x$ în metri, rădăcina este în metri. La $f (U)$ în volți, cu $U$ în volți, ambele sunt volți. Scrii unitatea la sfârșit, lângă numărul găsit.

Oamenii mai întreabă și: același semn la capete și rădăcini · Darboux când semnele sunt la fel · produsul f(a) ori f(b) pozitiv · ecuația poate avea soluții dacă semnele sunt la fel · rădăcini între capete cu același semn