Darboux la tehnologic: rădăcină pe interval

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Un electrician nu poate încerca toate tensiunile dintre două valori, dar poate calcula la capete cât rămâne din sursă după căderile de tensiune și vede dacă semnul diferenței se schimbă. Dacă funcția este continuă, o schimbare de semn arată că între capete diferența se anulează, iar proprietatea lui Darboux spune de ce. E materie de clasa a XI-a la filiera tehnologică: o aplici pe un circuit și afli unde nu mai merge. Proprietatea lui Darboux este cuprinsă în programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

În atelierul de electronică al unui liceu tehnologic, un varistor de carbură de siliciu este legat în serie cu un rezistor de balast de 30 Ω la o sursă de 24 V. Varistorul este un element al cărui curent crește mai repede decât tensiunea la borne; fișa lui tehnică îi dă curentul în patru puncte, ca în tabel.

Tensiunea la bornele varistorului $U$	Curentul prin varistor $I$
5 V	0,0950 A
8 V	0,3392 A
12 V	1,0848 A
15 V	2,0850 A

Când circuitul funcționează, căderea pe varistor, $U$ , plus căderea pe rezistor, $30 \cdot I$ , adună exact cei 24 V ai sursei. Tehnicianul vrea să afle la ce tensiune se așază varistorul. Cu 8 V la borne, cele două căderi adună $8 + 30 \cdot 0, 3392 = 18, 176$ V, sub sursă; cu 12 V adună $12 + 30 \cdot 1, 0848 = 44, 544$ V, peste sursă. Între 8 V și 12 V nu poate încerca toate tensiunile, iar fișa nu are alte valori.

Întrebare: poți garanta, doar din calculele la 8 V și la 12 V, că există o tensiune între ele la care cele două căderi adună exact 24 V? Cum restrângi intervalul, fără să încerci toate valorile, și poate exista mai mult de o astfel de tensiune?

De la situație la model

Tabelul se citește în limbajul funcțiilor; continuitatea o ai din lecția despre continuitate:

În situație	În matematică
tensiunea la bornele varistorului, în V	variabila $U$ , cu $0 \leq U \leq 24$
curentul prin varistor, în A	funcția $I (U) = 0, 004 U + 0, 0006 U^{3}$ , care trece prin punctele tabelului
partea din sursă rămasă nepreluată, în V	funcția $f (U) = 24 - U - 30 I (U) = 24 - 1, 12 U - 0, 018 U^{3}$
circuitul în funcțiune	ecuația $f (U) = 0$
căderile adună mai puțin, respectiv mai mult decât sursa	$f (U) > 0$ , respectiv $f (U) < 0$

Pe tabel, $f (8) = 24 - 8 - 30 \cdot 0, 3392 = 5, 824$ V, pozitivă, iar $f (12) = 24 - 12 - 30 \cdot 1, 0848 = - 20, 544$ V, negativă. Circuitul funcționează la o tensiune $U$ cu $f (U) = 0$ , adică la o rădăcină a lui $f$ .

Ce spune proprietatea lui Darboux?

Proprietatea lui Darboux este proprietatea unei funcții de a lua, între oricare două puncte ale unui interval, orice valoare cuprinsă între valorile ei în acele puncte. Programa o admite fără demonstrație, ca rezultat folosit în aplicații: orice funcție continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux. Concret, dacă $f$ este continuă pe $[a; b]$ , atunci $f$ ia pe $[a; b]$ orice valoare cuprinsă între $f (a)$ și $f (b)$ . La varistor: când urci încet tensiunea de la 8 V la 12 V, partea nepreluată din sursă se schimbă lin, fără salturi, deci nu poate trece de la 5,824 V la −20,544 V fără să treacă prin 0. Pentru valoarea 0, proprietatea devine: dacă $f (a) \cdot f (b) < 0$ , există $c \in (a; b)$ cu $f (c) = 0$ .

Ce garantează un semn schimbat și ce nu?

Semnele contrare la capete garantează cel puțin o rădăcină în interior, dar nu spun câte sunt și nici unde. Pentru „exact una” ai nevoie de încă o informație: dacă $f$ este strict monotonă pe interval, adică urcă peste tot sau coboară peste tot, rădăcina este unică. Dacă semnele la capete sunt la fel, proprietatea nu spune nimic: în interior pot lipsi rădăcinile, pot fi două sau mai multe. La o funcție cu salt proprietatea nu se aplică: o mărime care sare poate schimba semnul fără să treacă prin 0.

Cum se citește semnul unei funcții continue pe un interval?

Dacă $f$ este continuă pe un interval și nu se anulează pe el, semnul ei este același în toate punctele: două puncte cu semne diferite ar da, după Darboux, o rădăcină între ele. Așa se face un tabel de semn. Afli rădăcinile, care taie axa în intervale fără rădăcini, iar pe fiecare interval alegi un punct de probă care nu este rădăcină. La o funcție cu numitor, punctele în care numitorul se anulează taie și ele axa. La o rădăcină obișnuită semnul se schimbă; la una dublă, ca $x = 3$ în $(x - 3)^{2} (x - 8)$ , semnul se păstrează de o parte și de alta.

Metoda pas cu pas

Verifică continuitatea. Fie $f$ funcția studiată pe $[a; b]$ . O funcție dată printr-o singură formulă din cele învățate, polinom, radical, exponențială, logaritm sau cât cu numitorul nenul pe tot intervalul, este continuă acolo. Dacă numitorul se anulează în interior, proprietatea nu se aplică pe tot intervalul. Dacă formula se schimbă în interior, verifici punctul în care se leagă ramurile: proprietatea se aplică numai dacă funcția este continuă și acolo.
Compară semnele la capete. Calculează $f (a)$ și $f (b)$ , cu unitățile lor. Dacă $f (a) \cdot f (b) < 0$ , ecuația $f (x) = 0$ are cel puțin o soluție în $(a; b)$ . Dacă produsul este pozitiv, nu afirmi nimic despre rădăcini, iar dacă este 0, un capăt este rădăcină.
Restrânge intervalul sau citește semnul. Calculează $f$ în mijlocul intervalului și păstrează jumătatea ale cărei capete au semne contrare; repetă până la lungimea cerută. Pentru „exact una”, arată că $f$ este strict monotonă. Pentru semn pe tronsoane, ia câte un punct de probă între rădăcini. O rădăcină exactă o dă formula, una aproximativă o dă înjumătățirea, iar cerința spune de care ai nevoie.
Verifică. Calculează $f$ în capetele intervalului final: semnele trebuie să rămână contrare. Controlează unitățile și ordinul de mărime, iar la un tabel de semn încearcă un al doilea punct în același interval. Rădăcina găsită o poți înlocui și în ecuația inițială, ca să vezi cât de aproape de 0 ajunge.

Dacă valoarea cerută nu este 0, ci $y$ , aplici pașii funcției $g (x) = f (x) - y$ , care se anulează exact unde $f$ ia valoarea $y$ . Fiecare calcul în mijloc înjumătățește intervalul: după trei calcule, un interval de 4 V ajunge la 0,5 V.

Fișa de buzunar

$f continu \overset{a}{˘} pe [a; b] ș i f (a) \cdot f (b) < 0 ⟹ \exists c \in (a; b), f (c) = 0$

$f continu \overset{a}{˘} pe I ș i f (x) \neq = 0 pe I ⟹ f are acela ș i semn pe tot I$

Ce știi despre $f$	Ce poți afirma
continuă pe $[a; b]$ , $f (a) \cdot f (b) < 0$	cel puțin o rădăcină în $(a; b)$
continuă pe $[a; b]$ , $f (a) \cdot f (b) > 0$	nimic sigur: rădăcinile pot lipsi sau pot fi mai multe
continuă, strict monotonă, semne contrare	exact o rădăcină în $(a; b)$
are un salt în interiorul lui $[a; b]$	proprietatea nu se aplică; semnul poate trece fără rădăcină
continuă, fără rădăcini pe $I$	semn constant; un punct de probă îl dă

Condiții: continuitate pe tot intervalul închis și puncte de probă care nu sunt rădăcini; la o rădăcină dublă semnul nu se schimbă. Verificare rapidă: în capetele intervalului final semnele rămân contrare, iar valoarea din interior este aproape de 0.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Tensiunea de echilibru a varistorului

Domeniu: electric.

Enunț. Revenim la circuitul din situație, cu $f (U) = 24 - 1, 12 U - 0, 018 U^{3}$ , $U$ în volți. a) Arată că există o tensiune de echilibru în $(8; 12)$ . b) Restrânge intervalul la o lungime de cel mult 0,5 V. c) Arată că tensiunea de echilibru este unică.

Rezolvare. a) Funcția $f$ este polinomială, deci continuă pe $R$ . Avem $f (8) = 24 - 8, 96 - 9, 216 = 5, 824$ și $f (12) = 24 - 13, 44 - 31, 104 = - 20, 544$ , deci semnele sunt contrare și există $U_{0} \in (8; 12)$ cu $f (U_{0}) = 0$ . b) Mijlocul 10 dă $f (10) = 24 - 11, 2 - 18 = - 5, 2$ , negativ, deci $U_{0} \in (8; 10)$ . Mijlocul 9 dă $f (9) = 24 - 10, 08 - 13, 122 = 0, 798$ , pozitiv, deci $U_{0} \in (9; 10)$ . Mijlocul 9,5 dă $f (9, 5) = 24 - 10, 64 - 15, 43275 = - 2, 07275$ , negativ, deci $U_{0} \in (9; 9, 5)$ , un interval de 0,5 V. c) Când $U$ crește, $1, 12 U$ și $0, 018 U^{3}$ cresc, deci $f$ scade. O funcție strict descrescătoare ia fiecare valoare cel mult o dată, așa că $U_{0}$ este unic.

Capcană. Cine vede $f (12) < 0$ și conchide că $f$ este negativă pe tot $[8; 12]$ uită de $f (8) > 0$ . Semnul rămâne același numai pe un interval fără rădăcini: $f$ este pozitivă pe $[8; U_{0})$ și negativă pe $(U_{0}; 12]$ , cu $U_{0} \approx 9, 14$ V.

Verificare. $f (9, 1) \approx 0, 244$ și $f (9, 2) \approx - 0, 320$ au semne contrare, deci $U_{0} \in (9, 1; 9, 2)$ . Cu $U_{0} \approx 9, 14$ V, curentul este $I \approx 0, 495$ A, iar $9, 14 + 30 \cdot 0, 495 = 23, 99$ V, aproape de cei 24 V.

Exemplul 2 — Pardoseala unei hale, înainte de rafturile înalte

Domeniu: constructii.

Enunț. Într-o hală veche se montează rafturi înalte, care cer o pardoseală aproape plană. Pe o fâșie de 9 m, echipa măsoară cu nivela abaterea betonului față de cota proiectată și o aproximează cu $d (x) = \frac{( x - 150 ) ( x - 420 ) ( x - 760 )}{2 \cdot 1 0 ^{6}}$ milimetri, la $x$ centimetri de perete. Unde $d > 0$ betonul se șlefuiește, iar unde $d < 0$ se toarnă șapă de egalizare. a) Calculează $d$ la 0, 300, 600 și 900 cm. b) Scrie tabelul de semn pe $[0; 900]$ . c) Află lungimea totală de șlefuit.

Rezolvare. a) $d (0) = \frac{( - 150 ) ( - 420 ) ( - 760 )}{2 \cdot 1 0 ^{6}} = - 23, 94$ mm, $d (300) = \frac{150 \cdot ( - 120 ) \cdot ( - 460 )}{2 \cdot 1 0 ^{6}} = 4, 14$ mm, $d (600) = \frac{450 \cdot 180 \cdot ( - 160 )}{2 \cdot 1 0 ^{6}} = - 6, 48$ mm și $d (900) = \frac{750 \cdot 480 \cdot 140}{2 \cdot 1 0 ^{6}} = 25, 2$ mm. b) Funcția $d$ este polinomială de gradul 3, deci continuă și cu cel mult trei rădăcini: 150, 420 și 760, zerourile factorilor. Ele taie $[0; 900]$ în patru intervale fără rădăcini, cu semn constant pe fiecare:

Interval (cm)	Punct de probă	$d$ (mm)	Semn	Lucrare
$[0; 150)$	0	−23,94	−	șapă
$(150; 420)$	300	4,14	+	șlefuire
$(420; 760)$	600	−6,48	−	șapă
$(760; 900]$	900	25,2	+	șlefuire

c) Se șlefuiește pe $(150; 420)$ și pe $(760; 900]$ , adică $(420 - 150) + (900 - 760) = 270 + 140 = 410$ cm, deci 4,1 m.

Capcană. Cine vede $d (0) < 0 < d (900)$ și conchide că există exact o trecere de la șapă la șlefuire marchează un singur punct, spre mijlocul fâșiei. Proprietatea lui Darboux garantează cel puțin o rădăcină; aici sunt trei, la 150, 420 și 760 cm.

Verificare. $d (100) = - 5, 28$ și $d (200) = 3, 08$ au semne contrare, iar rădăcina dintre ele este 150. Șlefuire 410 cm, șapă $150 + 340 = 490$ cm, în total $410 + 490 = 900$ cm.

Exemplul 3 — Când e gata uleiul din friteuză

Domeniu: alimentar.

Enunț. La bucătăria unui restaurant, uleiul din friteuză se încălzește după $T (t) = 20 + 18 t - 0, 27 t^{2}$ grade Celsius, cu $t$ în minute, până când termostatul oprește rezistențele, la 190 °C. Friteuza pornește la 10:52, iar cartofii intră în ulei când acesta ajunge la 175 °C. a) Arată că uleiul trece prin 175 °C între minutele 8 și 11. b) Restrânge intervalul cu o înjumătățire, apoi află momentul din ecuația de gradul al doilea, în minute și secunde. c) La ce oră și minut intră cartofii în ulei?

Rezolvare. a) Fie $g (t) = T (t) - 175$ , continuă fiind polinomială. $g (8) = 146, 72 - 175 = - 28, 28$ și $g (11) = 185, 33 - 175 = 10, 33$ , deci există $t_{0} \in (8; 11)$ cu $T (t_{0}) = 175$ . b) Mijlocul 9,5 dă $T (9, 5) = 166, 6325 < 175$ , deci $t_{0} \in (9, 5; 11)$ . Ecuația $0, 27 t^{2} - 18 t + 155 = 0$ are soluțiile $t = \frac{18 \mp 156 , 6}{0 , 54}$ ; cea din $(9, 5; 11)$ este $t_{0} \approx 10, 1593$ minute, cealaltă fiind peste 56 de minute. Partea zecimală se convertește: $0, 1593 \cdot 60 \approx 9, 6$ secunde, deci $t_{0} \approx 10$ minute și 10 secunde. Momentul e unic, fiindcă parabola cu ramurile în jos urcă până spre minutul 33. c) 10:52 plus 10 minute și 10 secunde dă 11:02:10, adică cartofii intră în ulei în jur de 11:02.

Capcană. Cine citește 10,16 minute ca „10 minute și 16 secunde” greșește: 0,16 minute înseamnă $0, 16 \cdot 60 \approx 9, 6$ secunde. Cu 16 secunde ar nota 11:02:16, nu 11:02:10.

Verificare. $T (10, 1) \approx 174, 26$ °C și $T (10, 2) \approx 175, 51$ °C încadrează 175 °C.

Exemplul 4 — Problema inversă: câte ore au stat vacile în stres termic

Domeniu: zootehnie.

Enunț. Într-un grajd de vaci de lapte, un senzor calculează din temperatură și umiditate indicele THI; peste valoarea 72 vacile intră în stres termic și dau mai puțin lapte. Într-o zi de iulie, citirile se potrivesc cu $THI (t) = 65, 04 + 2, 16 t - 0, 12 t^{2}$ , cu $t$ în ore de la 6:00, $0 \leq t \leq 16$ . Fermierul trece în registru câte ore au stat vacile în stres termic. a) Calculează THI la 6:00 și la 22:00 și diferențele față de 72; ce garantează proprietatea lui Darboux? b) Calculează THI la 14:00. c) Află orele la care THI trece prin 72 și durata stresului termic.

Rezolvare. a) Fie $g (t) = THI (t) - 72$ . $THI (0) = 65, 04$ și $THI (16) = 65, 04 + 34, 56 - 30, 72 = 68, 88$ , deci $g (0) = - 6, 96$ și $g (16) = - 3, 12$ . Produsul $g (0) \cdot g (16)$ este pozitiv, iar proprietatea nu spune nimic: nu garantează și nici nu exclude o depășire. b) La 14:00, $t = 8$ și $THI (8) = 65, 04 + 17, 28 - 7, 68 = 74, 64$ , deci $g (8) = 2, 64 > 0$ . Din $g (0) < 0 < g (8)$ rezultă o rădăcină în $(0; 8)$ , iar din $g (8) > 0 > g (16)$ încă una în $(8; 16)$ . c) Ecuația $g (t) = 0$ este $0, 12 t^{2} - 2, 16 t + 6, 96 = 0$ , adică $t^{2} - 18 t + 58 = 0$ , cu $t = 9 \pm 23$ , adică $t_{1} \approx 4, 20$ și $t_{2} \approx 13, 80$ ore. Între ele $g > 0$ , de pildă la $t = 8$ , deci stresul termic a ținut de la 10:12 la 19:48, adică $t_{2} - t_{1} = 223 \approx 9, 59$ ore.

Capcană. Cine se uită numai la capete, cu $g (0) \cdot g (16) > 0$ , trece în registru o zi fără stres termic, deși la 14:00 indicele era 74,64. Semnele la fel la capete nu exclud rădăcinile din interior.

Verificare. $THI (4, 1) \approx 71, 88$ și $THI (4, 3) \approx 72, 11$ încadrează 72, iar $13, 80 - 4, 20 = 9, 6$ , cât dă și $223$ rotunjit la zecimi.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Arată că ecuația $0, 04 x^{3} + 0, 6 x = 9$ are o soluție în $(4; 6)$ : notează $f (x) = 0, 04 x^{3} + 0, 6 x - 9$ , verifică continuitatea și calculează semnele la capete. Apoi precizează, cu mijlocul intervalului, în care jumătate se află soluția.

2. Funcția continuă $s (x) = (x - 1, 5) (x - 4) (x - 7, 5)$ se anulează în trei puncte. Scrie semnul ei pe cele patru intervale, cu câte un punct de probă, și spune pe ce mulțime $s (x) \leq 0$ .

3. Pentru fiecare funcție spune dacă proprietatea lui Darboux garantează o rădăcină în intervalul dat; dacă nu, de ce. a) $p (x) = x^{3} - 6 x + 1, 5$ pe $[0; 3]$ . b) $q (x) = \frac{6}{2 x - 7}$ pe $[1; 5]$ . c) $r (x) = 1, 6 x - 3, 6$ pe $[2; 3]$ .

4. O funcție continuă $g$ are $g (2) = 1, 4$ și $g (5) = 6, 8$ . Pentru care dintre valorile $0, 5$ ; $1, 4$ ; $4$ ; $6, 8$ și $9$ poți garanta că $g$ le ia pe $[2; 5]$ ?

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Un redresor încarcă un acumulator de 12 V. În regimul rapid curentul este $I (t) = 8 - 0, 2 t$ A, cu $t$ în minute, iar de la minutul 25 redresorul trece brusc pe menținere, cu 0,6 A. Fie $d (t) = I (t) - 2$ . a) Arată că $d (20) \cdot d (30) < 0$ . b) Există un moment cu exact 2 A? c) De ce nu contrazice acest lucru proprietatea lui Darboux?

6. (Problemă aplicată.) O grindă de lemn, pe trei popi la 0; 1,4 și 2,8 m, are săgeata, în mm, cu minus în jos, $y (x) = 4 x (x - 1, 4)^{2} (x - 2, 8)$ . a) Calculează $y (0, 7)$ și $y (2, 1)$ și spune semnul lui $y$ pe $(0; 1, 4)$ și pe $(1, 4; 2, 8)$ . b) În $x = 1, 4$ avem $y = 0$ : își schimbă $y$ semnul acolo? De ce?

7. (Problemă aplicată.) Termostatul unui motor se deschide la 83 °C. Lichidul de răcire are 81 °C la minutul 10, 82,4 °C la minutul 10,5 și 84 °C la minutul 11. a) A trecut sigur prin 83 °C între minutele 10 și 11? b) Între ce momente, în minute și secunde? c) La minutul 12 are 83,6 °C. A coborât sub 83 °C între minutele 11 și 12?

8. (Problemă aplicată.) O pompă de irigat are caracteristica $H (q) = 42 - 0, 0006 q^{2}$ metri, iar conducta cere $h (q) = 8 + 0, 0005 q^{2}$ metri, cu $q$ în m³/h. Debitul de funcționare este valoarea lui $q \geq 0$ cu $H (q) = h (q)$ . Notează $d (q) = H (q) - h (q)$ . a) Arată că debitul de funcționare este între 150 și 200 m³/h. b) Calculează $d (175)$ și $d (180)$ și restrânge intervalul la 5 m³/h.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) În circuitul din situație, rezistorul de balast are $R$ ohmi în loc de 30 Ω. Notează $f_{R} (U) = 24 - U - R (0, 004 U + 0, 0006 U^{3})$ . Arătați că $f_{R}$ este strict descrescătoare pe $[0; 24]$ și determinați valorile lui $R$ pentru care tensiunea de echilibru este între 8 V și 12 V.

10. (Sinteză.) Pe o bandă transportoare, un colet parcurge $d (t) = 0, 15 t^{2}$ metri în primele 4 secunde, apoi $d (t) = 1, 2 t - 2, 4$ metri, cu $t$ în secunde. Arătați că $d$ este continuă în $t = 4$ și că există un singur moment $t \in (2; 6)$ în care coletul a parcurs 3 m. Determinați-l.

11. (Sinteză.) Un muncitor nou la asamblare produce, după $t$ zile de lucru, $p (t) = \frac{60 t}{t + 5}$ piese pe oră. Calculați $t \to + \infty lim p (t)$ , arătați că $p$ este strict crescătoare pe $[0; + \infty)$ și că există un singur moment în care muncitorul atinge norma de 45 de piese pe oră; determinați-l.

12. (Sinteză.) Fie $h (x) = \frac{( x - 3 ) ^{2} ( x + 5 )}{x - 1}$ , definită pe $R ∖ {1}$ . Determinați mulțimea soluțiilor inecuației $h (x) \leq 0$ , calculați limitele laterale ale lui $h$ în 1 și explicați de ce $h$ își schimbă semnul în 1 fără să se anuleze.

Răspunsuri și verificări

1. $f (4) = - 4, 04$ și $f (6) = 3, 24$ au semne contrare, iar $f$ e continuă. Cum $f (5) = - 1 < 0$ , soluția e în $(5; 6)$ . Verificare: $f (5, 5) = 0, 955 > 0$ , deci e în $(5; 5, 5)$ .

2. Punctele de probă 0; 3; 5; 9 dau $- 45$ ; $6, 75$ ; $- 8, 75$ ; $56, 25$ , deci semnele −, +, −, +, iar $s (x) \leq 0$ pe $(- \infty; 1, 5] \cup [4; 7, 5]$ . Verificare: semnele alternează la rădăcinile simple.

3. a) $p (0) = 1, 5$ și $p (3) = 10, 5$ au același semn: nimic garantat, deși $p (1) = - 3, 5$ arată rădăcini. b) $q (1) = - 1, 2$ și $q (5) = 2$ , dar $q$ nu e continuă în 3,5 și n-are rădăcini. c) $r (2) = - 0, 4$ și $r (3) = 1, 2$ dau rădăcina 2,25. Verificare: $r (2, 25) = 0$ .

4. Sigur sunt luate 1,4; 4 și 6,8, cuprinse între $g (2)$ și $g (5)$ . Valorile 0,5 și 9 sunt în afara intervalului $[1, 4; 6, 8]$ . Verificare: $1, 4 \leq 4 \leq 6, 8$ .

5. a) $d (20) = 2$ și $d (30) = 0, 6 - 2 = - 1, 4$ . b) Nu: $8 - 0, 2 t = 2$ dă $t = 30$ , după minutul 25, iar menținerea dă 0,6 A. c) Curentul sare de la 3 A la 0,6 A în $t = 25$ : $d$ nu e continuă. Verificare: nu ia nicio valoare dintre 0,6 A și 3 A.

6. a) $y (0, 7) = y (2, 1) = - 2, 8812$ mm, iar $y$ nu se anulează în interiorul intervalelor, deci $y < 0$ pe ambele. b) Nu: $(x - 1, 4)^{2} \geq 0$ , rădăcină dublă. Verificare: grinda nu trece în sus.

7. a) Da: temperatura variază continuu, iar 83 e între 81 și 84. b) Între 10 min 30 s și 11 min. c) Nu se poate afirma: ambele citiri sunt peste 83 °C, iar semnele la fel nici nu garantează, nici nu exclud o scădere sub 83 °C urmată de revenire. Verificare: la b) intervalul s-a înjumătățit, de la 60 s la 30 s.

8. $d (q) = 34 - 0, 0011 q^{2}$ . a) $d (150) = 9, 25$ și $d (200) = - 10$ , deci debitul e în $(150; 200)$ . b) $d (175) = 0, 3125$ și $d (180) = - 1, 64$ , deci e între 175 și 180 m³/h. Verificare: $34 : 0, 0011 \approx 175, 8$ m³/h.

9. Când $U$ crește, cresc $U$ și ambii termeni înmulțiți cu $R > 0$ , care se scad din 24, deci $f_{R}$ scade. Rădăcina e în $(8; 12)$ exact când $f_{R} (8) > 0 > f_{R} (12)$ , adică $16 - 0, 3392 R > 0$ și $12 - 1, 0848 R < 0$ . Rezultă $R \in (11, 06; 47, 17)$ ohmi. Verificare: $R = 30$ Ω dă 9,14 V, în $(8; 12)$ V.

10. În 4, ambele ramuri dau $0, 15 \cdot 16 = 1, 2 \cdot 4 - 2, 4 = 2, 4$ m, deci $d$ e continuă pe $[2; 6]$ . Pentru $g (t) = d (t) - 3$ : $g (2) = - 2, 4$ , $g (6) = 1, 8$ , iar $d$ crește strict pe ambele ramuri: momentul există și e unic. Cum $d (4) = 2, 4 < 3$ , momentul e după 4 s: $1, 2 t - 2, 4 = 3$ dă $t = 4, 5$ s. Verificare: $d (4, 5) = 5, 4 - 2, 4 = 3$ m.

11. Din $p (t) = 60 - \frac{300}{t + 5}$ rezultă $t \to + \infty lim p (t) = 60$ de piese pe oră, iar $p$ crește strict, fiindcă fracția scade când $t$ crește. Cum $p (0) = 0 < 45 < 60$ , limita dă un moment cu $p > 45$ , de pildă $p (30) \approx 51, 4$ : momentul e în $(0; 30)$ și e unic. Ecuația $p (t) = 45$ dă $15 t = 225$ , deci $t = 15$ zile. Verificare: $p (15) = \frac{900}{20} = 45$ .

12. Zerourile $- 5$ și 3 (dublu) și numitorul nul în 1 dau intervalele; în $- 6$ ; 0; 2; 4, $h$ ia $\frac{81}{7}$ ; $- 45$ ; 7; 3. Semnul se schimbă în $- 5$ și în 1, nu în 3, deci $h (x) \leq 0$ pe $[- 5; 1) \cup {3}$ . Numărătorul tinde la 24, deci $x \to 1^{-} lim h (x) = - \infty$ și $x \to 1^{+} lim h (x) = + \infty$ : semnul trece peste asimptota verticală $x = 1$ . Verificare: $h (- 5) = h (3) = 0$ .

Așa vine la Bac M3

Programa de examen cuprinde proprietatea lui Darboux, cu semnul unei funcții continue pe un interval, însă ea nu a apărut în probele 2013–2026. Programa M_tehnologic așază tema la clasa a XI-a, în blocul „Elemente de analiză matematică”, la capitolul „Funcții continue”, lângă continuitatea într-un punct și operațiile cu funcții continue. Indexul cerințelor, făcut din cele 83 de probe oficiale, are 1 494 de cerințe. Niciuna nu are tema aceasta, iar în enunțurile lor nu apar cuvintele „Darboux”, „continuă” sau „semnul funcției”.

Fără cerințe reale pe temă, secțiunea nu trimite la probe și nu propune cerințe-model. Sintezele 9–12 țin tema lângă vecinii ei: monotonia, continuitatea unei funcții date pe ramuri, limitele la infinit și semnul unei expresii cu numitor. Nu reproduc probe și nu sugerează forma unei cerințe reale; fiecare exersează ce ai învățat aici. Tabelul de semn reapare la semnul derivatei, iar planul clasei se găsește în hubul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

„Exact una” în loc de „cel puțin una”. Din $f (a) \cdot f (b) < 0$ scrii că rădăcina este unică → ratezi rădăcinile rămase, ca la pardoseala cu trei rădăcini; cum o prinzi: proprietatea dă cel puțin una, iar pentru unicitate arăți că $f$ este strict monotonă.
Semne la fel, deci fără rădăcină. Vezi $g (0) \cdot g (16) > 0$ și scrii că vacile nu au stat în stres termic → treci cu vederea indicele 74,64 de la 14:00; cum o prinzi: calculezi $g$ și într-un punct din interior.
Funcție cu salt. Aplici proprietatea pe $[20; 30]$ la redresorul care trece brusc pe menținere → cauți un moment cu 2 A care nu există; cum o prinzi: verifici dacă ramurile se leagă acolo unde formula se schimbă.
Punct de probă chiar în rădăcină. Cu $d (420) = 0$ scrii „semn 0” pe tronson → tabelul rămâne fără semn; cum o prinzi: alegi un punct de probă care nu este rădăcină.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Proprietatea lui Darboux face parte din programa de examen pentru Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă dacă tehnicianul calculează și pentru 10 V?

Obține $f (10) = - 5, 2$ V, negativ. Cum $f (8) > 0$ , semnele sunt contrare pe $[8; 10]$ , deci tensiunea de echilibru e acolo. Intervalul de 4 V a devenit de 2 V, iar următorul calcul se face în mijlocul lui, la 9 V. Fiecare calcul înjumătățește intervalul, fără să încerci toate tensiunile.

Din $f (0) = 24$ și $f (8) = 5, 824$ , pozitive amândouă, rezultă că nu există echilibru sub 8 V?

Proprietatea lui Darboux nu spune nimic când semnele sunt la fel. Concluzia e totuși corectă aici, dar din alt motiv: $f$ este strict descrescătoare, iar $f (8) > 0$ , deci $f$ rămâne pozitivă pe tot $[0; 8]$ . Fără o asemenea informație, semnele la fel nu exclud rădăcinile.

Ce se schimbă dacă tehnicianul leagă varistorul cu bornele inversate?

Tensiunea de echilibru rămâne aceeași. Varistorul conduce la fel în ambele sensuri: $I (- U) = - 0, 004 U - 0, 0006 U^{3} = - I (U)$ , același curent, în sens opus. Căderile de tensiune adună tot 24 V la aceeași valoare, $U_{0} \approx 9, 14$ V, iar curentul de 0,495 A doar își schimbă sensul.

Ce se schimbă dacă varistorul e înlocuit cu un contactor care se închide brusc la 10 V?

Curentul nu mai variază continuu: la 10 V sare dintr-o valoare în alta. Funcția $f$ are atunci un salt în $U = 10$ și își poate schimba semnul fără să fie 0 vreodată. Proprietatea lui Darboux nu se mai aplică pe un interval care conține saltul, iar echilibrul poate lipsi.

Poate fi cerută proprietatea lui Darboux la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)?

Este în programa de examen, în blocul „Elemente de analiză matematică” din clasa a XI-a. În indexul făcut din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, nu a apărut încă nicio cerință cu această temă. Fiind în programă, poate fi cerută, așa că merită știută, chiar dacă nu are cerințe-model.