Ce formule am la cerc și poligoane regulate?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Cercul și poligoanele regulate

Pentru un cerc de rază $r$ reții lungimea $L = 2 π r$ și aria discului $A = π r^{2}$ : prima folosește raza simplă, a doua raza la pătrat. Un unghi înscris are măsura pe jumătate față de cel de la centru ridicat pe același arc, iar cel care se reazemă pe diametru are $9 0^{\circ}$ . La poligoane înscrise: $l_{6} = r$ , $l_{4} = r 2$ , $l_{3} = r 3$ . Pentru $r = 5$ cm ies $10 π$ cm și $25 π$ cm².

Cercul de centru $O$ și rază $r$ are două formule esențiale: lungimea $L = 2 π r$ și aria discului $A = π r^{2}$ — atenție, lungimea folosește $r$ , aria folosește $r^{2}$ ! Reține și legătura de aur: un unghi înscris este mereu jumătate din unghiul la centru care privește același arc (iar un unghi înscris pe diametru are exact $90°$ ). Pentru poziții relative, comparăm distanțe cu razele: dreaptă-cerc după $δ$ vs $r$ , două cercuri după $O O^{'}$ vs $R + r$ și $R - r$ . La poligoanele regulate înscrise de rază $r$ : triunghi echilateral $l_{3} = r 3$ , pătrat $l_{4} = r 2$ , iar cel mai simplu de reținut, hexagonul regulat are latura exact egală cu raza, $l_{6} = r$ .

Exemplu minimal: un cerc cu $r = 5$ cm are $L = 2 π \cdot 5 = 10 π \approx 31, 4$ cm și $A = π \cdot 5^{2} = 25 π \approx 78, 5$ cm².

De reținut

$L = 2 π r$ și $A = π r^{2}$
un unghi înscris are jumătate din unghiul la centru de pe același arc
$l_{3} = r 3$ , $l_{4} = r 2$ , $l_{6} = r$

Greșeala tipică

Se folosește raza la pătrat la lungimea cercului și raza simplă la arie. Unitatea de măsură arată care formulă e potrivită: centimetri pentru lungime, centimetri pătrați pentru arie.

Exerciții din această mini-lecție

Un unghi la centru într-un cerc are măsura $80°$ . Cât măsoară un unghi înscris care subîntinde același arc?
- a) $40°$
- b) $80°$
- c) $160°$
- d) $20°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $40°$

Unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru corespunzător aceluiași arc: $\frac{80°}{2} = 40°$ .
Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $r = 7$ cm. Cât este latura hexagonului?
- a) $72$ cm
- b) $73$ cm
- c) $7$ cm
- d) $14$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $7$ cm

La hexagonul regulat, latura este mereu egală cu raza cercului circumscris: $l_{6} = r = 7$ cm.
Un unghi la centru într-un cerc are măsura $110°$ . Cât măsoară un unghi înscris care subîntinde același arc?
- a) $35°$
- b) $55°$
- c) $75°$
- d) $220°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $55°$

Unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru corespunzător aceluiași arc: $\frac{110°}{2} = 55°$ .

Întrebări conexe

Cât este aria unui sector de cerc de 60 de grade?

Iei fracția din disc pe care o acoperă unghiul: $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ . Deci aria sectorului este a șasea parte din aria întregului disc, adică $\frac{π r ^{2}}{6}$ . Pentru $r = 6$ cm rezultă $6 π$ cm², cam $18, 8$ cm².

Cum aflu lungimea unui arc de cerc?

Înmulțești lungimea întregului cerc cu fracția pe care o reprezintă unghiul la centru: $l = \frac{n}{360} \cdot 2 π r$ . La un unghi de $9 0^{\circ}$ obții un sfert de cerc. Pentru $r = 8$ cm și $n = 90$ iese $4 π$ cm.

Când este o dreaptă tangentă la un cerc?

Când distanța de la centru până la ea este exact cât raza. Dacă distanța e mai mică, dreapta taie cercul în două puncte; dacă e mai mare, nu îl atinge deloc. În punctul de tangență raza este perpendiculară pe dreaptă, ceea ce se folosește în aproape orice problemă cu tangente.

Cum aflu raza dacă știu aria discului?

Împarți aria la $π$ și extragi radicalul. Dintr-o arie de $49 π$ cm² obții $r^{2} = 49$ , deci $r = 7$ cm. Dacă aria e dată ca număr zecimal, folosești aproximarea $π \approx 3, 14$ și lucrezi cu rotunjiri.

Ce înseamnă că două cercuri sunt tangente exterior?

Se ating într-un singur punct și stau unul în afara celuilalt, iar distanța dintre centre este suma razelor, adică $R + r$ . Dacă unul stă înăuntru și se ating tot într-un punct, tangența e interioară, iar distanța devine diferența razelor.

Cum apar formulele cercului la o problemă cu roți?

O roată care se rostogolește fără să alunece parcurge, la fiecare tură completă, o distanță egală cu lungimea cercului ei. Pentru o roată cu raza de $30$ cm, o rotație înseamnă $60 π$ cm, adică aproape $1, 9$ m. Împărțind drumul la această valoare afli numărul de rotații.

Oamenii mai întreabă și: formulele cercului · lungimea cercului și aria discului · unghi înscris și unghi la centru · laturile poligoanelor regulate înscrise · recapitulare cerc și poligoane