Cum aflu un procent dintr-o cantitate?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Rapoarte, procente, proporții — recapitulare

Înmulțești cantitatea cu procentul scris ca fracție cu numitorul $100$ sau, mai rapid, cu forma lui zecimală. Pentru $15%$ din $240$ obții $0, 15 \cdot 240 = 36$ . Aceeași scriere ajută și la întrebările inverse: ce parte reprezintă o valoare din total și cât este întregul când cunoști procentul și partea. La $4$ caiete de $12$ lei, $10$ caiete costă $30$ de lei.

Un raport al numerelor $a$ și $b$ ( $b \neq = 0$ ) este câtul $\frac{a}{b}$ ; el arată de câte ori sau ce parte reprezintă un număr din altul. Un procent este un raport cu numitorul 100: $p % = \frac{p}{100}$ , folosit în trei situații — afli $p %$ din $N$ ( $\frac{p}{100} \cdot N$ ), afli ce procent e o parte din întreg, sau afli întregul când știi procentul. O proporție este egalitatea $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , cu proprietatea fundamentală $a \cdot d = b \cdot c$ . La regula de trei decizi întâi dacă mărimile sunt direct proporționale (raport constant, cresc împreună) sau invers proporționale (produs constant, una crește, cealaltă scade). Exemplu: dacă 4 caiete costă 12 lei, atunci 10 caiete costă $\frac{12}{4} \cdot 10 = 30$ lei (direct proporțional).

De reținut

$p %$ din $N$ înseamnă $\frac{p}{100} \cdot N$
proporție: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , cu $a \cdot d = b \cdot c$
direct proporțional: raport constant; invers proporțional: produs constant

Greșeala tipică

Se raportează partea la valoarea rămasă, nu la întreg, iar procentul iese greșit; numitorul cuprinde întotdeauna totalul de la care se pornește, inclusiv partea despre care se vorbește.

Exerciții din această mini-lecție

Un ghiozdan costă 350 lei. Se aplică o reducere de $20%$ . Cât costă ghiozdanul după reducere?
- a) 280 lei
- b) 315 lei
- c) 70 lei
- d) 300 lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 280 lei

Reducerea este $20%$ din 350: $\frac{20}{100} \cdot 350 = 70$ lei. Prețul nou este $350 - 70 = 280$ lei. Metoda rapidă: plătești $80%$ din preț, deci $0, 8 \cdot 350 = 280$ lei.
5 muncitori termină o lucrare în 18 zile. În câte zile termină aceeași lucrare 9 muncitori la fel de harnici?
- a) 10 zile
- b) 32,4 zile
- c) 14 zile
- d) 90 zile
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 10 zile

Mai mulți muncitori termină lucrarea mai repede, deci mărimile sunt invers proporționale, iar produsul lor rămâne constant: $5 \cdot 18 = 9 \cdot x$ , adică $90 = 9 x$ , deci $x = 10$ zile.
Un rucsac costă 240 lei. Se aplică o reducere de $15%$ . Cât costă rucsacul după reducere?
- a) 204 lei
- b) 224 lei
- c) 234 lei
- d) 36 lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 204 lei

Reducerea este $15%$ din 240: $\frac{15}{100} \cdot 240 = 36$ lei. Prețul nou este $240 - 36 = 204$ lei. Metoda rapidă: plătești $85%$ din preț, deci $0, 85 \cdot 240 = 204$ lei. Variantele b) și c) provin din calcularea greșită a reducerii, iar d) este doar suma reducerii, nu prețul final.

Întrebări conexe

Ce trei tipuri de probleme cu procente apar la examen?

Aflarea unui procent dintr-un total, aflarea procentului pe care îl reprezintă o parte și aflarea întregului când cunoști partea și procentul. Primele două se rezolvă prin înmulțire sau împărțire directă, iar al treilea printr-o împărțire la forma zecimală a procentului.

Cum aflu întregul când cunosc procentul și partea?

Împarți partea la procentul scris ca număr zecimal. Dacă $36$ reprezintă $15%$ dintr-o cantitate, împarți $36$ la $0, 15$ și obții $240$ . Verificarea se face înmulțind rezultatul cu procentul, ca să regăsești partea de la care ai pornit.

Cum folosesc proporția fundamentală la o cerință de examen?

Scrii cele două rapoarte egale și înmulțești în cruce, apoi împarți ca să afli necunoscuta. Din $\frac{4}{10} = \frac{12}{x}$ obții $4 x = 120$ , deci $x = 30$ . Metoda merge indiferent de poziția termenului necunoscut.

Cum calculez timpul unui drum cunoscând viteza și distanța?

Împarți distanța la viteză, fiindcă pe un drum de lungime dată viteza și timpul sunt invers proporționale: produsul lor rămâne chiar distanța. Pentru $180$ km parcurși cu $60$ km pe oră obții $3$ ore. Atenție la unități: kilometrii merg cu kilometri pe oră, iar metrii cu metri pe secundă.

Cum verific dacă răspunsul la o problemă cu procente este corect?

Îl compari cu situația descrisă: un preț redus trebuie să fie mai mic decât cel inițial, iar unul scumpit mai mare. Apoi refaci calculul invers, pornind de la rezultat. Cele două controale prind aproape toate greșelile de raportare.

Ce diferență este între raport, proporție și procent?

Raportul este câtul a două numere, proporția este egalitatea a două rapoarte, iar procentul este un raport cu numitorul $100$ . Toate trei descriu comparații, dar numai proporția are patru termeni și proprietatea produselor egale.

Oamenii mai întreabă și: cum se calculează un procent dintr-un număr · recapitulare rapoarte proporții procente · procente pentru Evaluarea Națională · regula de trei la examen