Ce operații pot face cu radicali?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Recapitulare numere reale și radicali

Poți scoate factorii de sub semn, folosind $a^{2} b = a b$ , și îi poți introduce înapoi. Aduni sau scazi doar radicalii care au aceeași expresie sub semn, adunându-le coeficienții. La înmulțire și la împărțire lucrezi separat cu coeficienții și separat cu radicalii. La final scoți radicalul din numitor. Astfel $8 + 18$ devine $22 + 32 = 52$ .

Ideea centrală a capitolului: $n$ este rațional doar dacă $n$ este pătrat perfect (de exemplu $36 = 6$ ); altfel este irațional, cu zecimale infinite și neperiodice. Așa se completează lanțul numerelor reale: $N \subset Z \subset Q \subset R$ . Reține și $a^{2} = ∣ a ∣$ , pentru că rezultatul unei rădăcini nu poate fi negativ.

La radicali, totul pornește de la scoaterea/introducerea factorilor: $a^{2} b = a b$ . Doi radicali se adună sau se scad doar dacă sunt asemenea (au aceeași expresie sub radical): $m a \pm n a = (m \pm n) a$ . Nu există regula $a + b = a + b$ !

La înmulțire/împărțire lucrezi separat coeficienții și radicalii, iar la final raționalizezi orice numitor cu radical, înmulțind fracția sus și jos cu acel radical.

Exemplu: $8 + 18 = 22 + 32 = 52$ .

De reținut

$a^{2} b = a b$ și $a b = a^{2} b$ , pentru $a \geq 0$
$m a \pm n a = (m \pm n) a$
$a + b \neq = a + b$

Greșeala tipică

Se adună radicalii ca și cum s-ar aduna radicandele, deci $9 + 16$ ar da $25$ . De fapt suma este $3 + 4 = 7$ , nu $5$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre numerele următoare este irațional?
- a) $64$
- b) $90$
- c) $100$
- d) $121$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $90$

$90$ nu este pătrat perfect (vecinii lui sunt $81 = 9^{2}$ și $100 = 1 0^{2}$ ), deci $90$ are zecimale infinite și neperiodice. Celelalte trei sunt pătrate perfecte: $64 = 8$ , $100 = 10$ , $121 = 11$ , toate raționale.
Calculează $32 + 18$ , scoțând întâi factorii de sub radical.
- a) $72$
- b) $52$
- c) $75$
- d) $50$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $72$

$32 = 16 \cdot 2 = 42$ și $18 = 9 \cdot 2 = 32$ . Fiind radicali asemenea (au $2$ ), adunăm coeficienții: $42 + 32 = 72$ .
Calculează $25 \cdot 35$ .
- a) $30$
- b) $150$
- c) $10$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $30$

$25 \cdot 35 = (2 \cdot 3) (5 \cdot 5) = 6 \cdot 5 = 30$ . Dacă înmulțești greșit toți cei patru factori între ei obții $150$ , iar dacă uiți radicalul obții $10$ .

Întrebări conexe

Cât face radical din 50 minus radical din 32?

Scoți factorii de sub semn: $50 = 52$ și $32 = 42$ . Radicalii fiind acum de același fel, scazi coeficienții și rămâi cu $2$ . Fără simplificarea de la început, cele două nu păreau deloc asemenea și scăderea ar fi părut imposibilă.

Cum înmulțesc doi radicali cu coeficienți?

Înmulțești numerele din față între ele și radicalii între ei. Din $32 \cdot 56$ obții $1512$ , apoi simplifici: $12 = 23$ , deci rezultatul este $303$ . Simplificarea de la final nu se sare, altfel răspunsul rămâne neterminat.

Cum ordonez crescător numere de forma coeficient ori radical?

Introduci fiecare coeficient sub radical și compari radicandele. Din $25$ obții $20$ , iar din $32$ obții $18$ . Cum $18$ este mai mic decât $20$ , rezultă că $32 < 25$ . Metoda merge oricâte numere ai de așezat în ordine.

Ce mulțimi de numere se cuprind una pe alta?

Naturalele intră în întregi, întregii în raționale, iar raționalele în reale: $N \subset Z \subset Q \subset R$ . Fiecare treaptă adaugă ceva: întregii aduc numerele negative, raționalele aduc fracțiile, iar realele aduc numerele cu zecimale nesfârșite și fără perioadă.

Cât face radical din 3 înmulțit cu el însuși?

Rezultatul este chiar $3$ , adică numărul de sub semn. Regula generală spune că $(a)^{2} = a$ , pentru orice $a$ pozitiv sau zero. Nu confunda cu $23$ , care înseamnă dublul radicalului, adică aproximativ $3, 46$ .

Ce fel de număr este suma dintre 2 și radical din 5?

Este irațional. Adunând un întreg la un număr cu zecimale nesfârșite și neperiodice, partea aceea nu dispare, ci doar se mută. Valoarea aproximativă este $4, 236 \dots$ Un rezultat rațional ar apărea doar dacă al doilea termen ar anula radicalul, ceea ce aici nu se întâmplă.

Oamenii mai întreabă și: operații cu radicali · cum adun doi radicali · scoaterea factorilor de sub radical · recapitulare numere reale · înmulțirea și împărțirea radicalilor