Statistică și sondaje: sinteza capitolului: pe scurt

Orice analiză statistică răspunde la două întrebări: unde stau datele și cât de împrăștiate sunt. La prima întrebare răspund media $\bar{x}=\frac{\sum n_i{x}_i}{n}$, mediana $Q_2$ (valoarea din mijloc, după ordonare) și modul. La a doua răspund amplitudinea, cuartilele și abaterea standard. Algoritmul cuartilelor se respectă literă cu literă: ordonezi crescător, calculezi $Q_2$, iar dacă $n$ e impar, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre cele două jumătăți; $Q_1$ și $Q_3$ sunt medianele celor două jumătăți, iar $\text{IQR}=Q_3-Q_1$.

Abaterea standard are două formule care nu se amestecă niciodată: $\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$ pentru populație și $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$ pentru eșantion; pe aceleași date, $s>\sigma$. Comparând două seturi, un $\sigma$ mai mic înseamnă grup mai omogen, adică rezultate mai previzibile — dar nu neapărat „mai bun".

Sondajul întreabă un eșantion și extinde concluzia la populație. Eșantionarea stratificată împarte populația în straturi și extrage din fiecare o cotă proporțională, $n_i=\frac{N_i}{N}\cdot n$, cu $\sum n_i=n$. Un eșantion mai mare reduce doar eroarea de eșantionare — nu repară autoselecția sau non-răspunsul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un cercetător măsoară timpul de reacție al $30$ de elevi, aleși dintr-un liceu cu $600$ de elevi, pentru a estima variabilitatea la nivelul întregului liceu. Ce formulă a abaterii standard trebuie să folosească pentru cele $30$ de valori culese?

   • a) $\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$, pentru că cei $30$ de elevi formează o populație
   • b) $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$, pentru că cei $30$ de elevi sunt un eșantion dintr-o populație mai mare
   • c) $s$ și $\sigma$ dau întotdeauna același rezultat, deci oricare formulă e corectă
   • d) $\sigma$, pentru că orice set de date se tratează implicit ca populație
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$, pentru că cei $30$ de elevi sunt un eșantion dintr-o populație mai mare

   Cei $30$ de elevi sunt o submulțime extrasă dintr-o populație mai mare (liceul cu $600$ de elevi), deci setul de date este un eșantion, iar formula potrivită este $s$, cu împărțire la $n-1$. Formula $\sigma$ (variantele a și d) se folosește doar când setul de date este toată populația studiată. Pe aceleași date, $s$ este întotdeauna mai mare decât $\sigma$, deci nu coincid (varianta c e greșită).

2. Determinați mediana setului de date $2,5,7,9,12,15,18,20,24$.

   • a) $9$
   • b) $15$
   • c) $12$
   • d) $10,5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $12$

   Datele sunt deja ordonate crescător, iar $n=9$ este impar, deci mediana este valoarea de pe poziția $\frac{9+1}{2}=5$, adică $Q_2=12$. Varianta a) ia greșit a patra valoare, varianta b) ia a șasea, iar varianta d) calculează o medie a două valori, ca și cum $n$ ar fi par.

3. Pentru același set de date, $2,5,7,9,12,15,18,20,24$, determinați $Q_1$.

   • a) $7$
   • b) $6$
   • c) $9$
   • d) $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $6$

   Cum $n=9$ este impar, mediana $Q_2=12$ nu intră în nicio jumătate. Jumătatea inferioară este $2,5,7,9$, iar mediana ei este $Q_1=\frac{5+7}{2}=6$. Varianta a) ia direct valoarea din mijlocul jumătății fără să calculeze media a două valori, varianta c) include greșit mediana în jumătatea de jos, iar varianta d) ia doar prima valoare.