Pentru care dintre limitele de mai jos se poate aplica regula lui l'Hospital în forma directă, adică raportul are forma $$\dfrac{0}{0}$$ sau $$\dfrac{\infty}{\infty}$$?

$$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{3} - 1}{\ln x}$$

$$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2} - 9}{x + 1}$$

$$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\ln x}{x - 2}$$

$$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2} + 5}{x - 1}$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Raportul derivatelor, cu verificare

Cum arăt cu l'Hospital că limita este 0?

Verifici forma limitei, apoi derivezi separat numărătorul și numitorul și arăți că raportul derivatelor tinde la $0$ . Exemplu: $x \to + \infty lim \frac{5 ln x}{x ^{2} + 4}$ . Ambii termeni tind la $+ \infty$ , raportul derivatelor este $\frac{5}{x \cdot 2 x} = \frac{5}{2 x ^{2}}$ , iar acesta tinde la $0$ . Verificare: la $x = 10$ , raportul inițial este $\frac{11 , 51}{104} \approx 0, 11$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Regula lui l'Hospital calculează o limită de forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ înlocuind raportul funcțiilor cu raportul derivatelor lor, luate separat: $lim \frac{f}{g} = lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ , dacă a doua limită există. Funcțiile trebuie să fie derivabile lângă punct, iar $g^{'}$ să nu se anuleze acolo.

Metoda: recunoști forma prin înlocuire în numărător și în numitor, verifici condițiile, derivezi fiecare funcție pe cont propriu, fără regula câtului, apoi calculezi limita raportului derivatelor. Dacă forma rămâne nedeterminată, repeți pașii. La final confrunți rezultatul cu valorile raportului dinainte de derivare, citite în trei puncte tot mai aproape de limită.

La infinit te ajută ordinea creșterii: logaritmul crește mai încet decât orice putere, iar puterea mai încet decât $e^{x}$ . Capcanele sunt regula folosită unde forma nu este nedeterminată, derivarea numai a numărătorului, oprirea după prima aplicare și un semn pierdut la derivată.

Un produs de forma $0 \cdot \infty$ se scrie mai întâi ca raport. Dacă raportul derivatelor nu are limită, regula nu spune nimic despre raportul inițial și cauți altă cale.

De reținut

forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ se verifică înainte de derivare
$\frac{f}{g}$ are limita lui $\frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ , cu derivatele luate separat
$ln x$ crește mai încet decât puterile lui $x$ , iar acestea mai încet decât $e^{x}$

Greșeala tipică

Se derivează raportul ca pe un cât. La $\frac{5 ln x}{x ^{2} + 4}$ se derivează separat numărătorul și numitorul, nu se aplică regula câtului.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru care dintre limitele de mai jos se poate aplica regula lui l'Hospital în forma directă, adică raportul are forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ ?
- a) $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x + 1}$
- b) $x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{ln x}$
- c) $x \to 2 lim \frac{ln x}{x - 2}$
- d) $x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 5}{x - 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{ln x}$

La b) numărătorul $x^{3} - 1$ și numitorul $ln x$ tind amândoi la $0$ , deci forma este $\frac{0}{0}$ . La a) numitorul tinde la $4$ , iar limita se obține prin înlocuire. La c) numărătorul tinde la $ln 2 \neq = 0$ , iar la d) la $6$ , în timp ce numitorul tinde la $0$ : sunt limite de forma $\frac{num a ˘ r}{0}$ , nu nedeterminări.
Cât este $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x ^{2} + 5 x}$ ?
- a) $0$
- b) $1$
- c) $5$
- d) $\frac{1}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{5}$

Forma este $\frac{0}{0}$ , iar derivatele sunt $e^{x}$ și $2 x + 5$ , deci limita este $\frac{e ^{0}}{2 \cdot 0 + 5} = \frac{1}{5}$ . Valoarea $0$ înlocuiește numai numărătorul, iar $1$ derivează numai numărătorul. Valoarea $5$ inversează raportul derivatelor.
Cât este $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1 - x}{4 x ^{2}}$ ?
- a) $\frac{1}{8}$
- b) $0$
- c) $1$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{8}$

Prima aplicare dă $\frac{e ^{x} - 1}{8 x}$ , tot de forma $\frac{0}{0}$ ; a doua dă $\frac{e ^{x}}{8}$ , care tinde la $\frac{1}{8}$ . Valoarea $0$ se oprește la prima aplicare și înlocuiește numai numărătorul, $e^{0} - 1$ . Valoarea $1$ derivează a doua oară numai numărătorul, iar $8$ inversează raportul $\frac{8}{e ^{x}}$ .

Întrebări conexe

Cum tratez limita lui (f(x) − f(0)) / x² în 0?

Raportul are forma $\frac{0}{0}$ , deci derivezi, iar dacă forma rămâne aceeași derivezi încă o dată. Pentru $f (x) = e^{x} - x + 2$ avem $f (0) = 3$ și numărătorul $e^{x} - x - 1$ . Prima aplicare dă $\frac{e ^{x} - 1}{2 x}$ , a doua dă $\frac{e ^{x}}{2}$ , deci limita este $\frac{1}{2}$ .

Cum arăt că f(x) / e^x tinde la 0 când f este o fracție?

Numitorul tinde la $+ \infty$ , iar pentru $f (x) = \frac{x ^{2} + 6}{x + 2}$ și numărătorul tinde la $+ \infty$ . Derivata este $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} + 4 x - 6}{( x + 2 ) ^{2}}$ , care tinde la $1$ , deci raportul derivatelor are numărătorul spre $1$ și numitorul $e^{x}$ spre infinit: tinde la $0$ .

Ce scriu ca justificare când folosesc regula?

Scrii pe rând forma limitei, raportul derivatelor și limita lui. Pentru $x \to + \infty lim \frac{3 ln x}{x + 9}$ ai forma $\frac{\infty}{\infty}$ , apoi raportul $\frac{3/ x}{1} = \frac{3}{x}$ și în final limita $0$ . Fără forma scrisă la început, demonstrația rămâne incompletă.

Cum aplic regula la o limită cu radical?

Derivezi radicalul din tabel, $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ , și numitorul separat. Pentru $x \to 9 lim \frac{2 x - 6}{x - 9}$ , forma este $\frac{0}{0}$ , iar raportul derivatelor este $\frac{1}{x}$ , care tinde la $\frac{1}{3}$ . Același rezultat dă amplificarea cu $x + 3$ : câtul devine $\frac{2}{x + 3}$ .

Ce fac când raportul derivatelor are o fracție la numărător?

Aduci totul la o singură fracție înainte să treci la limită. Pentru $x \to 2 lim \frac{ln x - ln 2}{x ^{2} - 4}$ , forma este $\frac{0}{0}$ , iar raportul derivatelor este $\frac{1/ x}{2 x} = \frac{1}{2 x ^{2}}$ , care tinde la $\frac{1}{8}$ . Verificare: la $x = 2, 001$ raportul inițial este aproximativ $0, 1249$ .

Cum aflu parametrul ca o limită cu l'Hospital să fie finită?

Ceri ca după fiecare derivare forma să rămână $\frac{0}{0}$ , altfel limita este infinită. Pentru $x \to 1 lim \frac{ln x - a ( x - 1 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ , prima derivare dă $\frac{1/ x - a}{2 ( x - 1 )}$ ; numărătorul se anulează în 1 doar pentru $a = 1$ . A doua derivare dă $\frac{- 1/ x ^{2}}{2}$ , deci limita este $- \frac{1}{2}$ .

Oamenii mai întreabă și: cum demonstrez că limita este zero · limită zero cu ln x și o putere · l'Hospital pentru raportul dintre logaritm și polinom · arată că limita raportului este 0