Regula l'Hospital: când se aplică, tehnologic

Foaia de calcul a unui atelier afișează „eroare” tocmai în rândul în care cele două capete ale unui schimbător de căldură au aceeași diferență de temperatură, deși mărimea căutată există. Valoarea lipsă este o limită de forma 0 supra 0, iar regula lui l'Hospital o dă dintr-o derivare. Ca elev de clasa a XI-a la filiera tehnologică, afli aici și când regula nu are voie să fie folosită. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), ea apare la Subiectul al III-lea.

Situația de pornire

În atelierul unei fabrici de piese, uleiul de răcire al unui strung trece printr-un schimbător de căldură cu apă, în contracurent. Uleiul intră la 72 °C și iese la 49 °C, iar apa intră la 14 °C și iese la 37 °C. La capătul cald diferența de temperatură este $72-37=35$ K, iar la capătul rece este $49-14=35$ K. Tehnicianul calculează puterea preluată de apă cu $Q=0,28\cdot \Delta T_{ml}$ kilowați, unde 0,28 kW/K este produsul dintre coeficientul de transfer și aria schimbătorului, iar $\Delta T_{ml}$ este diferența medie logaritmică, $\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln \Delta T_1-\ln \Delta T_2}$. Dacă cele două diferențe sunt egale, atât numărătorul, cât și numitorul se anulează, iar foaia afișează eroare.

Cele patru rânduri au aceeași diferență la capătul rece, 35 K, obținută cu debite diferite de ulei și de apă.

Întrebare: ce valoare trebuie să afișeze foaia pentru $\Delta T_1=35$ K și ce putere preia apa în acel caz?

De la situație la model

Premisele sunt nedeterminările de tip 0/0, din care știi simplificarea unei fracții, și regulile de derivare. Toate temele anului sunt adunate pe traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Ce înseamnă forma 0/0 și forma ∞/∞?

Un raport $\frac{f}{g}$ are forma $\frac{0}{0}$ într-un punct dacă numărătorul și numitorul tind amândoi la 0 acolo. Are forma $\frac{\infty }{\infty }$ dacă amândoi tind la $+\infty$ sau la $-\infty$. În situație, pentru $x\to 35$, numărătorul $x-35$ tinde la 0, iar numitorul $\ln x-\ln 35$ tinde la $\ln 35-\ln 35=0$: forma este $\frac{0}{0}$. Valoarea raportului nu se vede din înlocuire, fiindcă o fracție cu numitorul 0 nu are valoare, dar limita lui, când $x$ se apropie de punct, poate exista.

Ce spune regula lui l'Hospital?

Regula lui l'Hospital este un rezultat admis fără demonstrație, ca în programă. Dacă $f$ și $g$ sunt derivabile lângă punctul $a$, derivata lui $g$ nu se anulează lângă $a$, raportul are forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$ și raportul derivatelor $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ are o limită (finită sau infinită) când $x\to a$, atunci $\frac{f}{g}$ are aceeași limită. Derivezi numărătorul și numitorul fiecare separat, nu raportul ca pe un cât. Ideea, fără demonstrație: lângă $a$, dacă $f(a)=g(a)=0$, cele două funcții se comportă ca tangentele lor, $f^{\prime }(a)(x-a)$ și $g^{\prime }(a)(x-a)$, iar raportul acestora este $\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}$. La infinit, regula merge la fel, cu $a=+\infty$ sau $a=-\infty$, iar o limită cerută într-un punct se poate lua și numai la dreapta sau numai la stânga lui.

Când nu se aplică?

Sunt trei situații. Prima: forma nu este nedeterminată, de pildă numitorul tinde la un număr diferit de 0, iar atunci limita se calculează direct, prin înlocuire. A doua: raportul derivatelor nu are limită, iar atunci regula nu spune nimic despre raportul inițial. A treia: derivata numitorului se anulează lângă punct. Exercițiul 7 arată prima situație pe un exemplu numeric. Forma se verifică de fiecare dată înainte de derivare, inclusiv după o primă aplicare, fiindcă uneori raportul derivatelor este el însuși tot de forma $\frac{0}{0}$.

Metoda pas cu pas

1. Recunoaște forma. Înlocuiește în numărător și în numitor valoarea spre care tinde $x$, sau studiază comportarea la $\pm \infty$. Aplici regula numai la $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$.
2. Verifică condițiile. Funcțiile sunt derivabile lângă punct, iar derivata numitorului nu se anulează acolo. Dacă vreuna dintre ele are un colț sau un salt lângă punct, derivata nu există și regula nu se aplică.
3. Derivează separat. Calculezi $f^{\prime }$ și $g^{\prime }$ fiecare pe cont propriu, cu regulile din lecția despre reguli de derivare, nu cu regula câtului.
4. Simplifică și calculează limita raportului derivatelor. Dacă raportul derivatelor este tot de forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, repeți pașii 1–3 pe el.
5. Verifică numeric. Calculează raportul inițial în câteva puncte apropiate de $a$ sau, la infinit, în valori mari: ele trebuie să se apropie de limita găsită. Încheie cu „conform regulii lui l'Hospital, limita este …”.

La limitele la $+\infty$ ajută ordinea creșterilor: întâi $\ln x$, apoi puterile lui $x$, la urmă $e^x$, fiecare depășind-o pe cea dinaintea ei. De aceea $\frac{\ln x}{x^k}$ și $\frac{x^k}{e^x}$ tind la 0, iar regula se aplică de atâtea ori cât este nevoie ca puterea să dispară. Un produs de forma $0\cdot \infty$, de pildă $xf(x)\ln x$, se aduce întâi la un raport, aducând un factor la numitor: $\frac{\ln x}{\frac{1}{xf(x)}}$ sau, mai simplu, scriind $f(x)$ ca fracție și înmulțind. Dacă după pasul 4 limita nu iese, nu o ghici: reia verificarea formei. Dacă raportul derivatelor nu are limită, tot nu poți spune că raportul inițial nu are: regula nu decide și cauți altă cale, de pildă o simplificare algebrică. Numărul de aplicări nu este limitat, dar fiecare cere propria verificare a formei.

Fișa de buzunar

$$\frac{0}{0}\text{sau}\frac{\infty }{\infty }⟹\text{se deriveaza˘ separat }f\text{ și }g$$

Raportul $\frac{f}{g}$ are aceeași limită ca $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$, dacă aceasta din urmă există. Condiții: forma nedeterminată, funcții derivabile lângă punct, $g^{\prime }$ nenulă lângă punct. Dacă după derivare forma rămâne nedeterminată, regula se aplică din nou. La $+\infty$: $\ln x$, apoi puterile lui $x$, apoi $e^x$, în ordinea creșterii. Verificare rapidă: raportul inițial, calculat în trei puncte tot mai apropiate de $a$, se apropie de rezultat.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Diferența medie logaritmică la capete egale

Domeniu: mecanica.

Enunț. Revenim la schimbătorul de căldură de la strung, cu $g(x)=\frac{x-35}{\ln x-\ln 35}$, unde $x>0$, $x\ne 35$, iar $x$ este în kelvini. a) Arată că pentru $x\to 35$ raportul are forma $\frac{0}{0}$. b) Calculează $\underset{x\to 35}{\lim }g(x)$ și puterea $Q=0,28\cdot g$ pentru acest caz. c) Calculează $g(40)$ și compară-l cu valoarea dată de raportul derivatelor în $x=40$.

Rezolvare. a) Numărătorul $x-35$ tinde la 0, iar numitorul $\ln x-\ln 35$ tinde la 0. Funcțiile sunt derivabile pe $(0,+\infty )$, iar derivata numitorului, $\frac{1}{x}$, nu se anulează. b) Derivatele sunt $(x-35{)}^{\prime }=1$ și $(\ln x-\ln 35{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, deci raportul derivatelor este $\frac{1}{\frac{1}{x}}=x$, care tinde la 35. Limita este 35 K, adică diferențele egale dau chiar valoarea lor comună, iar $Q=0,28\cdot 35=9,8$ kW. c) $g(40)=\frac{5}{\ln 40-\ln 35}\approx 37,44$ K. Raportul derivatelor în $x=40$ este 40, dar în 40 numitorul nu se anulează, deci forma nu este $\frac{0}{0}$.

Capcană. Cine aplică regula în $x=40$, unde forma nu e nedeterminată, obține 40 K, cu $40-37,44=2,56$ K mai mult decât valoarea reală, iar puterea ar ieși $0,28\cdot 40=11,2$ kW în loc de aproximativ $10,5$ kW. Regula dă limita în punctul în care forma este nedeterminată, nu valoarea în orice punct.

Verificare. Raportul inițial în două puncte apropiate de 35: $g(34,9)\approx 34,95$ și $g(35,1)\approx 35,05$, deci valorile se strâng în jurul lui 35.

Exemplul 2 — Săgeata unui conductor electric

Domeniu: electric.

Enunț. Un conductor al unei linii electrice aeriene atârnă între doi stâlpi aflați la aceeași înălțime, la 320 m unul de altul. Forma lui este un lănțișor, iar săgeata, adică cât coboară conductorul la mijloc, este $800\cdot y(x)$ metri, cu $y(x)=\frac{e^x+\frac{1}{e^x}}{2}-1$ și $x=\frac{160}{800}=0,2$: jumătatea deschiderii împărțită la parametrul lănțișorului, 800 m. Proiectanții folosesc la deschideri obișnuite formula parabolei, cu săgeata aproximativ $800\cdot \frac{x^2}{2}$. a) Calculează săgeata exactă și pe cea dată de parabolă, la centimetru. b) Calculează $\frac{y(x)}{x^2}$ pentru $x=0,2$. c) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{y(x)}{x^2}$ și explică de unde vine formula parabolei.

Rezolvare. a) Cu $e^{0,2}\approx 1,221403$ și $\frac{1}{e^{0,2}}\approx 0,818731$ obținem $y(0,2)\approx 1,020067-1=0,020067$, deci săgeata este $0,020067\cdot 800\approx 16,05$ m. Parabola dă $800\cdot \frac{0,04}{2}=16$ m, cu 5 cm mai puțin. b) $\frac{0,020067}{0,04}\approx 0,5017$. c) Numărătorul și numitorul tind la 0. Cu regula câtului, ${\left(\frac{1}{e^x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{e^x}$, deci derivatele sunt $\frac{e^x-\frac{1}{e^x}}{2}$ și $2x$, iar raportul lor, $\frac{e^x-\frac{1}{e^x}}{4x}$, este tot de forma $\frac{0}{0}$. A doua aplicare dă $\frac{e^x+\frac{1}{e^x}}{4}$, care tinde la $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Deci, lângă 0, $y(x)\approx \frac{x^2}{2}$, de unde formula parabolei.

Capcană. Cine derivează numai numărătorul și lasă $x^2$ la numitor obține $\frac{e^x-\frac{1}{e^x}}{2x^2}$. La $x=0,2$ acesta dă aproximativ 5,03 și crește fără limită când $x\to 0$, deși raportul inițial rămâne aproape de 0,5.

Verificare. Raportul inițial, în puncte tot mai apropiate de 0: la $x=0,1$ dă aproximativ 0,50042, iar la $x=0,01$ aproximativ 0,500004, deci se apropie de 0,5.

Exemplul 3 — Ponderea stocului de siguranță

Domeniu: comert.

Enunț. Un depozit de materiale de construcții calculează stocul de siguranță $S(V)=3,2\sqrt{V}$ bucăți, unde $V$ sunt vânzările lunare. Vânzările sunt raportate pe trimestru: 12 000 de bucăți. a) Transformă vânzările în bucăți pe lună și calculează stocul și ponderea lui în vânzări, $\frac{S(V)}{V}$, rotunjită la zecimi de procent. b) Calculează $\underset{V\to +\infty }{\lim }\frac{S(V)}{V}$.

Rezolvare. a) 12 000 de bucăți pe trimestru înseamnă 12 000 : 3 = 4 000 pe lună. Stocul este $S(4000)=3,2\sqrt{4000}\approx 202,4$ bucăți, iar ponderea este $\frac{202,4}{4000}\approx 5,1\%$. b) Numărătorul $3,2\sqrt{V}$ și numitorul $V$ tind amândoi la $+\infty$. Derivatele sunt $\frac{3,2}{2\sqrt{V}}=\frac{1,6}{\sqrt{V}}$ și 1, iar raportul lor tinde la 0. Deci ponderea stocului de siguranță în vânzări tinde la 0.

Capcană. Cine vede că stocul crește când cresc vânzările, de la 160 de bucăți la $V=2500$ la 320 la $V=10000$, conchide că ponderea crește. Dar ponderea trece de la $\frac{160}{2500}=6,4\%$ la $\frac{320}{10000}=3,2\%$: vânzările se înmulțesc cu 4, iar stocul numai cu 2.

Verificare. Raportul inițial în valori mari: la $V=40000$, $\frac{3,2\sqrt{40000}}{40000}=1,6\%$, iar la $V=160000$ este $0,8\%$, adică scade spre 0.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: profitul mediu pe lună

Domeniu: economic.

Enunț. La problema 1 din Subiectul al III-lea apar cerințe ca aceasta. Aici funcția este profitul cumulat al unei mici afaceri, în mii de lei, după $x$ luni de la deschidere, negativ în prima lună din cauza investiției; raportul $\frac{f(x)}{x}$ este profitul mediu pe lună. Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=6\ln x-\frac{9}{x}+4$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$. b) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$.

Rezolvare. a) Termen cu termen, $(6\ln x{)}^{\prime }=\frac{6}{x}$, ${\left(-\frac{9}{x}\right)}^{\prime }=\frac{9}{x^2}$ și $(4{)}^{\prime }=0$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}$. b) Numărătorul tinde la $+\infty$, fiindcă $6\ln x\to +\infty$, iar $-\frac{9}{x}+4$ tinde la 4. Numitorul $x$ tinde la $+\infty$. Raportul derivatelor este $\frac{f^{\prime }(x)}{1}=\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}$, care tinde la 0. Deci limita cerută este 0.

Capcană. Cine scrie ${\left(-\frac{9}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{9}{x^2}$ obține $f^{\prime }(x)=\frac{6}{x}-\frac{9}{x^2}$. Limita ar ieși tot 0, dar derivata este greșită: la $x=3$ ea dă $2-1=1$, iar secanta de la 3 la 3,1 are panta aproape de 3.

Verificare. Raportul inițial în valori mari: $\frac{f(10)}{10}\approx 1,69$, $\frac{f(100)}{100}\approx 0,32$ și $\frac{f(1000)}{1000}\approx 0,045$, deci scade spre 0.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{7\ln x}{x^2+3x}$. Scrie forma, apoi raportul derivatelor și limita lui, și verifică rezultatul într-un punct mare.

2. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-3x}{x^2+2x}$. Verifică întâi forma și faptul că derivata numitorului nu se anulează în 0, apoi calculează raportul inițial în două puncte apropiate de 0.

3. Calculează $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x^2-3x+2}$. Scrie valorile numărătorului și ale numitorului în 1, aplică regula și verifică rezultatul de o parte și de alta a lui 1.

4. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+5x}{e^x}$ și spune de câte ori ai aplicat regula și de ce nu ai putut opri mai devreme.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Într-o fabrică de brânzeturi, roțile de cașcaval stau în saramură, iar sarea pătrunde până la adâncimea $p(t)=2+1,8\sqrt{t}$ milimetri după $t$ ore. Calculează $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{p(t)}{t}$ și explică ce arată adâncimea medie pe oră. Calculează raportul pentru $t=16$ și pentru $t=64$ și spune cum se schimbă.

6. (Problemă aplicată.) După tratamentul unei vaci cu un antibiotic, concentrația lui în lapte este $c(t)=\frac{240t}{e^t}$ micrograme pe litru, la $t$ zile. Laptele se poate livra numai când concentrația scade sub 10 micrograme pe litru. Calculează $\underset{t\to +\infty }{\lim }c(t)$, apoi $c(4)$ și $c(5)$, și spune din ce zi laptele poate fi livrat.

7. (Problemă aplicată.) Un magazin vinde un produs la prețul mediu $p(q)=\frac{3q+5}{q+4}$ lei pe bucată pentru o comandă de $q$ bucăți. Un coleg vrea să afle $\underset{q\to 10}{\lim }p(q)$ cu regula lui l'Hospital. Spune dacă regula se aplică, calculează limita și spune ce rezultat ar fi dat regula.

8. (Problemă aplicată.) O epruvetă de oțel are lungimea inițială de 50 mm. La lungimea $L$, în milimetri, deformația inginerească este $\delta =\frac{L-50}{50}$, iar deformația reală este $\epsilon =\ln L-\ln 50$. Laboratorul folosește, la deformații mici, aproximarea $\epsilon \approx \delta -\frac{{\delta }^2}{2}$. Calculează $\underset{L\to 50}{\lim }\frac{\epsilon -\delta }{{\delta }^2}$ și verifică aproximarea la $L=52$ mm.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-2x^3$. Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{f(x)}=0$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-3)e^x+2x$. Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=-\frac{1}{2}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(-5,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x+5}$. Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{e^x}=0$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6}{3x^2+4}$. Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }(xf(x)\ln x)=0$.

Răspunsuri și verificări

1. Forma este $\frac{\infty }{\infty }$, raportul derivatelor este $\frac{7}{x(2x+3)}$, iar limita este 0. Verificare: raportul inițial este aproximativ $0,0031$ la $x=100$.

2. Numărătorul și numitorul sunt 0 în 0, iar $2x+2=2$ în 0. Raportul derivatelor $\frac{e^x-3}{2x+2}$ tinde la $-1$. Limita este $-1$. Verificare: raportul inițial este aproximativ $-0,9925$ la $x=0,01$.

3. În 1 avem $\ln 1=0$ și $1-3+2=0$. Raportul derivatelor $\frac{\frac{1}{x}}{2x-3}$ dă în 1 valoarea $\frac{1}{-1}=-1$. Limita este $-1$. Verificare: raportul inițial este aproximativ $-1,0051$ la $x=1,01$.

4. Forma este $\frac{\infty }{\infty }$. Aplicările dau $\frac{3x^2+5}{e^x}$, $\frac{6x}{e^x}$ și $\frac{6}{e^x}$, care tinde la 0: trei aplicări, câte una pentru fiecare putere. Limita este 0. Verificare: raportul inițial la $x=20$ este aproximativ $0,0000167$.

5. Forma este $\frac{\infty }{\infty }$, iar raportul derivatelor este $\frac{0,9}{\sqrt{t}}$, deci limita este 0 mm pe oră: sarea pătrunde tot mai încet, deși adâncimea crește. La $t=16$ raportul este $\frac{2+7,2}{16}=0,575$ mm pe oră, iar la $t=64$ este $\frac{2+14,4}{64}\approx 0,256$ mm pe oră. Verificare: $0,256<0,575$.

6. Forma este $\frac{\infty }{\infty }$, iar raportul derivatelor, $\frac{240}{e^t}$, tinde la 0, deci concentrația tinde la 0. Cum $c(4)\approx 17,6$ și $c(5)\approx 8,1$ micrograme pe litru, laptele poate fi livrat din ziua 5. Verificare: $c(6)\approx 3,6$, deci concentrația continuă să scadă.

7. Regula nu se aplică: în $q=10$ numărătorul este 35 și numitorul 14, deci forma nu e nedeterminată. Limita este $2,5$ lei. Regula ar fi dat 3, cu 0,5 lei mai mult. Verificare: $p(10)=2,5$ și $p(10,1)\approx 2,5035$.

8. Numărătorul și numitorul tind la 0. Derivatele sunt $\frac{1}{L}-\frac{1}{50}$ și $\frac{2(L-50)}{2500}$, iar raportul lor se simplifică la $-\frac{25}{L}$, care tinde la $-\frac{1}{2}$. La $L=52$ mm, $\delta =0,04$, $\epsilon \approx 0,039221$, iar aproximarea dă $0,04-0,0008=0,0392$. Verificare: $\frac{\epsilon -\delta }{{\delta }^2}\approx -0,487$ la $L=52$, aproape de $-0,5$.

9. Numărătorul tinde la $+\infty$, iar $5x-2x^3$ la $-\infty$: forma este $\frac{\infty }{\infty }$. Raportul derivatelor este $\frac{\frac{1}{x}}{5-6x^2}$, care tinde la 0. Verificare: raportul inițial este aproximativ $-0,0012$ la $x=10$.

10. Cum $f(0)=-3$, numărătorul $f(x)+3$ și $x^2$ tind la 0. Derivata este $f^{\prime }(x)=e^x+(x-3)e^x+2=(x-2)e^x+2$, iar raportul $\frac{(x-2)e^x+2}{2x}$ este tot de forma $\frac{0}{0}$. A doua aplicare dă $\frac{e^x+(x-2)e^x}{2}=\frac{(x-1)e^x}{2}$, care tinde la $-\frac{1}{2}$. Verificare: raportul inițial este aproximativ $-0,4996$ la $x=0,1$.

11. Numărătorul $f(x)$ tinde la $+\infty$, ca și $e^x$: forma este $\frac{\infty }{\infty }$. Derivata numărătorului este $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-4)(x+5)-(x^2-4x+4)}{(x+5{)}^2}=\frac{x^2+10x-24}{(x+5{)}^2}$, care tinde la 1, iar derivata numitorului este $e^x$. Raportul derivatelor are numărătorul spre 1 și numitorul spre $+\infty$, deci tinde la 0. Verificare: raportul inițial este aproximativ $0,00019$ la $x=10$.

12. Produsul se scrie $\frac{6x\ln x}{3x^2+4}$, de forma $\frac{\infty }{\infty }$. Prima aplicare dă $\frac{6\ln x+6}{6x}$, tot $\frac{\infty }{\infty }$; a doua dă $\frac{1}{x}$, care tinde la 0. Limita este 0. Verificare: produsul este aproximativ $0,092$ la $x=100$.

Așa vine la Bac M3

Regula lui l'Hospital apare în 7 dintre cele 83 de probe oficiale 2013–2026, cu câte o cerință fiecare. Toate sunt la problema 1 din Subiectul al III-lea: cinci la subpunctul b) și două la c). În toate cele șapte se cere să arăți că o limită este 0. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele:

• August 2016, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: se cere $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{f(x)}$, unde $f$ este un polinom cu doi termeni, unul de gradul I și unul de gradul III; baremul probei dă 3 puncte pentru raportul derivatelor (pasul 3 din Metodă) și 2 puncte pentru simplificare și valoarea 0 a limitei (pasul 4).
• Modelul din 2022, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: se cere limita în 0 a raportului dintre $f(x)-f(0)$ și $x^2$, pentru o funcție cu $e^x$ și un termen în $x^2$; baremul probei dă 2 puncte pentru raportul derivatelor (pasul 3) și 3 puncte pentru simplificarea cu $x$ și limita (pasul 4).
• Modelul din 2023, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: se cere $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{e^x}$, unde $f$ este o fracție cu un trinom la numărător; baremul probei dă 3 puncte pentru prima aplicare a regulii (pasul 3, apoi pasul 4) și 2 puncte pentru a doua aplicare și limita 0 (repetarea pașilor 1–4).
• Iunie 2026, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: se cere $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$, unde $f$ are un termen în $\ln x$ și unul în $\frac{1}{x}$; baremul probei dă 3 puncte pentru raportul $\frac{f^{\prime }}{x^{\prime }}$ (pasul 3) și 2 puncte pentru limita lui, 0 (pasul 4).

La toate patru, forma nedeterminată apare după ce ai verificat numărătorul și numitorul (pasul 1). Exercițiile 9–12 exersează tipuri de cerințe din aceste șapte probe, cu alte funcții, iar derivata folosită vine din regulile de derivare.

Greșeli care costă puncte

• Regula aplicată fără să verifici forma. Derivezi $\frac{3q+5}{q+4}$ în $q=10$ → înlocuiești întâi: dacă obții 35 și 14, nu e nedeterminat și limita este 2,5.
• Raportul derivat ca un cât. Aplici regula câtului, în loc să derivezi separat → scrie $f^{\prime }$ și $g^{\prime }$ pe rânduri diferite, apoi împarte-le; o formulă a câtului nu are ce căuta aici.
• Oprire după prima derivare. Rămâi la $\frac{e^x-\frac{1}{e^x}}{4x}$ și înlocuiești 0 → verifică din nou forma: este tot $\frac{0}{0}$, deci derivezi încă o dată, până dispare nedeterminarea.
• Derivare doar a numărătorului. Lași $x^2$ nederivat → raportul inițial rămâne aproape de 0,5, nu crește fără limită.
• Semn pierdut la derivată. Scrii $-\frac{9}{x^2}$ în loc de $+\frac{9}{x^2}$ → compară derivata cu panta secantei între două valori apropiate, ca la Exemplul 4.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Regula lui l'Hospital pentru cazurile 0/0 și ∞/∞ se cere la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 7 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Cu cât diferă diferența medie logaritmică de media aritmetică, pentru 40 K la capătul cald și 35 K la cel rece?

Media aritmetică este $\frac{40+35}{2}=37,5$ K, iar diferența logaritmică este aproximativ $37,444$ K, cu $0,056$ K mai mică. Pentru diferențe apropiate, cele două medii sunt aproape egale, iar la egalitate coincid: ambele dau 35 K. De aceea, la valori apropiate, media aritmetică ține loc de medie logaritmică în calculele rapide.

Ce valoare iese dacă la capătul rece diferența este 28 K, nu 35 K?

Funcția devine $\frac{x-28}{\ln x-\ln 28}$, iar raportul derivatelor este tot $x$, deci limita la $x\to 28$ este 28 K. Puterea preluată de apă ar fi $0,28\cdot 28=7,84$ kW, mai mică decât cei 9,8 kW de la 35 K. Scăderea are sens: la aceeași valoare a produsului dintre coeficient și arie, diferențele de temperatură mai mici duc mai puțină căldură.

Pot afla limita doar dintr-un tabel de valori?

Tabelul arată spre ea: $g(34,9)\approx 34,95$ și $g(35,1)\approx 35,05$. Nu o demonstrează, fiindcă un număr finit de valori nu exclude o altă limită. De aceea tabelul rămâne verificarea de la pasul 5, iar rezultatul, scris cu toate condițiile, îl dă regula.

Cum scrie tehnicianul formula din foaie, ca să nu mai afișeze eroare?

Cu o condiție: dacă cele două diferențe sunt egale, foaia afișează chiar valoarea lor comună, adică limita găsită cu regula lui l'Hospital; altfel calculează raportul. Pentru 35 K la ambele capete afișează 35 K și 9,8 kW. La 36,5 K, de pildă, raportul dă 35,74 K, cât arată și tabelul.

Când apare regula lui l'Hospital la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)?

În 7 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, la problema 1 din Subiectul al III-lea: cinci cerințe la subpunctul b) și două la c). În fiecare dintre ele cerința este o limită egală cu 0, iar rezolvarea oficială scrie raportul derivatelor.

Ce putere preia apa dacă puterea se calculează cu $0,28\cdot \Delta T_{ml}$ și $\Delta T_{ml}$ este 41,16 K?

Puterea este $0,28\cdot 41,16\approx 11,52$ kW, mai mare decât 9,8 kW de la diferențe egale. Cu cât diferența de la capătul cald e mai mare, cu atât apa preia mai multă căldură de la ulei, la aceeași diferență de 35 K la capătul rece.