Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Viète: a doua soluție

Cum aflu a doua soluție cu relațiile lui Viète?

Suma soluțiilor este $- \frac{b}{a}$ , deci a doua soluție este $S - x_{1}$ , fără să rezolvi ecuația. Exemplu: $2 x^{2} - 15 x + k = 0$ are o soluție egală cu $4$ . Suma este $\frac{15}{2} = 7, 5$ , deci cealaltă soluție este $7, 5 - 4 = 3, 5$ , iar $k = 2 \cdot 4 \cdot 3, 5 = 28$ . Proba: $2 \cdot 16 - 15 \cdot 4 + 28 = 0$ , deci valoarea lui $k$ este corectă și ecuația are chiar soluția dată.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Relațiile lui Viète leagă soluțiile unei ecuații de gradul II de coeficienții ei. Dacă $a x^{2} + b x + c = 0$ are soluțiile reale $x_{1}$ și $x_{2}$ , suma lor este $- \frac{b}{a}$ , iar produsul este $\frac{c}{a}$ . Le poți scrie fără să rezolvi ecuația, deci merg și când soluțiile conțin radicali.

Ordinea: aduci ecuația la forma generală; verifici că $Δ \geq 0$ , altfel nu există soluții reale; scrii $S$ și $P$ pe rânduri separate; rescrii expresia cerută numai cu $S$ și $P$ , sau afli a doua soluție din $x_{2} = S - x_{1}$ .

Astfel se pot rescrie expresiile simetrice, de pildă suma pătratelor, $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ . Mijlocul celor două soluții, $\frac{S}{2}$ , este abscisa vârfului parabolei.

Capcanele sunt trei: suma scrisă fără minus, produsul luat egal cu $c$ când $a \neq = 1$ și calculul făcut pe o ecuație fără soluții reale. Controlul final adună și înmulțește soluțiile găsite, ca să regăsești $S$ și $P$ ; pentru soluții cu radicali, controlul se face pe valorile rotunjite, iar rezultatul exact rămâne cel scris cu $S$ și $P$ .

De reținut

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ și $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
a doua soluție: $x_{2} = S - x_{1}$
relațiile se aplică numai când $Δ \geq 0$

Greșeala tipică

Se scrie suma fără minus sau se ia produsul egal cu $c$ când $a \neq = 1$ . La $2 x^{2} - 15 x + 28 = 0$ suma este $\frac{15}{2}$ , nu $- \frac{15}{2}$ , iar produsul este $\frac{28}{2} = 14$ .

Exerciții din această mini-lecție

Fie $x_{1}$ și $x_{2}$ soluțiile ecuației $x^{2} - 11 x + 19 = 0$ . Care dintre expresiile următoare se poate calcula folosind numai suma $x_{1} + x_{2}$ și produsul $x_{1} x_{2}$ , fără să afli soluțiile?
- a) $x_{1} + 2 x_{2}$
- b) $x_{1} - x_{2}$
- c) $2 x_{1} + 5 x_{2}$
- d) $3 x_{1} x_{2} - 4 (x_{1} + x_{2})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3 x_{1} x_{2} - 4 (x_{1} + x_{2})$

Suma și produsul se citesc din coeficienți: $x_{1} + x_{2} = 11$ și $x_{1} x_{2} = 19$ . Expresia $3 x_{1} x_{2} - 4 (x_{1} + x_{2})$ le conține direct: $3 \cdot 19 - 4 \cdot 11 = 13$ . Celelalte nu sunt simetrice în $x_{1}$ și $x_{2}$ : $x_{1} + 2 x_{2}$ , $2 x_{1} + 5 x_{2}$ și $x_{1} - x_{2}$ își schimbă valoarea când soluțiile își schimbă locul, deci nu pot fi scrise numai cu suma și produsul.
La un cuptor industrial, temperatura atinge pragul de coacere în două momente $t_{1}$ și $t_{2}$ (în minute), soluțiile ecuației $0, 2 t^{2} - 3 t + 10 = 0$ . Cât este produsul $t_{1} t_{2}$ , fără să rezolvi ecuația?
- a) $10$
- b) $15$
- c) $2$
- d) $50$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $50$

Produsul soluțiilor este $\frac{c}{a} = \frac{10}{0 , 2} = 50$ . Se poate controla: $Δ = 9 - 8 = 1$ , soluțiile sunt $\frac{3 \pm 1}{0 , 4}$ , adică $10$ și $5$ , iar $10 \cdot 5 = 50$ . Varianta $10$ ia produsul egal cu $c$ , fără împărțirea la $a$ , varianta $15$ este suma soluțiilor, $\frac{3}{0 , 2} = 15$ , iar $2$ este produsul $a \cdot c$ .
Pe un lan irigat de porumb, umiditatea solului atinge pragul de irigare la două momente, în ore de la pornirea udării, care verifică ecuația $4 x^{2} - 26 x + k = 0$ , unde $k$ depinde de prag. Unul dintre momente este $6$ . Care este celălalt moment?
- a) $20$
- b) $- 12, 5$
- c) $0, 5$
- d) $6, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 5$

Suma soluțiilor este $\frac{26}{4} = 6, 5$ , deci cealaltă soluție este $6, 5 - 6 = 0, 5$ . Verificare prin produs: $6 \cdot 0, 5 = 3 = \frac{k}{4}$ , deci $k = 12$ , iar ecuația $4 x^{2} - 26 x + 12 = 0$ are într-adevăr soluțiile $6$ și $0, 5$ . Varianta $20$ ia suma egală cu $26$ , fără împărțirea la $4$ , $- 12, 5$ pune minus la sumă ( $- 6, 5 - 6 = - 12, 5$ ), iar $6, 5$ este suma, nu a doua soluție.

Întrebări conexe

Cum aflu distanța dintre soluții fără să le calculez?

Folosești pătratul diferenței, pe care îl poți scrie numai cu suma și produsul: $(x_{1} - x_{2})^{2} = S^{2} - 4 P$ . Pentru $x^{2} - 16 x + 55 = 0$ avem $S = 16$ și $P = 55$ , deci $(x_{1} - x_{2})^{2} = 256 - 220 = 36$ , iar distanța este $6$ . Soluțiile sunt într-adevăr $5$ și $11$ , deci la distanța $6$ una de alta, ca în calcul.

Cum aflu produsul soluțiilor dacă a nu este 1?

Împarți termenul liber la coeficientul lui $x^{2}$ , deci produsul soluțiilor este $\frac{c}{a}$ , nu $c$ . La $0, 5 x^{2} - 5 x + 8 = 0$ avem $P = \frac{8}{0 , 5} = 16$ și $S = \frac{5}{0 , 5} = 10$ . Controlezi apoi cu soluțiile calculate direct, ca să vezi că împărțirea la $a$ a fost făcută: $Δ = 25 - 16 = 9$ , soluțiile sunt $\frac{5 \pm 3}{1}$ , adică $2$ și $8$ , iar $2 \cdot 8 = 16$ .

Cum calculez (x1 + m)(x2 + m) fără soluții?

Desfaci produsul și grupezi termenii, ca să apară suma și produsul soluțiilor: $(x_{1} + m) (x_{2} + m) = P + m S + m^{2}$ . Pentru $x^{2} - 17 x + 72 = 0$ și $m = 2$ obții $72 + 2 \cdot 17 + 4 = 110$ . Controlul cu soluțiile $8$ și $9$ dă $10 \cdot 11 = 110$ , același rezultat, fără să fi rezolvat ecuația la început.

Cum aflu a doua soluție dacă prima conține radical?

Nu raționalizezi nimic și nu refaci formula cu radical: scazi prima soluție din sumă, care se vede direct din coeficienți. Pentru $x^{2} - 12 x + 29 = 0$ suma este $12$ , iar dacă $x_{1} = 6 + 7$ , atunci $x_{2} = 12 - (6 + 7) = 6 - 7$ . Produsul $(6 + 7) (6 - 7) = 36 - 7 = 29$ confirmă rezultatul.

Cum apar relațiile lui Viète în probele oficiale?

Relațiile lui Viète au apărut în 6 probe M_tehnologic din 2013–2026, la Subiectul I. Cerința este scurtă: se dă o ecuație de gradul II cu soluțiile $x_{1}$ și $x_{2}$ și se cere valoarea unei expresii, pe care o rescrii numai cu suma și produsul, pe rânduri separate.

Oamenii mai întreabă și: relațiile lui Viète fără rezolvarea ecuației · suma și produsul rădăcinilor · cealaltă soluție din sumă · x2 egal suma minus x1