Viète: suma și produsul rădăcinilor, tehnologic

Un tehnolog diluează o soluție de curățat în două trepte și ajunge la o ecuație cu două soluții, dintre care una nu are niciun sens în rezervor. Cum alegi repede soluția bună și cum verifici rezultatul fără să refaci calculul? Răspunsul stă în relațiile lui Viète, pe care lecția le explică elevilor de clasa a IX-a din filiera tehnologică. Din cele 83 de probe de Bacalaureat M3 (M_tehnologic) 2013–2026, ele au apărut în 6, de fiecare dată în cerința a doua din Subiectul I.

Situația de pornire

La o fabrică de detergenți lichizi, tehnologul pregătește o comandă de soluție de curățat cu 28 % substanță activă. Rezervorul de amestec are 60 L și e plin cu concentrat de 40 %. O singură diluare mare face spumă, așa că tehnologul lucrează în două trepte. Scoate din rezervor un număr de litri, completează la loc cu apă până la 60 L, amestecă bine și repetă exact aceeași operație, cu aceeași cantitate scoasă. Rezervorul are scară gradată, deci volumul scos se măsoară cu precizie, iar după fiecare treaptă amestecul se consideră omogen.

Tehnologul nu vrea să tot încerce volume până nimerește concentrația cerută, fiindcă fiecare încercare consumă concentrat și timp de amestecare. A făcut totuși trei probe de orientare și a notat, pentru fiecare, concentrația la sfârșitul celor două trepte. Din ele vede doar că ținta e undeva între două încercări; valoarea exactă o vrea dintr-un calcul.

Întrebare: câți litri trebuie scoși la fiecare treaptă ca soluția să ajungă la 28 %, și cum verifici rezultatul fără să refaci diluarea?

De la situație la model

Pornește de la prima încercare, de 6 L. După prima treaptă rămân $60-6=54$ L de soluție de 40 %, deci substanța activă e $\frac{54}{60}=0,9$ din cât era, iar concentrația coboară la $40\cdot 0,9=36$ %. Apa adăugată readuce volumul la 60 L, dar nu schimbă cantitatea de substanță activă. A doua treaptă o micșorează în același raport: $36\cdot 0,9=32,4$ %, adică exact cifra din primul rând al tabelului. Cu $x$ litri scoși, raportul este $\frac{60-x}{60}$ și se aplică de două ori:

$$40\cdot {\left(\frac{60-x}{60}\right)}^2=28$$

Înmulțești cu $\frac{3600}{40}$, ajungi la $(60-x{)}^2=2520$, desfaci pătratul și treci totul într-o parte: $x^2-120x+1080=0$. Tabelul traduce situația în limbajul ecuației.

Relațiile lui Viète sunt două egalități care leagă soluțiile unei ecuații de coeficienții ei. Dacă ecuația $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a\ne 0$, are soluțiile reale $x_1$ și $x_2$, atunci

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

La ecuația rezervorului, $S=120$ și $P=1080$, fără să afli încă nicio soluție. Din $S$ vezi chiar mai mult: $120=2\cdot 60$, deci cele două soluții stau simetric față de capacitatea rezervorului.

De unde vin cele două relații?

Formula soluțiilor, din lecția despre ecuația de gradul II și Δ, arată că soluțiile au aceeași parte fixă și diferă doar prin semnul radicalului. Notează $m=-\frac{b}{2a}$ și $d=\frac{\sqrt{\Delta }}{2a}$: soluțiile sunt $m+d$ și $m-d$. La adunare, $d$ se anulează și rămâne $2m=-\frac{b}{a}$. La înmulțire obții $m^2-d^2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}$, iar $b^2-\Delta =4ac$, deci rezultatul e $\frac{c}{a}$. De aceea suma și produsul nu depind de radicali, chiar dacă fiecare soluție conține unul.

De ce verifici întâi dacă ecuația are soluții reale?

Relațiile descriu soluții care există. Ecuația $x^2+4=0$ are $S=0$ și $P=4$, dar nu există două numere reale cu suma 0 și produsul 4: produsul a două numere opuse, $x\cdot (-x)=-x^2$, nu e niciodată pozitiv. Motivul e $\Delta =-16<0$. Calculezi deci $\Delta$ mai întâi; dacă $\Delta <0$, te oprești. Dacă $\Delta =0$, soluția e dublă, $x_1=x_2$, iar relațiile rămân valabile cu cele două soluții egale.

Ce legătură are suma cu graficul parabolei?

Soluțiile ecuației $a{x}^2+bx+c=0$ sunt abscisele punctelor în care parabola $y=a{x}^2+bx+c$ taie axa $Ox$. Parabola e simetrică față de dreapta verticală care trece prin vârf, iar cele două puncte stau la distanțe egale de ea. Deci mijlocul lor, $\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{S}{2}$, este chiar abscisa vârfului. La rezervor, $\frac{S}{2}=60$. Aceeași observație merge și când parabola e tăiată de o orizontală, nu de axa $Ox$: obții tot o ecuație de gradul II, iar cele două puncte sunt tot simetrice, ca la exemplul 3.

Cum folosești suma și produsul ca scurtătură?

Când enunțul cere o expresie cu $x_1$ și $x_2$, nu rezolvi ecuația. Rescrii expresia cu $S$ și $P$: de exemplu $2(x_1+x_2)-x_1{x}_2=2S-P$, iar pătratul diferenței dintre soluții se scrie tot cu ele, ca $S^2-4P$. Dacă știi o soluție, o afli pe cealaltă din $x_2=S-x_1$. Prin soluții iraționale, ca $60\pm \sqrt{2520}$, scurtătura câștigă cel mai mult: nu calculezi radicalul și nu rotunjești nimic înainte de rezultat. Mai departe, sistemele cu suma și produsul date merg în sens invers: pornesc de la $S$ și $P$ și caută numerele.

Metoda pas cu pas

1. Scrie ecuația în forma $a{x}^2+bx+c=0$, cu toți termenii într-o singură parte, și notează $a$, $b$, $c$ cu semnele lor. Un minus uitat aici strică suma la pasul 3. Dacă ecuația vine dintr-o problemă, ca ecuația rezervorului, mută mai întâi tot ce e în dreapta egalului în stânga. Dacă $a\ne 1$, nu te speria: vei împărți la $a$.
2. Calculează $\Delta =b^2-4ac$. Dacă $\Delta <0$, nu există soluții reale: te oprești și scrii asta, fiindcă nu mai ai despre ce să vorbești. Dacă $\Delta \ge 0$, relațiile se aplică, chiar dacă $\Delta$ nu e pătrat perfect și soluțiile au radicali.
3. Scrie $S=-\frac{b}{a}$ și $P=\frac{c}{a}$, pe rânduri separate, ca să poți verifica fiecare număr. Rescrie expresia cerută numai cu $S$ și $P$, sau află cealaltă soluție din $x_2=S-x_1$. Nu calcula soluțiile, decât dacă problema le cere: fiecare rădăcină pătrată e un prilej de greșeală în plus.
4. Verifică: pune în expresie soluțiile calculate, chiar rotunjite, și compară cu rezultatul; la o situație, controlează dacă fiecare soluție are sens (volum sub capacitate, curent pozitiv) și scrie unitatea de măsură.

Pașii merg la fel când ecuația vine din enunțul unui examen, fără poveste: doar pasul 1 se face mai repede, fiindcă ecuația e deja scrisă. Dacă ți se cere o expresie, o rescrii la pasul 3 prin $S$ și $P$ și nu mai ai nimic de rezolvat. Dacă ți se cere o mărime din situație, ca litrii scoși, rezolvi ecuația la pasul 3 și te întorci la pasul 4, ca să alegi soluția cu sens. Tot traseul clasei e în lecțiile clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$$

Se aplică numai când $\Delta \ge 0$ și $a\ne 0$. Împarte la $a$ ori de câte ori $a\ne 1$; produsul nu e egal cu $c$, ci cu $\frac{c}{a}$. Scrie $S$ și $P$ înainte de orice altceva. Verificare rapidă: adună și înmulțește soluțiile găsite; trebuie să reiasă exact valorile din coeficienți.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cele două soluții ale diluării

Domeniu: chimie.

Enunț. Pentru ecuația $x^2-120x+1080=0$ a rezervorului de 60 L aflați $S$ și $P$, calculați soluțiile și spuneți câți litri se scot la fiecare treaptă. Verificați rezultatul cu relațiile lui Viète.

Rezolvare. Citim coeficienții: $a=1$, $b=-120$, $c=1080$. Relațiile dau imediat $S=-\frac{-120}{1}=120$ și $P=\frac{1080}{1}=1080$. Mai întâi verificăm că soluțiile sunt reale; discriminantul este $\Delta =120^2-4\cdot 1080=14400-4320=10080>0$, deci există două soluții reale:

$$x_{1,2}=\frac{120\pm \sqrt{10080}}{2}=60\pm \sqrt{2520}\approx 60\pm 50,2$$

Rezultă $x_1\approx 9,8$ L și $x_2\approx 110,2$ L. Rezervorul are 60 L, deci $x_2$ nu poate fi scoasă: tehnologul scoate 9,8 L la fiecare treaptă. Din $S=120$ se vede același lucru fără calcul. Soluțiile sunt simetrice față de 60 L, una sub capacitate și una peste ea, deci o singură soluție are sens. Rotunjirea la zecimi de litru e suficientă, fiindcă scara rezervorului nu citește mai fin.

Capcană. Dacă scrii suma ca $\frac{b}{a}$, fără minus, obții −120 L. O sumă de volume nu poate fi negativă, deci semnul te avertizează.

Verificare. Suma $9,8+110,2=120$ și produsul $9,8\cdot 110,2=1079,96\approx 1080$; abaterea vine din rotunjire. Din tabelul situației: pentru 9 L concentrația e 28,9 %, iar pentru 12 L e 25,6 %; 28 % cade între ele, la 9,8 L. Direct: $40\cdot {\left(\frac{50,2}{60}\right)}^2\approx 28,0$ %.

Exemplul 2 — Doi curenți pentru aceeași putere

Domeniu: auto.

Enunț. Un service testează un acumulator de 12 V, cu rezistența internă $r=0,02$ Ω, pe un banc de sarcină. Din cei 12 V, o parte se pierde în interiorul acumulatorului, deci consumatorul primește mai puțin. La curentul $I$ (în amperi), puterea dată de acumulator consumatorului este $P(I)=12I-0,02I^2$ (în wați). Proba cere 1 500 W. (a) Scrieți ecuația curentului și aflați suma și produsul celor două valori posibile. (b) Calculați curenții. (c) Pe care îl alege tehnicianul?

Rezolvare. (a) Din $12I-0,02I^2=1500$ rezultă $0,02I^2-12I+1500=0$, cu $a=0,02$, $b=-12$, $c=1500$. Împărțim la $a$: $S=\frac{12}{0,02}=600$ și $P=\frac{1500}{0,02}=75000$. Observă că $S$ nu depinde de puterea cerută: $\frac{12}{0,02}=600$ A este curentul de scurtcircuit al acumulatorului, iar doi curenți care dau aceeași putere se adună mereu la 600 A.

(b) $\Delta =144-4\cdot 0,02\cdot 1500=24$, deci $I=\frac{12\pm \sqrt{24}}{0,04}\approx 300\pm 122,5$, adică $I_1\approx 177,5$ A și $I_2\approx 422,5$ A.

(c) Acumulatorul se încălzește cu $0,02\cdot I^2$ wați: aproximativ 630 W la $I_1$ și aproximativ 3 570 W la $I_2$. Tehnicianul alege $I_1$, care dă aceeași putere utilă cu pierderi de peste cinci ori mai mici. Pe $I_2$ bateria s-ar încălzi puternic, iar tensiunea la borne ar scădea sub 4 V.

Capcană. Dacă iei produsul $P=c=1500$, uiți să împarți la $a$. Controlul îl arată: $177,5\cdot 422,5\approx 75000$, nu 1 500.

Verificare. La $I_1=177,5$ A tensiunea la borne e $12-0,02\cdot 177,5=8,45$ V, iar puterea $8,45\cdot 177,5\approx 1500$ W. Suma $177,5+422,5=600$ A.

Exemplul 3 — Lățimea liberă sub arcul porții unei hale

Domeniu: constructii.

Enunț. Poarta unei hale de depozitare are un arc parabolic, ca în graficul funcției de gradul II. Cu $x$ pe sol, în metri, măsurat de la stâlpul din stânga, înălțimea arcului este $y=-0,8x^2+4x$. Un transport cu lățimea de 320 cm și înălțimea de 3 m trebuie să treacă pe sub arc. Aflați lățimea liberă a arcului la înălțimea de 3 m, calculând o singură abscisă, și spuneți dacă transportul încape.

Rezolvare. Punctele arcului aflate la înălțimea de 3 m au abscisele soluții ale ecuației $y=3$. Avem $-0,8x^2+4x=3$, adică $4x^2-20x+15=0$ (am înmulțit cu −5). Aici $a=4$, deci $S=\frac{20}{4}=5$ și $P=\frac{15}{4}$, iar $\Delta =400-240=160>0$. Un transport încape dacă lățimea liberă la înălțimea lui e cel puțin cât lățimea lui, fiindcă mai jos arcul e mai larg. Lățimea liberă este distanța dintre cele două puncte. Calculăm o singură abscisă, $x_1=\frac{20-\sqrt{160}}{8}=\frac{5-\sqrt{10}}{2}\approx 0,92$ m, iar pe cealaltă o aflăm din sumă:

$$x_2=S-x_1\approx 5-0,92=4,08\text{ m}$$

Lățimea este $x_2-x_1\approx 4,08-0,92=3,16$ m, adică exact $\sqrt{10}$ m, fiindcă $x_2=\frac{5+\sqrt{10}}{2}$. Poarta e simetrică față de $x=2,5$, mijlocul celor două abscise, adică $\frac{S}{2}$.

Arcul e dat în metri, iar transportul în centimetri, așa că transformăm: 320 cm = 3,2 m. Cum $3,16<3,2$, transportul nu încape. Diferența e de 4 cm, destul cât să-l oprească la poartă.

Capcană. Lățimea 3,16 m se rotunjește la 3,2 m doar „la ochi”. Cine rotunjește în sus decide greșit că transportul încape. Pentru un spațiu liber rotunjești în jos, la 3,1 m, adică în favoarea siguranței.

Verificare. Fără nicio abscisă: pătratul lățimii este $S^2-4P=25-15=10$, deci lățimea e $\sqrt{10}\approx 3,16$ m. Produsul $0,92\cdot 4,08\approx 3,75=\frac{15}{4}$, ca în $P$. La $x=0,92$: $-0,8\cdot 0,92^2+4\cdot 0,92\approx 3,0$ m, iar la $x=4,08$ la fel, din simetrie.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: expresie cu soluțiile unei ecuații

Domeniu: lemn.

Enunț. Cerința are forma din Subiectul I de la Bacalaureatul M3. Aici datele vin de la reglajul unei mașini de debitat plăci, ale cărei două opritoare sunt la distanțele $x_1$ și $x_2$, în centimetri, soluțiile ecuației $x^2-9x+17=0$. Arătați că $\frac{x_1+x_2-2}{x_1{x}_2}=\frac{7}{17}$.

Rezolvare. Cu $a=1$, $b=-9$, $c=17$ avem $\Delta =81-68=13>0$, deci soluțiile sunt reale, chiar dacă nu sunt numere întregi. Nu le calculăm. Atunci $x_1+x_2=9$ și $x_1{x}_2=17$, valori care apar direct din coeficienți. Expresia din cerință folosește numai suma și produsul, așa că le înlocuiești în fracție:

$$\frac{x_1+x_2-2}{x_1{x}_2}=\frac{9-2}{17}=\frac{7}{17}$$

Capcană. Dacă scrii $x_1+x_2=b=-9$, obții $\frac{-9-2}{17}=-\frac{11}{17}$, rezultat care nu e cel cerut. Semnul se corectează cu minusul din formulă.

Verificare. Pentru controlul numeric calculăm totuși soluțiile: $\frac{9\pm \sqrt{13}}{2}\approx 6,30$ și $2,70$. Atunci $x_1+x_2-2=7$ și $x_1{x}_2\approx 17,0$, deci raportul e $\frac{7}{17}\approx 0,412$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Verifică întâi $\Delta$. Apoi, dacă ecuația are soluții reale, scrie suma și produsul lor, fără să rezolvi: a) $4x^2-13x+7=0$; b) $x^2+8x+19=0$; c) $5x^2-8x-11=0$.

2. Parabola $y=3x^2-21x+10$ taie axa $Ox$ în două puncte. Verifică întâi că ele există, apoi scrie, fără să le afli, abscisa vârfului parabolei și produsul absciselor lor.

3. Una dintre soluțiile ecuației $x^2-26x+k=0$ este 11. Află cealaltă soluție și pe $k$.

4. Fără să rezolvi ecuația $13x^2-170x+13=0$, arată că are două soluții reale și că ele sunt inverse una alteia. Apoi află-le.

Nivelul 2 — situații

5. În primele 12 săptămâni de lactație, producția zilnică a unei vaci este $Y(t)=14+6t-\frac{t^2}{2}$ litri, cu $t$ săptămâna. Producția trece de 31 L pe zi între două momente $t_1$ și $t_2$, soluțiile ecuației $Y(t)=31$. a) Fără să rezolvi ecuația, află în ce săptămână e producția maximă și cât este. b) Tot fără să afli $t_1$ și $t_2$, calculează pătratul diferenței $t_2-t_1$ și spune câte zile stă producția peste 31 L.

6. Un tratament de suprafață pune pe o piesă două straturi de vopsea, de grosimi $x_1$ și $x_2$, în micrometri, soluțiile ecuației $4x^2-mx+22100=0$, unde $m$ depinde de comandă. Pentru o comandă, un strat are 65 μm. Află grosimea celuilalt strat din produsul soluțiilor, apoi pe $m$.

7. Doi consumatori dintr-un tablou electric au curenții $I_1$ și $I_2$, în amperi, soluțiile ecuației $I^2-28I+187=0$. Fiecare e alimentat printr-un cablu propriu, de câte 0,3 Ω. Calculează pierderea totală de putere pe cele două cabluri, $0,3(I_1^2+I_2^2)$, fără să afli curenții.

8. Pe un șantier, un zidar aruncă o cărămidă vertical în sus, spre un coleg de pe schelă. Cu $g\approx 10$ m/s², înălțimea cărămizii față de mâna zidarului este $h(t)=9t-5t^2$ metri, după $t$ secunde. Colegul o poate prinde când trece prin dreptul mâinilor lui, la înălțimea $k$: la urcare, la momentul $t_1$, sau la coborâre, la $t_2$. a) Arată, fără să rezolvi ecuația $h(t)=k$, că $t_1+t_2$ nu depinde de $k$ și calculează suma. b) Ca să aibă timp s-o prindă la coborâre, colegul vrea ca între cele două treceri să fie cel puțin 0,4 s. Cât de sus își poate ține mâinile, cel mult?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $3(x_1+x_2)-2x_1{x}_2=8$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-10x+11=0$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $\frac{x_1+x_2-1}{x_1{x}_2}=\frac{1}{2}$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-8x+14=0$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $(x_1+x_2{)}^2-5x_1{x}_2=16$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-9x+13=0$.

12. (Sinteză.) Se consideră ecuația $x^2-(m+7)x+m+3=0$, cu $m$ număr real. a) Determinați $m$ pentru care suma soluțiilor este dublul produsului lor. b) Pentru valoarea găsită, arătați că ecuația are soluții reale și calculați-le.

Răspunsuri și verificări

1. a) $\Delta =169-112=57>0$, deci $S=\frac{13}{4}$ și $P=\frac{7}{4}$. b) $\Delta =64-76=-12<0$: nu există soluții reale, deci nu are sens să vorbești despre sumă și produs. c) $\Delta =64+220=284>0$, deci $S=\frac{8}{5}$ și $P=-\frac{11}{5}$. Verificare: la a) suma are semnul minus din formulă, $-\frac{-13}{4}$, iar la c) produsul negativ arată soluții de semne diferite.

2. $\Delta =441-120=321>0$, deci punctele există. $S=\frac{21}{3}=7$, deci abscisa vârfului, mijlocul celor două abscise, este $\frac{S}{2}=3,5$, iar produsul absciselor este $P=\frac{10}{3}$. Verificare: formula vârfului dă tot $-\frac{-21}{2\cdot 3}=3,5$.

3. $S=26$, deci cealaltă soluție este $26-11=15$, iar $k=P=11\cdot 15=165$. Verificare: $11^2-26\cdot 11+165=121-286+165=0$.

4. $\Delta =28900-676=28224>0$, deci există două soluții reale. Produsul lor este $P=\frac{13}{13}=1$, deci fiecare e inversa celeilalte. Cu $\sqrt{28224}=168$, soluțiile sunt $\frac{170\pm 168}{26}$, adică 13 și $\frac{1}{13}$. Verificare: $13\cdot \frac{1}{13}=1$ și $13+\frac{1}{13}=\frac{170}{13}=S$.

5. Din $Y(t)=31$ rezultă $\frac{t^2}{2}-6t+17=0$, deci $S=\frac{6}{1/2}=12$ și $P=\frac{17}{1/2}=34$. a) Cele două momente au suma 12, deci sunt simetrice față de $t=6$: producția maximă e în săptămâna 6, $Y(6)=14+36-18=32$ L pe zi. b) Pătratul diferenței este $S^2-4P=144-136=8$, deci $t_2-t_1=\sqrt{8}\approx 2,83$ săptămâni, adică $2,83\cdot 7\approx 19,8$, aproape 20 de zile. Verificare: $\Delta =36-34=2>0$, iar soluțiile $6\pm \sqrt{2}$ diferă cu $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$.

6. $P=\frac{22100}{4}=5525$, deci celălalt strat are $5525:65=85$ μm. Suma straturilor este $S=65+85=150=\frac{m}{4}$, deci $m=600$. Verificare: $4\cdot 65^2-600\cdot 65+22100=16900-39000+22100=0$.

7. $S=28$ și $P=187$, iar $I_1^2+I_2^2=S^2-2P=784-374=410$. Pierderea totală este $0,3\cdot 410=123$ W. Verificare: $\Delta =784-748=36>0$, curenții sunt 11 A și 17 A, iar $0,3(121+289)=123$ W.

8. a) $h(t)=k$ înseamnă $5t^2-9t+k=0$, deci $t_1+t_2=\frac{9}{5}=1,8$ s, oricare ar fi $k$; doar produsul, $\frac{k}{5}$, depinde de înălțime. b) Pătratul diferenței este $S^2-4P=3,24-0,8k$, iar condiția cere $3,24-0,8k\ge 0,16$, adică $k\le 3,85$ m. Verificare: la $k=3,85$, ecuația $5t^2-9t+3,85=0$ are $\Delta =81-77=4$, deci $t=0,7$ s și $t=1,1$ s, la 0,4 s una de alta.

9. $\Delta =100-44=56>0$, deci soluțiile sunt reale. Atunci $S=10$ și $P=11$, iar $3\cdot 10-2\cdot 11=30-22=8$. Verificare: soluțiile $5\pm \sqrt{14}$ dau suma 10 și produsul $25-14=11$.

10. $\Delta =64-56=8>0$, deci soluțiile sunt reale. Atunci $S=8$ și $P=14$, iar $\frac{8-1}{14}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$. Verificare: soluțiile $4\pm \sqrt{2}$ au suma 8 și produsul $16-2=14$.

11. $\Delta =81-52=29>0$, deci soluțiile sunt reale. Atunci $S=9$ și $P=13$, iar $9^2-5\cdot 13=81-65=16$. Verificare: soluțiile $\frac{9\pm \sqrt{29}}{2}$ au suma 9 și produsul $\frac{81-29}{4}=13$.

12. a) $S=m+7$ și $P=m+3$. Condiția $S=2P$ dă $m+7=2m+6$, deci $m=1$. b) Pentru $m=1$ ecuația este $x^2-8x+4=0$, cu $\Delta =64-16=48>0$, deci are soluții reale. Soluțiile sunt $x=\frac{8\pm \sqrt{48}}{2}=4\pm 2\sqrt{3}$. Verificare: $S=8$ și $P=16-12=4$, deci $S=2P$.

Așa vine la Bac M3

Programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) trece relațiile lui Viète în blocul clasei a IX-a despre funcția de gradul al II-lea, lângă sistemele de forma $x+y=s$, $xy=p$. Din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, tema a apărut în 6, de fiecare dată în cerința a doua din Subiectul I, iar cea mai recentă apariție e în proba model din 2020. Cele trei forme sub care a venit, fiecare luată din altă probă:

• August 2016, Subiectul I, exercițiul 2: se dă o expresie de forma $m(x_1+x_2)+n{x}_1{x}_2$, cu soluțiile unei ecuații cu $a=1$, iar cerința este să arăți că valoarea ei e dată; baremul probei scrie întâi $x_1+x_2=8$ și $x_1{x}_2=15$ (2 puncte), apoi calculează expresia (3 puncte), deci pasul 3 din Metodă dă pe rând $S$ și $P$, iar pasul 4 valoarea.
• Iunie 2017, Subiectul I, exercițiul 2: expresia e o fracție, cu $x_1+x_2-1$ la numărător și $x_1{x}_2$ la numitor; baremul scrie $S=4$ și $P=3$ (2 puncte), apoi împarte (3 puncte). Fracția se scrie cu $S$ și $P$ tot la pasul 3 din Metodă, iar pasul 4 o verifică numeric.
• Proba specială din 2017, Subiectul I, exercițiul 2: expresia este $(x_1+x_2{)}^2-6x_1{x}_2$, adică $S^2-6P$; baremul scrie $S=5$ și $P=4$ (2 puncte), apoi $25-24=1$ (3 puncte), iar pasul 3 din Metodă dă ambele numere.

La ecuațiile din aceste probe soluțiile se pot afla și direct, dar relațiile lui Viète sunt drumul scurt. Pe foaia de examen scrie $S$ și $P$ pe rânduri separate, apoi expresia cerută. În exercițiile 9–11 regăsești aceleași trei forme, cu ecuații ale căror soluții au radicali.

Greșeli care costă puncte

• Scrii suma ca $\frac{b}{a}$, fără minus → cum o prinzi: la o sumă de mărimi pozitive, ca litrii sau amperii din lecție, rezultatul negativ dă alarma; apoi verifici semnul pe soluțiile calculate.
• Iei produsul egal cu $c$ când $a\ne 1$ → cum o prinzi: la pasul 1 scrii $a$ separat, iar la verificare înmulțești soluțiile și compari cu $\frac{c}{a}$, nu cu $c$.
• Aplici relațiile fără să verifici $\Delta \ge 0$, deși ecuația nu are soluții reale → cum o prinzi: pasul 2 din Metodă; la $x^2+8x+19=0$ valoarea $\Delta =-12$ te oprește.
• Rotunjești soluțiile și apoi calculezi expresia, deși cerința e o egalitate exactă → cum o prinzi: scrii rezultatul exact din $S$ și $P$ și controlezi numeric pe soluțiile rotunjite abia după aceea.
• Înlocuiești o soluție calculată din cap, fără să o verifici în ecuația dată → cum o prinzi: aduni și înmulțești cele două soluții și compari cu $-\frac{b}{a}$ și $\frac{c}{a}$.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: utilizarea relațiilor lui Viète face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 6 probe, la Subiectul I. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce se schimbă la diluare dacă ținta e 25 % în loc de 28 %? Suma rămâne 120, fiindcă nu depinde de țintă, iar produsul devine $3600-2250=1350$. Ecuația este $x^2-120x+1350=0$, cu $\Delta =9000$ și $x=60\pm \sqrt{2250}\approx 60\pm 47,4$. Se scot 12,6 L la fiecare treaptă; valoarea 107,4 L depășește capacitatea rezervorului, deci nu se poate scoate din el.

Cum verific cei 9,8 L fără să refac diluarea? Aduni cele două soluții și le înmulțești: dacă una e 9,8, cealaltă trebuie să fie $120-9,8=110,2$, iar produsul lor trebuie să dea 1 080. Obții $9,8\cdot 110,2=1079,96$, adică 1 080 cu eroarea de rotunjire. Dacă produsul ar ieși departe de 1 080, ai greșit undeva.

De ce suma de 120 spune ceva despre capacitatea de 60 L? Pentru că $120=2\cdot 60$: cele două soluții sunt simetrice față de capacitatea rezervorului, deci una e sub 60 L și cealaltă peste. Numai cea de sub 60 L se poate scoate din rezervor, așa că alegi soluția bună din suma ecuației, înainte de orice rădăcină pătrată.

Cum arată cerințele cu relațiile lui Viète la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? Sunt scurte: se dă o ecuație de gradul al doilea cu soluțiile $x_1$ și $x_2$ și o expresie în $x_1$ și $x_2$, iar cerința e să arăți că ea are o valoare dată. Din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, tema a apărut în 6, toate la cerința a doua din Subiectul I.

Pot aplica relațiile dacă ecuația nu începe cu $x^2$? Da, dar împarți la $a$. La ecuația acumulatorului, $0,02I^2-12I+1500=0$, suma este $\frac{12}{0,02}=600$, nu 12, iar produsul este $\frac{1500}{0,02}=75000$, nu 1 500. Controlezi cu soluțiile: $177,5\cdot 422,5\approx 75000$, ceea ce confirmă împărțirea la $a$. Dacă ai fi luat 1 500, controlul ar fi picat imediat.