Ce este cota unui punct în spațiu?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Reperul Oxyz

Cota este a treia coordonată a punctului, $z$ , în scrierea $M (x, y, z)$ . Ea arată la ce distanță, cu semn, se află punctul față de planul $x O y$ : pozitivă deasupra, negativă dedesubt, zero chiar în plan. Exemplu: $M (2, - 3, 5)$ are cota $5$ , deci stă cu $5$ unități deasupra planului $x O y$ , iar proiecția lui pe acest plan este $(2, - 3, 0)$ . Punctul $N (2, - 3, - 5)$ are aceeași abscisă și ordonată, dar se află simetric, dedesubt.

Reperul cartezian tridimensional $O x y z$ pune trei axe perpendiculare două câte două, pornite din același punct și gradate la fel. Orice loc din spațiu capătă atunci scrierea $M (x, y, z)$ : numărul $x$ se cheamă abscisă, $y$ ordonată, iar $z$ cotă. Ordinea contează, fiindcă mutând numerele între ele ajungi în altă parte.

Luate câte două, axele dau planele $x O y$ , $x O z$ și $y O z$ , iar acestea taie spațiul în opt bucăți, numite octanți. Bucata cu toate cele trei numere pozitive se cheamă primul octant; celelalte se descriu prin semne, pentru că numerotarea nu e aceeași în toate cărțile.

Zerourile din triplet arată așezarea: unul singur duce într-un plan al reperului, două duc pe o axă, iar trei înseamnă originea. Citită invers, regula rezolvă cerințele cu literă — ceri ca o coordonată să fie zero și rămâi cu o ecuație de gradul întâi, fără niciun desen.

A proiecta înseamnă a face zero coordonatele care nu țin de obiectul-țintă: una când ținta e un plan, două când ținta e o axă. A lua simetricul înseamnă doar a schimba semne: unul față de un plan, două față de o axă, trei față de origine. Confuzia dintre cele două operații e obișnuită, deși rezultatele lor coincid numai când acea coordonată era deja zero. Reperul nu vine cu problema, îl alegi tu, iar originea pusă într-un vârf scurtează mult calculul.

De reținut

$M (x, y, z)$ : abscisă, ordonată, cotă, în această ordine
cota pozitivă: deasupra planului $x O y$ ; negativă: dedesubt
simetric față de o axă: coordonata axei rămâne, celelalte două își schimbă semnul

Greșeala tipică

La simetria față de axa $O y$ se schimbă semnul ordonatei; corect, ordonata rămâne neschimbată, iar abscisa și cota își schimbă semnul.

Exerciții din această mini-lecție

Proiecția punctului $V (8, - 1, - 6)$ pe planul $x O z$ este:
- a) $(8, 0, - 6)$
- b) $(0, - 1, - 6)$
- c) $(8, - 1, 0)$
- d) $(8, 1, - 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(8, 0, - 6)$

Proiecția pe un plan de coordonate se obține anulând chiar coordonata care lipsește din numele planului; din $x O z$ lipsește $y$ , deci se anulează ordonata și rămâne $(8, 0, - 6)$ . Varianta b) anulează abscisa, adică proiectează pe $y O z$ ; c) anulează cota, adică proiectează pe $x O y$ ; d) schimbă semnul ordonatei în loc să o anuleze, ceea ce înseamnă simetrie, nu proiecție.
Simetricul punctului $B (- 7, 4, - 3)$ față de axa $O x$ este:
- a) $(7, 4, 3)$
- b) $(- 7, - 4, 3)$
- c) $(7, - 4, - 3)$
- d) $(- 7, 4, 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(- 7, - 4, 3)$

Simetria față de o axă schimbă semnul celor două coordonate care nu se măsoară pe ea; axa $O x$ rămâne pe loc, deci abscisa nu se atinge, iar ordonata și cota își schimbă semnul: $(- 7, - 4, 3)$ . Control: mijlocul segmentului dintre punct și simetricul lui are coordonatele $- 7$ , $0$ și $0$ , deci cade pe axa $O x$ . Varianta a) schimbă abscisa și cota, adică este simetria față de axa $O y$ ; c) schimbă abscisa în loc de ordonată și cotă; d) este simetria față de planul $x O y$ .
Determină numărul real $a$ pentru care punctul $C (a - 5, 2 a - 10, 4)$ se află pe axa $O z$ .
- a) $a = - 5$
- b) $a = 10$
- c) nu există o astfel de valoare
- d) $a = 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $a = 5$

Un punct se află pe axa $O z$ exact când abscisa și ordonata lui sunt amândouă nule. Prima condiție, $a - 5 = 0$ , dă $a = 5$ ; a doua, $2 a - 10 = 0$ , dă tot $a = 5$ , deci cele două cerințe se potrivesc, iar punctul devine $(0, 0, 4)$ . Variantele a) și b) nu îndeplinesc niciuna dintre cele două condiții; c) ar fi răspunsul dacă cele două ecuații ar da valori diferite — aici ele au aceeași rădăcină, fiindcă a doua expresie este dubla primei.

Întrebări conexe

Cum afli simetricul unui punct față de axa $O y$ ?

Păstrezi ordonata și schimbi semnul abscisei și al cotei. Din $P (4, - 1, 6)$ se obține $(- 4, - 1, - 6)$ . Control: mijlocul segmentului dintre cele două puncte este $(0, - 1, 0)$ , care se află chiar pe axa $O y$ .

Când se află un punct în planul $y O z$ ?

Exact când abscisa lui este $0$ , cum e $(0, 3, - 2)$ . Dacă punctul depinde de un parametru, de exemplu $A (2 a - 6, a, 1)$ , el ajunge în planul $y O z$ pentru $2 a - 6 = 0$ , adică $a = 3$ , iar atunci $A (0, 3, 1)$ .

Ce coordonate au vârfurile unui cub așezat în origine?

Pentru un cub cu latura $5$ , cu muchiile pe semiaxele pozitive, fiecare coordonată este $0$ sau $5$ : $(0, 0, 0)$ , $(5, 0, 0)$ , $(0, 5, 0)$ , $(0, 0, 5)$ , $(5, 5, 0)$ , $(5, 0, 5)$ , $(0, 5, 5)$ și $(5, 5, 5)$ . Vârful opus originii are toate coordonatele egale cu latura.

Cum descriu cu reperul $O x y z$ poziția unei drone?

Pui originea în punctul de decolare, axa $O x$ spre est, $O y$ spre nord și $O z$ în sus. Poziția $(30, - 40, 25)$ înseamnă $30$ m spre est, $40$ m spre sud și $25$ m înălțime. Distanța pe sol față de punctul de plecare este $900 + 1600 = 50$ m.

Cum afli proiecția unui punct pe axa $O z$ ?

Anulezi abscisa și ordonata și păstrezi cota. Proiecția lui $(7, - 2, 4)$ pe axa $O z$ este $(0, 0, 4)$ . Pe o axă se anulează două coordonate, pe un plan de coordonate doar una.

Ce înseamnă că două puncte din spațiu au aceeași cotă?

Că se află în același plan paralel cu $x O y$ , cel de ecuație $z = c$ . Punctele $A (1, 2, 3)$ și $B (- 4, 0, 3)$ stau amândouă în planul $z = 3$ , deci segmentul $A B$ este paralel cu planul $x O y$ .

Oamenii mai întreabă și: cota punctului · ce înseamnă z la coordonatele unui punct · abscisă, ordonată și cotă · a treia coordonată în reperul Oxyz

Ce este cota unui punct în spațiu?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum afli simetricul unui punct față de axa Oy?

Când se află un punct în planul yOz?

Ce coordonate au vârfurile unui cub așezat în origine?

Cum descriu cu reperul Oxyz poziția unei drone?

Cum afli proiecția unui punct pe axa Oz?

Ce înseamnă că două puncte din spațiu au aceeași cotă?

Continuă cu

Cum afli simetricul unui punct față de axa $O y$ ?

Când se află un punct în planul $y O z$ ?

Cum descriu cu reperul $O x y z$ poziția unei drone?

Cum afli proiecția unui punct pe axa $O z$ ?