Reperul Oxyz: coordonatele unui punct (M2, științe ale naturii)

O dronă care cartează o parcelă de pădure trimite, pentru fiecare copac însemnat, trei numere: cât de departe e spre est, cât de departe e spre nord și la ce înălțime se află vârful lui. Două numere ajungeau cât timp desenam o hartă plată; al treilea apare în clipa în care recunoaștem că lumea nu e o foaie. Geometria analitică în spațiu, capitolul cu care se deschide clasa a XII-a la profilul științe ale naturii (M2), pornește exact de aici: din decizia de a descrie orice punct al spațiului prin trei numere, nici mai multe, nici mai puține. Tema se evaluează la Bacalaureatul M2 din 2030, la proba MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie".

Merită spus limpede cui i se adresează lecția. Geometria analitică în spațiu este o temă nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025, care ajunge la clasa a XII-a în anul școlar 2029–2030. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte — pentru ei, partea de geometrie a examenului rămâne cea din plan. Dacă ești în prima promoție care învață după programa nouă, lecția de față este prima pagină a capitolului: tot ce urmează, de la distanțe până la ecuația planului, se sprijină pe cele trei numere pe care înveți acum să le citești.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii reperul cartezian $Oxyz$: cele trei axe, originea și cele trei plane de coordonate.
• Vei ști să citești și să scrii coordonatele unui punct din spațiu, în ordinea abscisă, ordonată, cotă.
• Vei ști să recunoști din coordonate dacă un punct se află pe o axă, într-un plan de coordonate sau într-una dintre cele opt regiuni ale spațiului.
• Vei ști să afli proiecțiile unui punct pe fiecare axă și pe fiecare plan de coordonate.
• Vei ști să determini simetricul unui punct față de un plan de coordonate, față de o axă și față de origine.
• Vei ști să așezi un corp simplu în reper, alegând originea și axele astfel încât coordonatele să iasă cât mai simple.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este reperul cartezian tridimensional?

În plan ai lucrat cu două axe perpendiculare. În spațiu, prin punctul în care ele se taie ridici o a treia dreaptă, perpendiculară pe amândouă deodată. Colțul unei camere e imaginea potrivită: două muchii ale podelei și muchia verticală dintre pereți se întâlnesc într-un punct și sunt perpendiculare două câte două.

Reperul cartezian tridimensional $Oxyz$ este ansamblul format din trei axe de coordonate $Ox$, $Oy$ și $Oz$, perpendiculare două câte două, cu aceeași origine $O$ și cu aceeași unitate de măsură pe fiecare; coordonatele punctului $M$ în acest reper sunt numerele reale $x$, $y$, $z$ măsurate pe cele trei axe, iar punctul se scrie $M(x,y,z)$. Primul număr se numește abscisă, al doilea ordonată, al treilea cotă.

Ordinea celor trei numere nu e o convenție decorativă: punctele de coordonate $(2,5,0)$ și $(5,2,0)$ sunt diferite. Când citești un enunț, identifică întâi care număr e cota — de obicei e cel care, într-un model din științe, poartă altă unitate de măsură decât celelalte două.

Cele trei axe, luate două câte două, determină trei plane numite plane de coordonate: $xOy$, $xOz$ și $yOz$. Ecuațiile lor le vei scrie la Ecuația generală a planului; deocamdată ne interesează ca repere pentru ochi.

2. Cum ajungi la un punct din spațiu?

Drumul până la un punct se face în trei pași, fiecare paralel cu o axă. Pentru punctul $T(2,6,5)$ pornești din origine, mergi $2$ unități pe direcția lui $Ox$, apoi $6$ unități pe direcția lui $Oy$ și, în sfârșit, $5$ unități pe direcția lui $Oz$. Ordinea pașilor nu schimbă destinația, dar schimbă desenul: dacă îi faci în ordinea scrisă, obții colțurile unei cutii.

Cutia aceasta — paralelipipedul dreptunghic cu un vârf în $O$, cu muchiile pe axe și cu vârful opus în $T$ — e cel mai bun instrument de desen pe care îl ai în spațiu. Muchiile care pornesc din origine măsoară chiar $2$, $6$ și $5$, adică exact coordonatele, iar celelalte vârfuri ale ei se citesc imediat: $(2,0,0)$, $(0,6,0)$, $(0,0,5)$, apoi $(2,6,0)$, $(2,0,5)$ și $(0,6,5)$. Observă tiparul: fiecare vârf se obține păstrând sau anulând, independent, fiecare dintre cele trei coordonate ale lui $T$.

Când coordonatele sunt negative, drumul se face în sens opus pe axa respectivă, dar cutia rămâne aceeași ca formă — motiv pentru care, într-un desen făcut de mână, e mai simplu să trasezi întâi cutia și abia apoi să pui semnele.

3. În ce parte a spațiului se află un punct?

Cele trei plane de coordonate împart spațiul în opt regiuni, numite octanți — analogul celor patru cadrane din plan. Cele opt regiuni corespund celor opt triplete de semne, iar regiunea cu toate coordonatele pozitive se numește primul octant. Celelalte șapte se descriu prin semne, nu printr-un număr de ordine: numerotarea diferă de la o carte la alta, tripletul de semne înseamnă același lucru peste tot. Fiecare semn răspunde la o singură întrebare:

Punctul $T(2,6,5)$ din subsecțiunea anterioară are toate semnele plus, deci e în primul octant; punctul $U(-3,5,-2)$ are abscisa negativă și cota negativă, deci e dincolo de planul $yOz$ și sub planul $xOy$.

Un caz de margine merită spus acum, ca să nu-l cauți mai târziu: un punct care are măcar o coordonată nulă nu se află în niciun octant, ci chiar pe granița dintre ei — adică într-un plan de coordonate.

4. Cum recunoști un punct de pe o axă sau dintr-un plan de coordonate?

Regula se citește direct din definiție și nu are excepții. Un punct se află pe o axă exact atunci când celelalte două coordonate ale lui sunt nule: punctele axei $Ox$ au forma $(x,0,0)$, cele ale axei $Oy$ au forma $(0,y,0)$, iar cele ale axei $Oz$ au forma $(0,0,z)$. Un punct se află într-un plan de coordonate exact atunci când coordonata care lipsește din numele planului este nulă: planul $xOy$ strânge punctele de forma $(x,y,0)$, planul $xOz$ pe cele de forma $(x,0,z)$, iar planul $yOz$ pe cele de forma $(0,y,z)$.

Merită privit și în celălalt sens, fiindcă acolo apare capcana: „o coordonată nulă" nu înseamnă „pe o axă", ci doar „într-un plan de coordonate". Ca să ajungi pe o axă îți trebuie două coordonate nule. Iar originea, cu toate trei nule, aparține tuturor celor trei axe și tuturor celor trei plane deodată.

Aceeași citire, aplicată invers, rezolvă cerințele cu parametru: pui condiția ca o coordonată să fie nulă și rezolvi ecuația de gradul întâi care rămâne — un rând de calcul, nu un desen.

5. Ce sunt proiecțiile unui punct pe axe și pe planele de coordonate?

A proiecta un punct pe un plan de coordonate înseamnă a-l „lăsa să cadă" perpendicular pe acel plan; a-l proiecta pe o axă înseamnă a păstra numai deplasarea de-a lungul ei. În coordonate, amândouă se traduc prin anularea coordonatelor care nu aparțin obiectului pe care proiectezi.

Ia punctul $U(-3,5,-2)$. Proiecțiile lui pe cele trei axe sunt $(-3,0,0)$ pe $Ox$, $(0,5,0)$ pe $Oy$ și $(0,0,-2)$ pe $Oz$: de fiecare dată păstrezi o coordonată și anulezi două. Proiecțiile lui pe planele de coordonate sunt $(-3,5,0)$ pe $xOy$, $(-3,0,-2)$ pe $xOz$ și $(0,5,-2)$ pe $yOz$: de fiecare dată păstrezi două coordonate și anulezi una — chiar pe cea care lipsește din numele planului.

Proiecția pe planul $xOy$ are un nume în limbajul de toate zilele: e „umbra" punctului pe podea, iar cota spune cât de sus e ridicat deasupra ei.

6. Cum afli simetricul unui punct față de un plan, o axă sau origine?

Simetria față de un plan de coordonate schimbă semnul unei singure coordonate — chiar cea care lipsește din numele planului. Simetria față de o axă schimbă semnul celorlalte două coordonate, adică al celor care nu sunt pe axă. Simetria față de origine schimbă semnul tuturor celor trei.

Verifică pe punctul $W(5,-2,-4)$. Simetricul lui față de planul $xOy$ este $(5,-2,4)$: doar cota și-a schimbat semnul. Față de axa $Oz$ este $(-5,2,-4)$: s-au schimbat abscisa și ordonata. Față de origine este $(-5,2,4)$: toate trei. Controlul e imediat: mijlocul segmentului dintre punct și simetricul lui trebuie să cadă pe planul, pe axa sau în originea față de care ai făcut simetria.

Dacă ai lucrat cu graficele funcțiilor pare și impare la Simetria graficului față de o dreaptă sau un punct, regăsești aici exact același mecanism, cu un semn în plus de urmărit: în plan schimbai una sau două coordonate, în spațiu una, două sau trei.

7. La ce folosește reperul spațial într-un model din științe?

Prima folosință e cea din deschiderea lecției. Drona înregistrează un copac în punctul $D(60,80,35)$, unde primele două numere sunt metri măsurați pe sol, spre est și spre nord, iar al treilea este înălțimea, tot în metri. Proiecția pe planul $xOy$, adică $(60,80,0)$, este poziția lui pe hartă. A treia coordonată, înălțimea de $35$ de metri, este tocmai mărimea pe care harta n-o poate arăta. Două puncte cu aceeași umbră și cote diferite sunt, pe hartă, același loc și, în realitate, două obiecte suprapuse.

A doua folosință ține de alegerea reperului. Reperul nu vine cu terenul, ci îl alegi tu, iar o alegere bună scurtează calculele la jumătate: pune originea într-un colț sau într-un centru de simetrie al corpului studiat și îndreaptă axele de-a lungul muchiilor. Un paralelipiped așezat cu un vârf în origine și cu muchiile pe axe are toate vârfurile cu cel puțin o coordonată nulă; același paralelipiped pus strâmb cere opt triplete de numere urâte, fără să schimbe vreun rezultat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea coordonatelor și poziția față de plane

Se dau punctele $A(5,1,4)$, $B(-2,4,7)$ și $C(3,-6,-1)$. Precizează, pentru fiecare, semnele coordonatelor și poziția lui față de planele de coordonate.

Rezolvare. Punctul $A$ are toate coordonatele pozitive, deci se află în primul octant. Punctul $B$ are abscisa negativă și celelalte două pozitive, deci e dincolo de planul $yOz$, dar tot deasupra planului $xOy$. Punctul $C$ are ordonata și cota negative, deci e sub planul $xOz$ și sub planul $xOy$, cu abscisa pozitivă. Niciunul nu are vreo coordonată nulă, deci niciunul nu atinge un plan de coordonate.

Exemplul 2 — Puncte pe axe și în plane de coordonate

Stabilește unde se află fiecare dintre punctele $P(0,-7,0)$, $Q(4,0,-3)$, $R(0,0,9)$ și $S(-6,2,0)$.

Rezolvare. Punctul $P$ are abscisa și cota nule, deci e pe axa $Oy$, pe semiaxa negativă. Punctul $Q$ are numai ordonata nulă, deci e în planul $xOz$, fără a fi pe vreo axă. Punctul $R$ are abscisa și ordonata nule, deci e pe axa $Oz$, la cota $9$. Punctul $S$ are numai cota nulă, deci e în planul $xOy$. Regula de control: două coordonate nule înseamnă axă, una singură nulă înseamnă plan de coordonate.

Exemplul 3 — Proiecțiile unui punct

Determină proiecțiile punctului $D(7,-3,2)$ pe cele trei axe și pe cele trei plane de coordonate.

Rezolvare. Pe axe păstrăm câte o coordonată: proiecția pe $Ox$ este $(7,0,0)$, pe $Oy$ este $(0,-3,0)$, pe $Oz$ este $(0,0,2)$. Pe plane anulăm coordonata care lipsește din nume: proiecția pe $xOy$ este $(7,-3,0)$, pe $xOz$ este $(7,0,2)$, pe $yOz$ este $(0,-3,2)$.

Exemplul 4 — Simetricele unui punct

Determină simetricul punctului $E(-4,6,1)$ față de planul $xOy$, față de axa $Oz$ și față de origine.

Rezolvare. Față de planul $xOy$ schimbăm semnul cotei: $(-4,6,-1)$. Față de axa $Oz$ schimbăm abscisa și ordonata: $(4,-6,1)$. Față de origine schimbăm toate trei: $(4,-6,-1)$. Verificare pe ultimul: mijlocul segmentului dintre $E$ și simetricul lui are coordonatele $\frac{-4+4}{2}=0$, $\frac{6-6}{2}=0$, $\frac{1-1}{2}=0$, adică este punctul $(0,0,0)$ — chiar originea.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Punctul $F(0,3,5)$ are abscisa nulă, deci se află pe axa $Oy$." Arată unde greșește și dă răspunsul corect.

Rezolvare. Greșeala este confuzia dintre „o coordonată nulă" și „două coordonate nule". Pentru ca punctul să fie pe axa $Oy$ ar trebui ca abscisa și cota să fie amândouă nule, adică forma $(0,y,0)$. Aici cota este $5\ne 0$, deci punctul nu e pe nicio axă; fiind nulă doar abscisa, el se află în planul $yOz$. Controlul rapid: numără zerourile tripletului — unul duce într-un plan, două duc pe o axă, trei duc în origine.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: proba MAT_P2 nu are încă subiecte publicate, ci numai programa de examen. Am păstrat formatul cu trei cerințe legate, folosit azi la științe ale naturii.)

Un paralelipiped dreptunghic are un vârf în originea $O$, muchiile pe semiaxele pozitive și dimensiunile $5$, $3$ și $4$, măsurate pe $Ox$, $Oy$, respectiv $Oz$. Notăm cu $N$ vârful opus lui $O$.

a) Scrie coordonatele vârfului $N$ și ale celor trei vârfuri vecine cu el.

b) Determină proiecția lui $N$ pe planul $xOz$.

c) Determină simetricul lui $N$ față de origine și precizează semnele coordonatelor lui.

Rezolvare. a) Vârful opus originii are drept coordonate chiar cele trei dimensiuni, deci $N(5,3,4)$. Vecinii lui diferă de el printr-o singură coordonată, anulată pe rând: $(0,3,4)$, $(5,0,4)$ și $(5,3,0)$.

b) Proiecția pe planul $xOz$ se obține anulând ordonata, deci este $(5,0,4)$ — unul dintre vecinii găsiți la a), ceea ce confirmă răspunsul.

c) Simetricul față de origine schimbă toate trei semnele, deci este $(-5,-3,-4)$, cu toate coordonatele negative: octantul opus primului.

Să exersăm

1. Precizează semnele coordonatelor punctului $A(3,2,5)$ și spune în ce octant se află.

2. Compară pozițiile punctelor $B(-1,-4,2)$ și $C(6,-3,-2)$: care dintre ele se află deasupra planului $xOy$ și care dincolo de planul $yOz$?

3. Care dintre punctele $(0,5,0)$, $(2,0,0)$, $(0,0,-3)$ și $(1,0,4)$ se află pe o axă de coordonate? Precizează axa.

4. Care dintre punctele $(0,2,7)$, $(-5,0,3)$ și $(4,9,0)$ se află într-un plan de coordonate? Precizează planul.

5. Determină proiecțiile punctului $G(2,-6,4)$ pe cele trei axe de coordonate.

6. Determină proiecțiile punctului $H(-5,3,8)$ pe cele trei plane de coordonate.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Punctul $K(0,0,7)$ aparține și planului $xOz$, și planului $yOz$.

8. Determină simetricul punctului $L(4,-2,6)$ față de planul $xOy$.

9. Determină simetricele punctului $M(-3,5,1)$ față de axa $Oz$ și față de origine.

10. Determină numărul real $m$ pentru care punctul $N(m-2,3,m+1)$ se află în planul $yOz$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctul $P(2,-3,6)$. a) Scrie proiecția lui $P$ pe planul $xOy$. b) Scrie simetricul lui $P$ față de planul $xOz$. c) Determină numărul real $t$ pentru care punctul $(2t+6,-3,6)$ se află în planul $yOz$.

12. Determină numărul real $a$ pentru care punctul $R(a+1,a-4,2)$ se află pe axa $Oz$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Un paralelipiped dreptunghic are un vârf în origine, muchiile pe semiaxele pozitive și dimensiunile $7$, $2$ și $5$, măsurate pe $Ox$, $Oy$, respectiv $Oz$. Scrie coordonatele vârfului opus originii și ale celor trei vecini ai lui.

14. (Problemă aplicată.) Într-un bazin de acvacultură se alege drept origine un colț de la fundul bazinului, cu $Ox$ și $Oy$ de-a lungul muchiilor fundului și cu $Oz$ în sus. O sondă de oxigen stă la $3$ m pe lungime, $2$ m pe lățime și $1,5$ m deasupra fundului. Scrie coordonatele sondei, pe cele ale proiecției ei pe fundul bazinului și spune ce mărime fizică măsoară a treia coordonată.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) Un punct și simetricul lui față de axa $Oz$ au aceeași proiecție pe planul $xOy$.

16. Scrie coordonatele celor patru puncte care se obțin din $S(1,-2,3)$ prin simetrie față de fiecare dintre cele trei plane de coordonate și față de origine.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctele $A(-2,0,5)$ și $B(-2,0,-5)$. a) Arată că amândouă se află în planul $xOz$. b) Arată că $B$ este simetricul lui $A$ față de axa $Ox$. c) Scrie proiecțiile lui $A$ pe cele trei axe de coordonate.

18. (Provocare.) Un punct $M$ are proiecția pe planul $xOy$ în $(3,-1,0)$, iar proiecția pe planul $yOz$ în $(0,-1,4)$. Determină coordonatele lui $M$ și proiecția lui pe planul $xOz$.

Răspunsuri și explicații

1. Toate coordonatele sunt pozitive, deci punctul se află în primul octant.

2. Punctul $B(-1,-4,2)$ are cota $2>0$, deci e deasupra planului $xOy$; $C(6,-3,-2)$ are cota $-2<0$, deci e dedesubtul lui. Dincolo de planul $yOz$ se află numai $B$, pentru că $-1<0$, în timp ce $C$ are abscisa $6>0$.

3. Pe axe se află $(0,5,0)$ — pe $Oy$, $(2,0,0)$ — pe $Ox$ și $(0,0,-3)$ — pe $Oz$. Punctul $(1,0,4)$ are un singur zero, deci nu e pe nicio axă, ci în planul $xOz$.

4. Toate trei: $(0,2,7)$ are abscisa nulă, deci e în planul $yOz$; $(-5,0,3)$ are ordonata nulă, deci e în planul $xOz$; $(4,9,0)$ are cota nulă, deci e în planul $xOy$.

5. Pe $Ox$ proiecția este $(2,0,0)$, pe $Oy$ este $(0,-6,0)$, pe $Oz$ este $(0,0,4)$. De fiecare dată se păstrează o singură coordonată.

6. Pe $xOy$ proiecția este $(-5,3,0)$, pe $xOz$ este $(-5,0,8)$, pe $yOz$ este $(0,3,8)$. Se anulează exact coordonata care lipsește din numele planului.

7. Adevărat: are abscisa nulă, deci e în planul $yOz$, și ordonata nulă, deci e și în $xOz$. Fiind în amândouă, se află pe dreapta lor comună, adică pe axa $Oz$.

8. Simetricul față de planul $xOy$ schimbă doar semnul cotei, deci este punctul $(4,-2,-6)$.

9. Față de axa $Oz$ se schimbă abscisa și ordonata, deci simetricul este $(3,-5,1)$. Față de origine se schimbă toate trei, deci simetricul este $(3,-5,-1)$.

10. Condiția de apartenență la planul $yOz$ este ca abscisa să fie nulă: $m-2=0$, deci $m=2$. Pentru această valoare punctul este $(0,3,3)$, care are într-adevăr abscisa nulă.

11. a) Proiecția pe $xOy$ se obține anulând cota: $(2,-3,0)$. b) Simetricul față de planul $xOz$ schimbă semnul ordonatei: $(2,3,6)$. c) Apartenența la planul $yOz$ cere abscisa nulă: $2t+6=0$, deci $t=-3$, iar punctul devine $(0,-3,6)$ — chiar proiecția lui $P$ pe planul $yOz$.

12. Pe axa $Oz$ trebuie ca abscisa și ordonata să fie amândouă nule: $a+1=0$ și $a-4=0$ în același timp, adică $a=-1$ și $a=4$ deodată — imposibil. Nu există nicio astfel de valoare.

13. Vârful opus originii are coordonatele egale cu dimensiunile, deci este $(7,2,5)$. Vecinii lui se obțin anulând pe rând câte o coordonată: $(0,2,5)$, $(7,0,5)$ și $(7,2,0)$.

14. Sonda are coordonatele $(3;2;1,5)$, în metri, iar proiecția ei pe fundul bazinului, adică pe planul $xOy$, este $(3;2;0)$. A treia coordonată măsoară înălțimea sondei deasupra fundului bazinului, în metri.

15. Fals. Simetricul lui $M(x,y,z)$ față de axa $Oz$ este $(-x,-y,z)$, deci cele două proiecții pe planul $xOy$ sunt $(x,y,0)$ și $(-x,-y,0)$ — diferite ori de câte ori $x$ și $y$ nu sunt amândouă nule; pentru $M(3,7,2)$ ies $(3,7,0)$ și $(-3,-7,0)$. Comună le rămâne cota, adică înălțimea deasupra planului, nu umbra pe el.

16. Față de $xOy$ se obține $(1,-2,-3)$, față de $xOz$ se obține $(1,2,3)$, față de $yOz$ se obține $(-1,-2,3)$, iar față de origine se obține $(-1,2,-3)$. Observă că ultimul este simetricul față de axa $Oy$ al celui de-al doilea: s-au schimbat abscisa și cota, adică exact coordonatele care nu sunt pe axa $Oy$.

17. a) Amândouă au ordonata nulă, deci se află în planul $xOz$. b) Simetria față de axa $Ox$ schimbă ordonata și cota: din $(-2,0,5)$ se obține $(-2,0,-5)$, adică exact $B$. c) Proiecțiile lui $A$ sunt $(-2,0,0)$ pe $Ox$, $(0,0,0)$ pe $Oy$ și $(0,0,5)$ pe $Oz$.

18. Proiecția pe $xOy$ păstrează abscisa și ordonata, deci $M$ are abscisa $3$ și ordonata $-1$. Proiecția pe $yOz$ păstrează ordonata și cota, deci cota lui $M$ este $4$, iar ordonata se confirmă a fi $-1$. Așadar $M(3,-1,4)$, iar proiecția lui pe planul $xOz$ este $(3,0,4)$.

De reținut

• În reperul $Oxyz$ un punct se scrie $M(x,y,z)$, cu $x$ abscisă, $y$ ordonată și $z$ cotă; ordinea face parte din răspuns.
• Planele $xOy$, $xOz$ și $yOz$ împart spațiul în opt octanți; în primul toate coordonatele sunt pozitive, iar semnul cotei arată dacă punctul e deasupra sau dedesubtul planului $xOy$.
• Două coordonate nule înseamnă că punctul e pe o axă; o singură coordonată nulă înseamnă că e într-un plan de coordonate; trei coordonate nule înseamnă originea.
• Proiecția se face anulând coordonatele care nu aparțin obiectului pe care proiectezi: una pentru un plan de coordonate, două pentru o axă.
• Simetria față de un plan de coordonate schimbă un semn, cea față de o axă schimbă două, cea față de origine schimbă trei.

Greșeli frecvente

• Se confundă „o coordonată nulă" cu „pe o axă". Din $(0,3,5)$ se conchide că punctul e pe $Oy$. Corect: un zero duce într-un plan de coordonate, iar pentru o axă sunt necesare două. Numără zerourile înainte de a răspunde.
• Se schimbă ordinea coordonatelor. Punctul „la $2$ metri înălțime și $5$ metri lateral" e scris $(2,5,0)$ în loc de $(5,0,2)$. Corect: decide întâi care axă e verticala, apoi completează tripletul în ordinea $x$, $y$, $z$.
• Se inversează proiecția cu simetria. La proiecția pe planul $xOy$ se schimbă semnul cotei, în loc să fie anulată. Corect: proiecția anulează o coordonată, simetria doar îi schimbă semnul; coincid numai când acea coordonată era deja nulă.
• Se schimbă semnul coordonatei greșite la simetria față de o axă. Față de $Oz$ se schimbă semnul cotei. Corect: axa $Oz$ rămâne pe loc, deci cota nu se atinge; se schimbă abscisa și ordonata, adică exact coordonatele care nu sunt pe axă.
• Se caută octantul după un număr de ordine. Se învață pe de rost „octantul al cincilea" și se greșește, fiindcă numerotarea diferă de la o carte la alta. Corect: descrie poziția prin tripletul de semne.

Aplică acasă

1. Colțul camerei. Alege un colț al camerei drept origine, muchiile podelei drept axe $Ox$ și $Oy$, iar muchia verticală drept $Oz$, cu unitatea de un metru. Notează tripletele pentru șase obiecte aflate la înălțimi diferite: întrerupător, colț de birou, bec, priză, clanța ușii, colț de raft. Verifică apoi pe ce plan de coordonate ar cădea fiecare dacă i-ai anula câte o coordonată.

2. Umbra și înălțimea. Fotografiază o plantă de apartament de sus și de lateral. Pe prima fotografie citește poziția a trei frunze față de un colț al ghiveciului — sunt proiecțiile pe planul $xOy$ —, iar pe a doua citește înălțimea fiecăreia. Scrie cele trei triplete și spune care două frunze au aproape aceeași umbră, deși stau la înălțimi diferite.

3. Simetria unei molecule în desen. Caută într-un manual de chimie o moleculă cu formă simetrică și alege originea în atomul central. Estimează coordonatele a patru atomi vecini, apoi verifică prin calcul ce simetrie leagă perechile și care coordonate și-au schimbat semnul.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei deprinderi măsurabile: scrierea unui triplet de coordonate în ordinea abscisă–ordonată–cotă, decizia rapidă asupra poziției unui punct față de axe și de planele de coordonate, și calculul proiecțiilor și al simetricelor. Pe ele se sprijină toate celelalte nouă lecții ale capitolului.

Dificultatea reală nu este calculul, ci trecerea de la două dimensiuni la trei: elevul a lucrat patru ani cu perechi de numere și trebuie acum să accepte o a treia direcție, pe care desenul o redă mereu deformat. Un colț de cameră sau o cutie de carton ajută mai mult decât zece exerciții suplimentare, iar obiceiul de a desena întâi cutia de referință scutește de jumătate din greșeli. Următorul pas al traseului este Distanța dintre două puncte în spațiu, unde tripletele încep să producă numere.

Întrebări de control: „Câte zerouri are un punct de pe o axă?", „Ce se schimbă la simetria față de planul $xOz$?", „Ce înseamnă geometric a anula cota unui punct?", „De ce originea aparține tuturor celor trei plane?". Semne că a înțeles: nu mai are nevoie de desen ca să decidă dacă un punct e pe o axă; spune imediat câte semne se schimbă la fiecare simetrie; pus în fața unui corp, alege singur originea într-un vârf.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), la unitatea XII.2. Elemente de geometrie analitică în spațiu, conținutul „Reperul cartezian tridimensional $Oxyz$; coordonatele unui punct în spațiu". La Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, tema intră în domeniul Geometrie. Trigonometrie. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche (OMEN 4430/2014) și dau Bacalaureatul M2 în sesiunile 2027–2029, unde geometria analitică în spațiu nu apare deloc; pentru ei, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce este reperul cartezian tridimensional Oxyz?

Este ansamblul a trei axe perpendiculare două câte două, $Ox$, $Oy$ și $Oz$, care pornesc din aceeași origine și au aceeași unitate de măsură. În raport cu el, orice punct al spațiului se descrie printr-un triplet ordonat de numere reale. Axele determină, două câte două, trei plane de coordonate, care împart spațiul în opt regiuni.

Cum citești coordonatele unui punct din spațiu?

Le citești în ordinea fixă abscisă, ordonată, cotă, adică deplasarea pe $Ox$, apoi cea pe $Oy$, apoi cea pe $Oz$. Ordinea face parte din răspuns: $(2,5,0)$ și $(5,2,0)$ sunt puncte diferite. În modelele din științe, cota este de obicei mărimea care măsoară altceva decât primele două, de exemplu înălțimea sau adâncimea.

Câți octanți are reperul Oxyz și cum îi deosebești?

Cele trei plane de coordonate împart spațiul în opt regiuni numite octanți. Primul octant este cel în care toate coordonatele sunt pozitive. Restul se deosebesc cel mai sigur prin tripletul de semne, nu printr-un număr de ordine, pentru că numerotarea lor nu e aceeași în toate cărțile. Un punct cu o coordonată nulă nu e în niciun octant, ci pe granița dintre ei.

Ce înseamnă proiecția unui punct pe un plan de coordonate?

Înseamnă punctul obținut anulând coordonata care lipsește din numele planului: proiecția pe $xOy$ anulează cota, cea pe $xOz$ anulează ordonata, cea pe $yOz$ anulează abscisa. Geometric, este piciorul perpendicularei coborâte din punct pe acel plan. Proiecția pe $xOy$ este chiar „umbra" punctului pe podeaua reperului.

Cum afli simetricul unui punct față de origine?

Schimbi semnele tuturor celor trei coordonate: simetricul lui $M(x,y,z)$ este punctul de coordonate $(-x,-y,-z)$. Verificarea se face imediat, arătând că mijlocul segmentului dintre cele două puncte este chiar originea. Față de un plan de coordonate se schimbă un singur semn, iar față de o axă se schimbă două.

Se studiază reperul Oxyz și la mate-info (M1)?

Nu. Geometria analitică în spațiu este o temă exclusiv a profilului științe ale naturii: la matematică-informatică, geometria clasei a XII-a este dedicată conicelor din plan, iar reperul tridimensional nu apare nici acolo, nici în clasele anterioare. Pentru comparație, reperul cartezian din plan, cu distanța și mijlocul, la mate-info (M1): Reperul cartezian, distanța și mijlocul.

La ce subiect apare reperul Oxyz la bacalaureatul M2?

Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie", unitatea XII.2. Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit de noi, nu preluat dintr-un model oficial. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, geometria analitică — cea din plan — apare ca o cerință scurtă la Subiectul I.