Sinteză finală mate-info: probleme tip Bacalaureat M1: pe scurt

Algebra clasei a X-a de la mate-info se întâlnește la examen prin patru punți, aproape întotdeauna aceleași. Complexe → polinoame: o rădăcină nereală a unui polinom cu coeficienți reali vine la pachet cu conjugata ei, iar relațiile lui Viète dau adesea a treia rădăcină fără nicio împărțire. Exponențiale/logaritmi → ecuații algebrice: substituția $t=a^x$ (cu $t>0$) sau $t={\log }_{a}x$ (fără restricție de semn) transformă o ecuație „exotică" într-una de gradul al doilea. Numărare → probabilități: un singur cuvânt din enunț alege schema — „simultan" înseamnă hipergeometrică (cu combinări), „cu revenire" înseamnă Bernoulli, $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$, iar probabilitățile diferite de la o probă la alta cer schema lui Poisson, egală cu coeficientul lui $x^k$ din produsul $\prod (p_{i}x+q_i)$. Binomul lui Newton → complexe: punând $b=i$ în $(a+b{)}^n$ și separând părțile reală și imaginară obții sume alternante de combinări.

Baremul punctează pașii, nu doar rezultatul: condițiile de existență, respingerea motivată, reducerea argumentului la $[0,2\pi )$ și precizarea modelului de extragere se scriu explicit, întotdeauna.

Exerciții din această mini-lecție

1. Polinomul $f=X^3+a{X}^2+bX-20$ are coeficienți reali și rădăcina $2+4i$. Care este a treia rădăcină a lui $f$?

   • a) $20$
   • b) $-1$
   • c) $4$
   • d) $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $1$

   Coeficienții fiind reali, și $2-4i$ este rădăcină. Produsul perechii conjugate este $(2+4i)(2-4i)=4+16=20$. Din Viète, produsul tuturor celor trei rădăcini este $-\frac{-20}{1}=20$ (varianta a este chiar acest produs total, nu rădăcina cerută), deci a treia rădăcină este $\frac{20}{20}=1$.

2. Ecuația ${\lg }^{2}x-\lg x-6=0$ are două soluții reale, $x_1$ și $x_2$. Calculați produsul $x_1\cdot x_2$.

   • a) $1000$
   • b) $0,01$
   • c) $100$
   • d) $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $10$

   Notăm $t=\lg x$ (fără condiție de semn pe $t$): $t^2-t-6=0$, cu soluțiile $t=3$ și $t=-2$. Revenim: $x_1=10^3=1000$ (varianta a) și $x_2=10^{-2}=0,01$ (varianta b). Produsul este $x_1{x}_2=10^{t_1+t_2}=10^{3+(-2)}=10^1=10$.

3. O urnă conține $5$ bile albe și $4$ bile negre. Se extrag simultan $3$ bile. Ce schemă de probabilitate se folosește pentru a calcula probabilitatea ca exact $2$ să fie albe?

   • a) schema lui Bernoulli, $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$
   • b) schema lui Poisson, coeficientul lui $x^k$ din $\prod (p_{i}x+q_i)$
   • c) schema hipergeometrică (bila nerevenită, cu combinări)
   • d) regula produsului, cu repetiție
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) schema hipergeometrică (bila nerevenită, cu combinări)

   Extragerea simultană (fără revenire) dintr-o urnă cu două categorii de bile este semnul schemei hipergeometrice: $P(k)=\frac{C_a^k\cdot C_b^{n-k}}{C_{a+b}^n}$. Schema lui Bernoulli (varianta a) s-ar aplica dacă extragerile ar fi cu revenire, iar schema lui Poisson (varianta b) dacă probabilitățile de succes ar diferi de la o probă la alta — situație care nu apare aici, unde toate bilele provin din aceeași urnă.