Pe schița unui braț de manipulator, primul segment are lungimea 101, proiecția 20 și înălțimea 99, iar al doilea are lungimea 37, proiecția 35 și înălțimea 12 (aceeași unitate). Unghiurile segmentelor cu orizontala sunt $$a$$ și $$b$$. Care calcul dă $$\cos(a-b)$$, cosinusul unghiului dintre segmente?

$$\dfrac{20\cdot35+99\cdot12}{101\cdot37}$$

$$\dfrac{20\cdot35-99\cdot12}{101\cdot37}$$

$$\dfrac{99\cdot35-20\cdot12}{101\cdot37}$$

$$\dfrac{99\cdot35+20\cdot12}{101\cdot37}$$

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sinus și cosinus de sumă și diferență

Cum aflu unghiul dintre două pante de acoperiș?

Calculezi sinusul și cosinusul fiecărei pante, apoi aplici formulele diferenței. În triunghiul dreptunghic al pantei, raportul urcare / lungime dă sinusul, iar proiecție / lungime dă cosinusul. Exemplu: o pantă cu $sin a = \frac{15}{17}$ , $cos a = \frac{8}{17}$ și alta cu $sin b = \frac{7}{25}$ , $cos b = \frac{24}{25}$ dau $sin (a - b) = \frac{15 \cdot 24 - 8 \cdot 7}{425} = \frac{304}{425}$ și $cos (a - b) = \frac{8 \cdot 24 + 15 \cdot 7}{425} = \frac{297}{425}$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Cu formulele de adunare obții sinus și cosinus pentru suma sau diferența a două unghiuri, pornind de la valorile fiecărui unghi, fără tabele. Sunt patru: $sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$ și $cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$ . La sinus, semnul dintre produse este cel din paranteză; la cosinus, este invers.

Pentru o pantă dată printr-un triunghi dreptunghic, sinusul este urcarea împărțită la lungime, iar cosinusul este proiecția împărțită la lungime. Când ai numai sinusul unui unghi ascuțit, cosinusul rezultă din $sin^{2} + cos^{2} = 1$ , cu valoare pozitivă. Frângerea dintre două pante este diferența lor. Un unghi alcătuit din două pante cu suma peste $9 0^{\circ}$ are cosinusul negativ.

Păstrezi fracțiile pe tot parcursul, iar rotunjirea vine abia la rezultatul final. Verificările: pătratele celor două rezultate se adună la 1, nicio valoare nu iese din intervalul $[- 1; 1]$ , iar la $b = 0$ formulele dau înapoi $sin a$ și $cos a$ . Citită invers, formula transformă o expresie lungă într-un singur sinus sau cosinus.

Greșelile tipice sunt $sin (a + b) = sin a + sin b$ , care poate depăși 1, semnul greșit la cosinus și rotunjirea prea devreme.

De reținut

$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$
$cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$
controlul: $sin^{2} + cos^{2} = 1$ ; sinusul sumei nu este suma sinusurilor

Greșeala tipică

Se scrie $sin (a + b) = sin a + sin b$ . Pentru $sin a = sin b = \frac{12}{13}$ ar ieși $\frac{24}{13} > 1$ , imposibil; corect este $2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{5}{13} = \frac{120}{169}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe schița unui braț de manipulator, primul segment are lungimea 101, proiecția 20 și înălțimea 99, iar al doilea are lungimea 37, proiecția 35 și înălțimea 12 (aceeași unitate). Unghiurile segmentelor cu orizontala sunt $a$ și $b$ . Care calcul dă $cos (a - b)$ , cosinusul unghiului dintre segmente?
- a) $\frac{20 \cdot 35 - 99 \cdot 12}{101 \cdot 37}$
- b) $\frac{99 \cdot 35 - 20 \cdot 12}{101 \cdot 37}$
- c) $\frac{99 \cdot 35 + 20 \cdot 12}{101 \cdot 37}$
- d) $\frac{20 \cdot 35 + 99 \cdot 12}{101 \cdot 37}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{20 \cdot 35 + 99 \cdot 12}{101 \cdot 37}$

Sinusurile sunt $\frac{99}{101}$ și $\frac{12}{37}$ , cosinusurile $\frac{20}{101}$ și $\frac{35}{37}$ . Pentru diferență se adună produsele «același cu același», adică $\frac{20 \cdot 35 + 99 \cdot 12}{101 \cdot 37} = \frac{1888}{3737}$ . Varianta cu minus între produse este $cos (a + b)$ , adică $- \frac{488}{3737}$ . Celelalte două variante au produse mixte, deci sunt sinusuri: $\frac{3225}{3737}$ este $sin (a - b)$ , iar $\frac{3705}{3737}$ este $sin (a + b)$ .
Un drum de exploatare dintr-un deal are două tronsoane. Primul urcă 60 m pe o proiecție de 221 m, cu lungimea de 229 m. Al doilea urcă 28 m pe o proiecție de 195 m, cu lungimea de 197 m. Panta scade de la primul tronson la al doilea cu unghiul $a - b$ , unde $a$ și $b$ sunt unghiurile celor două tronsoane cu orizontala. Cât este $sin (a - b)$ ?
- a) $\frac{5408}{45113}$
- b) $\frac{5512}{45113}$
- c) $\frac{17888}{45113}$
- d) $\frac{44775}{45113}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{5512}{45113}$

Sinusurile sunt $\frac{60}{229}$ și $\frac{28}{197}$ , cosinusurile $\frac{221}{229}$ și $\frac{195}{197}$ . Atunci $sin (a - b) = \frac{60 \cdot 195 - 221 \cdot 28}{229 \cdot 197} = \frac{11700 - 6188}{45113} = \frac{5512}{45113}$ . Varianta $\frac{5408}{45113}$ vine din $sin a - sin b$ , dar sinusul diferenței nu este diferența sinusurilor. Varianta $\frac{17888}{45113}$ este $sin (a + b)$ , cu plus în loc de minus. Varianta $\frac{44775}{45113}$ este $cos (a - b)$ , altă formulă.
Un adăpost pentru oi are acoperișul în două ape inegale. Pe schiță, în aceeași unitate, căpriorul din stânga are lungimea 241, urcarea 120 și proiecția 209, iar cel din dreapta are lungimea 233, urcarea 105 și proiecția 208. Unghiurile celor doi căpriori cu orizontala sunt $a$ și $b$ , iar unghiul dintre căpriori, la coamă, este $γ = 18 0^{\circ} - (a + b)$ . Cât este $cos γ$ ?
- a) $\frac{30872}{56153}$
- b) $- \frac{56072}{56153}$
- c) $- \frac{30872}{56153}$
- d) $\frac{56072}{56153}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- \frac{30872}{56153}$

Cosinusurile sunt $\frac{209}{241}$ și $\frac{208}{233}$ , sinusurile $\frac{120}{241}$ și $\frac{105}{233}$ . Cum $γ$ este suplementul lui $a + b$ , $cos γ = - cos (a + b) = - \frac{209 \cdot 208 - 120 \cdot 105}{241 \cdot 233} = - \frac{30872}{56153}$ . Varianta $\frac{30872}{56153}$ este $cos (a + b)$ , fără semnul de suplement. Variantele cu 56072 pun plus între produse, adică $cos (a - b)$ , cu semn pozitiv sau negativ.

Întrebări conexe

Cum rotunjesc corect un unghi compus din pante?

Păstrezi fracțiile până la capăt și rotunjești doar rezultatul. Dacă $sin (a - b) = \frac{57}{185}$ , calculatorul dă $17, 9^{\circ}$ . Dacă rotunjești întâi sinusul la 0,3, ajungi la $17, 5^{\circ}$ și greșești cu aproape o jumătate de grad.

Cum verific sinusul și cosinusul găsite?

Ridici la pătrat și aduni: trebuie să iasă exact 1. Pentru $sin = \frac{28}{53}$ și $cos = \frac{45}{53}$ , $2 8^{2} + 4 5^{2} = 784 + 2025 = 2809 = 5 3^{2}$ . Dacă suma nu iese pătratul numitorului, un produs sau un semn din formulă este greșit.

Când adun pantele și când le scad?

Aduni când a doua pantă se adaugă peste prima, ca un braț ridicat peste un teren înclinat; scazi când ai nevoie de frângere. Frângerea dintre o pantă de $9^{\circ}$ și una de $5^{\circ}$ este $9^{\circ} - 5^{\circ} = 4^{\circ}$ , iar un braț ridicat cu $9^{\circ}$ peste un teren de $5^{\circ}$ face $1 4^{\circ}$ cu orizontala.

Cum aflu rapid dacă un unghi depășește 45°?

Compari sinusul cu cosinusul: peste $4 5^{\circ}$ , sinusul este mai mare. Dacă $sin = \frac{21}{29}$ și $cos = \frac{20}{29}$ , cum $21 > 20$ , unghiul e peste $4 5^{\circ}$ ; la $sin = \frac{20}{29}$ și $cos = \frac{21}{29}$ , este sub $4 5^{\circ}$ . Nu ai nevoie de grade.

Cum aflu unghiul în grade din sinusul găsit?

Folosești tasta de sinus invers a calculatorului, pusă pe grade. Pentru $sin θ = 0, 44$ iese $θ \approx 26, 1^{\circ}$ . Dacă ai calculatorul pe radiani, același sinus dă $0, 456$ , alt număr, deci verifică mereu modul de lucru.

Oamenii mai întreabă și: unghiul de frângere dintre două pante · sinusul și cosinusul diferenței a două pante · cum calculez frângerea unui acoperiș mansardat · unghiul dintre doi căpriori din pantele lor