Formulele de adunare: sin și cos, tehnologic

La o mansardă, două pante se întâlnesc într-o frângere, iar acolo se taie căpriorii și se alege conectorul. Unghiul frângerii e diferența a două pante de pe schiță, iar sinusul și cosinusul lui se află exact din cele ale pantelor, fără tabele. Formulele de adunare fac această legătură. Programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) le trece la clasa a IX-a, pentru filiera tehnologică.

Situația de pornire

Un șarpantier montează acoperișul mansardat al unei case: partea de jos, mai abruptă, pornește de la zidărie, iar partea de sus, mai lină, urcă spre coamă. Între ele apare o frângere, unde căpriorii se taie și se prind cu un conector din oțel zincat. Oferta furnizorului spune că piesa acoperă frângeri de cel mult 45°. Pe schița de execuție, fiecare parte a acoperișului e dată printr-un triunghi dreptunghic: urcarea, proiecția orizontală și lungimea căpriorului, în metri.

Pe șantier, între schele, șarpantierul nu are tabele de sinusuri la îndemână și nu vrea să măsoare unghiurile cu raportorul. Vrea o valoare exactă, calculată din cifrele schiței.

Întrebare: care este unghiul frângerii, ce valori au sinusul și cosinusul lui și poate fi folosit conectorul din ofertă?

De la situație la model

Pentru fiecare parte a acoperișului ai un triunghi dreptunghic: urcarea e latura din fața unghiului pantei, proiecția e latura alăturată, iar căpriorul e ipotenuza. Tabelul traduce cuvintele din șantier în cuvintele matematicii.

Formulele de adunare sunt patru relații care dau sinusul și cosinusul sumei sau ale diferenței a două unghiuri din sinusurile și cosinusurile unghiurilor date.

Cum afli sinusul și cosinusul unei pante?

Din triunghiul dreptunghic: sinusul e urcarea împărțită la lungimea căpriorului, cosinusul e proiecția împărțită la lungimea căpriorului. Rapoartele nu depind de unitatea de măsură: 2,73 : 3,27 este același număr ca 91 : 109. Partea de jos dă sinusul $\frac{91}{109}$ și cosinusul $\frac{60}{109}$, iar partea de sus dă sinusul $\frac{13}{85}$ și cosinusul $\frac{84}{85}$. Schița se controlează cu Pitagora: $2,73^2+1,80^2=10,6929=3,27^2$ și $0,65^2+4,20^2=18,0625=4,25^2$. Dacă schița dă doar sinusul unui unghi ascuțit, cosinusul îl afli din relația fundamentală, care spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este 1, și îl iei pozitiv, fiindcă la un unghi ascuțit cosinusul e pozitiv.

Care sunt formulele și cum le ții minte?

$$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$$

$$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$$

La sinus, semnul din mijloc rămâne cel din paranteză, iar în fiecare produs apar un sinus și un cosinus. La cosinus, produsele sunt „cosinus cu cosinus” și „sinus cu sinus”, dar semnul din mijloc se inversează. Formulele nu se demonstrează aici; se verifică pe un caz. Pentru $a=60^{\circ }$ și $b=30^{\circ }$: $\sin 90^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=1$, iar $\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, exact valorile cunoscute.

Ce se întâmplă când unghiul compus trece de 90°?

Suma a două unghiuri ascuțite poate depăși 90°. Atunci cosinusul ei iese negativ, iar sinusul rămâne pozitiv până la 180°. Semnul te ajută să hotărăști: un cosinus negativ al sumei $a+b$ înseamnă că suma depășește 90°. Pentru un unghi între 90° și 180° se folosesc două reguli: sinusul unghiului de $180^{\circ }-x$ este sinusul lui $x$, iar cosinusul lui este opusul cosinusului lui $x$. Ele sunt explicate în lecția despre unghiurile mari la primul cadran. Unghiul de la coama unui acoperiș cu pante diferite apare exact așa, în Exemplul 3.

Metoda pas cu pas

1. Scrie unghiul compus ca sumă sau diferență. Alege două unghiuri ascuțite ale căror pante le ai pe schiță, notează pe schiță care e $a$ și care e $b$ și hotărăște dacă unghiul căutat e $a+b$ sau $a-b$: la frângerea unei mansarde scazi panta de sus din cea de jos, iar la o parte ridicată peste o pantă aduni.
2. Află sinusul și cosinusul fiecărui unghi. Scrie pe un rând sinusul și cosinusul lui $a$, apoi ale lui $b$. Sinusul e urcarea împărțită la căprior, cosinusul e proiecția împărțită la căprior; controlează schița cu Pitagora. Dacă ai doar sinusul, află cosinusul din relația fundamentală, pozitiv la un unghi ascuțit.
3. Înlocuiește în formula potrivită, cu fracții. Scrie formula întâi cu litere, apoi cu valorile. Calculează numărătorii separat și împarte abia la sfârșit, fără rotunjiri. La suma $a+b$, cosinusul scade produsul sinusurilor, iar la diferență îl adună.
4. Verifică. Controlează înainte de a trece mai departe: suma pătratelor sinusului și cosinusului rezultatului trebuie să fie 1, iar nicio valoare nu poate ieși din intervalul $[-1;1]$. Dacă $a+b$ trece de 90°, cosinusul trebuie să iasă negativ. Compară și cu unghiurile în grade, aflate cu calculatorul din rapoartele pantelor. Calculatorul se folosește numai pentru această probă și pentru rotunjirea de la sfârșit, nu pentru pașii 2 și 3.

Formulele pentru dublul unui unghi ies din aceleași patru relații, cu $b=a$; le găsești în lecția despre unghiul dublu. Cercul pe care se citesc sinusul și cosinusul e în lecția cercul trigonometric. Pentru restul clasei, deschide hubul clasei a IX-a pentru filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$$

$$\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$$

Se aplică la orice unghiuri; în exemplele lecției unghiurile sunt ascuțite. Verificare rapidă: cu $b=0^{\circ }$ formulele dau $\sin a$ și $\cos a$, iar cu $b=a$ diferența dă $\sin 0^{\circ }=0$ și $\cos 0^{\circ }=1$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Frângerea mansardei și conectorul de 45°

Domeniu: constructii.

Enunț. Reia mansarda din situația de pornire: partea de jos urcă 2,73 m pe o proiecție de 1,80 m, cu căpriorul de 3,27 m, iar partea de sus urcă 0,65 m pe 4,20 m, cu căpriorul de 4,25 m. a) Calculează sinusul și cosinusul frângerii. b) Poate fi folosit conectorul pentru frângeri de cel mult 45°?

Rezolvare. Partea de jos e mai abruptă, deci $a>b$ și frângerea e diferența $a-b$. Din pasul 2: $\sin a=\frac{91}{109}$, $\cos a=\frac{60}{109}$, $\sin b=\frac{13}{85}$ și $\cos b=\frac{84}{85}$. a) Înlocuiești în formulele diferenței, cu numitorul comun $109\cdot 85=9265$:

$$\sin (a-b)=\frac{91\cdot 84-60\cdot 13}{9265}=\frac{7644-780}{9265}=\frac{6864}{9265},\cos (a-b)=\frac{60\cdot 84+91\cdot 13}{9265}=\frac{5040+1183}{9265}=\frac{6223}{9265}$$

b) Unghiul $a-b$ e ascuțit. La 45° sinusul și cosinusul sunt egale, apoi sinusul crește și cosinusul scade. Cum $6864>6223$, sinusul frângerii e mai mare decât cosinusul ei, deci $a-b>45^{\circ }$. Conectorul din ofertă nu poate fi folosit; șarpantierul trebuie să ceară furnizorului un conector pentru frângeri mai mari, înainte de a tăia căpriorii. Observă că nu a fost nevoie de niciun unghi în grade: decizia a ieșit dintr-o comparație de fracții.

Capcană. Cine scrie $\sin (a-b)=\sin a-\sin b$ obține $\frac{91}{109}-\frac{13}{85}=\frac{6318}{9265}\approx 0,682$, adică sub $\sin 45^{\circ }\approx 0,707$, și ar comanda conectorul de 45°. Frângerea reală depășește 45°.

Verificare. Pe alt drum, cu unghiurile în grade, aflate cu calculatorul: $a\approx 56,6^{\circ }$ și $b\approx 8,8^{\circ }$, deci $a-b\approx 47,8^{\circ }$, peste 45°. Apoi $6864^2+6223^2=47114496+38725729=85840225=9265^2$, deci suma pătratelor sinusului și cosinusului e 1.

Exemplul 2 — Bena ridicată pe un câmp înclinat

Domeniu: agricol.

Enunț. Un fermier descarcă porumb cu o remorcă basculantă. Remorca stă cu spatele spre vale, pe un teren care urcă spre față: pe 10,1 m măsurați pe pantă, terenul urcă 2,0 m. Bena are 4,85 m și se rotește în jurul articulației din spate. Pe teren plat, ridicată la maxim, muchia ei din față ajunge la 3,60 m deasupra articulației și la 3,25 m de ea, pe orizontală. Pe acest teren, cu bena ridicată la maxim, la ce înălțime ajunge muchia din față față de orizontala articulației și cât se depărtează de articulație, pe orizontală? Rotunjește la centimetri.

Rezolvare. Panta terenului: $\sin \alpha =\frac{2,0}{10,1}=\frac{20}{101}$, rapoartele scriindu-se cu numere întregi, iar cosinusul e $\frac{99}{101}$. Notăm cu $\beta$ unghiul basculării, măsurat pe teren plat: $\sin \beta =\frac{3,60}{4,85}=\frac{72}{97}$ și $\cos \beta =\frac{3,25}{4,85}=\frac{65}{97}$. Bena face cu orizontala unghiul $\alpha +\beta$, pentru că atât panta terenului, cât și bascularea ridică partea din față a benei, față de articulația din spate:

$$\sin (\alpha +\beta )=\frac{20\cdot 65+99\cdot 72}{101\cdot 97}=\frac{8428}{9797},\cos (\alpha +\beta )=\frac{99\cdot 65-20\cdot 72}{9797}=\frac{4995}{9797}$$

Înălțimea muchiei: $4,85\cdot \frac{8428}{9797}\approx 4,17$ m. Depărtarea pe orizontală: $4,85\cdot \frac{4995}{9797}\approx 2,47$ m. Rotunjirile se fac abia la sfârșit, la centimetri, cum cere enunțul. Pe teren plat, muchia urca la 3,60 m: panta mai adaugă 57 cm.

Capcană. Cine adună sinusurile, $\frac{20}{101}+\frac{72}{97}=\frac{9212}{9797}\approx 0,940$, obține $4,85\cdot 0,940\approx 4,56$ m, cu 39 cm mai mult decât în realitate. Sinusul sumei nu e suma sinusurilor.

Verificare. Cu grade: $\alpha \approx 11,4^{\circ }$, $\beta \approx 47,9^{\circ }$, deci $\alpha +\beta \approx 59,3^{\circ }$ și $4,85\cdot \sin 59,3^{\circ }\approx 4,17$ m. Iar $8428^2+4995^2=71031184+24950025=95981209=9797^2$.

Exemplul 3 — Unghiul la coamă al unui acoperiș cu pante inegale

Domeniu: lemn.

Enunț. Un dulgher montează un acoperiș în două ape inegale peste o casă lată de 5,75 m. Coama stă la 1320 mm deasupra cadrului de talpă. Pe schiță, căpriorul din stânga are 2600 mm, cu o proiecție orizontală de 2240 mm, iar cel din dreapta are 3750 mm, cu o proiecție de 3510 mm. Dulgherul vrea unghiul dintre căpriori la coamă, ca să-l dea tinichigiului care îndoaie coama de tablă. a) Scrie lungimile în metri. b) Calculează cosinusul unghiului de la coamă. c) Cât este unghiul, rotunjit la zecimi de grad?

Rezolvare. a) Lungimile sunt 1,32 m, 2,60 m, 2,24 m, 3,75 m și 3,51 m; verifici lățimea casei: $2,24+3,51=5,75$ m. b) Unghiurile de la streașini sunt $a$ (stânga) și $b$ (dreapta), cu $\sin a=\frac{1320}{2600}=\frac{33}{65}$, $\cos a=\frac{2240}{2600}=\frac{56}{65}$, $\sin b=\frac{1320}{3750}=\frac{44}{125}$ și $\cos b=\frac{3510}{3750}=\frac{117}{125}$. Cele trei unghiuri ale triunghiului dau suma de 180°, deci unghiul $\gamma$ de la coamă este suplementul lui $a+b$, iar cosinusul lui e opusul cosinusului sumei. Calculezi întâi cosinusul sumei:

$$\cos (a+b)=\frac{56\cdot 117-33\cdot 44}{65\cdot 125}=\frac{6552-1452}{8125}=\frac{204}{325}$$

Deci $\cos \gamma =-\frac{204}{325}\approx -0,628$. c) Cosinusul e negativ, deci unghiul e obtuz. Valoarea lui în grade o afli cu calculatorul, din cosinusul $-0,628$: $\gamma \approx 128,9^{\circ }$. La acest unghi îndoaie tinichigiul tabla coamei, ca să stea pe ambele ape.

Capcană. Cine pune plus în loc de minus la cosinusul sumei obține $\frac{56\cdot 117+33\cdot 44}{8125}=\frac{8004}{8125}\approx 0,985$, deci o sumă a pantelor de aproximativ 10° și un unghi la coamă de aproximativ 170°: căpriorii ar fi aproape în prelungire, un acoperiș aproape plat, imposibil cu coama la 1,32 m deasupra tălpii.

Verificare. Cu grade: $a\approx 30,5^{\circ }$, $b\approx 20,6^{\circ }$, deci $a+b\approx 51,1^{\circ }$ și $\gamma \approx 128,9^{\circ }$. Sinusul lui $\gamma$ e sinusul sumei, $\frac{253}{325}$, iar $253^2+204^2=105625=325^2$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: sinusul sumei din două sinusuri

Domeniu: electric.

Enunț. Cerința are forma de la Subiectul I; contextul e doar cadrul. Un electrician montează un reflector pe un suport cu două brațe articulate, iar schița suportului dă unghiurile $a$ și $b$ ale brațelor prin sinusurile lor. Se știe că $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin a=\frac{40}{41}$ și $\sin b=\frac{119}{169}$. Arătați că $\sin (a+b)=\frac{5871}{6929}$.

Rezolvare. Urmezi pașii Metodei: întâi cosinusurile (pasul 2), apoi formula (pasul 3). Cosinusurile sunt pozitive, fiindcă unghiurile sunt ascuțite: $\cos a=\sqrt{1-\frac{1600}{1681}}=\sqrt{\frac{81}{1681}}=\frac{9}{41}$ și $\cos b=\sqrt{1-\frac{14161}{28561}}=\sqrt{\frac{14400}{28561}}=\frac{120}{169}$. Apoi:

$$\sin (a+b)=\frac{40}{41}\cdot \frac{120}{169}+\frac{9}{41}\cdot \frac{119}{169}=\frac{4800+1071}{6929}=\frac{5871}{6929}$$

Capcană. Dacă aduni sinusurile, $\frac{40}{41}+\frac{119}{169}=\frac{11639}{6929}\approx 1,68$, o valoare mai mare decât 1, imposibilă pentru un sinus; corect e $\frac{5871}{6929}\approx 0,847$.

Verificare. Cosinusul sumei e $\frac{9\cdot 120-40\cdot 119}{6929}=-\frac{3680}{6929}$, negativ, deci $a+b$ e obtuz, iar sinusul rămâne pozitiv. Mai departe, $5871^2+3680^2=34468641+13542400=48011041=6929^2$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Se știe că $\sin a=\frac{15}{113}$, $\cos a=\frac{112}{113}$, $\sin b=\frac{132}{157}$ și $\cos b=\frac{85}{157}$. Calculează $\sin (a+b)$ și $\cos (a+b)$.

2. Scrie fiecare expresie ca un singur sinus sau cosinus și calculează valoarea exactă: a) $\sin 52^{\circ }\cos 8^{\circ }+\cos 52^{\circ }\sin 8^{\circ }$; b) $\cos 74^{\circ }\cos 14^{\circ }+\sin 74^{\circ }\sin 14^{\circ }$; c) $\sin 117^{\circ }\cos 27^{\circ }-\cos 117^{\circ }\sin 27^{\circ }$; d) $\cos 38^{\circ }\cos 52^{\circ }-\sin 38^{\circ }\sin 52^{\circ }$.

3. Două porțiuni ale unei rampe sunt date prin triunghiuri: prima urcă 0,51 m pe o proiecție de 1,40 m, cu lungimea de 1,49 m, iar a doua urcă 0,24 m pe 1,43 m, cu lungimea de 1,45 m. Calculează $\sin (a-b)$ și $\cos (a-b)$, unde $a$ și $b$ sunt unghiurile celor două porțiuni.

4. Pentru unghiurile $a=64^{\circ }$ și $b=58^{\circ }$, hotărăște fără calculator semnul numerelor $\cos (a+b)$, $\sin (a+b)$ și $\sin (a-b)$, apoi verifică cu calculatorul.

Nivelul 2 — situații

5. La un consumator din rețeaua de 230 V, tensiunea de vârf e 325 V, iar tensiunea instantanee e $u=325\sin (\omega t+\phi )$, unde $\phi$ e defazajul. Într-un moment, $\sin \omega t=\frac{80}{89}$ și $\cos \omega t=\frac{39}{89}$, iar defazajul are $\sin \phi =\frac{57}{185}$ și $\cos \phi =\frac{176}{185}$. Calculează tensiunea $u$, în volți, rotunjită la volt, și spune dacă $\omega t+\phi$ e ascuțit sau obtuz.

6. Un manual de atelier dă, cu patru zecimale: $\sin 28^{\circ }\approx 0,4695$, $\cos 28^{\circ }\approx 0,8829$, $\sin 17^{\circ }\approx 0,2924$ și $\cos 17^{\circ }\approx 0,9563$. a) Calculează $\sin 45^{\circ }=\sin (28^{\circ }+17^{\circ })$ cu formula de adunare, tot cu patru zecimale. b) Calculează la fel $\cos 45^{\circ }$. c) Compară cu valoarea $0,7071$ a tabelului și explică diferența.

7. Un telescaun urcă pe o secțiune cu sinusul $\frac{21}{221}$ și cosinusul $\frac{220}{221}$. La stâlpul de pe pârtie, cablul își schimbă direcția în sus cu un unghi $\delta$, cu sinusul $\frac{32}{257}$ și cosinusul $\frac{255}{257}$. a) Calculează sinusul și cosinusul unghiului pantei de după stâlp, $a+\delta$. b) Cât urcă cablul pe cei 200 m ai celei de-a doua secțiuni, măsurați pe cablu? Rotunjește la zecimi de metru.

8. Într-un depozit de marfă, un transportor cu bandă încarcă saci într-o remorcă pentru livrare. Primul tronson urcă cu unghiul $a$, având sinusul $\frac{25}{313}$ și cosinusul $\frac{312}{313}$. Al doilea tronson, spre remorcă, se înclină în jos față de primul cu unghiul $\delta$, având sinusul $\frac{16}{65}$ și cosinusul $\frac{63}{65}$. Calculează $\sin (a-\delta )$ și spune dacă al doilea tronson urcă sau coboară față de orizontală.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $\sin (a+b)=\frac{6956}{7685}$, știind că $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin a=\frac{45}{53}$ și $\sin b=\frac{17}{145}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $\cos (a-b)=\frac{7097}{12505}$, știind că $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\cos a=\frac{11}{61}$ și $\sin b=\frac{84}{205}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați $\sin (a-b)$, știind că $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin a=\frac{77}{85}$ și $\sin b=\frac{133}{205}$.

12. (Sinteză.) Pe un acoperiș mansardat construit, partea de jos urcă 2,10 m pe o proiecție de 1,76 m, cu căpriorul de 2,74 m. Frângerea dintre cele două părți se măsoară așa: pe 3,05 m de căprior, de la frângere, partea de sus se abate cu 1,36 m perpendicular pe prelungirea părții de jos, iar proiecția celor 3,05 m pe prelungire este de 2,73 m. Panta de sus este panta de jos micșorată cu unghiul frângerii. a) Calculați sinusul și cosinusul pantei de sus. b) Proiectul cere pentru panta de sus 23,5°, cu abaterea admisă ±0,5°. Se încadrează panta construită?

Răspunsuri și verificări

1. $\sin (a+b)=\frac{15\cdot 85+112\cdot 132}{113\cdot 157}=\frac{1275+14784}{17741}=\frac{16059}{17741}$, iar $\cos (a+b)=\frac{112\cdot 85-15\cdot 132}{17741}=\frac{9520-1980}{17741}=\frac{7540}{17741}$. Verificare: $16059^2+7540^2=314743081=17741^2$.

2. a) $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$; b) $\cos (74^{\circ }-14^{\circ })=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$; c) $\sin (117^{\circ }-27^{\circ })=\sin 90^{\circ }=1$; d) $\cos (38^{\circ }+52^{\circ })=\cos 90^{\circ }=0$. Verificare: cu calculatorul, expresia a) dă $0,8660$, b) dă $0,5000$, c) dă $1,0000$, iar d) dă $0,0000$.

3. $\sin a=\frac{51}{149}$, $\cos a=\frac{140}{149}$, $\sin b=\frac{24}{145}$ și $\cos b=\frac{143}{145}$. Atunci $\sin (a-b)=\frac{51\cdot 143-140\cdot 24}{149\cdot 145}=\frac{7293-3360}{21605}=\frac{3933}{21605}$, iar $\cos (a-b)=\frac{140\cdot 143+51\cdot 24}{21605}=\frac{20020+1224}{21605}=\frac{21244}{21605}$. Verificare: în grade, $a\approx 20,0^{\circ }$ și $b\approx 9,5^{\circ }$, deci $a-b\approx 10,5^{\circ }$, iar $\sin 10,5^{\circ }\approx 0,182$, ca $\frac{3933}{21605}$.

4. Suma $a+b=122^{\circ }$ depășește 90°, deci $\cos (a+b)$ e negativ; $\sin (a+b)$ e pozitiv, fiindcă 122° e sub 180°; iar $a-b=6^{\circ }$ e ascuțit și pozitiv, deci $\sin (a-b)$ e pozitiv. Verificare: calculatorul dă $\cos 122^{\circ }\approx -0,530$, $\sin 122^{\circ }\approx 0,848$ și $\sin 6^{\circ }\approx 0,105$.

5. $\sin (\omega t+\phi )=\frac{80\cdot 176+39\cdot 57}{89\cdot 185}=\frac{14080+2223}{16465}=\frac{16303}{16465}$, deci $u=325\cdot \frac{16303}{16465}\approx 322$ V. Cosinusul sumei e $\frac{39\cdot 176-80\cdot 57}{16465}=\frac{2304}{16465}$, pozitiv, deci $\omega t+\phi$ e ascuțit. Verificare: $16303^2+2304^2=271096225=16465^2$, iar valoarea de 322 V e sub tensiunea de vârf de 325 V.

6. a) $0,4695\cdot 0,9563\approx 0,4490$ și $0,8829\cdot 0,2924\approx 0,2582$, deci suma e $0,4490+0,2582=0,7072$; calculat fără rotunjiri intermediare, $\sin 45^{\circ }$ iese $0,7071$. b) $0,8829\cdot 0,9563\approx 0,8443$ și $0,4695\cdot 0,2924\approx 0,1373$, deci diferența e $0,8443-0,1373=0,7070$. c) Diferența de o unitate la a patra zecimală vine din rotunjiri: cele patru valori din tabel și produsele sunt păstrate doar cu patru zecimale. Verificare: $\sin 45^{\circ }\approx 0,7071$ și $\cos 45^{\circ }\approx 0,7071$, iar abaterea de $0,0001$ se încadrează în rotunjire.

7. a) $\sin (a+\delta )=\frac{21\cdot 255+220\cdot 32}{221\cdot 257}=\frac{5355+7040}{56797}=\frac{12395}{56797}$, iar $\cos (a+\delta )=\frac{220\cdot 255-21\cdot 32}{56797}=\frac{56100-672}{56797}=\frac{55428}{56797}$. b) Cablul urcă $200\cdot \frac{12395}{56797}\approx 43,6$ m. Verificare: în grade, $a\approx 5,45^{\circ }$ și $\delta \approx 7,15^{\circ }$, deci $a+\delta \approx 12,6^{\circ }$, iar $200\cdot \sin 12,6^{\circ }\approx 43,6$ m.

8. $\sin (a-\delta )=\frac{25\cdot 63-312\cdot 16}{313\cdot 65}=\frac{1575-4992}{20345}=-\frac{3417}{20345}$. Sinusul e negativ, deci $a-\delta <0$: al doilea tronson coboară față de orizontală. Verificare: $\delta \approx 14,3^{\circ }$ e mai mare decât $a\approx 4,6^{\circ }$, deci tronsonul stă cu aproximativ 9,7° sub orizontală, iar sinusul unui unghi de 9,7° e $0,168$, ca $\frac{3417}{20345}$ în valoare absolută.

9. Cosinusurile sunt pozitive: $\cos a=\frac{28}{53}$ și $\cos b=\frac{144}{145}$. Atunci $\sin (a+b)=\frac{45}{53}\cdot \frac{144}{145}+\frac{28}{53}\cdot \frac{17}{145}=\frac{6480+476}{7685}=\frac{6956}{7685}$. Verificare: $\cos (a+b)=\frac{28\cdot 144-45\cdot 17}{7685}=\frac{3267}{7685}$, iar $6956^2+3267^2=59059225=7685^2$.

10. Din relația fundamentală: $\sin a=\frac{60}{61}$ și $\cos b=\frac{187}{205}$, ambele pozitive. Atunci $\cos (a-b)=\frac{11}{61}\cdot \frac{187}{205}+\frac{60}{61}\cdot \frac{84}{205}=\frac{2057+5040}{12505}=\frac{7097}{12505}$. Verificare: $\sin (a-b)=\frac{60\cdot 187-11\cdot 84}{12505}=\frac{10296}{12505}$, iar $7097^2+10296^2=156375025=12505^2$.

11. Cosinusurile: $\cos a=\frac{36}{85}$ și $\cos b=\frac{156}{205}$. Atunci $\sin (a-b)=\frac{77}{85}\cdot \frac{156}{205}-\frac{36}{85}\cdot \frac{133}{205}=\frac{12012-4788}{17425}=\frac{7224}{17425}$. Verificare: $\cos (a-b)=\frac{36\cdot 156+77\cdot 133}{17425}=\frac{15857}{17425}$, iar $7224^2+15857^2=303630625=17425^2$.

12. a) $\sin a=\frac{2,10}{2,74}=\frac{105}{137}$, $\cos a=\frac{1,76}{2,74}=\frac{88}{137}$, iar pentru frângere $\sin \delta =\frac{1,36}{3,05}=\frac{136}{305}$ și $\cos \delta =\frac{2,73}{3,05}=\frac{273}{305}$. Panta de sus e $b=a-\delta$, deci $\sin b=\frac{105\cdot 273-88\cdot 136}{137\cdot 305}=\frac{28665-11968}{41785}=\frac{16697}{41785}$, iar $\cos b=\frac{88\cdot 273+105\cdot 136}{41785}=\frac{24024+14280}{41785}=\frac{38304}{41785}$. b) Din $\sin b\approx 0,3996$ rezultă $b\approx 23,55^{\circ }$, iar $|23,55-23,5|=0,05\le 0,5$, deci panta se încadrează în toleranță. Verificare: $16697^2+38304^2=1745986225=41785^2$; în grade, $a\approx 50,03^{\circ }$ și $\delta \approx 26,48^{\circ }$, iar diferența lor e $23,55^{\circ }$.

Așa vine la Bac M3

Formulele de adunare sunt în programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), în blocul de conținuturi al clasei a IX-a, la trigonometrie. În probele oficiale 2013–2026 au apărut într-o singură probă, la Subiectul I, cerința 6. Mai jos e cerința aceea, cu forma ei și cu pașii din Metodă care o rezolvă.

• Modelul din 2015, Subiectul I, exercițiul 6: se dau sinusurile a două unghiuri din primul cadran și se cere să arăți valoarea lui $\sin (a+b)$; pasul 2 din Metodă dă cosinusurile, iar baremul probei le scrie întâi (2 puncte), apoi pasul 3 aplică formula, cu rezultatul final (3 puncte).

Lista conținuturilor clasei a IX-a trece formulele pentru $\sin (a\pm b)$, $\cos (a\pm b)$, $\sin 2a$ și $\cos 2a$. Cerința se rezolvă în două rânduri, dar are o capcană: cosinusurile trebuie luate cu semn pozitiv, pentru că ambele unghiuri sunt ascuțite, iar formula nu le dă singură. Pe foaia de examen notează cosinusurile, formula cu valorile înlocuite și rezultatul, fiecare pe rândul lui, ca în Exemplul 4. Dacă enunțul dă cosinusurile în loc de sinusuri, procedezi la fel, cu rolurile inversate, iar pentru o diferență schimbi semnele după formula respectivă. Exercițiile 9–11 repetă forma aceasta, cu $\sin (a-b)$, $\cos (a-b)$ și date diferite, iar exercițiul 12 e o sinteză din meserie. Celelalte teme care apar la Subiectul I le găsești în traseul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Scrii $\sin (a+b)=\sin a+\sin b$ → cum o prinzi: pui $a=80^{\circ }$ și $b=70^{\circ }$; $\sin 150^{\circ }=0,5$, dar $\sin 80^{\circ }+\sin 70^{\circ }\approx 1,92$, un sinus mai mare decât 1.
• Pui semnul greșit la cosinus, $\cos (a+b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ → cum o prinzi: la $a=b=45^{\circ }$ trebuie să obții $\cos 90^{\circ }=0$, iar cu semnul plus obții 1.
• Iei cosinusul negativ la un unghi ascuțit, sau sinusul negativ al sumei → cum o prinzi: la unghiuri ascuțite sinusurile și cosinusurile lor sunt pozitive; semnul rezultatului îl hotărăște mărimea sumei $a+b$ față de 90°.
• Inversezi ordinea la diferență, $\sin b\cos a-\sin a\cos b$ → cum o prinzi: panta mai mare e prima, iar sinusul diferenței dintre ea și panta mai mică trebuie să iasă pozitiv.
• Rotunjești sinusurile și cosinusurile înainte de calcul → cum o prinzi: lucrezi cu fracții până la capăt și rotunjești abia rezultatul final, ca în Exemplele 1–3.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: calcularea sinusului și a cosinusului sumei și diferenței a două unghiuri face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut într-o singură probă, la Subiectul I. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce faci dacă sinusul frângerii îți iese negativ? Ai scăzut pantele în ordinea inversă: ai calculat $\sin (b-a)$ în loc de $\sin (a-b)$. La acoperișul din lecție, $\sin (b-a)=-\frac{6864}{9265}$, același număr cu semn schimbat. Frângerea rămâne cu sinusul 6864 pe 9265, deci peste 45°, iar conectorul trebuie tot de peste 45°; refaci doar ordinea.

Cum afli cosinusul unei pante dacă schița dă numai urcarea și lungimea căpriorului? Proiecția lipsește, dar o afli cu teorema lui Pitagora: proiecția e rădăcina pătrată din lungimea la pătrat minus urcarea la pătrat. Pentru o urcare de 0,65 m și un căprior de 4,25 m, rădăcina pătrată din $4,25^2-0,65^2$ este 4,20 m, deci cosinusul e $\frac{4,20}{4,25}=\frac{84}{85}$.

Ce se schimbă dacă furnizorul oferă un conector pentru frângeri de cel mult 50°? Frângerea mansardei din lecție e de aproximativ 47,8°, deci conectorul de 50° ar fi bun. Verifici cu sinusul: $\sin 50^{\circ }\approx 0,766$, iar $\frac{6864}{9265}\approx 0,741$ e mai mic, deci unghiul frângerii e sub 50°, iar conectorul acoperă frângerea, cu o rezervă de peste 2°.

De ce unghiul de la coama unui acoperiș iese obtuz, deși fiecare pantă e ascuțită? Unghiul de la coamă e al treilea unghi al triunghiului format cu cele două pante, deci e suplementul sumei lor. Cât timp suma celor două pante rămâne sub 90°, ca la casa de 5,75 m din lecție (aproximativ 51°), unghiul de la coamă e peste 90°, deci obtuz, iar cosinusul lui e negativ.

Cum verifici cu formulele de adunare o valoare din tabelul manualului de atelier? Descompui unghiul într-o sumă de unghiuri care au valorile în tabel, de pildă $45^{\circ }=28^{\circ }+17^{\circ }$, și aplici formula pentru $\sin (a+b)$. Dacă rotunjești și produsele la patru zecimale, iese $0,7072$, iar tabelul dă $0,7071$. Diferența de o unitate la a patra zecimală vine din rotunjiri, nu dintr-o greșeală de formulă.

Cum apar formulele de adunare la Bacalaureatul M3? Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) le cuprinde la clasa a IX-a, dar în probele oficiale 2013–2026 au apărut doar într-o probă: o cerință de la Subiectul I în care, din sinusurile a două unghiuri ascuțite, se calculează $\sin (a+b)$. În cerința aceea trebuia să afli întâi cosinusurile, apoi să aplici formula.