Sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze (M2, științe ale naturii)

Privește Luna într-o seară în care se vede doar o seceră subțire. Forma ei depinde de un singur unghi, cel format în Lună de direcțiile spre Soare și spre Pământ: când unghiul trece de un unghi drept, cosinusul lui devine negativ și discul este luminat mai puțin de jumătate. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), lecția aceasta mută sinusul și cosinusul de pe cercul trigonometric în triunghiul cu un unghi obtuz, pregătind teorema cosinusului. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cuprinde reducerea la primul cadran și aplicațiile trigonometriei în geometrie; pentru cei care au început clasa a IX-a în 2026, din 2030 matematica devine la științe o probă la alegere, MAT_P2, iar tema intră în domeniul „Geometrie. Trigonometrie”.

Știi deja că sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric la M2 sunt ordonata și abscisa unui punct, iar reducerea la primul cadran la M2 ți-a dat formulele pentru $\pi -x$. Aici le aplicăm unghiurilor unui triunghi.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce orice unghi al unui triunghi are sinusul pozitiv, iar semnul cosinusului arată dacă unghiul este ascuțit, drept sau obtuz.
• Vei scrie sinusul și cosinusul unui unghi obtuz prin unghiul exterior, adică prin suma celorlalte două unghiuri ale triunghiului.
• Vei interpreta cosinusul negativ ca pe o proiecție care cade în afara laturii, citită direct din coordonatele unui vârf.
• Vei găsi unghiul unui triunghi din cosinusul lui, exact sau cu un instrument digital, și vei explica de ce răspunsul este unic.
• Vei alege corect între două unghiuri suplementare care au același sinus, folosind informațiile din enunț.
• Vei rezolva cerințe scurte în forma de la bacalaureatul M2, în care unghiurile sunt date în radiani.

Hai să descoperim împreună

1. Ce valori poate lua un unghi al unui triunghi?

Suma unghiurilor unui triunghi este $\pi$, iar fiecare unghi este strict pozitiv, deci măsura oricărui unghi al triunghiului se află în intervalul $(0,\pi )$, adică între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$, capetele excluse.

Un unghi obtuz este un unghi a cărui măsură se află în intervalul $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$; sinusul și cosinusul unui unghi obtuz al unui triunghi sunt valorile funcțiilor sinus și cosinus în măsura lui în radiani, adică ordonata și abscisa punctului de pe cercul trigonometric asociat acelei măsuri.

Definiția nu aduce o funcție nouă, ci restrânge atenția. Un triunghi are cel mult un unghi obtuz: două unghiuri mai mari decât $\frac{\pi }{2}$ ar depăși împreună $\pi$. Alături de un unghi obtuz, celelalte două sunt deci ascuțite, cum știi din lecția despre suma măsurilor unghiurilor unui triunghi, de clasa a VI-a.

2. De ce sinusul unui unghi de triunghi este mereu pozitiv?

Punctul de pe cercul trigonometric asociat unei măsuri din $(0,\pi )$ se află pe semicercul de sus, deasupra axei $Ox$. Ordonata lui este strict pozitivă, deci sinusul oricărui unghi al unui triunghi este un număr din intervalul $(0,1]$, cu valoarea $1$ numai pentru unghiul drept.

Abscisa, în schimb, își schimbă semnul: pentru un unghi ascuțit punctul este în dreapta axei $Oy$, pentru cel drept este pe ea, iar pentru un unghi obtuz trece în stânga. Rezultă un tabel de recunoaștere:

Tabelul funcționează în ambele sensuri: felul unghiului dă semnele, iar semnul cosinusului dă felul unghiului. Sinusul, fiind pozitiv în toate cele trei rânduri, nu poate deosebi un unghi ascuțit de unul obtuz; cosinusul poate. Tangenta, câtul dintre sinus și cosinus, preia semnul cosinusului, ca în lecția despre formulele pentru tangentă la M2. Pentru un unghi de $97^{\circ }$, cu doar șapte grade peste unghiul drept, cosinusul este deja negativ: $\cos 97^{\circ }\approx -0,1219$.

3. Ce înseamnă geometric un cosinus negativ?

Așază un triunghi $ABC$ într-un reper cartezian, cu vârful $A$ în origine și latura $AB$ pe semiaxa pozitivă $Ox$. Vârful $C$ se află la distanța $AC$ de origine, pe semidreapta care face unghiul $A$ cu $Ox$, deci are coordonatele $(AC\cdot \cos A,AC\cdot \sin A)$, forma pe care ai folosit-o pentru punctele unui cerc de rază oarecare în trigonometria triunghiului dreptunghic la M2.

Abscisa lui $C$ este poziția piciorului înălțimii din $C$ pe dreapta $AB$. Dacă $A$ este ascuțit, abscisa este pozitivă și piciorul cade de partea lui $B$. Dacă $A$ este obtuz, abscisa este negativă: piciorul înălțimii cade pe prelungirea laturii, dincolo de $A$. Cosinusul negativ este deci o informație de poziție: proiecția laturii $AC$ pe dreapta $AB$ „merge înapoi”.

Aceeași citire funcționează pentru orice triunghi, fără să-l așezi efectiv în reper: proiecția laturii $AC$ pe dreapta $AB$ are lungimea cu semn $AC\cdot \cos A$, iar semnul îți spune de ce parte a lui $A$ cade piciorul înălțimii. În figură, $A=\frac{2\pi }{3}$ și $AC=4$. Vârful $C$ are abscisa $4\cos \frac{2\pi }{3}=-2$ și ordonata $4\sin \frac{2\pi }{3}=2\sqrt{3}$: înălțimea are lungimea $2\sqrt{3}$ și cade la două unități în stânga lui $A$. Ordonata rămâne pozitivă, oricare ar fi felul unghiului.

4. Cum legi un unghi obtuz de celelalte două unghiuri?

Prin unghiul exterior. Unghiul exterior din $A$ are măsura $\pi -A$ și, după teorema unghiului exterior, din clasa a VI-a, este egal cu suma celorlalte două unghiuri interioare: $\pi -A=B+C$. Aplicând formulele pentru $\pi -x$, pe care le-ai argumentat pe cerc, obții pentru orice triunghi:

$$\sin A=\sin (B+C),\cos A=-\cos (B+C).$$

Egalitățile sunt utile mai ales când $A$ este obtuz: atunci $B+C$ este ascuțit, iar calculul se mută într-un loc cunoscut. La fel, $\sin B=\sin (A+C)$ și $\sin C=\sin (A+B)$. Suma $B+C$ nu se desface aici în termeni cu $\sin B$ și $\sin C$: formulele pentru sinusul unei sume sunt în suplimentul pentru examenul M2, nu în programa de bază a clasei.

Tot prin reducere obții valorile exacte ale celor trei unghiuri obtuze folosite des în geometrie, citite acum ca unghiuri de triunghi:

5. Cum găsești unghiul când știi cosinusul?

Pe intervalul $[0,\pi ]$ funcția cosinus este strict descrescătoare, de la $1$ la $-1$, lucru pe care l-ai văzut pe graficele sinus și cosinus la M2. Pe semicercul de sus, asta înseamnă că, pe măsură ce unghiul crește, punctul asociat alunecă tot mai spre stânga, fără să se întoarcă vreodată. Fiecare valoare din $(-1,1)$ este atinsă o singură dată pe acest interval, deci fiecărei valori a cosinusului îi corespunde un singur unghi de triunghi. Cosinusul pozitiv dă un unghi ascuțit, cosinusul negativ un unghi obtuz.

Ai două drumuri. Cu un instrument digital, tasta ${\cos }^{-1}$ primește direct valori negative și întoarce un unghi între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$, exact intervalul unghiurilor de triunghi. Cu tabelul, care are doar unghiuri ascuțite, cauți valoarea fără semn și iei suplementul unghiului găsit, fiindcă $\cos (\pi -x)=-\cos x$. Dacă $\cos \alpha =-0,8$, atunci $\alpha \approx 143,13^{\circ }$: tabelul dă pentru $0,8$ aproximativ $36,87^{\circ }$, iar unghiul căutat este suplementul acestuia.

Pe tot cercul, în schimb, ecuația $\cos x=-0,8$ are două soluții în $[0,2\pi ]$, una în cadranul al doilea și una în al treilea. A doua depășește $\pi$, deci nu poate fi unghi de triunghi. De aceea, într-o problemă de geometrie, după ce ai găsit o valoare, verifici întotdeauna că ea se află în $(0,\pi )$: controlul durează o secundă și elimină soluțiile care au sens pe cerc, dar nu și în figură.

6. De ce sinusul singur nu ajunge?

Pentru că pe $(0,\pi )$ sinusul crește până la unghiul drept și apoi scade simetric, deci $\alpha$ și $\pi -\alpha$ au același sinus. Dacă $\sin \alpha =0,8$, unghiul poate avea aproximativ $53,13^{\circ }$ sau aproximativ $126,87^{\circ }$; tasta ${\sin }^{-1}$ îți arată numai valoarea ascuțită.

Ca să alegi, cauți în enunț o informație în plus: un alt unghi cunoscut, care interzice varianta obtuză dacă suma ar depăși $\pi$; ordinea laturilor, fiindcă unghiul cel mai mare se opune laturii celei mai mari, după inegalitățile dintre laturile și unghiurile triunghiului; semnul cosinusului. Când nimic nu decide, scrii ambele răspunsuri.

7. Cum treci de la o valoare la celelalte?

Din sinus și felul unghiului obții cosinusul cu formula fundamentală, cu semnul din tabelul de mai sus. Din cosinus, sinusul iese mereu cu plus, fiindcă unghiul este în $(0,\pi )$. Asimetria merită observată: cosinusul transportă mai multă informație decât sinusul, pentru că semnul lui spune felul unghiului, pe când semnul sinusului este, într-un triunghi, mereu același. Pasul este cel din lecția despre calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta, la M2; în triunghi, cadranul îl dă felul unghiului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește figura

Pe semicercul trigonometric de sus sunt marcate punctele $M$ și $N$, asociate unghiurilor $\alpha$ și $\beta$. Punctul $M$ are coordonatele $\left(-\frac{5}{13},\frac{12}{13}\right)$, iar $N$ are coordonatele $\left(\frac{15}{17},\frac{8}{17}\right)$. Precizează felul fiecărui unghi și spune dacă $\alpha$ și $\beta$ pot fi două unghiuri ale aceluiași triunghi.

Rezolvare. Citim valorile direct din coordonate: $\cos \alpha =-\frac{5}{13}$, $\sin \alpha =\frac{12}{13}$, iar $\cos \beta =\frac{15}{17}$, $\sin \beta =\frac{8}{17}$. Cosinusul lui $\alpha$ este negativ, deci $\alpha$ este obtuz; cosinusul lui $\beta$ este pozitiv, deci $\beta$ este ascuțit. Controlul cu formula fundamentală: $\frac{25}{169}+\frac{144}{169}=1$ și $\frac{225}{289}+\frac{64}{289}=1$, deci ambele puncte sunt chiar pe cerc.

Cu un instrument digital, $\alpha \approx 112,62^{\circ }$ și $\beta \approx 28,07^{\circ }$. Suma lor este mai mică decât $180^{\circ }$, deci unghiurile pot aparține aceluiași triunghi, al treilea unghi având aproximativ $39,31^{\circ }$. Figura confirmă felul unghiurilor fără niciun calcul: $M$ este în stânga axei $Oy$ și deasupra axei $Ox$, poziția oricărui unghi obtuz, iar $N$ este în dreapta, poziția unui unghi ascuțit. Dacă ambele puncte ar fi fost în stânga axei $Oy$, răspunsul ar fi fost negativ: două unghiuri obtuze nu încap într-un triunghi.

Exemplul 2 — Unghiul obtuz prin unghiul exterior

În triunghiul $ABC$, $B=50^{\circ }$ și $C=10^{\circ }$. Calculează $\sin A$, $\cos A$ și $\mathrm{tg}A$, folosind unghiul exterior din $A$.

Rezolvare. Unghiul exterior din $A$ este egal cu suma celorlalte două: $B+C=60^{\circ }$. Atunci $\sin A=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos A=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$, iar tangenta este câtul lor, $\mathrm{tg}A=-\sqrt{3}$.

Verificăm pe altă cale: $A=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$, un unghi din tabelul valorilor exacte, cu aceleași valori. Observă ordinea gândirii: nu a fost nevoie să aflăm întâi unghiul $A$, iar suma $B+C$ a mutat calculul într-un unghi ascuțit cunoscut. Drumul acesta e util mai ales când unghiul obtuz nu are o valoare rotundă, dar suma celorlalte două o are.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

În triunghiul $ABC$ se știe că $B=110^{\circ }$ și că sinusul unghiului $A$ este egal cu o jumătate. Un elev scrie: „Sinusul este o jumătate pentru treizeci și pentru o sută cincizeci de grade, deci unghiul A are una dintre aceste două măsuri.” Unde greșește și care este răspunsul?

Rezolvare. Observația despre sinus este corectă: $\sin 30^{\circ }=\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$. Elevul nu a folosit însă informația despre $B$: un triunghi are cel mult un unghi obtuz, iar $B$ este deja obtuz, deci $A$ este ascuțit. Varianta obtuză ar da $150^{\circ }+110^{\circ }=260^{\circ }$, peste suma unghiurilor.

Răspunsul corect este unic: $A=30^{\circ }$, iar al treilea unghi este $C=180^{\circ }-110^{\circ }-30^{\circ }=40^{\circ }$. Ambiguitatea sinusului s-a rezolvat prin suma unghiurilor, fără niciun calcul suplimentar. Merită reținută întrebarea pe care elevul trebuia să și-o pună: „Mai există în triunghi un unghi obtuz?”. Dacă da, orice alt unghi este ascuțit.

Exemplul 4 — Cât din Lună este luminat?

Fracția luminată a discului Lunii, văzut de pe Pământ, este $k=\frac{1+\cos \phi }{2}$, unde $\phi \in [0,\pi ]$ este unghiul de fază, format în centrul Lunii de direcțiile spre Soare și spre Pământ. Calculează $k$ pentru $\phi =\frac{2\pi }{3}$ și pentru $\phi =\frac{3\pi }{4}$ și interpretează rezultatele.

Rezolvare. Pentru $\phi =\frac{2\pi }{3}$: $k=\frac{1-\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$, deci este luminat un sfert din disc. Pentru $\phi =\frac{3\pi }{4}$: $k=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\approx 0,1464$, o seceră mai subțire.

Interpretarea ține de semn: la un unghi de fază obtuz cosinusul este negativ și $k$ coboară sub o jumătate, deci Luna apare ca o seceră; la un unghi ascuțit $k$ depășește o jumătate, iar unghiul drept dă exact jumătate, fazele de pătrar. Modelul consideră Luna o sferă luminată de Soare.

Exemplul 5 — Un unghi obtuz din cosinus, cu instrumentul digital

Într-un triunghi, $\cos C=-0,35$. Determină măsura unghiului $C$ și valoarea lui $\sin C$, cu patru zecimale.

Rezolvare. Cosinusul este negativ, deci $C$ este obtuz. Instrumentul digital dă $C\approx 110,49^{\circ }$. Pentru sinus nu avem nevoie de unghi: fiind unghi de triunghi, sinusul este pozitiv, iar $\sin C=\sqrt{1-0,1225}=\sqrt{0,8775}\approx 0,9367$.

Drumul prin tabel dă același rezultat: pentru $0,35$ găsești un unghi de aproximativ $69,51^{\circ }$, iar suplementul lui este unghiul căutat. Comparația celor două drumuri este un control bun. Observă și ordinea: sinusul calculat direct din cosinus nu folosește unghiul rotunjit, deci nu moștenește eroarea de rotunjire a acestuia.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $B=\frac{\pi }{12}$ și $C=\frac{\pi }{4}$. Arătați că $\sin A\cdot \cos A=-\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Rezolvare. Suma unghiurilor dă $A=\pi -\frac{\pi }{12}-\frac{3\pi }{12}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Unghiul este obtuz, cu $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos A=-\frac{1}{2}$, deci produsul este $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Enunțul este construit în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I și nu reproduce o cerință oficială. Semnul minus este controlul: sinus pozitiv ori cosinus negativ dă un produs negativ.

Să exersăm

Scrie de fiecare dată felul unghiului înainte de valori. Unghiurile date în radiani rămân în radiani, iar valorile aproximative se rotunjesc la patru zecimale, dacă enunțul nu cere altfel.

1. Precizează semnul sinusului, al cosinusului și al tangentei pentru unghiurile de triunghi $89^{\circ }$, $93^{\circ }$, $\frac{5\pi }{8}$ și $\frac{2\pi }{5}$.

2. Un triunghi are unghiul $A=\frac{5\pi }{6}$. Arată că $\sin A+\cos A<0$ și calculează valoarea exactă a sumei.

3. Calculează, prin suplement, $\sin 116^{\circ }$ și $\cos 116^{\circ }$, cu patru zecimale.

4. Unghiul $A$ al unui triunghi verifică relația $2\cos A+\sqrt{2}=0$. Determină măsura lui în radiani și explică de ce $\frac{5\pi }{4}$ nu convine, deși verifică relația.

5. Unghiul $B$ al unui triunghi are $\cos B=-0,15$. Determină măsura lui, în grade, cu două zecimale.

6. În triunghiul $ABC$, $B=40^{\circ }$, iar $C$ este unghiul cel mai mare, cu $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Determină $C$ și $A$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă unghiul $A$ al unui triunghi are $\mathrm{tg}A=-\frac{1}{2}$, atunci $A>\frac{3\pi }{4}$.

8. Unghiul $A$ al unui triunghi are $\mathrm{tg}A=-\frac{12}{35}$. Calculează $\sin A$ și $\cos A$.

9. În triunghiul $ABC$, $B=35^{\circ }$ și $C=40^{\circ }$. Scrie $\sin A$ și $\cos A$ prin unghiul exterior și dă valorile lor cu patru zecimale.

10. Arată că în orice triunghi $ABC$ are loc inegalitatea $\cos (A+B)\cdot \cos C\le 0$ și precizează când are loc egalitatea.

11. Triunghiul $ABC$ are vârful $A$ în originea reperului și latura $AB$ pe semiaxa pozitivă $Ox$. Știind că $AC=9$ și $A=\frac{5\pi }{6}$, află coordonatele lui $C$ și precizează unde cade piciorul înălțimii din $C$.

12. (Problemă aplicată.) O ramură dreaptă, lungă de $2,4$ m, pornește din trunchiul vertical al unui copac și formează cu porțiunea de trunchi de sub punctul de prindere un unghi de $120^{\circ }$. Cu cât este vârful ramurii mai sus decât punctul de prindere și la ce distanță de trunchi se află?

13. Într-un triunghi, $\cos A=-0,6$. Arată, fără calculator, că $B+C<\frac{\pi }{3}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $B=\frac{\pi }{10}$ și $C=\frac{\pi }{15}$. Arătați că $\cos A=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $B=\frac{\pi }{6}$ și $C=\frac{\pi }{12}$. Arătați că $\mathrm{tg}A=-1$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ în care unghiul $A$ este obtuz și $\sin A=\frac{175}{337}$. Arătați că $\mathrm{tg}A=-\frac{175}{288}$.

17. Ordonează crescător numerele $\sin 95^{\circ }$, $\sin 125^{\circ }$ și $\sin 160^{\circ }$, fără calculator, apoi verifică ordinea cu valori aproximative.

18. (Provocare.) Într-un triunghi $ABC$ are loc egalitatea $\sin A=\cos B$. Arată că fie $C=\frac{\pi }{2}$, fie $A-B=\frac{\pi }{2}$, și dă câte un exemplu de triunghi pentru fiecare situație.

Răspunsuri și explicații

1. Unghiurile de $89^{\circ }$ și $\frac{2\pi }{5}$ sunt ascuțite: sinus, cosinus și tangentă pozitive. Unghiurile de $93^{\circ }$ și $\frac{5\pi }{8}$ sunt obtuze: sinus pozitiv, cosinus și tangentă negative.

2. $\sin A=\frac{1}{2}$ și $\cos A=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\sin A+\cos A=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366$. Suma este negativă pentru că $\sqrt{3}>1$: la acest unghi obtuz, cosinusul are valoarea absolută mai mare decât sinusul.

3. Suplementul este $180^{\circ }-116^{\circ }=64^{\circ }$, cu $\sin 64^{\circ }\approx 0,8988$ și $\cos 64^{\circ }\approx 0,4384$. Deci $\sin 116^{\circ }\approx 0,8988$ și $\cos 116^{\circ }\approx -0,4384$.

4. Relația dă $\cos A=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, un cosinus negativ, deci unghiul este obtuz. Valoarea $\frac{\sqrt{2}}{2}$ corespunde unghiului $\frac{\pi }{4}$, iar unghiul căutat este suplementul lui: $A=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$. Și $\cos \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, dar $\frac{5\pi }{4}>\pi$, deci nu poate fi unghi de triunghi.

5. Unghiul este obtuz, iar instrumentul digital dă $B\approx 98,63^{\circ }$. Valoarea este puțin peste unghiul drept, cum arată cosinusul apropiat de zero.

6. Sinusul $\frac{\sqrt{3}}{2}$ corespunde lui $60^{\circ }$ sau lui $120^{\circ }$. Dacă $C$ ar avea $60^{\circ }$, al treilea unghi ar avea $80^{\circ }$ și ar fi mai mare decât $C$, contrar enunțului. Rămâne $C=120^{\circ }$, cu $A=180^{\circ }-40^{\circ }-120^{\circ }=20^{\circ }$.

7. Adevărat. Tangenta negativă arată că $A$ este obtuz, iar prin reducere $\mathrm{tg}(\pi -A)=-\mathrm{tg}A=\frac{1}{2}$. Unghiul $\pi -A$ este ascuțit, iar pe unghiurile ascuțite tangenta crește; cum $\frac{1}{2}<1=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$, rezultă $\pi -A<\frac{\pi }{4}$, adică $A>\frac{3\pi }{4}$. Cu instrumentul digital, $A\approx 153,43^{\circ }$.

8. Tangenta negativă arată un unghi obtuz: sinusul este pozitiv, cosinusul negativ. Din $\frac{\sin A}{\cos A}=-\frac{12}{35}$ scriem $\sin A=12k$ și $\cos A=-35k$, cu $k>0$; formula fundamentală dă $144k^2+1225k^2=1369k^2=1$, deci $k=\frac{1}{37}$. Rezultă $\sin A=\frac{12}{37}$ și $\cos A=-\frac{35}{37}$.

9. Unghiul exterior din $A$ este $B+C=75^{\circ }$, deci $\sin A=\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$ și $\cos A=-\cos 75^{\circ }\approx -0,2588$. Unghiul $A$ are $180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$ și este obtuz, în acord cu semnul cosinusului.

10. Din suma unghiurilor, $A+B=\pi -C$, deci $\cos (A+B)=-\cos C$, iar produsul este $-{\cos }^{2}C$, un număr care nu poate fi pozitiv. Egalitatea cere $\cos C=0$, adică $C=\frac{\pi }{2}$: produsul se anulează numai în triunghiul dreptunghic în $C$.

11. Coordonatele sunt $\left(9\cos \frac{5\pi }{6},9\sin \frac{5\pi }{6}\right)=\left(-\frac{9\sqrt{3}}{2},\frac{9}{2}\right)$. Înălțimea din $C$ are lungimea $\frac{9}{2}$, iar piciorul ei este punctul $\left(-\frac{9\sqrt{3}}{2},0\right)$, pe prelungirea laturii $AB$ dincolo de $A$, la aproximativ $7,79$ unități de $A$.

12. Unghiul dintre ramură și direcția în sus a trunchiului este $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Vârful este mai sus cu $2,4\cdot \cos 60^{\circ }=1,2$ m și se află la $2,4\cdot \sin 120^{\circ }=1,2\sqrt{3}\approx 2,08$ m de trunchi. Dacă măsori pe axa îndreptată în jos, proiecția este $2,4\cdot \cos 120^{\circ }=-1,2$: semnul minus spune tocmai că ramura urcă. Modelul consideră ramura un segment drept.

13. Avem $-0,6<-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$, iar pe $[0,\pi ]$ cosinusul este strict descrescător, deci $A>\frac{2\pi }{3}$. Atunci $B+C=\pi -A<\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$. Instrumentul digital confirmă: $A\approx 126,87^{\circ }$, iar $B+C\approx 53,13^{\circ }$.

14. Unghiul exterior din $A$ este $B+C=\frac{3\pi }{30}+\frac{2\pi }{30}=\frac{5\pi }{30}=\frac{\pi }{6}$, deci $\cos A=-\cos (B+C)=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Unghiul $A$ are $\frac{5\pi }{6}$: niciunul dintre unghiurile $B$ și $C$ nu are o valoare de bază, dar suma lor are.

15. $A=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{12}=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$, un unghi obtuz. Cu formula pentru tangentă, $\mathrm{tg}A=-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=-1$.

16. ${\cos }^{2}A=1-\frac{30625}{113569}=\frac{82944}{113569}$, iar unghiul fiind obtuz, $\cos A=-\frac{288}{337}$. Atunci $\mathrm{tg}A=\frac{175}{337}:\left(-\frac{288}{337}\right)=-\frac{175}{288}$.

17. Prin reducere, $\sin 95^{\circ }=\sin 85^{\circ }$, $\sin 125^{\circ }=\sin 55^{\circ }$ și $\sin 160^{\circ }=\sin 20^{\circ }$. Pe unghiurile ascuțite sinusul crește, deci ordinea este $\sin 160^{\circ }<\sin 125^{\circ }<\sin 95^{\circ }$. Aproximativ: $0,3420<0,8192<0,9962$.

18. Din $\sin A=\cos B=\sin \left(\frac{\pi }{2}-B\right)$ rezultă că $A$ și $\frac{\pi }{2}-B$ au același sinus, deci sunt egale sau suplementare. Dacă $A=\frac{\pi }{2}-B$, atunci $A+B=\frac{\pi }{2}$ și $C=\frac{\pi }{2}$. Dacă $A=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-B\right)$, atunci $A-B=\frac{\pi }{2}$. Exemple: triunghiul cu unghiurile de $30^{\circ }$, $60^{\circ }$ și $90^{\circ }$ pentru prima situație; pentru a doua, triunghiul cu $120^{\circ }$ în vârful $A$ și câte $30^{\circ }$ în $B$ și în $C$, unde $\sin 120^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

De reținut

• Orice unghi al unui triunghi are măsura în $(0,\pi )$, deci sinus strict pozitiv; cosinusul este pozitiv la unghiul ascuțit, zero la cel drept și negativ la cel obtuz, iar un triunghi are cel mult un unghi obtuz.
• Cosinusul negativ are o citire geometrică: vârful $C$ are abscisa $AC\cdot \cos A$, deci piciorul înălțimii cade pe prelungirea laturii când unghiul $A$ este obtuz.
• Prin unghiul exterior, $\sin A=\sin (B+C)$ și $\cos A=-\cos (B+C)$ în orice triunghi; cu ele, un unghi obtuz se calculează printr-un unghi ascuțit cunoscut.
• Cosinusul determină un singur unghi de triunghi, obținut cu tasta ${\cos }^{-1}$ sau prin suplement din tabel; soluțiile mai mari decât $\pi$ ale ecuației pe cerc se elimină.
• Sinusul dă două unghiuri suplementare posibile; alegi dintre ele cu suma unghiurilor, cu ordinea laturilor sau cu semnul cosinusului, iar fără o astfel de informație scrii ambele răspunsuri.

Greșeli frecvente

• Minusul uitat la unghiul exterior. Din $\pi -A=B+C$ unii scriu $\cos A=\cos (B+C)$. Reducerea pentru $\pi -x$ schimbă semnul cosinusului, deci corect este $\cos A=-\cos (B+C)$; sinusul rămâne neschimbat.
• O soluție de pe cerc păstrată în triunghi. Pe $[0,2\pi ]$, ecuația $\cos x=-\frac{1}{2}$ are soluțiile $\frac{2\pi }{3}$ și $\frac{4\pi }{3}$. A doua nu poate fi unghi de triunghi, pentru că depășește $\pi$; în geometrie rămâne doar prima.
• Proiecția scrisă ca lungime pozitivă. Proiecția laturii $AC$ pe dreapta $AB$ este $AC\cdot \cos A$, cu semn. Cine o scrie fără semn și așază piciorul înălțimii pe latură desenează greșit triunghiul obtuzunghic și pierde poziția vârfului.
• Unghiul mai mare luat drept sinus mai mare. Pe $(0,\pi )$ sinusul nu este crescător: $\sin 170^{\circ }$ este mai mic decât $\sin 100^{\circ }$. Comparațiile se fac după reducerea la unghiuri ascuțite sau, mai sigur, cu cosinusul, care descrește pe tot intervalul.
• Tangenta negativă citită ca unghi negativ. Din $\mathrm{tg}A=-\sqrt{3}$ nu rezultă un unghi de minus șaizeci de grade. Un unghi de triunghi este pozitiv; tangenta negativă arată doar că unghiul este obtuz, deci $A=\frac{2\pi }{3}$.

Aplică acasă

1. Jurnalul fazelor Lunii. Timp de o săptămână, notează în fiecare seară forma Lunii și estimează ce parte din disc este luminată. Folosind relația $k=\frac{1+\cos \phi }{2}$, deduce unghiul de fază pentru fiecare observație și marchează serile în care unghiul a fost obtuz.
2. Lampa de birou articulată. Măsoară cele două brațe ale unei lămpi articulate și unghiul obtuz dintre ele. Așază mental brațul de jos pe o axă și calculează coordonatele capătului celuilalt braț; verifică semnul abscisei măsurând cât iese capătul „în spatele” articulației.
3. Vârful care alunecă, în program. Într-un program de geometrie dinamică, fixează punctele $A$ și $B$ pe axa $Ox$ și mută vârful $C$ pe un cerc cu centrul în $A$. Afișează $\cos A$, abscisa lui $C$ și piciorul înălțimii din $C$; notează poziția în care cosinusul își schimbă semnul și ce se întâmplă atunci cu piciorul înălțimii.

Pentru părinți și profesori

La profilul științe ale naturii, lecția leagă cercul trigonometric, studiat pe intervalul $[0,2\pi ]$, de unghiurile unui triunghi. Elevul nu învață formule noi, ci restrânge ce știe la intervalul $(0,\pi )$ și dă semnelor un sens geometric. Dificultatea tipică nu este calculul, ci obiceiul de a păstra toate soluțiile de pe cerc: cereți de fiecare dată o propoziție care spune de ce o soluție a fost păstrată sau eliminată. Întrebări utile de control: „Ce semn are sinusul unui unghi de triunghi și de ce?”; „Unde cade piciorul înălțimii când unghiul este obtuz?”; „De ce cosinusul negativ dă un singur unghi, iar sinusul două?”. Semnele că lecția a fost înțeleasă: elevul scrie felul unghiului înainte de valori, elimină singur soluțiile mai mari decât $\pi$ și, când folosește sinusul, caută în enunț informația care decide. Pentru reluarea proprietăților unghiurilor dintr-un triunghi se poate folosi lecția de clasa a VI-a despre unghiuri complementare și suplementare.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, iar din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde reducerea la primul cadran și aplicațiile trigonometriei în geometrie, cu rezolvarea triunghiurilor oarecare. Modelul oficial din 2026 are la Subiectul I o singură cerință de trigonometrie, într-un triunghi dreptunghic, fără unghi obtuz; un singur model nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze este găzduită la clasa a X-a. Pe traseul M2, înainte de această lecție sunt valorile funcțiilor trigonometrice din tabele și cu mijloace digitale, la M2, după ea urmează teorema cosinusului: enunț și aplicații, la M2, iar exercițiile de sinteză sunt în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la unghiurile obtuze în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, lecția vine în clasa a IX-a, imediat după studiul funcțiilor trigonometrice pe cercul unitate, iar unghiurile apar des în radiani. Accentul cade pe legătura cu triunghiul: unghiul exterior, proiecția cu semn și alegerea dintre două unghiuri cu același sinus. La mate-info, aceeași temă deschide unitatea de geometrie a clasei a X-a.

La ce subiect al bacalaureatului M2 apar unghiurile obtuze?

Programa de examen pentru 2027–2029 cuprinde reducerea la primul cadran și rezolvarea triunghiurilor oarecare, unde unghiurile obtuze apar firesc. În modelul oficial din 2026, trigonometria apare la cerința a șasea a Subiectului I, într-un triunghi dreptunghic. Exercițiile marcate aici arată cum se scrie o astfel de cerință scurtă când unghiul este obtuz.

De ce ecuația pentru cosinus are două soluții pe cerc, dar una singură în triunghi?

Pe cercul întreg, un cosinus negativ corespunde unui punct din cadranul al doilea și unuia din cadranul al treilea. Unghiurile unui triunghi sunt însă între zero și pi, deci pe semicercul de sus. Acolo cosinusul descrește strict, iar fiecare valoare apare o singură dată, așa că soluția din cadranul al treilea se elimină.

Ce legătură are unghiul exterior cu sinusul unghiului obtuz?

Unghiul exterior al unui vârf este suplementul unghiului interior și este egal cu suma celorlalte două unghiuri interioare. Pe cerc, punctele asociate celor două unghiuri sunt simetrice față de axa verticală: aceeași ordonată, abscise opuse. De aceea sinusul unghiului obtuz se calculează ca sinusul unui unghi ascuțit, iar cosinusul lui ca opusul cosinusului aceluiași unghi ascuțit.

Unde cade piciorul înălțimii când unghiul este obtuz?

Pe prelungirea laturii, dincolo de vârful unghiului obtuz. Dacă pui acel vârf în originea unui reper și o latură pe axa orizontală, celălalt vârf are abscisa egală cu produsul dintre latură și cosinus. Cosinusul negativ face abscisa negativă, deci piciorul înălțimii ajunge în partea opusă celei de-a doua laturi.

De ce tangenta unui unghi obtuz este negativă, deși unghiul este pozitiv?

Tangenta este câtul dintre sinus și cosinus. La un unghi obtuz, sinusul este pozitiv, iar cosinusul negativ, deci câtul lor este negativ. Semnul tangentei nu spune nimic despre semnul unghiului; el arată doar în ce parte a axei verticale se află punctul asociat unghiului pe semicercul trigonometric.