Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Numere din sumă sau diferență

Cum aflu două numere din diferență și produs?

Scrii diferența ca sumă, $x + (- y) = d$ , iar produsul devine $x \cdot (- y) = - p$ ; apoi $x$ și $- y$ sunt soluțiile ecuației $t^{2} - d t - p = 0$ . Exemplu: $x - y = 5$ și $x y = 84$ . Ecuația $t^{2} - 5 t - 84 = 0$ are $Δ = 361$ și soluțiile $12$ și $- 7$ , deci $x = 12$ , $y = 7$ . Proba: $12 - 7 = 5$ și $12 \cdot 7 = 84$ , deci cerințele sistemului sunt îndeplinite.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Un sistem sumă–produs, $x + y = s$ și $x y = p$ , se rezolvă printr-o ecuație ajutătoare de gradul II. Prima ecuație dă $y = s - x$ , iar a doua devine $x^{2} - s x + p = 0$ ; numerele căutate sunt cele două soluții ale ecuației $t^{2} - s t + p = 0$ , cu minus în fața lui $s t$ .

Discriminantul $Δ = s^{2} - 4 p$ decide numărul de soluții: pozitiv, două numere distincte; zero, două numere egale; negativ, niciun număr real. Perechile se scriu în ambele ordini, $(x; y)$ și $(y; x)$ , iar la lucruri numărate se păstrează doar valorile întregi și pozitive.

Multe enunțuri se reduc la acest tip: o diferență $x - y$ devine sumă dacă folosești $- y$ ; o expresie cu paranteze se desface; suma pătratelor se scrie $s^{2} - 2 p$ . Aria, perimetrul și teorema lui Pitagora dau tot sumă și produs.

La final aduni și înmulțești numerele găsite și controlezi condițiile din enunț, inclusiv unitățile. Greșelile frecvente sunt plusul în loc de minus în ecuația ajutătoare și o singură pereche scrisă.

De reținut

$x + y = s$ , $x y = p$ $\Rightarrow$ $t^{2} - s t + p = 0$
o diferență $x - y$ devine sumă cu $- y$
perechile se scriu în ambele ordini

Greșeala tipică

Se scrie ecuația ajutătoare cu plus, $t^{2} + s t + p = 0$ , și se obțin numere cu semn opus. Pentru $s = 21$ și $p = 104$ , ecuația corectă este $t^{2} - 21 t + 104 = 0$ , cu soluțiile $13$ și $8$ .

Exerciții din această mini-lecție

O placă dreptunghiulară de lemn are semiperimetrul de $21$ dm și aria de $108$ dm². Care dintre perechile $(x; y)$ de mai jos, cu $x$ și $y$ lungimile laturilor, verifică datele?
- a) $(7; 14)$
- b) $(9; 12)$
- c) $(10; 11)$
- d) $(6; 15)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(9; 12)$

Perechea trebuie să aibă suma $21$ și produsul $108$ . Verificăm: $9 + 12 = 21$ și $9 \cdot 12 = 108$ . Celelalte perechi au tot suma $21$ , dar produsele $7 \cdot 14 = 98$ , $10 \cdot 11 = 110$ și $6 \cdot 15 = 90$ , deci nu dau aria de $108$ dm².
La un service auto, pentru o piesă de caroserie a unui autoturism, lungimea $x$ este cu $9$ cm mai mare decât lățimea $y$ , iar aria este de $136$ cm². Pentru sistemul $x - y = 9$ , $x y = 136$ notezi $u = x$ și $v = - y$ . Care ecuație de gradul al doilea are soluțiile $u$ și $v$ ?
- a) $t^{2} + 9 t - 136 = 0$
- b) $t^{2} - 9 t + 136 = 0$
- c) $t^{2} + 9 t + 136 = 0$
- d) $t^{2} - 9 t - 136 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $t^{2} - 9 t - 136 = 0$

Din $x - y = 9$ avem $x + (- y) = 9$ , iar din $x y = 136$ avem $x \cdot (- y) = - 136$ . Deci $u + v = 9$ și $uv = - 136$ , iar ecuația $t^{2} - 9 t - 136 = 0$ are soluțiile $17$ și $- 8$ , adică $x = 17$ cm și $y = 8$ cm. Varianta cu $+ 136$ uită minusul de la produs, $t^{2} + 9 t - 136 = 0$ schimbă semnul sumei, iar $t^{2} + 9 t + 136 = 0$ greșește ambele semne.
Un colț al unui țarc de la o fermă are forma unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza de $17$ m și perimetrul de $40$ m. Care este aria triunghiului, în m²?
- a) $120$
- b) $240$
- c) $60$
- d) $15$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $60$

Catetele $a$ și $b$ verifică $a + b = 40 - 17 = 23$ și $a^{2} + b^{2} = 1 7^{2} = 289$ . Din $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab$ rezultă $529 = 289 + 2 ab$ , deci $ab = 120$ , iar aria este $\frac{ab}{2} = 60$ m². Verificare: catetele sunt $8$ și $15$ , iar $8 + 15 + 17 = 40$ . Varianta $120$ este produsul $ab$ , fără împărțirea la $2$ , $240$ este $529 - 289$ , adică $2 ab$ , iar $15$ este una dintre catete.

Întrebări conexe

Care este cealaltă pereche de soluții?

Dacă $x$ și $- y$ sunt numerele $12$ și $- 7$ , în orice ordine, atunci sistemul $x - y = 5$ , $x y = 84$ are două perechi de soluții. Prima: $x = 12$ , $y = 7$ . A doua: $x = - 7$ și $- y = 12$ , deci $y = - 12$ . Ambele verifică sistemul: $- 7 - (- 12) = 5$ și $(- 7) \cdot (- 12) = 84$ .

Cum rezolv sistemul când produsul apare ca (x+13)(y+13)?

Când produsul este dat ca o paranteză dublă, o desfaci și îl scoți pe cel simplu, $x y$ , din ea: la desfacere apare și termenul $13 (x + y)$ , plus $169$ . Pentru $x + y = 22$ și $(x + 13) (y + 13) = 572$ rezultă $x y = 572 - 286 - 169 = 117$ . Apoi $t^{2} - 22 t + 117 = 0$ are $Δ = 16$ și soluțiile $13$ și $9$ .

Cum aflu catetele din ipotenuză și arie?

Aria dă produsul catetelor, iar ipotenuza dă suma pătratelor lor. Pentru ipotenuza $29$ și aria $210$ : $ab = 2 \cdot 210 = 420$ și $a^{2} + b^{2} = 841$ . Atunci $(a + b)^{2} = 841 + 840 = 1681$ , deci $a + b = 41$ , iar $t^{2} - 41 t + 420 = 0$ dă catetele $20$ și $21$ .

Cum aflu dimensiunile unui dreptunghi din diagonală și arie?

Procedezi ca la triunghi: aria dă $x y$ , iar diagonala dă $x^{2} + y^{2}$ . Pentru diagonala $25$ și aria $168$ avem $(x + y)^{2} = 625 + 336 = 961$ , deci $x + y = 31$ . Ecuația $t^{2} - 31 t + 168 = 0$ are $Δ = 289$ și soluțiile $24$ și $7$ , iar $2 4^{2} + 7^{2} = 625$ .

Cum apare sistemul sumă–produs în probele oficiale?

Sistemul sumă–produs a apărut într-o singură probă M_tehnologic din 2013–2026, iar locul lui a fost Subiectul al II-lea, ascuns într-o cerință cu matrici. Egalitatea a două matrici ducea la suma și produsul a două numere, iar rezolvarea cerea ecuația ajutătoare $t^{2} - s t + p = 0$ și perechile în ambele ordini.

Oamenii mai întreabă și: sistem x plus y egal s, xy egal p · două numere cu suma și produsul date · diferența ca sumă cu minus y · sistem sumă produs la tehnologic