Suma și produsul date: liceu tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Laboratorul unei fabrici de biscuiți știe câte șarje de probă poate prepara și câte probe de gust are panelul de degustare, dar nu știe câte rețete de aluat și câte de cremă să încerce. Din două date, suma și produsul, se găsesc cele două numere. Tema e de clasa a IX-a, la liceele tehnologice, și ține de Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), unde ideea a apărut într-o singură probă, ascunsă într-o cerință cu matrici.

Situația de pornire

Laboratorul unei fabrici de biscuiți pregătește o gamă nouă de biscuiți cu cremă. Înainte să ajungă pe linia de producție, rețetele trec printr-o degustare organizată ca plan complet: fiecare rețetă de aluat se încearcă cu fiecare rețetă de cremă, iar fiecare pereche aluat–cremă e o probă separată. Fiecare rețetă se prepară o singură dată, într-o șarjă de laborator: aluatul se frământă și se coace în cuptorul de probă, crema se bate în mixerul mic. Biscuiții de probă se umplu de mână, așa că orice aluat se poate asambla cu orice cremă. Bugetul lunii acoperă 19 șarje, iar panelul de degustare are programate exact 78 de probe, în 13 ședințe a câte 6. Pentru fiecare probă se asamblează 12 biscuiți de câte 15 g, câte unul pentru fiecare degustător. Tehnologa a încercat pe hârtie trei împărțiri ale celor 19 șarje.

Aluaturi	Creme	Șarje	Probe	Biscuiți de probă (kg)
4	15	19	60	10,8
5	14	19	70	12,6
7	12	19	84	15,12

Întrebare: câte rețete de aluat și câte de cremă trebuie pregătite ca laboratorul să folosească exact cele 19 șarje și să aibă cele 78 de probe, și cum verifici perechea găsită?

De la situație la model

Tehnologa caută două numere: câte rețete de aluat, $x$ , și câte de cremă, $y$ . Șarjele se adună, probele se înmulțesc: fiecare aluat se combină cu fiecare cremă. Tabelul traduce situația.

În situație	În matematică
numărul de rețete de aluat	necunoscuta $x$
numărul de rețete de cremă	necunoscuta $y$
șarjele, aluaturile plus cremele	suma $x + y = 19$
probele, fiecare aluat cu fiecare cremă	produsul $x y = 78$
cele două numere căutate	soluțiile ecuației $t^{2} - 19 t + 78 = 0$

Un sistem sumă–produs este un sistem de două ecuații în care se cunosc suma și produsul a două numere:

${x + y = s x y = p$

De ce apare o ecuație de gradul II?

Din prima ecuație, $y = s - x$ . Pui în a doua: $x (s - x) = p$ , adică $x^{2} - s x + p = 0$ . La laborator, $x (19 - x) = 78$ devine $x^{2} - 19 x + 78 = 0$ . Același lucru se întâmplă cu $y$ : și el verifică ecuația $t^{2} - s t + p = 0$ . De aceea $x$ și $y$ sunt cele două soluții ale ei, iar relațiile lui Viète, din lecția despre suma și produsul rădăcinilor, merg aici în sens invers: din sumă și produs ajungi la ecuație.

De ce soluțiile vin în perechi?

Ecuațiile sistemului nu se schimbă dacă interschimbi $x$ cu $y$ . Deci, dacă $(x; y)$ e soluție, și $(y; x)$ e soluție. La laborator, 6 aluaturi cu 13 creme dau aceeași sumă și același produs ca 13 aluaturi cu 6 creme. Când $x = y$ , perechile se contopesc într-una singură.

Când sistemul nu are nicio soluție reală?

Pentru o sumă dată, produsul cel mai mare apare când cele două numere sunt egale, deci la suma 19 nu poate depăși $\frac{1 9 ^{2}}{4} = \frac{361}{4}$ , adică 90 și un sfert. Cu 19 șarje nu poți avea 95 de probe. Rezultatul e legat de graficul parabolei $y = x (19 - x)$ : vârful ei este cea mai mare valoare a produsului. Ecuația o spune prin discriminantul $Δ = s^{2} - 4 p$ : la $s = 19$ și $p = 95$ avem $Δ = 361 - 380 = - 19 < 0$ . Dacă $Δ = 0$ , $x = y = \frac{s}{2}$ ; dacă $Δ > 0$ , există două numere diferite.

Ce faci cu un sistem care nu arată așa?

Multe enunțuri dau alte condiții, dar se reduc la sumă și produs. Diferența $x - y = d$ devine sumă dacă schimbi semnul lui $y$ . Un produs cu termeni mutați, ca $(x - m) (y - m)$ , se desface și lasă sumă și produs. Suma pătratelor, $x^{2} + y^{2}$ , se scrie $s^{2} - 2 p$ . Le vei vedea la exemplele 3 și 4 și la exercițiile 5–7 și 9–11. Legătura cu sistemele 2×2 de gradul I e că și aici elimini o necunoscută, doar că a doua ecuație o duce la gradul al II-lea.

Metoda pas cu pas

Scrie ce se dă ca sistem: suma celor două numere, $s$ , și produsul lor, $p$ . Verifică întâi că se pot aduna: ambele sunt în aceeași unitate de măsură, ca numărul de aluaturi și de creme. Dacă enunțul are alte condiții, adu-le mai întâi la sumă și produs, cu ajutorul identităților din lecție, și notează ce sumă și ce produs ai obținut.
Scrie ecuația $t^{2} - s t + p = 0$ , cu minus în fața lui $s t$ . Necunoscuta se numește $t$ ca să nu o amesteci cu $x$ și $y$ : ea nu e nici aluatul, nici crema, ci oricare dintre cele două numere căutate.
Calculează $Δ = s^{2} - 4 \cdot p$ . Dacă $Δ < 0$ , sistemul nu are soluții reale: te oprești și scrii asta. Dacă $Δ = 0$ , ecuația are o soluție dublă și $x = y = \frac{s}{2}$ . Dacă $Δ > 0$ , rezolvi ecuația și obții două numere diferite.
Scrie perechile $(x; y)$ în ambele ordini și păstrează numai pe cele cu sens pentru problemă: numere întregi la aluaturi și creme, numere pozitive la lungimi, valori care încap în desen. Dacă problema distinge cele două numere, de pildă prima e lungimea și a doua lățimea, spune care e care; dacă nu le distinge, ambele ordini sunt aceeași soluție a problemei.
Verifică: adună și înmulțește numerele găsite, ca să obții $s$ și $p$ , apoi controlează condițiile din enunț, inclusiv unitățile de măsură. Dacă ai plecat de la altă formă a sistemului, înlocuiește perechea și în enunțul inițial.

Restul temelor din clasa a IX-a le găsești pe pagina traseului clasei, filiera tehnologică; iar dacă ai nevoie de formula soluțiilor, o găsești în lecția despre ecuația de gradul II și Δ.

Fișa de buzunar

${x + y = s x y = p ⟺ t^{2} - s t + p = 0$

$Δ = s^{2} - 4 p \geq 0$

Numerele căutate sunt soluțiile ecuației, iar perechile se scriu în ambele ordini. Condiția de existență a soluțiilor reale e $Δ \geq 0$ . La $Δ = 0$ ai o singură pereche, cu $x = y$ . Verificare rapidă: suma și produsul numerelor găsite trebuie să reproducă exact $s$ și $p$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Aluaturile și cremele laboratorului

Domeniu: alimentar.

Enunț. Rezolvați sistemul $x + y = 19$ , $x y = 78$ și spuneți câte rețete de aluat și câte de cremă pregătește tehnologa.

Rezolvare. Citim sistemul: suma este $s = 19$ și produsul $p = 78$ , deci ecuația este $t^{2} - 19 t + 78 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 361 - 312 = 49 > 0$ , iar $49 = 7$ , deci

$t = \frac{19 \pm 7}{2}, t_{1} = 6, t_{2} = 13$

Sistemul are două perechi, $(6; 13)$ și $(13; 6)$ . Laboratorul pregătește 6 aluaturi și 13 creme, sau 13 aluaturi și 6 creme. Amândouă variantele folosesc 19 șarje și dau 78 de probe, adică $78 \cdot 12 \cdot 0, 015 = 14, 04$ kg de biscuiți de probă. Tabelul situației arată de ce nu se nimerea din prima: cu 5 aluaturi și 14 creme ieșeau 70 de probe, iar cu 7 aluaturi și 12 creme, 84; 78 stă între ele, la 6 aluaturi.

Capcană. Dacă scrii ecuația cu plus, $t^{2} + 19 t + 78 = 0$ , obții −6 și −13. Suma lor este −19, nu 19, iar numărul de rețete nu poate fi negativ, deci rezultatul se vede că e greșit. Minusul din fața lui $s t$ nu se uită.

Verificare. $6 + 13 = 19$ și $6 \cdot 13 = 78$ . Și fără ecuație: din divizorii lui 78 (1 și 78, 2 și 39, 3 și 26, 6 și 13), doar perechea 6 și 13 are suma 19.

Exemplul 2 — Guseul triunghiular

Domeniu: constructii.

Enunț. Un cadru metalic se întărește în colțuri cu câte un guseu, o placă triunghiulară de oțel cu un unghi drept. Pe desen, suma catetelor este de 46 cm, iar aria plăcii este de 240 cm². Aflați catetele, ipotenuza și lungimea cordonului de sudură pe tot conturul.

Rezolvare. Fie $x$ și $y$ catetele, în centimetri. Suma lor este 46. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor, fiindcă una e baza și cealaltă înălțimea. Deci aria este $\frac{x y}{2}$ , deci $\frac{x y}{2} = 240$ și produsul este $x y = 480$ . Atunci $t^{2} - 46 t + 480 = 0$ , cu $Δ = 2116 - 1920 = 196$ și $196 = 14$ . Soluțiile sunt $t = \frac{46 \pm 14}{2}$ , adică 16 și 30. Catetele au 16 cm și 30 cm. Ipotenuza se află cu teorema lui Pitagora: $1 6^{2} + 3 0^{2} = 1156 = 34$ cm. Cordonul de sudură are lungimea perimetrului, $16 + 30 + 34 = 80$ cm.

Capcană. Aria nu este produsul catetelor. Cine ia $x y = 240$ obține $t^{2} - 46 t + 240 = 0$ , cu soluțiile 6 și 40. Aria unui astfel de triunghi ar fi $\frac{6 \cdot 40}{2} = 120$ cm², jumătate din cât cere desenul.

Verificare. $16 + 30 = 46$ și $\frac{16 \cdot 30}{2} = 240$ . Triunghiul 16–30–34 e dreptunghic: $256 + 900 = 1156 = 3 4^{2}$ . Cordonul de 80 cm se poate măsura și cu ruleta, pe contur, ca o probă independentă.

Exemplul 3 — Capacul dintr-o foaie de tablă

Domeniu: mecanica.

Enunț. Dintr-o foaie de tablă se decupează un capac dreptunghiular cu diagonala de 130 cm și aria de 0,6 m². Aflați dimensiunile capacului, în centimetri și în metri.

Rezolvare. Mărimile au unități diferite, așa că transformăm: 0,6 m² = 6000 cm², fiindcă 1 m = 100 cm, deci 1 m² = 100 · 100 cm². Fie $x$ și $y$ dimensiunile. Diagonala împarte capacul în două triunghiuri dreptunghice, deci, din teorema lui Pitagora, $x^{2} + y^{2} = 13 0^{2} = 16900$ , iar $x y = 6000$ . Nu avem suma, dar o putem afla, fiindcă $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ :

$(x + y)^{2} = 16900 + 12000 = 28900, x + y = 170$

Acum avem $s = 170$ și $p = 6000$ , deci $t^{2} - 170 t + 6000 = 0$ , cu $Δ = 28900 - 24000 = 4900$ și $4900 = 70$ . Soluțiile sunt $t = \frac{170 \pm 70}{2}$ , adică 50 și 120. Capacul are 50 cm pe 120 cm, adică 0,5 m pe 1,2 m, o foaie care încape ușor într-o tablă standard.

Capcană. Dacă uiți dublul produsului și scrii $(x + y)^{2} = 16900$ , obții $s = 130$ și ecuația $t^{2} - 130 t + 6000 = 0$ , cu $Δ = 16900 - 24000 < 0$ . Ai concluziona că un astfel de capac nu există, deși există.

Verificare. $5 0^{2} + 12 0^{2} = 2500 + 14400 = 16900 = 13 0^{2}$ și $50 \cdot 120 = 6000$ cm² $= 0, 6$ m². Ordinul de mărime e bun: laturile de 0,5 m și 1,2 m dau diagonala de 1,3 m, ca în enunț.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: sistem ascuns într-o egalitate de matrici

Domeniu: electric.

Enunț. Cerința are forma din Subiectul II de la Bacalaureatul M3, cu matrici de ordinul doi, o temă din clasa a XI-a. Datele descriu două etaje în cascadă ale unui montaj electric, iar matricea întregului lanț este produsul matricilor etajelor. Înmulțirea se face „rând pe coloană”:

$(a c b d) \cdot (e g f h) = (a e + b g ce + d g a f + bh c f + d h)$

Se consideră matricile $M (a) = (a + 3 7 12 a - 1)$ , cu $a$ număr real, și $B = (210133228134)$ . Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $M (x) \cdot M (y) = B$ .

Rezolvare. Înmulțim, rând pe coloană: fiecare intrare a produsului se obține înmulțind un rând al primei matrici cu o coloană a celei de-a doua.

$M (x) \cdot M (y) = (x y + 3 (x + y) + 93 7 (x + y) + 14 12 (x + y) + 24 x y - (x + y) + 85)$

Egalitatea cu $B$ înseamnă că intrările de pe aceleași poziții sunt egale, deci avem patru ecuații. Ne ajung două, ca să ajungem la sumă și produs. Din dreapta sus, $12 (x + y) + 24 = 228$ , deci $x + y = 17$ . Din stânga sus, $x y + 3 \cdot 17 + 93 = 210$ , deci $x y = 66$ . Sistemul sumă–produs $x + y = 17$ , $x y = 66$ dă $t^{2} - 17 t + 66 = 0$ , cu $Δ = 289 - 264 = 25$ și $t = \frac{17 \pm 5}{2}$ , adică 6 și 11. Perechile sunt $(6; 11)$ și $(11; 6)$ .

Capcană. Matricile nu se înmulțesc „intrare cu intrare”. Altfel, intrarea din dreapta sus ar fi $12 \cdot 12 = 144$ , fără $x$ și $y$ , și ar trebui ca 144 să fie egal cu 228, ceea ce e fals: sistemul ar părea imposibil.

Verificare. Celelalte două intrări sunt compatibile cu $x + y = 17$ și $x y = 66$ : stânga jos, $7 \cdot 17 + 14 = 133$ ; dreapta jos, $66 - 17 + 85 = 134$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Rezolvă sistemul $x + y = 23$ , $x y = 130$ și scrie toate perechile de soluții.

2. Fără să rezolvi, spune câte perechi de numere reale au sistemele cu $x + y = 14$ și a) $x y = 48$ ; b) $x y = 50$ ; c) $x y = 49$ .

3. Rezolvă sistemul $x + y = \frac{17}{6}$ , $x y = 2$ . Înmulțește întâi ecuația ajutătoare cu numitorul.

4. Perechea $(7; 15)$ verifică sistemul $x + y = 22$ , $x y = 105$ . Mai are sistemul și alte soluții? Câte în total? Justifică fără să rezolvi ecuația de gradul II.

Nivelul 2 — situații

5. Un magazin aplică la același produs două reduceri succesive, de $x$ % și apoi de $y$ % din prețul rămas după prima. Suma celor două procente este 50, iar prețul final este 55 % din cel inițial. Află $x$ și $y$ , rotunjite la zecimi, și spune dacă ordinea reducerilor schimbă prețul final.

6. Un pavator acoperă pardoseala unei terase dreptunghiulare cu dale pătrate de 40 cm, fără să taie vreo dală. Pe margine pune un singur rând de dale roșii, de jur împrejur, iar în interior dale gri. Are exact 46 de dale roșii și 90 de dale gri și vrea să le folosească pe toate. Câte dale are terasa pe lungime și câte pe lățime, și ce dimensiuni are, în metri?

7. Un filtru trece-bandă din circuitul electric al unui interfon lasă să treacă frecvențele dintre $f_{1}$ și $f_{2}$ , în herți. Fișa lui dă frecvența centrală de 1 200 Hz, definită prin $f_{0}^{2} = f_{1} f_{2}$ , și lățimea de bandă de 700 Hz, adică $f_{2} - f_{1} = 700$ . Află $f_{1}$ și $f_{2}$ printr-un sistem sumă–produs.

8. O parcelă de teren cultivat are forma unui triunghi dreptunghic, cu suma catetelor de 34 m și aria de 200 m². Arată că o astfel de parcelă nu există și află care e cea mai mare arie posibilă la suma catetelor de 34 m.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $x + y = 21$ și $(x + 14) (y + 14) = 558$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $x - y = 6$ și $x y = 91$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați numerele reale nenule $x$ și $y$ pentru care $x + y = 27$ și $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{449}{140}$ .

12. (Sinteză.) Se consideră sistemul $x + y = 16$ , $x y = p$ , cu $p$ număr real. a) Determinați valorile lui $p$ pentru care sistemul are soluții reale. b) Câte perechi $(x; y)$ de numere reale are sistemul pentru $p = 39$ , pentru $p = 64$ și pentru $p = 70$ ? c) Pentru $p = 39$ scrieți perechile.

Răspunsuri și verificări

1. $t^{2} - 23 t + 130 = 0$ , cu $Δ = 529 - 520 = 9$ și $t = \frac{23 \pm 3}{2}$ , adică 10 și 13. Perechile sunt $(10; 13)$ și $(13; 10)$ . Verificare: $10 + 13 = 23$ și $10 \cdot 13 = 130$ .

2. a) $Δ = 196 - 192 = 4 > 0$ : două perechi, $(6; 8)$ și $(8; 6)$ . b) $Δ = 196 - 200 = - 4 < 0$ : nicio pereche reală. c) $Δ = 196 - 196 = 0$ : o singură pereche, $(7; 7)$ . Verificare: la a) $6 \cdot 8 = 48$ și $6 + 8 = 14$ ; la c) $7 + 7 = 14$ și $7 \cdot 7 = 49$ .

3. Ecuația $t^{2} - \frac{17}{6} t + 2 = 0$ , înmulțită cu 6, devine $6 t^{2} - 17 t + 12 = 0$ , cu $Δ = 289 - 288 = 1$ și $t = \frac{17 \pm 1}{12}$ , adică $\frac{3}{2}$ și $\frac{4}{3}$ . Perechile sunt $(\frac{3}{2}; \frac{4}{3})$ și $(\frac{4}{3}; \frac{3}{2})$ . Verificare: $\frac{3}{2} + \frac{4}{3} = \frac{17}{6}$ și $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2$ .

4. Sistemul e simetric, deci și $(15; 7)$ e soluție. Altele nu are: $x$ verifică ecuația $t^{2} - 22 t + 105 = 0$ , care are cel mult două soluții, deci $x$ e 7 sau 15. În total, 2 soluții. Verificare: $7 + 15 = 22$ și $7 \cdot 15 = 105$ .

5. După două reduceri, prețul final e $(1 - \frac{x}{100}) (1 - \frac{y}{100}) = 0, 55$ , adică $1 - \frac{x + y}{100} + \frac{x y}{10 000} = 0, 55$ . Cu $x + y = 50$ rămâne $\frac{x y}{10 000} = 0, 05$ , deci $x y = 500$ . Ecuația $t^{2} - 50 t + 500 = 0$ are $Δ = 2500 - 2000 = 500$ , iar $t = 25 \pm 125 \approx 25 \pm 11, 18$ . Reducerile sunt aproximativ 13,8 % și 36,2 %, iar ordinea nu schimbă prețul final, fiindcă înmulțirea factorilor nu depinde de ordine. Verificare: $13, 8 + 36, 2 = 50$ , iar $0, 862 \cdot 0, 638 \approx 0, 55$ .

6. Cu $x$ și $y$ dale pe laturi, marginea are $2 (x + y) - 4 = 46$ dale (colțurile nu se numără de două ori), deci $x + y = 25$ , iar toată terasa are $x y = 46 + 90 = 136$ de dale. Ecuația $t^{2} - 25 t + 136 = 0$ are $Δ = 625 - 544 = 81$ , deci $t = \frac{25 \pm 9}{2}$ , adică 17 și 8. Terasa are 17 pe 8 dale, adică 6,8 m pe 3,2 m. Verificare: marginea are $2 \cdot 17 + 2 \cdot 8 - 4 = 46$ de dale, iar interiorul $15 \cdot 6 = 90$ .

7. Produsul este $f_{1} f_{2} = 120 0^{2} = 1440000$ . Scrii diferența ca sumă: $f_{2} + (- f_{1}) = 700$ și $f_{2} \cdot (- f_{1}) = - 1440000$ . Ecuația $t^{2} - 700 t - 1440000 = 0$ are $Δ = 6250000 = 250 0^{2}$ , deci $t = \frac{700 \pm 2500}{2}$ , adică 1 600 și $- 900$ . Deci $f_{2} = 1600$ Hz și $f_{1} = 900$ Hz. Verificare: $1600 - 900 = 700$ și $900 \cdot 1600 = 30 \cdot 40 = 1200$ Hz.

8. Ar trebui $x + y = 34$ și $\frac{x y}{2} = 200$ , adică $x y = 400$ . Ecuația $t^{2} - 34 t + 400 = 0$ are $Δ = 1156 - 1600 = - 444 < 0$ , deci nu există astfel de parcelă. Produsul catetelor e cel mai mare când sunt egale, $17 \cdot 17 = 289$ , deci aria maximă este $\frac{289}{2} = 144, 5$ m². Verificare: $144, 5 < 200$ .

9. Desfaci: $(x + 14) (y + 14) = x y + 14 (x + y) + 196$ , deci $x y + 294 + 196 = 558$ și $x y = 68$ . Sistemul $x + y = 21$ , $x y = 68$ dă $t^{2} - 21 t + 68 = 0$ , cu $Δ = 441 - 272 = 169$ și $t = \frac{21 \pm 13}{2}$ , adică 4 și 17. Perechile sunt $(4; 17)$ și $(17; 4)$ . Verificare: $(4 + 14) (17 + 14) = 18 \cdot 31 = 558$ și $4 + 17 = 21$ .

10. Îl scrii ca sumă: $x + (- y) = 6$ și $x \cdot (- y) = - 91$ . Ecuația $t^{2} - 6 t - 91 = 0$ are $Δ = 36 + 364 = 400$ și $t = \frac{6 \pm 20}{2}$ , adică 13 și $- 7$ . Deci $x$ și $- y$ sunt 13 și $- 7$ , în orice ordine: $x = 13$ , $y = 7$ , sau $x = - 7$ , $y = - 13$ . Perechile sunt $(13; 7)$ și $(- 7; - 13)$ . Verificare: $13 - 7 = 6$ , $13 \cdot 7 = 91$ ; $- 7 - (- 13) = 6$ , $(- 7) (- 13) = 91$ .

11. Aduci la același numitor: $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x y} = \frac{s ^{2} - 2 p}{p}$ , deci $\frac{729 - 2 p}{p} = \frac{449}{140}$ , adică $102060 - 280 p = 449 p$ și $p = 140$ . Sistemul $x + y = 27$ , $x y = 140$ dă $t^{2} - 27 t + 140 = 0$ , cu $Δ = 729 - 560 = 169$ și $t = \frac{27 \pm 13}{2}$ , adică 7 și 20. Perechile sunt $(7; 20)$ și $(20; 7)$ . Verificare: $\frac{7}{20} + \frac{20}{7} = \frac{49 + 400}{140} = \frac{449}{140}$ .

12. a) $Δ = 256 - 4 p \geq 0$ dă $p \leq 64$ . b) La $p = 39$ : $Δ = 256 - 156 = 100 > 0$ , deci 2 perechi. La $p = 64$ : $Δ = 0$ , deci o pereche, $(8; 8)$ . La $p = 70$ : $Δ = 256 - 280 < 0$ , deci nicio pereche. c) Pentru $p = 39$ , $t^{2} - 16 t + 39 = 0$ are $t = \frac{16 \pm 10}{2}$ , adică 3 și 13, deci perechile $(3; 13)$ și $(13; 3)$ . Verificare: $3 + 13 = 16$ și $3 \cdot 13 = 39$ ; la $p = 64$ , $8 + 8 = 16$ și $8 \cdot 8 = 64$ .

Așa vine la Bac M3

Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) așază rezolvarea sistemelor de forma $x + y = s$ , $x y = p$ în clasa a IX-a, la capitolul despre funcția de gradul al II-lea, imediat după relațiile lui Viète. Din cele 1 494 de cerințe ale probelor oficiale 2013–2026, niciuna nu cere direct să rezolvi un sistem de ecuații. Tema e totuși în programa de examen și poate fi cerută. Ea a apărut într-o singură probă, ascunsă într-o cerință cu matrici, adică o noțiune din clasa a XI-a. Cerința reală:

August 2018, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: se dau o matrice de ordinul doi și matricele $M (a)$ , cu parametrul $a$ , iar cerința este perechea de numere reale $x$ și $y$ pentru care produsul $M (x) \cdot M (y)$ e egal cu matricea dată; baremul probei scrie sistemul $x y = 1$ și $x + y = 2$ (3 puncte), apoi $x = 1$ , $y = 1$ (2 puncte). Înmulțirea matricilor îți dă sistemul sumă–produs, iar de aici pașii 2–4 din Metodă conduc la soluție; în proba aceea $Δ = 0$ (pasul 3 din Metodă), deci $x = y$ .

În celelalte 82 de probe ideea nu a mai apărut. Pe lucrare scrie sistemul sumă–produs pe rânduri, apoi ecuația $t^{2} - s t + p = 0$ și, la sfârșit, perechile în ambele ordini, ca să nu rămână nicio soluție nescrisă. Exercițiile 9–11 din lecția aceasta au forma „Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care…”, cu condiții care duc tot la sumă și produs; matricile apar numai în exemplul 4, cu definiția înmulțirii scrisă în enunț.

Greșeli care costă puncte

Scrii ecuația $t^{2} + s t + p = 0$ , cu plus → cum o prinzi: pasul 5 din Metodă; numerele găsite trebuie să aibă suma $s$ , nu $- s$ .
Iei produsul egal cu aria când problema e despre un triunghi → cum o prinzi: verifici la sfârșit aria cu catetele găsite, ca la guseu.
Dai o singură pereche când sistemul are două → cum o prinzi: pasul 4 din Metodă; scrii și $(y; x)$ , în afară de cazul $Δ = 0$ .
Spui „fără soluții” înainte să calculezi corect $Δ$ → cum o prinzi: calculezi $s^{2}$ și $4 \cdot p$ separat și le compari, mai ales când sistemul vine din $x^{2} + y^{2}$ , unde uiți ușor dublul produsului.
Rezolvi un sistem cu matrici înmulțind intrare cu intrare → cum o prinzi: verifici că intrarea din dreapta sus depinde de ambele necunoscute, ca la exemplul 4.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: rezolvarea sistemelor de ecuații în care se cunosc suma și produsul a două numere face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut într-o singură probă, la Subiectul al II-lea. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Se pot programa 95 de probe cu cele 19 șarje ale lunii? Nu. Cu suma 19, produsul nu poate depăși $\frac{1 9 ^{2}}{4} = \frac{361}{4}$ , adică 90 și un sfert. La $s = 19$ și $p = 95$ , discriminantul este $Δ = 361 - 380 = - 19 < 0$ , deci sistemul nu are soluții reale. Cu 19 șarje ies cel mult 90 de probe, cu 9 aluaturi și 10 creme, sau invers.

Contează care număr e al aluaturilor și care al cremelor? Pentru sistem, nu: dacă $(6; 13)$ e soluție, și $(13; 6)$ e. La laborator, ambele variante folosesc 19 șarje și dau 78 de probe. Alegerea o face tehnologa, după ce vrea să compare: dacă gama nouă se deosebește mai ales prin umplutură, ia 13 creme și 6 aluaturi.

Ce se schimbă dacă bugetul permite 20 de șarje și panelul are 91 de probe? Ecuația devine $t^{2} - 20 t + 91 = 0$ , cu $Δ = 400 - 364 = 36$ și $t = \frac{20 \pm 6}{2}$ . Laboratorul pregătește deci 7 aluaturi și 13 creme, sau 13 aluaturi și 7 creme. Perechea verifică suma 20 și produsul 91; pașii sunt aceiași ca la 19 șarje și 78 de probe, doar numerele se schimbă.

Cum găsesc 6 și 13 fără ecuația de gradul II? Cauți divizorii produsului: 78 se scrie ca 1 · 78, 2 · 39, 3 · 26 sau 6 · 13, cu sumele 79, 41, 29 și 19. Doar ultima pereche are suma 19. Metoda merge repede la numere întregi mici, dar nu și când soluțiile sunt iraționale sau fracționare.

Cum a apărut sistemul sumă–produs la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? Din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, într-una singură: la o cerință cu matrici de ordinul doi, unde egalitatea a două matrici dă suma și produsul lui $x$ și $y$ . Nicio cerință nu cere direct rezolvarea unui sistem, dar tema e în programa de examen, deci poate fi cerută.