Eroarea unui senzor de temperatură dintr-un pasteurizator este dată de polinomul $$f = 3X^4 - 2X^2 + 5X - 7$$ și se corectează împărțind $$f$$ la $$X + 2$$ cu tabelul lui Horner. Care este rândul de coeficienți din tabel și ce valoare are $$a$$?

rândul $$3,\ 0,\ -2,\ 5,\ -7$$ și $$a = -2$$

rândul $$3,\ -2,\ 5,\ -7$$ și $$a = -2$$

rândul $$3,\ 0,\ -2,\ 5,\ -7$$ și $$a = 2$$

rândul $$3,\ -2,\ 5,\ -7$$ și $$a = 2$$

Eroarea unui senzor de presiune de pe un tractor se modelează cu polinomul $$f = 2X^4 - 5X^3 - 8X^2 + 19X - 3$$. La împărțirea lui $$f$$ la $$X - 3$$ cu tabelul lui Horner, care sunt câtul $$q$$ și restul $$r$$?

$$q = 2X^3 + X^2 - 5X + 4$$, $$r = 9$$

$$q = 2X^3 - 11X^2 + 25X - 56$$, $$r = 165$$

$$q = 2X^4 + X^3 - 5X^2 + 4X + 9$$, $$r = 0$$

$$q = 9X^3 + 4X^2 - 5X + 1$$, $$r = 2$$

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Horner: cât, rest, valoarea în a

Ce reprezintă câtul din tabelul lui Horner?

Câtul $q$ din relația $f = (X - a) q + f (a)$ dă ritmul mediu al mărimii $f$ între momentele $a$ și $t$ : $q (t) = \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}$ . Exemplu: $f = X^{3} - 6 X^{2} + 17 X$ și $a = 2$ dau rândul de jos $1; - 4; 9; 18$ , deci câtul este $q = X^{2} - 4 X + 9$ , iar restul este valoarea $f (2) = 18$ . Verificare între $2$ și $5$ : $q (5) = 14 = \frac{f ( 5 ) - f ( 2 )}{3}$ , cu $f (5) = 60$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Împărțirea cu rest a lui $f$ la $g$ dă un cât $q$ și un rest $r$ cu $f = g \cdot q + r$ , unde $r$ are gradul mai mic decât $g$ . Dacă împărțitorul este $X - a$ , restul este un număr, anume $f (a)$ , iar împărțirea se face rapid cu tabelul lui Horner.

Pe primul rând treci coeficienții polinomului în ordinea descrescătoare a puterilor, până la termenul liber, cu $0$ în dreptul fiecărei puteri lipsă; numărul $a$ are semnul schimbat față de binom, deci la $X + 3$ iei $a = - 3$ . Primul coeficient coboară; începând cu al doilea, fiecare număr de jos se obține adunând coeficientul de deasupra cu produsul dintre $a$ și numărul de jos aflat imediat în stânga lui. Ultimul număr este restul; celelalte sunt coeficienții câtului.

Câtul are și un înțeles: $q (t)$ este ritmul mediu al mărimii $f$ între $a$ și $t$ . Un rest nul arată că $a$ este rădăcină. La un împărțitor de gradul $2$ împarți în coloană, pas cu pas, până când restul are gradul $1$ sau $0$ ; dacă împărțitorul are rădăcinile $a$ și $b$ , restul trece prin punctele $(a; f (a))$ și $(b; f (b))$ .

Capcanele sunt puterea lipsă uitată, semnul lui $a$ și scăderea făcută fără schimbarea semnelor. Verifici calculând $f (a)$ direct sau înmulțind înapoi $g \cdot q + r$ .

De reținut

$f = (X - a) q + f (a)$ : restul este valoarea lui $f$ în $a$
$q (t)$ este ritmul mediu al lui $f$ între $a$ și $t$
la binomul $X + k$ se ia $a = - k$

Greșeala tipică

Se ia $a = 4$ pentru împărțitorul $X + 4$ : restul iese $f (4)$ în loc de $f (- 4)$ . La $f = X^{3} + 5 X - 7$ ar fi $77$ în loc de $- 91$ .

Exerciții din această mini-lecție

Eroarea unui senzor de temperatură dintr-un pasteurizator este dată de polinomul $f = 3 X^{4} - 2 X^{2} + 5 X - 7$ și se corectează împărțind $f$ la $X + 2$ cu tabelul lui Horner. Care este rândul de coeficienți din tabel și ce valoare are $a$ ?
- a) rândul $3, - 2, 5, - 7$ și $a = - 2$
- b) rândul $3, 0, - 2, 5, - 7$ și $a = - 2$
- c) rândul $3, 0, - 2, 5, - 7$ și $a = 2$
- d) rândul $3, - 2, 5, - 7$ și $a = 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) rândul $3, 0, - 2, 5, - 7$ și $a = - 2$

Gradul $4$ cere $5$ coeficienți, iar puterea $X^{3}$ lipsește, deci rândul este $3, 0, - 2, 5, - 7$ . Binomul $X + 2 = X - (- 2)$ cere $a = - 2$ . Varianta cu $a = 2$ calculează $f (2)$ , nu $f (- 2)$ ; variantele cu patru numere au uitat zeroul puterii lipsă, iar tabelul ar ieși cu un număr mai puțin.
Eroarea unui senzor de presiune de pe un tractor se modelează cu polinomul $f = 2 X^{4} - 5 X^{3} - 8 X^{2} + 19 X - 3$ . La împărțirea lui $f$ la $X - 3$ cu tabelul lui Horner, care sunt câtul $q$ și restul $r$ ?
- a) $q = 2 X^{3} - 11 X^{2} + 25 X - 56$ , $r = 165$
- b) $q = 2 X^{4} + X^{3} - 5 X^{2} + 4 X + 9$ , $r = 0$
- c) $q = 9 X^{3} + 4 X^{2} - 5 X + 1$ , $r = 2$
- d) $q = 2 X^{3} + X^{2} - 5 X + 4$ , $r = 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $q = 2 X^{3} + X^{2} - 5 X + 4$ , $r = 9$

Cu $a = 3$ rândul de jos este $2; 1; - 5; 4; 9$ : ultimul număr, $9$ , este restul $f (3)$ , iar primele patru sunt coeficienții câtului, de gradul $3$ . Prima variantă folosește $a = - 3$ ; a doua citește tot rândul drept cât, ca și cum restul ar fi zero; a treia citește rândul de la dreapta la stânga.
Senzorul de temperatură al lichidului de răcire dintr-un motor are eroarea $f (x)$ , în mV, la temperatura de $x$ °C. La pornirea pe ger se știe că $f (- 5) = 22$ și $f (- 9) = 50$ . Care este restul împărțirii lui $f$ la $(X + 5) (X + 9)$ ?
- a) $- 7 X - 13$
- b) $7 X - 13$
- c) $- 7 X + 22$
- d) $72$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 7 X - 13$

Restul are gradul cel mult $1$ și ia în $- 5$ și în $- 9$ valorile $22$ și $50$ . Panta este $\frac{50 - 22}{- 9 - ( - 5 )} = - 7$ , iar $r (x) = 22 - 7 (x + 5) = - 7 x - 13$ ; într-adevăr $r (- 9) = 63 - 13 = 50$ . Varianta $7 X - 13$ corespunde unui împărțitor cu semnele rădăcinilor schimbate; $- 7 X + 22$ pune în loc de termen liber valoarea $f (- 5)$ ; $72$ este suma $22 + 50$ , care nu respectă ambele valori.

Întrebări conexe

Cum aflu ritmul mediu dintre două momente cu câtul?

Faci tabelul o singură dată, pentru momentul de referință $a$ , apoi evaluezi câtul în celălalt moment. Pentru $f = X^{3} - 6 X^{2} + 19 X$ și $a = 1$ rândul este $1; - 5; 14; 14$ , deci câtul are coeficienții $1; - 5; 14$ , iar între orele $1$ și $4$ ritmul mediu este $q (4) = 16 - 20 + 14 = 10$ .

Cum controlez un tabel fără să-l refac?

Calculezi $f (a)$ direct, fără tabel, și compari: trebuie să iasă exact ultimul număr din rândul de jos, fiindcă acesta este restul. Pentru $f = 2 X^{3} + X^{2} - 9 X + 4$ și $a = - 2$ tabelul dă $2; - 3; - 3; 10$ , iar direct $f (- 2) = - 16 + 4 + 18 + 4 = 10$ .

Ce se schimbă dacă aleg alt punct de referință?

Se schimbă și câtul, și restul, iar restul devine valoarea lui $f$ în noul punct. Pentru $f = X^{3} - 8 X^{2} + 23 X$ , rândul de jos este $1; - 6; 11; 22$ cu $a = 2$ și $1; - 4; 7; 28$ cu $a = 4$ : câturile diferă, iar resturile sunt $f (2)$ și $f (4)$ .

Cum aflu momentul în care valoarea atinge un prag?

Scazi pragul din termenul liber și cauți un $a$ cu rest $0$ . Pentru $f = X^{3} - 8 X^{2} + 25 X - 8$ și pragul $18$ , polinomul $X^{3} - 8 X^{2} + 25 X - 26$ are la $a = 2$ rândul $1; - 6; 13; 0$ , deci $f (2) = 18$ , iar ceilalți coeficienți ai câtului, $1; - 6; 13$ , dau un trinom cu discriminantul $36 - 52 = - 16$ , fără rădăcini reale.

Cum apare împărțirea polinoamelor în probele oficiale?

Împărțirea polinoamelor a apărut în 16 probe M_tehnologic din 2013–2026, la problema 2 din Subiectul al II-lea. La un împărțitor $X - a$ scrii pe rânduri separate rândul de sus, rândul de jos, apoi câtul și restul.

Oamenii mai întreabă și: ce înseamnă câtul la împărțirea cu X minus a · ritmul mediu din câtul lui Horner · câtul ca variație medie între două momente · ultimul număr din tabelul lui Horner și câtul