Bac tehnologic: tabelul lui Horner pas cu pas

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Axul unui centru de prelucrare se lungește pe măsură ce se încălzește, iar mecanicul vrea să știe cât și când. Răspunsul vine dintr-o împărțire de polinoame: restul spune alungirea la un moment dat, iar câtul spune cum crește ea între două momente. Elevii de clasa a XII-a de pe filiera tehnologică învață aici împărțirea la un binom, cu tabelul lui Horner, și la un trinom, în coloană. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), împărțirea polinoamelor a venit în 16 dintre cele 83 de probe din 2013–2026, la Subiectul al II-lea, problema 2.

Situația de pornire

Într-un atelier mecanic, un centru de prelucrare vertical pornește dimineața la rece. Cât frezează piese, axul principal se încălzește și se lungește, iar vârful sculei coboară sub cota din program. Mecanicul de întreținere a măsurat alungirea cu un palpator, la fiecare oră întreagă de la pornire, și a trecut-o în fișa mașinii. Fișa dă și polinomul după care controlerul calculează alungirea la orice moment dintre orele 0 și 4: unul de gradul al treilea, ales să treacă prin cele cinci citiri (model din exemplu). Mecanicul vrea să regleze corecția după ritmul în care crește alungirea și după momentul în care ea atinge un prag.

Timpul de la pornire	Alungirea axului
0 h	0 μm
1 h	26 μm
2 h	40 μm
3 h	48 μm
4 h	56 μm

Întrebare: ce ritm mediu de alungire, în μm pe oră, are axul între ora 1 și ora 3 și atinge el valoarea de 48 μm o singură dată în cele 4 ore?

De la situație la model

Polinomul din fișă este $d = X^{3} - 9 X^{2} + 34 X$ , cu $X$ în locul orei, iar $d (t)$ e alungirea în μm la ora $t$ . Ca să afli ritmul și momentul cerute, împarți polinoame. Gândește-te mai întâi la numere: $47 = 9 \cdot 5 + 2$ , cu restul 2 mai mic decât 9. La polinoame, „mai mic” înseamnă „de grad mai mic”.

În situație	În matematică
alungirea axului la ora $t$ , în μm	valoarea $d (t)$ a polinomului $d$
ora de referință $a$ , aleasă de mecanic	numărul $a$ din împărțitorul $X - a$
alungirea la ora $a$	restul împărțirii lui $d$ la $X - a$
ritmul mediu de alungire între ora $a$ și ora $t$ , în μm pe oră	valoarea câtului $q$ în $t$ , din $d = (X - a) q + d (a)$
momentul în care alungirea atinge pragul $D$	rădăcina polinomului $d - D$ : împărțire exactă la $X - a$

Teorema împărțirii cu rest spune că, pentru polinoame $f$ și $g \neq = 0$ cu coeficienți reali, există și sunt unice polinoamele $q$ și $r$ pentru care $f = g \cdot q + r$ , iar $r$ e nul sau are gradul mai mic decât al lui $g$ . Câtul este polinomul $q$ , iar restul este polinomul $r$ . Când $r = 0$ , împărțirea e exactă, iar $f$ e divizibil cu $g$ . Coeficienții pot fi și clase de resturi modulo un număr prim (vezi corpurile ℤₚ); la exercițiul 12 tabelul se completează modulo 13.

Cum se completează tabelul lui Horner?

La un împărțitor $X - a$ restul e un număr, iar tabelul lui Horner dă câtul și restul fără împărțire în coloană. Scrii coeficienții lui $f$ pe un rând, de la gradul cel mai mare la termenul liber, cu 0 la puterile care lipsesc. Dedesubt, rândul de jos începe cu primul coeficient; fiecare număr nou e coeficientul de deasupra plus produsul dintre $a$ și numărul din stânga. Pentru $d$ și $a = 1$ :

	$1$	$- 9$	$34$	$0$
$a = 1$	$1$	$- 8$	$26$	$26$

Ultimul număr e restul, iar celelalte sunt coeficienții câtului, cu un grad mai mic: $d = (X - 1) (X^{2} - 8 X + 26) + 26$ .

Ce înseamnă restul, și ce înseamnă câtul?

Teorema restului: restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ , deoarece în $f = (X - a) q + r$ , la $X = a$ primul termen dispare. De aceea ultimul număr din tabel e valoarea polinomului în $a$ , adică alungirea de 26 μm la ora 1. Câtul are un înțeles propriu: pentru $t \neq = a$ , $q (t) = \frac{d ( t ) - d ( a )}{t - a}$ , deci $q (t)$ e ritmul mediu de alungire între orele $a$ și $t$ . Un rest nul înseamnă că $a$ e rădăcină: $f (a) = 0$ .

Cum împarți la un polinom de gradul al doilea?

Tabelul lui Horner nu merge direct. Împarți în coloană, ca la numere: împarți termenul de gradul cel mai mare al deîmpărțitului la cel al împărțitorului, înmulțești rezultatul cu împărțitorul, scazi, și repeți cu ce a rămas, până când restul are gradul mai mic decât al împărțitorului. Restul poate avea gradul 1 sau 0. Dacă împărțitorul are rădăcinile distincte $a$ și $b$ , restul trece prin punctele $(a; f (a))$ și $(b; f (b))$ : e dreapta pe care o duci între două citiri. La $d$ și orele 1 și 3, restul e dreapta prin $(1; 26)$ și $(3; 48)$ , adică $11 X + 15$ : la 1 dă 26, la 3 dă 48, valorile din tabel.

Metoda pas cu pas

Scrie toți coeficienții lui $f$ , de la cel mai mare grad la termenul liber, cu 0 la fiecare putere care lipsește, și citește gradul împărțitorului $g$ . Numără-i: un polinom de gradul $n$ are $n + 1$ coeficienți.
Dacă împărțitorul e $X - a$ , completează tabelul lui Horner: $a$ are semnul schimbat față de ce vezi în împărțitor, deci la $X + 3$ iei $a = - 3$ . Rândul de jos se completează de la stânga la dreapta: coboară primul coeficient, apoi aduni fiecare coeficient cu produsul dintre $a$ și numărul din stânga. Ultimul număr din rândul de jos e restul, iar celelalte sunt coeficienții câtului, cu un grad mai mic decât al lui $f$ .
Dacă împărțitorul are gradul 2, împarte în coloană: împarți termenii dominanți, înmulțești câtul parțial cu împărțitorul, scazi, repeți până când restul are gradul mai mic decât împărțitorul.
Scrie rezultatul sub forma $f = g \cdot q + r$ . La $X - a$ , restul e $f (a)$ ; restul 0 înseamnă că $f$ se împarte exact la $g$ .
Când enunțul dă o condiție (polinomul se divide cu $X - a$ , resturile sunt egale), pune-o ca ecuație: $f (a) = 0$ , respectiv egalitatea valorilor, rezolvă ecuația în parametru și scrie polinomul cu valoarea găsită.
Verifică pe alt drum: calculezi $f (a)$ direct, fără tabel, sau înmulțești înapoi $g \cdot q + r$ , și refaci tabelul dacă diferă; la un împărțitor cu rădăcinile $a$ și $b$ , restul trebuie să ia în ele valorile $f (a)$ și $f (b)$ .

Ce știi despre un polinom și despre valorile lui, din lecția despre forma algebrică a polinoamelor, te ajută la pasul 6. Alte lecții ale clasei: Bézout și divizibilitatea, iar restul lecțiilor sunt în traseul clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$f = g \cdot q + r, grad r < grad g$

$f = (X - a) q + f (a), b_{0} = a_{n}, b_{k} = a_{n - k} + a b_{k - 1}$

Prima relație se aplică oricărui împărțitor nenul. A doua cere împărțitorul $X - a$ , iar numerele $b_{k}$ sunt cele din rândul de jos: primele sunt coeficienții câtului, ultimul e $f (a)$ . Verificare rapidă: ultimul număr din tabel e valoarea polinomului în $a$ , pe care o poți calcula direct.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Alungirea axului

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reia axul din situația de pornire: alungirea în μm la ora $t$ este $d (t)$ , cu $d = X^{3} - 9 X^{2} + 34 X$ . a) Împarte $d$ la $X - 1$ cu tabelul lui Horner. b) Ce ritm mediu de alungire are axul între ora 1 și ora 3? c) Atinge axul valoarea de 48 μm o singură dată între orele 0 și 4?

Rezolvare. a) Pasul 1: coeficienții sunt $1, - 9, 34$ și $0$ , fiindcă termenul liber lipsește. Pasul 2, cu $a = 1$ :

	$1$	$- 9$	$34$	$0$
$a = 1$	$1$	$- 8$	$26$	$26$

Câtul e $q = X^{2} - 8 X + 26$ , iar restul, 26, e alungirea la ora 1. b) Ritmul mediu e $q (3) = 9 - 24 + 26 = 11$ μm pe oră. c) Pasul 5: alungirea e de 48 μm când $d (t) - 48 = 0$ . Tabelul pentru $X^{3} - 9 X^{2} + 34 X - 48$ cu $a = 3$ dă rândul de jos $1; - 6; 16; 0$ , deci restul e 0 și $d - 48 = (X - 3) (X^{2} - 6 X + 16)$ . Trinomul $X^{2} - 6 X + 16$ are discriminantul $36 - 64 = - 28$ , negativ, deci nu mai are rădăcini reale. Axul atinge 48 μm o singură dată, la ora 3.

Capcană. Cine uită termenul liber și scrie doar $1, - 9, 34$ obține rândul $1; - 8; 26$ , deci câtul $X - 8$ și restul 26. Restul iese la fel, dar câtul e greșit: $q (3) = - 5$ ar însemna că axul se scurtează cu 5 μm pe oră, fals pentru un ax care se lungește.

Verificare. Tabelul măsurătorilor dă pe alt drum $d (1) = 26$ și $d (3) = 48$ , deci ritmul mediu e $\frac{48 - 26}{3 - 1} = 11$ μm pe oră. Înmulțit înapoi: $(X - 1) (X^{2} - 8 X + 26) + 26 = X^{3} - 9 X^{2} + 34 X$ .

Exemplul 2 — Sonda de temperatură a unui automat

Domeniu: electric.

Enunț. Un automat programabil citește tensiunea $x$ , în volți, de la o sondă de temperatură și o transformă în zecimi de grad Celsius cu polinomul $T = X^{3} + 3 X^{2} + 40 X + 120$ , valabil pentru $- 5 \leq x \leq 5$ (model din exemplu). a) Ce temperatură arată sonda la $- 4$ V? b) Ce tensiune corespunde la 0 °C?

Rezolvare. a) Împărțitorul e $X + 4 = X - (- 4)$ , deci $a = - 4$ (pasul 2). Coeficienții sunt $1, 3, 40, 120$ :

	$1$	$3$	$40$	$120$
$a = - 4$	$1$	$- 1$	$44$	$- 56$

Restul, $- 56$ , e $T (- 4)$ : sonda arată $- 56$ zecimi de grad, adică $- 5, 6$ °C. b) Pasul 5: 0 °C înseamnă $T (x) = 0$ . Cu $a = - 3$ , tabelul dă rândul $1; 0; 40; 0$ , deci $T = (X + 3) (X^{2} + 40)$ . Factorul $X^{2} + 40$ e pozitiv pentru orice $x$ , așa că singura rădăcină e $x = - 3$ : 0 °C corespunde la $- 3$ V.

Capcană. Cine ia $a = 4$ pentru împărțitorul $X + 4$ obține restul $T (4) = 392$ , adică 39,2 °C, în loc de $- 5, 6$ °C. La $X + 4$ , numărul din tabel e $- 4$ : $X + 4 = X - (- 4)$ .

Verificare. Direct, $T (- 4) = - 64 + 48 - 160 + 120 = - 56$ . Pentru $x = - 3$ , $T = - 27 + 27 - 120 + 120 = 0$ .

Exemplul 3 — Calibrarea unui pH-metru în două puncte

Domeniu: chimie.

Enunț. Un laborator verifică un pH-metru pentru ape alcaline, cu soluții tampon de pH 8 și de pH 10. Eroarea electrodului, în mV, la pH-ul $x$ , pentru $6 \leq x \leq 11$ , este $e = X^{3} - 25 X^{2} + 202 X - 525$ (model din exemplu). Calibrarea în două puncte scade din citire dreapta care trece prin erorile de la pH 8 și de la pH 10. a) Împarte $e$ la $X^{2} - 18 X + 80$ . b) Verifică dacă restul ia valorile $e (8)$ și $e (10)$ . c) Ce eroare mai rămâne după calibrare la pH 9, în mV și în unități de pH, cu 59 mV pe unitate de pH, rotunjit la sutimi?

Rezolvare. a) Pasul 3, în coloană: $X^{3} : X^{2} = X$ și $X (X^{2} - 18 X + 80) = X^{3} - 18 X^{2} + 80 X$ ; după scădere rămâne $- 7 X^{2} + 122 X - 525$ . Apoi $- 7 X^{2} : X^{2} = - 7$ și $- 7 (X^{2} - 18 X + 80) = - 7 X^{2} + 126 X - 560$ ; după scădere rămâne $- 4 X + 35$ , de gradul 1, mai mic decât 2. Câtul e $q = X - 7$ , iar restul $r = - 4 X + 35$ . b) $e (8) = 512 - 1600 + 1616 - 525 = 3$ și $r (8) = 3$ ; $e (10) = 1000 - 2500 + 2020 - 525 = - 5$ și $r (10) = - 5$ . c) După calibrare rămâne $e - r = (X - 8) (X - 10) q$ ; la pH 9 e $(1) (- 1) (2) = - 2$ mV, adică $- 2 : 59 \approx - 0, 03$ unități de pH, o eroare de ordinul sutimilor de pH, cum se cere la un pH-metru de laborator.

Capcană. Cine adună în loc să scadă $- 18 X^{2}$ din $- 25 X^{2}$ obține $- 43 X^{2}$ și, mai departe, câtul $X - 43$ și restul $- 652 X + 2915$ . Restul ar da $r (8) = - 2301$ , nu 3: verificarea de la punctul b) arată greșeala.

Verificare. Pe alt drum, dreapta prin $(8; 3)$ și $(10; - 5)$ are panta $\frac{- 5 - 3}{10 - 8} = - 4$ și ecuația $y = - 4 x + 35$ , adică exact restul. Eroarea la pH 9 e $e (9) - r (9) = - 3 - (- 1) = - 2$ mV.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: un parametru și un rest

Domeniu: economic.

Enunț. Fără poveste: un calcul de forma celor de la Subiectul al II-lea, problema 2, cu un polinom care nu descrie vreo sumă de bani. Fie polinomul $f = X^{3} - 6 X^{2} + m X - 10$ , cu $m$ număr real, divizibil cu $X - 5$ . a) Arătați că $m = 7$ . b) Calculați câtul și restul împărțirii lui $f$ la $X^{2} + 4 X + 11$ .

Rezolvare. a) Pasul 5: $f$ se împarte exact la $X - 5$ , deci $f (5) = 0$ . Dar $f (5) = 125 - 150 + 5 m - 10 = 5 m - 35$ , de unde $m = 7$ . b) Pentru $m = 7$ , $f = X^{3} - 6 X^{2} + 7 X - 10$ . Pasul 3: $X^{3} : X^{2} = X$ și $X (X^{2} + 4 X + 11) = X^{3} + 4 X^{2} + 11 X$ ; rămâne $- 10 X^{2} - 4 X - 10$ . Apoi $- 10 X^{2} : X^{2} = - 10$ și $- 10 (X^{2} + 4 X + 11) = - 10 X^{2} - 40 X - 110$ ; rămâne $36 X + 100$ . Câtul e $X - 10$ , iar restul $36 X + 100$ .

Capcană. Cine scrie $f (- 5) = 0$ pentru împărțitorul $X - 5$ obține $- 285 - 5 m = 0$ , adică $m = - 57$ . Împărțitorul $X - 5$ cere $a = 5$ .

Verificare. Cu $m = 7$ , tabelul pentru $a = 5$ dă $1; - 1; 2; 0$ , deci $f = (X - 5) (X^{2} - X + 2)$ . Valorile în 1 confirmă împărțirea: $f (1) = - 8$ , iar $(1 + 4 + 11) (1 - 10) + (36 + 100) = 16 \cdot (- 9) + 136 = - 8$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Împarte $f = 2 X^{3} - 5 X^{2} + 7 X - 9$ la $X - 4$ cu tabelul lui Horner și scrie câtul și restul.

2. Împarte $f = X^{4} - 7 X^{2} + 2 X + 11$ la $X + 3$ cu tabelul lui Horner. Ai grijă la puterea care lipsește și la semnul lui $a$ .

3. Împarte în coloană $f = 2 X^{3} + 3 X^{2} - 5 X + 8$ la $X^{2} - 5 X + 12$ și scrie câtul și restul.

4. Fără să împarți, află restul împărțirii lui $f = X^{3} - 8 X + 5$ la $X - 6$ și la $X + 2$ .

Nivelul 2 — situații

5. Turometrul unui autoturism are, la $x$ mii de rotații pe minut, eroarea de citire $e = 2 X^{3} - 7 X^{2} + 9 X - 4$ , în rotații pe minut. Calculează cu tabelul lui Horner eroarea la 2,5 mii de rotații pe minut și spune ce înseamnă ultimul număr din tabel.

6. Un cântar de platformă pentru animale a fost reglat la trei mase de referință, dintre care una de 50 kg. Eroarea lui, în grame, la masa de $x$ zeci de kg, este $e = X^{3} - 16 X^{2} + 73 X - 90$ . Arată cu tabelul lui Horner că 5 este rădăcină, scrie câtul și află celelalte două mase de referință, în kg.

7. Într-un depozit frigorific pentru mere, un termometru electronic are corecția $c = X^{4} - 5 X^{2} + 3 X + 8$ , în zecimi de grad, la temperatura citită de $x$ °C, pentru $- 2 \leq x \leq 2$ (model din exercițiu). Calculează cu tabelul lui Horner corecția la $- 1$ °C și scrie câtul.

8. Într-o hală de producție, senzorul de CO₂ care comandă ventilația are eroarea $e = X^{3} - 28 X^{2} + 257 X - 759$ , în ppm, la concentrația de $x$ sute de ppm. A fost calibrat în două puncte, la 700 ppm și la 1200 ppm, adică la $x = 7$ și la $x = 12$ . Fără să împarți, scrie restul împărțirii lui $e$ la $X^{2} - 19 X + 84$ din valorile $e (7)$ și $e (12)$ , apoi verifică prin împărțire în coloană.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie polinomul $f = X^{3} - 7 X^{2} + 20 X - 32$ . Determinați câtul și restul împărțirii lui $f$ la $X - 4$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie polinomul $f = X^{3} + 2 X^{2} - 5 X + 7$ . Calculați câtul și restul împărțirii lui $f$ la polinomul $X^{2} + 5 X + 11$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie polinoamele $g = X - 2$ , $h = X + 4$ și $f = X^{3} - 5 X^{2} + a X + 4$ , cu $a$ număr real. Aflați valoarea lui $a$ pentru care restul împărțirii lui $f$ la $g$ e egal cu restul împărțirii lui $g$ la $h$ .

12. (Sinteză.) În $Z_{13} [X]$ se consideră polinomul $f = \hat{7} X^{3} + \hat{3} X^{2} + \hat{10} X + \hat{9}$ . Împarte $f$ la $X - \hat{4}$ cu tabelul lui Horner, calculând modulo 13, și verifică restul prin $f (\hat{4})$ .

Răspunsuri și verificări

1. Coeficienții sunt $2, - 5, 7, - 9$ , iar $a = 4$ . Rândul de jos e $2; 3; 19; 67$ , deci $q = 2 X^{2} + 3 X + 19$ și $r = 67$ . Verificare: direct, $f (4) = 128 - 80 + 28 - 9 = 67$ .

2. Coeficienții sunt $1, 0, - 7, 2, 11$ , iar $a = - 3$ . Rândul de jos e $1; - 3; 2; - 4; 23$ , deci $q = X^{3} - 3 X^{2} + 2 X - 4$ și $r = 23$ . Verificare: direct, $f (- 3) = 81 - 63 - 6 + 11 = 23$ .

3. Primul termen al câtului e $2 X^{3} : X^{2} = 2 X$ , iar $2 X (X^{2} - 5 X + 12) = 2 X^{3} - 10 X^{2} + 24 X$ ; rămâne $13 X^{2} - 29 X + 8$ . Al doilea e $13 X^{2} : X^{2} = 13$ , iar $13 (X^{2} - 5 X + 12) = 13 X^{2} - 65 X + 156$ ; rămâne $36 X - 148$ . Deci $q = 2 X + 13$ și $r = 36 X - 148$ . Verificare: $(X^{2} - 5 X + 12) (2 X + 13) = 2 X^{3} + 3 X^{2} - 41 X + 156$ , iar adăugând restul obții $2 X^{3} + 3 X^{2} - 5 X + 8$ .

4. Restul la $X - 6$ e $f (6) = 216 - 48 + 5 = 173$ . La $X + 2 = X - (- 2)$ e $f (- 2) = - 8 + 16 + 5 = 13$ . Verificare: tabelul cu $a = 6$ dă rândul $1; 6; 28; 173$ , același rest.

5. Rândul de jos, cu $a = 2, 5$ , e $2; - 2; 4; 6$ . Ultimul număr, 6, e restul: eroarea $e (2, 5)$ de 6 rotații pe minut; celelalte sunt coeficienții câtului $2 X^{2} - 2 X + 4$ . Verificare: direct, $2 \cdot 15, 625 - 7 \cdot 6, 25 + 9 \cdot 2, 5 - 4 = 31, 25 - 43, 75 + 22, 5 - 4 = 6$ .

6. Cu $a = 5$ , rândul de jos e $1; - 11; 18; 0$ : restul 0, deci 5 e rădăcină, adică 50 kg. Câtul $X^{2} - 11 X + 18 = (X - 2) (X - 9)$ are rădăcinile 2 și 9, deci celelalte mase de referință sunt de 20 kg și de 90 kg. Verificare: $e (2) = 8 - 64 + 146 - 90 = 0$ și $e (9) = 729 - 1296 + 657 - 90 = 0$ .

7. Coeficienții sunt $1, 0, - 5, 3, 8$ , iar $a = - 1$ . Rândul de jos e $1; - 1; - 4; 7; 1$ , deci corecția e de 1 zecime de grad, adică 0,1 °C, iar $q = X^{3} - X^{2} - 4 X + 7$ . Verificare: direct, $c (- 1) = 1 - 5 - 3 + 8 = 1$ .

8. $e (7) = 343 - 1372 + 1799 - 759 = 11$ și $e (12) = 1728 - 4032 + 3084 - 759 = 21$ . Dreapta prin $(7; 11)$ și $(12; 21)$ are panta $\frac{21 - 11}{12 - 7} = 2$ , deci restul e $2 X - 3$ . În coloană, după primul termen, $X$ , rămâne $- 9 X^{2} + 173 X - 759$ , apoi termenul $- 9$ lasă restul $2 X - 3$ , iar câtul e $X - 9$ . Verificare: $2 \cdot 7 - 3 = 11$ și $2 \cdot 12 - 3 = 21$ , valorile $e (7)$ și $e (12)$ .

9. Coeficienții sunt $1, - 7, 20, - 32$ , iar $a = 4$ . Rândul de jos al tabelului e $1; - 3; 8; 0$ . Deci $q = X^{2} - 3 X + 8$ și $r = 0$ : împărțirea e exactă. Verificare: $f (4) = 64 - 112 + 80 - 32 = 0$ .

10. Primul termen e $X^{3} : X^{2} = X$ , iar $X (X^{2} + 5 X + 11) = X^{3} + 5 X^{2} + 11 X$ ; rămâne $- 3 X^{2} - 16 X + 7$ . Al doilea e $- 3 X^{2} : X^{2} = - 3$ , iar $- 3 (X^{2} + 5 X + 11) = - 3 X^{2} - 15 X - 33$ ; rămâne $- X + 40$ . Câtul e $X - 3$ , iar restul $- X + 40$ , de gradul 1, mai mic decât 2. Verificare: $(X^{2} + 5 X + 11) (X - 3) - X + 40 = X^{3} + 2 X^{2} - 5 X + 7$ .

11. Restul împărțirii lui $f$ la $g = X - 2$ e $f (2) = 8 - 20 + 2 a + 4 = 2 a - 8$ . Restul împărțirii lui $g$ la $h = X + 4 = X - (- 4)$ e $g (- 4) = - 6$ . Egalitatea $2 a - 8 = - 6$ dă $a = 1$ . Verificare: pentru $a = 1$ , $f (2) = 8 - 20 + 2 + 4 = - 6$ .

12. Coeficienții sunt $7, 3, 10, 9$ , iar $a = 4$ . Rândul de jos: $7$ ; $3 + 4 \cdot 7 = 31 \equiv 5$ ; $10 + 4 \cdot 5 = 30 \equiv 4$ ; $9 + 4 \cdot 4 = 25 \equiv 12$ . Deci $q = \hat{7} X^{2} + \hat{5} X + \hat{4}$ și $r = \hat{12}$ . Verificare: $f (\hat{4}) = 7 \cdot 64 + 3 \cdot 16 + 10 \cdot 4 + 9 = 545$ , iar $545 = 13 \cdot 41 + 12$ , deci $\hat{12}$ .

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), între 2013 și 2026, împărțirea polinoamelor a apărut la Subiectul al II-lea, problema 2, în 16 probe din cele 83 date. În 13 dintre ele, punctul b) a cerut câtul și restul împărțirii polinomului din enunț; în celelalte 3, punctul c) a folosit restul sau câtul într-o condiție. Formele în care a venit se văd în patru cerințe reale, din probe diferite:

August 2014, Subiectul al II-lea, exercițiul 2b: polinomul de gradul al treilea se împarte la un binom de gradul întâi cu rădăcina 1, iar cerința e câtul și restul, deci pasul 2 din Metodă dă ambele din tabelul lui Horner, iar punctajul probei e de 3 puncte pentru cât și de 2 puncte pentru rest.
Modelul din 2016, Subiectul al II-lea, exercițiul 2b: împărțitorul e un trinom de gradul al doilea cu două rădăcini întregi negative, deci pasul 3 cere împărțirea în coloană, iar punctajul probei e de 3 puncte pentru cât și de 2 puncte pentru rest.
Modelul din 2019, Subiectul al II-lea, exercițiul 2b: polinomul de gradul al treilea are un parametru și se împarte exact la un binom de gradul întâi, iar cerința e câtul și restul la un trinom de gradul al doilea, deci pasul 5 află parametrul din restul zero, pasul 3 face împărțirea în coloană, iar punctajul probei e de 2 puncte pentru parametru și de 3 puncte pentru cât și rest.
Proba specială din 2026, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: cerința compară restul împărțirii unui polinom cu parametru la un binom de gradul întâi cu restul împărțirii acelui binom la alt binom, deci pasul 4 dă fiecare rest ca valoare, pasul 5 le egalează, iar punctajul probei e de 3 puncte pentru cele două resturi și de 2 puncte pentru ecuația în parametru.

Exercițiile 9–11 au trei dintre aceste forme: câtul și restul la un binom, câtul și restul la un trinom, egalitatea a două resturi. Condiția de divizibilitate din exemplul 4 e la punctul a).

Greșeli care costă puncte

Iei $a = 3$ la împărțitorul $X + 3$ → obții $f (3)$ în loc de $f (- 3)$ , ca la capcana exemplului 2; cum o prinzi: scrii $X + 3 = X - (- 3)$ și verifici cu o înlocuire directă.
Scrii coeficienții fără 0 la puterea sau la termenul liber care lipsesc → tabelul iese prea scurt și câtul greșit, ca la exemplul 1; cum o prinzi: un polinom de gradul $n$ are $n + 1$ coeficienți, deci tabelul are $n + 1$ numere pe fiecare rând.
La împărțirea în coloană scazi fără să schimbi semnul termenilor de sub linie → restul iese greșit, ca la exemplul 3; cum o prinzi: restul ia în rădăcinile împărțitorului valorile polinomului.
Te oprești când restul are gradul împărțitorului → mai e o rundă de făcut; cum o prinzi: restul trebuie să aibă gradul strict mai mic decât împărțitorul.
Pui $f (- 5) = 0$ pentru divizibilitatea cu $X - 5$ → parametrul iese greșit, $m = - 57$ ; cum o prinzi: la $X - a$ înlocuiești chiar pe $a$ , aici 5.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Împărțirea polinoamelor, cu împărțirea la X − a și schema lui Horner, se cere la Subiectul al II-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 16 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă mecanicul ia ca reper ora 2, nu ora 1? Tabelul se face cu $a = 2$ și dă rândul $1; - 7; 20; 40$ , deci câtul $X^{2} - 7 X + 20$ și restul 40, alungirea de la ora 2. Ritmul mediu între orele 2 și 3 e $q (3) = 8$ μm pe oră, adică $\frac{48 - 40}{1}$ , ca în tabelul de măsurători.

Care e ritmul mediu de alungire între ora 1 și ora 4? Cu referința de la ora 1, câtul dă $q (4) = 16 - 32 + 26 = 10$ μm pe oră. Pe tabelul de măsurători, $\frac{56 - 26}{4 - 1} = 10$ . Ritmul mediu socotit de la ora 1 scade când intervalul crește: 11 μm pe oră până la ora 3, 10 μm pe oră până la ora 4, fiindcă în ultima oră axul s-a lungit doar cu 8 μm.

Cum afli alungirea la ora 2,5, care nu e în tabelul de măsurători? Pui $a = 2, 5$ în tabelul lui Horner: rândul de jos e $1; - 6, 5; 17, 75; 44, 375$ , deci alungirea e de 44,375 μm. Valoarea se află între 40 μm, de la ora 2, și 48 μm, de la ora 3, cum trebuie la un ax care se lungește, deci tabelul și măsurătorile se potrivesc.

Ce se schimbă dacă axul avea deja 6 μm alungire la pornire? Polinomul capătă termenul liber 6, iar tabelul cu $a = 1$ dă rândul $1; - 8; 26; 32$ . Câtul rămâne neschimbat, iar restul crește cu 6, la 32 μm. Ritmul mediu între două ore nu depinde de alungirea de la pornire, ci doar de diferența dintre alungiri.

Prin ce fel de polinom ai avut de împărțit la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? La cerința „Determinați câtul și restul”, 7 din cele 13 probe au dat un binom de gradul întâi, iar 6 au dat un polinom de gradul al doilea. Acesta a avut rădăcini întregi în 4 dintre cele 6 probe; în celelalte 2 nu, deci tabelul lui Horner nu ajută direct și rămâne împărțirea în coloană.