Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Tabla operației: completare și citire

Cum rezolv a∘x = b citind tabla legii?

Mergi pe linia lui $a$ până la căsuța în care scrie $b$ , apoi urci în capul coloanei ei: numărul de acolo este $x$ . Dacă $b$ nu apare pe linia lui $a$ , ecuația nu are soluție în mulțime, iar dacă apare de două ori, are două soluții. Exemplu: pentru minimul pe ${3, 5, 9}$ , ecuația $9 \circ x = 5$ are soluția $x = 5$ , singura.

Pe o mulțime finită $M$ , o lege de compoziție se poate scrie ca tablă: elementele lui $M$ stau în capul liniilor și al coloanelor, în aceeași ordine, iar la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ se scrie $x \circ y$ . O mulțime cu $n$ elemente dă $n \cdot n$ căsuțe.

Tabla se completează linie cu linie și se citește tot așa: primul element alege linia, al doilea coloana. Pentru întrebările inverse, de felul „ce $y$ dă $x \circ y = 0$ ?”, cauți valoarea pe linia lui $x$ și citești capul coloanei.

Legea este internă pe $M$ dacă toate căsuțele conțin elemente din $M$ ; o singură căsuță din afară ajunge ca legea să nu fie internă. Tabla anunță și proprietăți: o linie egală cu capul tabelului sugerează elementul neutru, iar simetria față de diagonală, comutativitatea.

În probele M_pedagogic din 2013–2026 legea s-a dat prin formulă, dar tabla pe câteva numere e o ciornă utilă înainte de demonstrația cu litere.

De reținut

căsuța de pe linia lui $x$ și coloana lui $y$ este $x \circ y$
$n$ elemente înseamnă $n \cdot n$ căsuțe
legea e internă dacă toate căsuțele sunt în mulțime

Greșeala tipică

Se citește întâi coloana și apoi linia, deci se obține $y \circ x$ în loc de $x \circ y$ . Corect, primul element din pereche alege mereu linia.

Exerciții din această mini-lecție

O lege pe ${1, 2, 3}$ are tabla: linia lui $1$ este $2, 3, 1$ ; linia lui $2$ este $1, 1, 3$ ; linia lui $3$ este $3, 2, 2$ . Cât este $2 \circ 3$ ?
- a) $2$
- b) $3$
- c) $1$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$

Primul element alege linia: pe linia lui $2$ , în coloana lui $3$ , stă $3$ . Varianta $2$ este $3 \circ 2$ , adică linia și coloana inversate; varianta $1$ citește coloana lui $1$ , iar $6$ înmulțește numerele, deși semnul legii nu e înmulțirea.
Câte căsuțe are tabla unei legi de compoziție pe o mulțime cu $8$ elemente?
- a) $16$
- b) $8$
- c) $64$
- d) $36$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $64$

Fiecare pereche ordonată $(x, y)$ are căsuța ei: $8 \cdot 8 = 64$ . Varianta $16$ adună liniile cu coloanele, $8$ numără doar liniile, iar $36 = 8 \cdot 9 : 2$ numără o singură dată perechile $(x, y)$ și $(y, x)$ , deși ele au căsuțe diferite.
Pe $M = {12, 13, 14}$ se completează tabla legii $x \circ y = x + y - 43$ . Câte căsuțe conțin numere care NU sunt în $M$ ?
- a) $9$
- b) $6$
- c) $3$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $9$

Rezultatele merg de la $12 + 12 - 43 = - 19$ până la $14 + 14 - 43 = - 15$ , deci niciunul nu e în $M$ : toate cele $9$ căsuțe ies. Variantele $6$ , $3$ și $0$ vin din numărarea doar a unei părți din tablă sau din presupunerea că legea e internă fără calcul.

Întrebări conexe

Cum citesc corect o căsuță din tabla unei legi?

Cauți primul element în capul liniilor și al doilea în capul coloanelor; căsuța de la întâlnirea lor este $x \circ y$ . Dacă inversezi, citești $y \circ x$ , care poate fi alt număr. Într-o tablă nesimetrică, de pildă, linia lui $2$ și coloana lui $5$ pot da $1$ , iar invers $9$ .

Cum arăt din tablă că o lege e internă?

Verifici toate căsuțele: legea e internă dacă fiecare rezultat aparține mulțimii. Pe ${0, 2, 4}$ , legea $∣ x - y ∣$ dă doar $0$ , $2$ și $4$ , deci e internă. Pe ${1, 3, 5}$ , căsuța $(1, 3)$ conține $2$ , care nu e în mulțime, deci legea nu e internă.

Ce înseamnă o linie din tablă egală cu capul tabelului?

Înseamnă că elementul acelei linii, pus pe primul loc, nu schimbă nimic: $e \circ x = x$ pentru fiecare $x$ din mulțime. Dacă și coloana lui repetă capul liniilor, el este element neutru pe mulțimea aceea. Pe o mulțime infinită, proprietatea se demonstrează apoi cu litere.

Câte legi pe {0, 1} au 0∘0 = 0 și 1∘1 = 1?

Sunt $4$ legi, dintre care $2$ comutative. Pe diagonală nu mai ai nimic de ales, iar în afara ei rămân două căsuțe, fiecare cu $2$ valori posibile, deci $2 \cdot 2 = 4$ legi. La cele comutative, cele două căsuțe din afara diagonalei sunt egale, deci rămâne o singură alegere, cu $2$ valori.

Cum verific o tablă completată de altcineva?

Numeri căsuțele, care trebuie să fie $n \cdot n$ , apoi recalculezi din regulă câteva dintre ele: una de pe diagonală, una dintr-un colț și una de deasupra diagonalei. O greșeală de copiere poate apărea la căsuțele $(x, y)$ și $(y, x)$ , așa că le compari între ele.

La ce folosește tabla la Bacalaureatul M4?

Legea vine scrisă cu o formulă pe numere reale, iar tabla nu a fost cerută în probele oficiale de până acum. Ea rămâne o ciornă bună: pe trei-patru numere alese, arată ce element ar putea fi neutru înainte să-l demonstrezi cu litere, așa cum cere cerința.

Oamenii mai întreabă și: ecuație cu lege de compoziție dată prin tablă · cum găsesc x din tabla operației · a compus x egal b în tablă · rezolvarea ecuațiilor în tabla legii