De ce dă 90 ° 270 poziția 0 și nu 360?

Pentru că după o rotire de 360° piesa arată exact ca la start, deci poziția finală se notează 0°. În limbajul legii, x ° y este restul împărțirii lui x + y la 360, iar 360 = 1 · 360 + 0. Așa rămân în tablă doar cele patru poziții posibile: 0, 90, 180 și 270.

Tabla operației pe o mulțime finită, la pedagogic

Pe o mulțime cu câteva elemente, o lege de compoziție încape într-un tabel mic, din care se citesc toate rezultatele dintr-o privire. Elevii de clasa a XI-a de la profilul pedagogic învață aici să completeze și să citească tabla operației și să vadă din ea dacă legea e internă. La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), legea a venit dată prin formulă, iar tabla pe o mulțime mică e o ciornă care sugerează rezultatul înainte de demonstrație.

Situația de pornire

O educatoare are un puzzle cu piese pătrate. Fiecare piesă se poate roti în jurul centrului ei cu 0°, 90°, 180° sau 270°, în sensul acelor de ceasornic; o rotire cu 360° o aduce exact în poziția de la început. La un joc, copilul rotește piesa de două ori la rând, iar educatoarea notează poziția finală, măsurată față de poziția de start.

Copilul	prima rotire (grade)	a doua rotire (grade)	poziția finală (grade)
Sara	90	180	270
Luca	180	270	90
Mara	270	270	180
Tudor	90	270	0

Întrebare: cum poate educatoarea să scrie într-un singur tabel toate pozițiile finale posibile? Poate o rotire dublă să ducă piesa într-o poziție care nu e printre cele patru?

De la situație la model

Două rotiri la rând se adună, iar 360° se socotește 0°, fiindcă piesa revine la start. Tabelul de mai jos traduce jocul.

În situație	În matematică
cele patru rotiri posibile	mulțimea $M = {0, 90, 180, 270}$
prima rotire, apoi a doua	perechea $(x, y)$ , cu $x, y \in M$
poziția finală	$x \circ y$ = restul împărțirii lui $x + y$ la 360
tabelul cu toate pozițiile finale	tabla operației, cu 4 linii și 4 coloane
„piesa rămâne într-una din cele patru poziții”	$x \circ y \in M$ pentru orice $x, y \in M$

Tabla operației este tabelul în care, pentru o mulțime finită $M$ , scrii rezultatul $x \circ y$ la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ . Capul de linie (prima coloană) și capul de coloană (primul rând) conțin elementele lui $M$ , în aceeași ordine.

Cum se completează tabla?

Iei pe rând fiecare linie. Pe linia lui $x$ , pentru fiecare coloană $y$ , calculezi $x \circ y$ și îl scrii în căsuță. Pentru puzzle, linia lui 90 este: $90 \circ 0 = 90$ , $90 \circ 90 = 180$ , $90 \circ 180 = 270$ , $90 \circ 270 = 0$ . O tablă cu $n$ elemente are $n \cdot n$ căsuțe, deci cea de aici are 16.

$\circ$	0	90	180	270
0	0	90	180	270
90	90	180	270	0
180	180	270	0	90
270	270	0	90	180

Cum se citește tabla?

Primul element alege linia, al doilea alege coloana. Pentru $180 \circ 270$ cobori pe linia lui 180 până la coloana lui 270 și citești 90, exact poziția lui Luca. Tabla răspunde și la întrebări inverse: pe linia lui 90, căsuța cu 0 stă în coloana lui 270, deci $90 \circ 270 = 0$ , rotirea lui Tudor.

Ce spune tabla despre legea internă?

Legea este internă pe $M$ dacă toate căsuțele conțin elemente din $M$ . La puzzle, cele 16 căsuțe conțin doar 0, 90, 180 și 270, deci nicio rotire dublă nu scoate piesa din cele patru poziții. O singură căsuță cu un număr din afara lui $M$ ajunge ca legea să nu fie internă, ca în exercițiile 2 și 7.

Metoda pas cu pas

Scrie elementele lui $M$ în capul liniilor și în capul coloanelor, în aceeași ordine.
Completează linie cu linie: pe linia lui $x$ și coloana lui $y$ scrii $x \circ y$ , calculat din regulă sau din formulă.
Citește o valoare pornind de la linie (primul element), apoi coloana (al doilea element).
Parcurge toate căsuțele: dacă toate sunt în $M$ , legea e internă; altfel, notează căsuța care iese.
Verifică: recalculează o căsuță aleasă la întâmplare și una de pe diagonală, sau numără căsuțele, $n \cdot n$ .

Tabla e ciorna perfectă pentru proprietăți: comutativitatea și tabla operației se vede din simetria ei, iar o linie identică cu capul tabelului anunță elementul neutru. Calculul căsuțelor din formulă e cel din calcule cu o lege dată prin formulă. Restul clasei e pe pagina clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

$c \overset{a}{˘} su ț a de pe linia lui x ș i coloana lui y = x \circ y$

$\circ intern \overset{a}{˘} pe M ⟺ toate cele n \cdot n c \overset{a}{˘} su ț e sunt \overset{ı}{ˆ} n M$

Primul element alege linia, al doilea coloana. Verificare rapidă: tabla puzzle-ului are $4 \cdot 4 = 16$ căsuțe, iar fiecare rotire apare de patru ori, $4 \cdot 4 = 16$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Piesele de puzzle

Domeniu: joc didactic la grădiniță.

Enunț. Folosește tabla puzzle-ului. a) Citește $270 \circ 180$ și $180 \circ 270$ . b) Ce a doua rotire o aduce pe Mara înapoi la start, după prima ei rotire de 270°? c) Calculează $(90 \circ 180) \circ 270$ .

Rezolvare. a) Linia lui 270, coloana lui 180: 90. Linia lui 180, coloana lui 270: tot 90. b) Pe linia lui 270 cauți căsuța cu 0: e în coloana lui 90, deci $270 \circ 90 = 0$ . c) $90 \circ 180 = 270$ , apoi $270 \circ 270 = 180$ .

Capcană. Cine adună simplu, $270 + 90 = 360$ , caută 360 în tablă și nu-l găsește. În mulțimea pozițiilor, 360° este același lucru cu 0°.

Verificare. Rotirile se adună: $90 + 180 + 270 = 540$ , iar $540 - 360 = 180$ , aceeași poziție ca la c).

Exemplul 2 — Fâșiile de hârtie

Domeniu: abilități practice la clasa I.

Enunț. La ora de abilități practice, copiii au fâșii de hârtie lungi de 8, 11, 14 și 17 cm. Când lipesc două fâșii una peste alta, învățătoarea le taie pe amândouă la lungimea celei mai scurte: $x \circ y$ este cel mai mic dintre $x$ și $y$ . a) Completează tabla pe $M = {8, 11, 14, 17}$ . b) Este legea internă pe $M$ ? c) Pe ce linie stau doar numere egale?

Rezolvare. a) Linia lui 8: 8, 8, 8, 8. Linia lui 11: 8, 11, 11, 11. Linia lui 14: 8, 11, 14, 14. Linia lui 17: 8, 11, 14, 17. b) Da: fiecare căsuță conține una dintre cele două lungimi, deci un element din $M$ . c) Pe linia lui 8: orice fâșie lipită cu cea de 8 cm se taie la 8 cm.

Capcană. Cine completează pe coloane în loc de linii nu greșește aici, fiindcă tabla minimului e simetrică; la o lege ca cea din exercițiul 7, aceeași scurtătură strică tabla.

Verificare. Linia lui 17 repetă capul tabelului: fâșia cea mai lungă nu scurtează nimic. Diagonala are 8, 11, 14, 17, fiindcă o fâșie lipită cu una la fel rămâne la fel.

Exemplul 3 — Pachetele pentru serbare

Domeniu: aritmetică aplicată.

Enunț. Pentru o serbare, se pregătesc pachete identice din $x$ baloane și $y$ fluturași, fără să rămână nimic: numărul cel mai mare de pachete este cel mai mare divizor comun, $x \circ y = (x, y)$ . Pe $M = {1, 2, 3, 6}$ , mulțimea divizorilor lui 6: a) completează tabla; b) arată că legea e internă pe $M$ ; c) citește $6 \circ 2$ și $3 \circ 2$ .

Rezolvare. a) Linia lui 1: 1, 1, 1, 1. Linia lui 2: 1, 2, 1, 2. Linia lui 3: 1, 1, 3, 3. Linia lui 6: 1, 2, 3, 6. b) Toate cele 16 căsuțe conțin 1, 2, 3 sau 6: cel mai mare divizor comun a doi divizori ai lui 6 este tot un divizor al lui 6. c) $6 \circ 2 = 2$ și $3 \circ 2 = 1$ .

Capcană. Cine confundă cel mai mare divizor comun cu cel mai mic multiplu comun scrie $3 \circ 2 = 6$ ; pe această mulțime legea ar rămâne internă, dar tabla ar fi alta.

Verificare. Cu 6 baloane și 2 fluturași se pot face 2 pachete, fiecare cu 3 baloane și 1 fluturaș, iar 3 pachete nu se pot face, fiindcă 2 fluturași nu se împart la 3.

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: tabla unei legi date prin formulă

Domeniu: fără context.

Enunț. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y - 47 x - 47 y + 2256$ . a) Calculați $49 \circ 50$ . b) Completați tabla legii pe $M = {46, 47, 48}$ . c) Arătați, citind tabla, că legea este internă pe $M$ . d) Ce element din $M$ , compus cu oricare element $x \in M$ , dă tot $x$ ?

Rezolvare. a) $49 \circ 50 = 2450 - 2303 - 2350 + 2256 = 53$ . b) Linia lui 46: $46 \circ 46 = 2116 - 2162 - 2162 + 2256 = 48$ , $46 \circ 47 = 47$ , $46 \circ 48 = 2208 - 2162 - 2256 + 2256 = 46$ . Linia lui 47: 47, 47, 47. Linia lui 48: $48 \circ 46 = 46$ , $48 \circ 47 = 47$ , $48 \circ 48 = 2304 - 2256 - 2256 + 2256 = 48$ . c) Căsuțele conțin doar 46, 47 și 48, deci legea e internă pe $M$ . d) Linia lui 48 este 46, 47, 48, adică repetă capul tabelului, iar coloana lui 48 la fel: $48 \circ x = x \circ 48 = x$ pentru $x \in M$ .

Capcană. Concluzia de la d) este despre mulțimea $M$ . Pe toată mulțimea numerelor reale, elementul cu această proprietate se demonstrează cu litere, ca în lecția despre elementul neutru; tabla doar îl sugerează.

Verificare. Pe alt drum, cu forma $(x - 47) (y - 47) + 47$ : $49 \circ 50 = 2 \cdot 3 + 47 = 53$ , $46 \circ 46 = (- 1) (- 1) + 47 = 48$ și $48 \circ x = 1 \cdot (x - 47) + 47 = x$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Completează tabla legii $x \circ y = ∣ x - y ∣$ pe $M = {0, 3, 6, 9}$ și spune dacă legea este internă pe $M$ .

2. Completează tabla legii $x \circ y = x + y - 43$ pe $M = {40, 41, 42}$ . Ce căsuțe ies din $M$ ?

3. O lege pe $M = {2, 4, 6}$ este dată doar prin tablă: linia lui 2 este 4, 2, 6; linia lui 4 este 2, 4, 6; linia lui 6 este 6, 6, 2. a) Citește $4 \circ 6$ și $6 \circ 4$ . b) Pentru ce $x \in M$ avem $2 \circ x = 6$ ? c) Este legea internă pe $M$ ?

4. Completează tabla înmulțirii pe $M = {1, 3, 9}$ și spune dacă înmulțirea este lege internă pe $M$ .

Nivelul 2 — situații

5. La un joc din clasa I se aruncă două zaruri și se notează numărul cel mai mare: $x \circ y$ este cel mai mare dintre $x$ și $y$ , pe $M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . a) În câte căsuțe ale tablei apare 6? b) Dar 1? c) În câte căsuțe apare fiecare număr de la 1 la 6?

6. Piesele unui alt puzzle sunt pentagoane regulate, care se rotesc cu 0°, 72°, 144°, 216° sau 288°. a) Completează tabla rotirilor duble pe $M = {0, 72, 144, 216, 288}$ . b) Ce a doua rotire aduce piesa la start după o rotire de 144°?

7. Un elev a completat tabla legii $x \circ y = 2 x + y - 3$ pe ${1, 2, 3}$ : linia lui 1: 0, 1, 2; linia lui 2: 2, 3, 4; linia lui 3: 4, 6, 6. a) Găsește căsuța greșită. b) Este legea internă pe ${1, 2, 3}$ ?

8. La jocul „Ultima cifră” din clasa a IV-a, copiii înmulțesc două numere și spun doar ultima cifră a produsului. Pe $M = {0, 1, 5, 6}$ , legea este $x \circ y$ = ultima cifră a lui $x y$ . a) Completează tabla. b) Arată că legea e internă pe $M$ . c) Pe ce linie se repetă capul tabelului?

Nivelul 3 — sinteze

9. (Sinteză.) Pe $R$ se definește legea $x \circ y = - x y$ . a) Completează tabla ei pe $M = {- 1, 0, 1}$ . b) Arată că legea e internă pe $M$ . c) Ce element din $M$ , compus cu oricare $x \in M$ , dă tot $x$ ?

10. (Sinteză.) O lege pe ${1, 2, 3}$ are proprietatea că fiecare număr apare o singură dată pe fiecare linie și o singură dată pe fiecare coloană. Se știu $1 \circ 1 = 2$ , $1 \circ 2 = 3$ , $2 \circ 2 = 1$ și $3 \circ 3 = 3$ . Completează tabla.

11. (Sinteză.) a) Câte legi de compoziție pe mulțimea ${0, 1}$ au $0 \circ 0 = 0$ și $1 \circ 1 = 1$ ? b) Câte dintre ele au tabla simetrică față de diagonală? c) Câte căsuțe are tabla unei legi pe o mulțime cu 7 elemente?

12. (Sinteză.) Pe $M = {1, 2, 3, 6}$ se definește $x * y$ = cel mai mic multiplu comun al lui $x$ și $y$ . a) Completează tabla. b) Este legea internă pe $M$ ? c) Arată, pe căsuțele $(2, 3)$ , $(2, 6)$ și $(6, 6)$ , că produsul dintre $x * y$ și căsuța din Exemplul 3 este $x y$ .

Răspunsuri și verificări

1. Liniile: 0, 3, 6, 9; 3, 0, 3, 6; 6, 3, 0, 3; 9, 6, 3, 0. Legea este internă: diferențele sunt doar 0, 3, 6 și 9. Verificare: $∣ 0 - 9 ∣ = 9 \in M$ , iar diagonala are doar 0.

2. Liniile: 37, 38, 39; 38, 39, 40; 39, 40, 41. Ies din $M$ șase căsuțe: toată linia lui 40, apoi $(41, 40)$ , $(41, 41)$ și $(42, 40)$ . Verificare: $40 + 40 - 43 = 37 \in / M$ , iar rămân în $M$ doar $(41, 42)$ , $(42, 41)$ și $(42, 42)$ .

3. a) $4 \circ 6 = 6$ și $6 \circ 4 = 6$ . b) Pe linia lui 2, valoarea 6 stă în coloana lui 6, deci $x = 6$ . c) Da, toate căsuțele sunt 2, 4 sau 6. Verificare: 6 apare în 4 căsuțe, $(2, 6)$ , $(4, 6)$ , $(6, 2)$ și $(6, 4)$ .

4. Liniile: 1, 3, 9; 3, 9, 27; 9, 27, 81. Înmulțirea nu este lege internă pe $M$ : ies căsuțele $(3, 9)$ , $(9, 3)$ și $(9, 9)$ . Verificare: $3 \cdot 3 = 9 \in M$ , dar $3 \cdot 9 = 27 \in / M$ .

5. a) 6 apare în 11 căsuțe: linia lui 6 și coloana lui 6, cu căsuța comună numărată o dată, $6 + 6 - 1 = 11$ . b) 1 apare doar în căsuța $(1, 1)$ . c) Numărul $k$ apare în $2 k - 1$ căsuțe: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Verificare: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6 \cdot 6$ .

6. a) Liniile: 0, 72, 144, 216, 288; 72, 144, 216, 288, 0; 144, 216, 288, 0, 72; 216, 288, 0, 72, 144; 288, 0, 72, 144, 216. b) 216°, fiindcă $144 \circ 216 = 0$ . Verificare: $144 + 216 = 360$ , adică o rotire completă.

7. a) Căsuța $(3, 2)$ : $2 \cdot 3 + 2 - 3 = 5$ , nu 6. b) Nu: apar 0, 4, 5 și 6, care nu sunt în ${1, 2, 3}$ . Verificare: $3 \circ 3 = 6 + 3 - 3 = 6$ , deci ultima căsuță era corectă.

8. a) Liniile: 0, 0, 0, 0; 0, 1, 5, 6; 0, 5, 5, 0; 0, 6, 0, 6. b) Toate căsuțele sunt 0, 1, 5 sau 6. c) Pe linia lui 1. Verificare: $5 \cdot 6 = 30$ , cu ultima cifră 0, cât e în căsuța $(5, 6)$ .

9. a) Liniile: $- 1$ , 0, 1; 0, 0, 0; 1, 0, $- 1$ . b) Toate căsuțele sunt $- 1$ , 0 sau 1. c) Linia lui $- 1$ repetă capul tabelului: $(- 1) \circ x = - (- 1) \cdot x = x$ . Verificare: $1 \circ 1 = - 1$ și $(- 1) \circ 1 = 1$ .

10. Linia lui 1: 2, 3, 1. Linia lui 2: 3, 1, 2. Linia lui 3: 1, 2, 3. Pe linia lui 1 lipsește 1, deci $1 \circ 3 = 1$ . Coloana lui 3 are acum 1 și 3, deci $2 \circ 3 = 2$ , iar linia lui 2 se închide cu $2 \circ 1 = 3$ . Linia lui 3 primește ce lipsește pe coloane: 1 și 2. Verificare: fiecare coloană are 1, 2 și 3, câte o dată.

11. a) Diagonala e fixată, iar căsuțele $(0, 1)$ și $(1, 0)$ primesc fiecare 0 sau 1: $2 \cdot 2 = 4$ legi. b) Căsuțele $(0, 1)$ și $(1, 0)$ trebuie să fie egale, deci rămâne o singură alegere liberă, cu 2 valori: 2 legi. c) $7 \cdot 7 = 49$ de căsuțe. Verificare: pentru 2 elemente, $2 \cdot 2 = 4$ căsuțe, din care 2 pe diagonală.

12. a) Liniile: 1, 2, 3, 6; 2, 2, 6, 6; 3, 6, 3, 6; 6, 6, 6, 6. b) Da: căsuțele sunt toate divizori ai lui 6. c) $6 \cdot 1 = 6 = 2 \cdot 3$ , $6 \cdot 2 = 12 = 2 \cdot 6$ și $6 \cdot 6 = 36 = 6 \cdot 6$ . Verificare: linia lui 6 are doar 6, iar linia lui 1 repetă capul tabelului.

Așa vine la Bac M4

În cele 60 de probe M_pedagogic din 2013–2026, nicio cerință a Subiectului al II-lea nu a conținut o tablă: legea a fost dată prin formulă de fiecare dată. Programa de examen are conținutul „Legi de compoziție, proprietăți”, fără să spună în ce formă se dă legea, deci tabla poate fi cerută. La probele care s-au dat, ea folosește ca ciornă: pe câteva numere bine alese, arată din timp ce urmează să demonstrezi.

August 2025, cerința 3: legea $(x - 9) (y - 9) + 9$ , iar cerința e să arăți că 10 este element neutru. Tabla ei pe ${8, 9, 10}$ are linia lui 10 egală cu capul tabelului, la fel ca linia lui 48 din Exemplul 4. Demonstrația se face apoi cu litere: pagina probei dă 2 puncte pentru $x * 10 = x$ și 3 puncte pentru $10 * x = x$ și concluzie.
Simularea din 2015, cerința 1: o lege de același tip ca în Exemplul 4, $(x - 2) (y - 2) + 2$ , cu valoarea $4 \circ 2$ . Pagina probei dă 3 puncte pentru înlocuire și 2 puncte pentru rezultat.

Greșeli care costă puncte

Citești coloana înaintea liniei → la exercițiul 7 ai citi $(2, 3)$ în loc de $(3, 2)$ ; cum o prinzi: primul element alege mereu linia.
Declari legea internă după câteva căsuțe → la exercițiul 2, șase căsuțe ies din $M$ ; cum o prinzi: parcurgi toate cele $n \cdot n$ căsuțe.
Scrii 360 în tabla puzzle-ului → 360 nu e în $M$ ; cum o prinzi: o rotire completă înseamnă poziția 0.
Tragi concluzii despre ℝ dintr-o tablă pe trei numere → ce se vede pe ${46, 47, 48}$ e doar o sugestie; cum o prinzi: demonstrezi cu litere, ca la Bac.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006), la conținutul „Legi de compoziție, proprietăți”. În probele 2013–2026 legea s-a dat numai prin formulă. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

De ce dă $90 \circ 270$ poziția 0 și nu 360? Pentru că după o rotire de 360° piesa arată exact ca la start, deci poziția finală se notează 0°. În limbajul legii, $x \circ y$ este restul împărțirii lui $x + y$ la 360, iar $360 = 1 \cdot 360 + 0$ . Așa rămân în tablă doar cele patru poziții posibile: 0, 90, 180 și 270.

Ce se schimbă în tablă dacă piesele de puzzle sunt pentagonale? Rotirile posibile devin 0°, 72°, 144°, 216° și 288°, deci tabla are 5 linii și 5 coloane. Regula rămâne aceeași, suma rotirilor fără rotirile complete: $72 \circ 144 = 216$ , iar $216 \circ 288 = 144$ . Legea este internă și pe noua mulțime.

Cum verifică educatoarea repede tabla completată de un copil? Recalculează câteva căsuțe alese la întâmplare, de pildă una de pe diagonală și una din colț, și numără căsuțele: pentru 4 poziții trebuie să fie 16. La puzzle, fiecare poziție apare o singură dată pe fiecare linie; o linie cu o poziție repetată arată imediat o greșeală.

Cum găsesc în tablă ce rotire aduce piesa înapoi la start? Pe linia primei rotiri cauți căsuța cu 0, apoi citești capul coloanei ei. Pentru 90° căsuța cu 0 e în coloana lui 270, deci a doua rotire trebuie să fie de 270°. Pentru 180°, a doua rotire este tot de 180°.

Câte căsuțe are tabla unei legi pe o mulțime cu 10 elemente? Are $10 \cdot 10 = 100$ de căsuțe, câte una pentru fiecare pereche ordonată. Perechile $(x, y)$ și $(y, x)$ au căsuțe diferite, de o parte și de alta a diagonalei. De aceea tabla se folosește pe mulțimi mici; pe mulțimi infinite, ca ℝ, legea se dă prin formulă.

Apare tabla operației la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? În probele din 2013–2026, nu: legea a fost dată mereu printr-o formulă, în 59 de probe din 60 pe mulțimea numerelor reale. Programa de examen nu spune în ce formă se dă legea, deci o tablă poate fi cerută. Tabla pe câteva numere ajută și la formulă, ca ciornă pentru elementul neutru.