Teorema cosinusului: enunț și aplicații (M2, științe ale naturii)

O albină care a găsit două câmpuri cu flori se întoarce la stup și „dansează” pentru surorile ei: direcția dansului arată unghiul față de Soare, iar durata lui arată distanța. Din două dansuri, un cercetător află distanța de la stup la fiecare câmp și unghiul dintre cele două direcții. Cât de departe sunt însă câmpurile unul de altul? Triunghiul format nu are niciun unghi drept, deci teorema lui Pitagora nu ajunge. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), lecția aceasta îți dă teorema cosinusului, care leagă cele trei laturi ale oricărui triunghi de unul dintre unghiuri. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă numește teorema cosinusului printre aplicațiile produsului scalar; pentru cei care au început clasa a IX-a în 2026, din 2030 matematica devine la științe o probă la alegere, MAT_P2, iar tema intră în domeniul „Geometrie. Trigonometrie”.

Te sprijini pe două lecții recente: sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze la M2, unde ai văzut că vârful unui triunghi are coordonatele $(AC\cdot \cos A,AC\cdot \sin A)$, și distanța dintre două puncte în plan la M2. Din ele iese întreaga teoremă, în câteva rânduri. Situația albinelor este una generală: cunoști două distanțe măsurate din același loc și deschiderea dintre ele, dar vrei distanța dintre capete, pe care nu o poți măsura direct. Aceeași întrebare apare când un biolog urmărește două animale marcate dintr-un punct de observație sau când un fizician compune două deplasări.

Ce vei învăța

• Vei scrie teorema cosinusului pentru oricare latură a unui triunghi, legând corect latura de unghiul opus ei.
• Vei înțelege de unde vine formula, cu ajutorul coordonatelor unui vârf și al formulei distanței, fără cazuri separate pentru unghiul obtuz.
• Vei calcula a treia latură a unui triunghi din două laturi și unghiul dintre ele, cu unghiuri date în radiani sau în grade.
• Vei controla fiecare rezultat: latura calculată trebuie să respecte inegalitatea triunghiului și să fie mai lungă când unghiul este obtuz.
• Vei afla diagonalele unui paralelogram și vei descoperi legătura dintre ele și laturi.
• Vei rezolva probleme din biologie și din sport și cerințe în forma de la bacalaureatul M2.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune teorema cosinusului?

Într-un triunghi $ABC$ notăm laturile cu litera mică a vârfului din fața lor: $a=BC$, $b=CA$ și $c=AB$. Latura $a$ nu atinge vârful $A$, iar unghiul $A$ este format exact de laturile $b$ și $c$.

Teorema cosinusului este relația care leagă, în orice triunghi $ABC$ cu laturile $a=BC$, $b=CA$ și $c=AB$, o latură de unghiul din fața ei:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$

indiferent dacă unghiul $A$ este ascuțit, drept sau obtuz. Citită în cuvinte: pătratul laturii opuse unghiului se obține scăzând din suma pătratelor laturilor care formează unghiul de două ori produsul acestor laturi, înmulțit cu cosinusul unghiului. Teorema nu cere nimic altceva: niciun unghi drept, nicio poziție specială a triunghiului. Numele ei vine din termenul care o deosebește de teorema lui Pitagora, cel cu cosinusul unghiului. Formula leagă patru mărimi, trei laturi și un unghi. În această lecție necunoscuta este latura din fața unghiului cunoscut, iar lecția următoare întoarce drumul și caută unghiul din cele trei laturi; în ambele situații răspunsul este unic.

2. De unde vine formula?

Din coordonate. Așază triunghiul în reper cu $A$ în origine și $AB$ pe semiaxa pozitivă $Ox$. Atunci $B$ are coordonatele $(c,0)$, iar $C$, aflat la distanța $b$ de origine pe semidreapta care face unghiul $A$ cu $Ox$, are coordonatele $(b\cos A,b\sin A)$.

Latura $a$ este distanța dintre $B$ și $C$. Formula distanței dă

$$a^2=(b\cos A-c{)}^2+(b\sin A{)}^2=b^2{\cos }^{2}A-2bc\cos A+c^2+b^2{\sin }^{2}A.$$

Termenii $b^2{\cos }^{2}A$ și $b^2{\sin }^{2}A$ se adună la $b^2$, după formula fundamentală a trigonometriei la M2, și rămâne exact $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Argumentul nu a despărțit cazurile: dacă $A$ este obtuz, abscisa lui $C$ este negativă, dar formula distanței o folosește la fel. Aceasta este forța metodei coordonatelor: o singură scriere acoperă toate formele de triunghi, iar calculul folosește numai unelte pe care le ai deja, formula distanței și formula fundamentală. În suplimentul pentru bacalaureatul M2 există și un drum vectorial, prin produsul scalar, prezentat în lecția despre perpendicularitatea cu produsul scalar la M2; rezultatul este același.

3. Cum scrii formula pentru celelalte laturi?

Rolurile se rotesc. Pentru latura $b$, unghiul folosit este $B$, iar pentru latura $c$, unghiul $C$:

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Regula de verificare este una singură: latura din stânga și unghiul din dreapta nu au nicio literă comună de vârf, iar cele două laturi care apar în dreapta sunt chiar laturile unghiului. Dacă triunghiul are alte nume, de pildă $PQR$, nu mai memorezi litere: scrii pătratul laturii căutate, apoi pătratele celorlalte două, apoi produsul lor și cosinusul unghiului dintre ele. Desenul, cu unghiul marcat și cu latura căutată îngroșată, face alegerea sigură. De pildă, în triunghiul $PQR$, latura $QR$ nu trece prin vârful $P$, deci se scrie cu unghiul $P$: $Q{R}^2=P{Q}^2+P{R}^2-2\cdot PQ\cdot PR\cdot \cos P$. Dacă în loc de unghiul $P$ cunoști unghiul $Q$, aceeași latură nu mai poate fi aflată direct cu teorema cosinusului: unghiul $Q$ nu este cuprins între laturile cunoscute, iar problema devine alta, tratată mai târziu în unitate.

4. Ce se întâmplă cu termenul $-2bc\cos A$?

El măsoară cât se abate triunghiul de la unul dreptunghic. Dacă $A$ este drept, cosinusul este zero, termenul dispare și rămâne teorema lui Pitagora din lecția de clasa a VII-a. Dacă $A$ este ascuțit, cosinusul este pozitiv, termenul se scade, iar latura opusă rămâne sub valoarea $\sqrt{b^2+c^2}$, pe care ar avea-o dacă unghiul ar fi drept. Dacă $A$ este obtuz, cosinusul este negativ, iar „minus ori minus” face ca termenul să se adune: latura opusă iese mai lungă. Mărimea corecției contează și ea: produsul $2bc$ este fix pentru două laturi date, deci diferența față de teorema lui Pitagora este proporțională cu cosinusul. Un unghi apropiat de unghiul drept schimbă foarte puțin rezultatul, unul apropiat de $0$ sau de $\pi$ îl schimbă mult.

La calcul, valoarea negativă a cosinusului se scrie întotdeauna în paranteză, de exemplu $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ intră în formulă ca $\left(-\frac{1}{2}\right)$. Așa semnul nu se pierde între factori. Pentru unghiurile obtuze de bază, valorile sunt cele din lecția despre unghiurile obtuze; pentru restul, folosești tabelul ori mijloacele digitale.

5. Cum știi că rezultatul are sens?

Pentru două laturi fixate, latura a treia depinde numai de unghiul dintre ele. Când unghiul crește de la $0$ la $\pi$, cosinusul scade de la $1$ la $-1$, deci $a^2$ crește și, odată cu el, $a$. La cele două extreme triunghiul se turtește: latura opusă ar deveni diferența, respectiv suma celorlalte două. Între ele, rezultatul respectă inegalitatea triunghiului.

De pildă, dacă $b=7$ și $c=10$, orice unghi dintre ele dă o latură $a$ între $3$ și $17$, capetele excluse. Un rezultat în afara acestui interval este sigur greșit. Al doilea control ține de semnul cosinusului: pentru un unghi ascuțit, $a$ trebuie să fie sub $\sqrt{b^2+c^2}$, iar pentru unul obtuz, peste. Ambele controale se fac în câteva secunde și prind cele mai multe greșeli de semn sau de alegere a unghiului.

6. Ce faci dacă unghiul nu este unul de bază?

Citești cosinusul într-un tabel ori îl obții cu un calculator științific și lucrezi cu aproximări, rotunjind abia la final. Pentru $b=9$, $c=14$ și $A=50^{\circ }$, cu $\cos 50^{\circ }\approx 0,6428$, obții $a^2\approx 277-252\cdot 0,6428=115,0144$, deci $a\approx 10,72$. Scrierea cu $\approx$ arată de unde vine aproximarea.

Rotunjirea timpurie strică rezultatul mai mult decât pare, mai ales la unghiuri mici, unde două numere apropiate se scad. De aceea păstrezi patru zecimale la cosinus și cel puțin două la rezultat, iar într-o problemă de măsurare spui câte zecimale au sens, în funcție de precizia datelor. Când unghiul este unul de bază, lucrezi exact, cu radicali, și aproximezi doar la final, dacă ți se cere. Un rezultat exact, ca $\sqrt{97}$, spune mai mult decât $9,85$: îl poți ridica la pătrat fără pierderi într-un calcul următor. Valorile din tabel, cum ai văzut în lecția despre tabele și mijloace digitale, la M2, sunt deja aproximări, deci rezultatul lor se scrie cu $\approx$.

7. Ce spune teorema despre un paralelogram?

Un paralelogram cu laturile $a$ și $b$ și un unghi $\theta$ are al doilea unghi egal cu $\pi -\theta$, după proprietățile paralelogramului, din clasa a VII-a. Fiecare diagonală este latura opusă unuia dintre aceste unghiuri, într-un triunghi format de două laturi alăturate:

$$d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta ,d_2^2=a^2+b^2+2ab\cos \theta ,$$

a doua formulă folosind $\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$. Adunând, termenii cu cosinus se reduc: $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$. Suma pătratelor diagonalelor nu depinde de unghi, doar de laturi. Proprietatea îți permite să afli o diagonală din cealaltă fără să cunoști vreun unghi. Ea mai arată ceva: cele două diagonale nu pot fi oricât de mari în același timp, pentru că suma pătratelor lor este fixată de laturi. Un paralelogram articulat, care se deformează păstrându-și laturile, își schimbă diagonalele „în balanță”: câștigul uneia este pierderea celeilalte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește figura

În figură, triunghiul $ABC$ are $AB=33$, $AC=40$ și $A=\frac{\pi }{3}$. Scrie forma potrivită a teoremei cosinusului, calculează $BC$ și controlează rezultatul.

Rezolvare. Latura căutată, $BC$, este opusă unghiului $A$, iar laturile care formează unghiul sunt $AB$ și $AC$. Cu $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$:

$$B{C}^2=33^2+40^2-2\cdot 33\cdot 40\cdot \frac{1}{2}=1089+1600-1320=1369,$$

deci $BC=37$. Control: $37$ se află între $40-33=7$ și $33+40=73$, iar unghiul fiind ascuțit, latura este sub $\sqrt{33^2+40^2}\approx 51,86$. Figura confirmă: $BC$ este puțin mai scurtă decât $AC$.

Exemplul 2 — Un unghi obtuz și radicali

În triunghiul $ABC$ se cunosc $b=5\sqrt{2}$, $c=7$ și $A=\frac{3\pi }{4}$. Calculează $a$.

Rezolvare. Unghiul este obtuz, cu $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, scris în paranteză:

$$a^2=50+49-2\cdot 5\sqrt{2}\cdot 7\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=99+70=169,$$

deci $a=13$. Produsul $2\cdot 5\sqrt{2}\cdot 7\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ se simplifică la $70$, pentru că $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$: radicalii din date și din valoarea cosinusului s-au „anulat” reciproc, iar rezultatul a ieșit întreg. Nu e o întâmplare, ci felul în care se construiesc problemele cu valori exacte. Control: $13$ este cea mai lungă latură, cum trebuie în fața unghiului obtuz, și este sub $5\sqrt{2}+7\approx 14,07$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

În triunghiul $ABC$, $AB=13$, $AC=35$ și $A=\frac{2\pi }{3}$. Un elev obține „$BC=\sqrt{939}$”, adică aproximativ $30,64$. De ce rezultatul nu poate fi corect și care este valoarea bună?

Rezolvare. Unghiul $A$ este obtuz, deci latura opusă lui trebuie să fie cea mai lungă din triunghi, mai lungă decât $AC=35$. Valoarea elevului este mai mică, deci e greșită. Elevul a scăzut termenul de corecție, ca și cum cosinusul ar fi fost pozitiv: $169+1225-455=939$.

Corect, cosinusul negativ se scrie în paranteză:

$$B{C}^2=169+1225-2\cdot 13\cdot 35\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1394+455=1849,$$

deci $BC=43$, mai lungă decât $35$ și mai scurtă decât $13+35=48$. Lecția exemplului: controlul „latura din fața unghiului obtuz este cea mai lungă” a prins greșeala fără să refacem calculul. Merită să-l faci înainte de a trece mai departe, fiindcă o latură greșită se propagă în toate cerințele următoare ale unei probleme.

Exemplul 4 — Dansul albinelor

Din dansul albinelor, un cercetător află că un câmp cu flori se află la $160$ m de stup, iar altul la $550$ m, iar direcțiile spre ele, pornite din stup, formează un unghi de $\frac{\pi }{3}$. Cât de departe sunt câmpurile unul de celălalt?

Rezolvare. Stupul și cele două câmpuri formează un triunghi în care distanța căutată $d$ este opusă unghiului de la stup:

$$d^2=160^2+550^2-2\cdot 160\cdot 550\cdot \frac{1}{2}=25600+302500-88000=240100,$$

deci $d=490$ m. Control: $490$ este între $390$ și $710$. Modelul privește câmpurile ca puncte și terenul ca plan; albinele zboară între ele pe linia dreaptă doar dacă nu ocolesc obstacole, așa că $490$ m este distanța cea mai scurtă, nu neapărat drumul lor real. Mai observă ceva: rezultatul este mai mic decât distanța până la câmpul îndepărtat, deși nu pare evident din desen. Motivul este unghiul ascuțit dintre direcții, care face termenul de corecție să scadă mult din suma pătratelor.

Exemplul 5 — Cele două diagonale ale unui paralelogram

Un paralelogram are laturile $8$ și $11$, iar unghiul dintre ele are $\frac{\pi }{3}$. Calculează ambele diagonale și verifică legea paralelogramului.

Rezolvare. Diagonala opusă unghiului de $\frac{\pi }{3}$ este cea scurtă: $d_1^2=64+121-2\cdot 8\cdot 11\cdot \frac{1}{2}=185-88=97$, deci $d_1=\sqrt{97}\approx 9,85$. Unghiul alăturat are $\frac{2\pi }{3}$, iar diagonala opusă lui este lunga: $d_2^2=185+88=273$, deci $d_2=\sqrt{273}\approx 16,52$.

Verificare: $97+273=370=2(64+121)$. Legea s-a confirmat, iar diferența dintre diagonale vine numai din semnul cosinusului, pozitiv la un unghi și negativ la celălalt. Dacă paralelogramul ar fi un dreptunghi, cele două cosinusuri ar fi zero, iar diagonalele ar deveni egale; pe măsură ce paralelogramul se „culcă”, una se scurtează și cealaltă se lungește, dar suma pătratelor lor rămâne aceeași.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=2$, $AC=3\sqrt{3}$ și $A=\frac{\pi }{6}$. Arătați că $BC=\sqrt{13}$.

Rezolvare. Cu $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$B{C}^2=4+27-2\cdot 2\cdot 3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=31-18=13,$$

deci $BC=\sqrt{13}$. Enunțul este construit în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I și nu reproduce o cerință oficială. La redactare se scrie teorema cu literele triunghiului, se înlocuiesc valorile și se încheie cu lungimea, nu cu pătratul ei. Un control rapid: $\sqrt{13}\approx 3,61$ se află între diferența și suma laturilor date, iar unghiul fiind ascuțit, latura este sub $\sqrt{31}\approx 5,57$. Într-o cerință de tip „arătați că”, rezultatul e cunoscut dinainte, dar calculul trebuie scris complet, pas cu pas.

Să exersăm

Desenează triunghiul, marchează unghiul cunoscut și latura opusă lui. Orice cosinus negativ intră în calcul între paranteze, iar rezultatele cu radicali rămân exacte; aproximarea, unde e cerută, vine la final.

1. În triunghiul $ABC$, $b=16$, $c=55$ și $A=\frac{\pi }{3}$. Calculează $a$.

2. În triunghiul $ABC$, $b=9$, $c=56$ și $A=\frac{2\pi }{3}$. Calculează $a$.

3. În triunghiul $ABC$, $b=4\sqrt{2}$, $c=9$ și $A=\frac{\pi }{4}$. Calculează $a$.

4. În triunghiul $ABC$, $b=\sqrt{3}$, $c=4$ și $A=\frac{5\pi }{6}$. Calculează $a$.

5. În triunghiul $ABC$, $b=17$, $c=80$ și $A=\frac{\pi }{3}$. Calculează $a$ și precizează dacă $a$ este cea mai lungă latură a triunghiului.

6. În triunghiul $ABC$, $b=5\sqrt{3}$, $c=8$ și $A=\frac{\pi }{6}$. Calculează $a$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) În triunghiul $ABC$ cu $b=7$, $c=11$ și $A=\frac{2\pi }{3}$, latura $a$ este mai mică decât $16$.

8. În triunghiul $ABC$, $b=12$, $c=17$ și $A=38^{\circ }$. Folosind $\cos 38^{\circ }\approx 0,7880$, calculează $a$ cu două zecimale.

9. În triunghiul $ABC$, $b=6,5$, $c=4$ și $A=104^{\circ }$. Scrie $\cos 104^{\circ }$ prin suplement, folosind $\cos 76^{\circ }\approx 0,2419$, și calculează $a$ cu două zecimale.

10. Un paralelogram are laturile $6$ și $7$, iar una dintre diagonale are lungimea $9$. Află cealaltă diagonală fără să calculezi vreun unghi.

11. (Problemă aplicată.) O minge de golf se află la $150$ m de gaură. Jucătorul o lovește, iar mingea parcurge $140$ m în linie dreaptă, pe o direcție care face un unghi de $8^{\circ }$ cu direcția spre gaură. La ce distanță de gaură se oprește mingea? Folosește $\cos 8^{\circ }\approx 0,9903$ și comentează precizia.

12. Un triunghi isoscel are laturile egale de lungime $12$, iar unghiul dintre ele are $\frac{5\pi }{6}$. Calculează baza în formă exactă și cu două zecimale.

13. Un triunghi are două laturi de $2\sqrt{2}$ și de $9$. Calculează a treia latură pentru un unghi între ele de $\frac{\pi }{4}$ și pentru unul de $\frac{3\pi }{4}$, apoi explică diferența.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=3$, $AC=7$ și $A=\frac{2\pi }{3}$. Arătați că $BC=\sqrt{79}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=6$, $AC=11$ și $A=\frac{\pi }{3}$. Arătați că $BC=\sqrt{91}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=\sqrt{2}$, $AC=3$ și $A=\frac{\pi }{4}$. Arătați că $BC=\sqrt{5}$.

17. Un romb are latura $9$ și un unghi de $\frac{2\pi }{3}$. Calculează lungimile diagonalelor.

18. (Provocare.) Arată că în orice triunghi $ABC$ are loc egalitatea $a^2+b^2+c^2=2(bc\cos A+ac\cos B+ab\cos C)$, apoi verifică-o pe un triunghi echilateral cu latura $4$.

Răspunsuri și explicații

1. $a^2=256+3025-2\cdot 16\cdot 55\cdot \frac{1}{2}=3281-880=2401$, deci $a=49$. Control: $49$ este între $39$ și $71$.

2. $a^2=81+3136-2\cdot 9\cdot 56\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=3217+504=3721$, deci $a=61$, cea mai lungă latură, opusă unghiului obtuz.

3. $a^2=32+81-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=113-72=41$, deci $a=\sqrt{41}\approx 6,40$.

4. $a^2=3+16-2\cdot \sqrt{3}\cdot 4\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=19+12=31$, deci $a=\sqrt{31}\approx 5,57$. Latura este mai lungă decât $4$, cum cere unghiul obtuz.

5. $a^2=289+6400-2\cdot 17\cdot 80\cdot \frac{1}{2}=6689-1360=5329$, deci $a=73$. Latura $a$ nu este cea mai lungă: $73<80$. Unghiul $A$ este ascuțit, deci nu are nicio obligație să stea în fața laturii celei mai mari; cea mai lungă este $c=80$, iar unghiul $C$ din fața ei este obtuz.

6. $a^2=75+64-2\cdot 5\sqrt{3}\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=139-120=19$, deci $a=\sqrt{19}\approx 4,36$.

7. Adevărat. Cu $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$: $a^2=49+121+77=247$, iar $247<256=16^2$, deci $a<16$; mai precis, $a=\sqrt{247}\approx 15,72$. Controlul cu suma, $a<7+11=18$, nu ajungea: numai calculul decide între $16$ și $18$.

8. $a^2\approx 144+289-2\cdot 12\cdot 17\cdot 0,7880=433-321,504=111,496$, deci $a\approx 10,56$. Control: sub $\sqrt{433}\approx 20,81$, pentru că unghiul este ascuțit.

9. $\cos 104^{\circ }=-\cos 76^{\circ }\approx -0,2419$. Atunci $a^2\approx 42,25+16+2\cdot 6,5\cdot 4\cdot 0,2419=58,25+12,5788=70,8288$, deci $a\approx 8,42$, mai lungă decât $6,5$, cum cere unghiul obtuz.

10. Din legea paralelogramului, $d_2^2=2(36+49)-81=170-81=89$, deci cealaltă diagonală are lungimea $\sqrt{89}\approx 9,43$. Controlul: ambele diagonale sunt mai mici decât suma laturilor, $13$.

11. Mingea, gaura și locul loviturii formează un triunghi în care distanța căutată este opusă unghiului de $8^{\circ }$: $d^2\approx 22500+19600-2\cdot 150\cdot 140\cdot 0,9903=42100-41592,6=507,4$, deci $d\approx 22,53$ m. Cu valoarea digitală completă a cosinusului se obține aproximativ $22,56$ m: la unghiuri mici se scad două numere apropiate, iar a patra zecimală a cosinusului schimbă deja centimetrii. Modelul consideră terenul plan și mingea oprită exact la capătul celor $140$ m.

12. $a^2=144+144-2\cdot 12\cdot 12\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=288+144\sqrt{3}$, deci $a=\sqrt{288+144\sqrt{3}}=12\sqrt{2+\sqrt{3}}\approx 23,18$, aproape de $24$, cât ar fi dacă triunghiul s-ar turti complet.

13. Termenul de corecție este $2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=36$. Pentru $\frac{\pi }{4}$: $a^2=8+81-36=53$, deci $a=\sqrt{53}\approx 7,28$. Pentru $\frac{3\pi }{4}$: $a^2=89+36=125$, deci $a=5\sqrt{5}\approx 11,18$. Unghiurile sunt suplementare, deci cosinusurile sunt opuse: termenul $36$ se scade într-un caz și se adună în celălalt. Suma pătratelor, $53+125=178=2(8+81)$, este legea paralelogramului.

14. $B{C}^2=9+49-2\cdot 3\cdot 7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=58+21=79$, deci $BC=\sqrt{79}$.

15. $B{C}^2=36+121-2\cdot 6\cdot 11\cdot \frac{1}{2}=157-66=91$, deci $BC=\sqrt{91}$.

16. $B{C}^2=2+9-2\cdot \sqrt{2}\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=11-6=5$, deci $BC=\sqrt{5}$.

17. Diagonala opusă unghiului de $\frac{2\pi }{3}$: $d_1^2=81+81+81=243$, deci $d_1=9\sqrt{3}\approx 15,59$. Diagonala opusă unghiului alăturat, de $\frac{\pi }{3}$: $d_2^2=162-81=81$, deci $d_2=9$, egală cu latura: diagonala scurtă împarte rombul în două triunghiuri echilaterale.

18. Scriem teorema pentru toate cele trei laturi și adunăm: $a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(bc\cos A+ac\cos B+ab\cos C)$. Trecând suma pătratelor în membrul stâng, se obține exact egalitatea cerută. Pentru triunghiul echilateral cu latura $4$, membrul stâng este $16+16+16=48$, iar cel drept este $2\cdot 3\cdot 16\cdot \frac{1}{2}=48$.

De reținut

• În orice triunghi $ABC$, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, iar formulele pentru $b$ și $c$ se obțin rotind rolurile: latura din stânga este opusă unghiului din dreapta.
• Formula vine din coordonatele vârfului $C(b\cos A,b\sin A)$ și din formula distanței, fără cazuri separate pentru unghiul obtuz.
• Pentru unghiul drept regăsești teorema lui Pitagora; un unghi ascuțit micșorează latura din fața lui față de acest caz, unul obtuz o mărește, iar cosinusul negativ se scrie în paranteză.
• Rezultatul se controlează: latura a treia este între diferența și suma celorlalte două, iar cea opusă unghiului obtuz este cea mai lungă.
• În paralelogram, $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$, pentru că diagonalele sunt opuse unor unghiuri suplementare, cu cosinusuri opuse.

Greșeli frecvente

• Radicalul desfăcut pe termeni. Din $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ unii scriu direct $a=b+c-\sqrt{2bc\cos A}$, ca și cum rădăcina unei sume ar fi suma rădăcinilor. Nu este: $\sqrt{9+16}=5$, nu $3+4=7$. Calculezi întâi $a^2$ ca un singur număr și abia apoi extragi radicalul.
• Radicalul lăsat nesimplificat în produs. În $2\cdot 5\sqrt{2}\cdot 7\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$, unii calculează separat și rotunjesc radicalii. Produsul $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ trebuie observat înainte, iar rezultatul rămâne exact.
• Unghiul de întoarcere luat drept unghi al triunghiului. Când un drum se frânge și direcția se schimbă cu un unghi $\theta$, unghiul triunghiului din punctul de întoarcere este $\pi -\theta$, nu $\theta$. Cine pune $\theta$ în formulă obține cealaltă diagonală a paralelogramului, deci o distanță greșită.
• Rotunjirea cosinusului prea devreme. La unghiuri mici, $b^2+c^2$ și $2bc\cos A$ sunt numere apropiate, iar o rotunjire la două zecimale a cosinusului poate schimba rezultatul cu metri întregi. Păstrezi patru zecimale până la final.
• Diagonala greșită în paralelogram. Diagonala opusă unghiului ascuțit este cea scurtă, nu cea lungă. Dacă ai obținut ordinea inversă, ai asociat diagonala cu unghiul alăturat.

Aplică acasă

1. Drumul frânt pe podea. Lipește o bandă adezivă ca punct de plecare, mergi în linie dreaptă $3$ m, schimbă direcția cu un unghi măsurat cu raportorul, de exemplu $50^{\circ }$, și mai mergi $2$ m. Calculează distanța până la punctul de plecare, având grijă că unghiul triunghiului este suplementul unghiului de întoarcere, apoi măsoar-o cu ruleta. Repetă pentru o întoarcere de $130^{\circ }$ și explică de ce distanța s-a micșorat.
2. Diagonalele unui cadru care se deformează. Construiește un paralelogram din patru bețe prinse cu pioneze, care se poate „strâmba”. Măsoară cele două diagonale pentru trei poziții diferite și verifică de fiecare dată că suma pătratelor lor rămâne aproape aceeași. Scrie abaterile într-un tabel și explică de unde pot veni: jocul din îmbinări, grosimea bețelor, citirea riglei.
3. Teorema în program. Într-un program de geometrie dinamică, construiește un triunghi cu două laturi fixe, de $4$ și $7$ unități, și un unghi între ele comandat de un cursor. Afișează lungimea celei de-a treia laturi și, alături, valoarea calculată cu formula. Mișcă cursorul de la unghiuri mici la unghiuri aproape de $\pi$ și notează pentru ce unghi latura trece de $\sqrt{65}$.

Pentru părinți și profesori

La profilul științe ale naturii, teorema cosinusului vine în clasa a IX-a, imediat după unghiurile obtuze, iar argumentul prin coordonate leagă trigonometria de geometria analitică studiată la începutul anului. Elevul nu trebuie să memoreze o demonstrație lungă, ci să vadă că formula distanței și formula fundamentală o produc singure. Întrebări utile: „Ce unghi intră în formula laturii $BC$?”; „De ce latura opusă unui unghi obtuz iese cea mai lungă?”; „Între ce valori trebuie să fie rezultatul?”. Semnele de înțelegere: elevul marchează pe desen perechea latură–unghi, scrie cosinusul negativ în paranteză și își verifică singur rezultatul cu inegalitatea triunghiului. O greșeală greu de observat este folosirea unui unghi care nu e cuprins între laturile date; merită cerut, înainte de calcul, să arate pe figură vârful comun al celor două laturi. Problemele din științe cer în plus o propoziție despre model: ce s-a neglijat și ce înseamnă rezultatul în context. Pentru reluarea formulei distanței se poate folosi lecția despre distanța dintre două puncte, de la M2.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, unde teorema cosinusului este numită explicit în capitolul de aplicații ale trigonometriei în geometrie; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, iar din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) enumeră teorema cosinusului printre aplicațiile produsului scalar, alături de rezolvarea triunghiurilor. Modelul oficial din 2026 are la Subiectul I o singură cerință de trigonometrie, într-un triunghi dreptunghic, și nu folosește teorema cosinusului; un singur model nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: teorema cosinusului, enunț și primele aplicații este găzduită la clasa a X-a. Pe traseul M2, înainte de această lecție sunt unghiurile obtuze, la M2, după ea urmează teorema cosinusului pentru aflarea unghiurilor, la M2, iar exercițiile de sinteză sunt în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la teorema cosinusului în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, teorema vine în clasa a IX-a, cu unghiurile scrise des în radiani, și se argumentează prin coordonatele unui vârf și formula distanței, legătură cu geometria analitică a clasei. Aplicațiile sunt din biologie și sport. La mate-info, aceeași temă stă la începutul clasei a X-a și este prezentată ca instrument folosit direct.

La ce subiect al bacalaureatului M2 apare teorema cosinusului?

Programa de examen pentru 2027–2029 o enumeră printre aplicațiile produsului scalar și ale trigonometriei în geometrie, deci poate fi cerută într-o problemă de geometrie. Modelul oficial din 2026 nu o folosește: trigonometria apare acolo o singură dată, la Subiectul I, într-un triunghi dreptunghic. Exercițiile marcate în lecție imită forma cerințelor scurte de la Subiectul I.

De ce nu trebuie tratat separat cazul unghiului obtuz?

Pentru că argumentul prin coordonate folosește doar abscisa și ordonata vârfului, oricare ar fi semnul lor. Când unghiul este obtuz, abscisa este negativă, dar formula distanței ridică diferența la pătrat și calculul decurge la fel. Semnul cosinusului rămâne în formula finală și face singur diferența dintre cazuri, fără ca tu să alegi o altă formulă pentru unghiul obtuz.

Pot folosi teorema cosinusului și într-un triunghi dreptunghic?

Da, dar pentru latura opusă unghiului drept ea se reduce la teorema lui Pitagora, fiindcă termenul cu cosinus dispare. Pentru celelalte laturi se poate aplica, însă e mai lung decât rapoartele trigonometrice din triunghiul dreptunghic. Folosește teorema cosinusului acolo unde nu ai un unghi drept între laturile cunoscute.

Ce înseamnă legea paralelogramului și la ce folosește?

Suma pătratelor celor două diagonale ale unui paralelogram este egală cu dublul sumei pătratelor a două laturi alăturate. Ea vine din teorema cosinusului, fiindcă diagonalele sunt opuse unor unghiuri suplementare. Folosește atunci când cunoști laturile și o diagonală și vrei cealaltă diagonală fără să afli unghiurile.

Câte zecimale păstrez când cosinusul vine din tabel?

Păstrezi patru zecimale la cosinus și rotunjești doar rezultatul final, de obicei la două zecimale. La unghiurile mici, cum se vede la mingea de golf, scăderea a două numere apropiate amplifică erorile de rotunjire. Într-o problemă de măsurare, numărul de zecimale păstrate trebuie să corespundă preciziei datelor.