Teorema sinusurilor: enunț și aplicații (M2, științe ale naturii)

Astronomii măsoară cu mare precizie direcții pe cer, dar distanțele până la planete nu se pot întinde cu ruleta. Una dintre ideile lui Kepler a fost să lucreze cu triunghiul format de Soare, Pământ și Marte, în care cunoștea o latură și două unghiuri, și să scoată din el distanța necunoscută. Relația care face acest pas se numește teorema sinusurilor. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), lecția de față o enunță, arată de unde vine și o folosește pentru laturi și unghiuri necunoscute. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă de examen numește explicit teorema sinusurilor; modelul oficial publicat pentru 2026 folosește la Subiectul I un triunghi dreptunghic, fără teorema sinusurilor într-un triunghi oarecare. Pentru cei care au început clasa a IX-a în 2026, matematica devine în 2030 o probă la alegere la științe ale naturii, iar cine alege proba MAT_P2 găsește tema în domeniul „Geometrie. Trigonometrie”.

Pe traseul tău, lecția vine după natura unui triunghi din lungimile laturilor la M2, unde ai lucrat numai cu laturi. Folosim valorile exacte ale sinusului pentru unghiurile de bază, egalitatea $\sin (\pi -x)=\sin x$ din sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze la M2 și, pentru unghiurile fără valoare exactă, tabelele din lecția despre valorile funcțiilor trigonometrice din tabele la M2.

Ce vei învăța

• Vei enunța teorema sinusurilor și vei citi corect fiecare raport, cu latura și unghiul aflat în fața ei.
• Vei explica de unde vine egalitatea, citind în reper aceeași înălțime din două vârfuri diferite.
• Vei recunoaște din enunț dacă ai o pereche latură–unghi opus și o vei completa, la nevoie, cu suma unghiurilor.
• Vei calcula o latură necunoscută din o latură și două unghiuri, cu unghiuri date în grade sau în radiani.
• Vei calcula sinusul unui unghi necunoscut numai în situațiile în care unghiul este sigur unic și vei spune de ce.
• Vei folosi valori din tabel sau de la calculator pentru unghiuri ca $38^{\circ }$ sau $115^{\circ }$ și vei controla plauzibilitatea rezultatului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune teorema sinusurilor?

Păstrăm notațiile obișnuite: în triunghiul $ABC$, latura $a=BC$ se află în fața vârfului $A$, latura $b=AC$ în fața vârfului $B$, iar latura $c=AB$ în fața vârfului $C$. Unghiul opus unei laturi este unghiul triunghiului al cărui vârf nu se află pe acea latură; același nume, o dată cu literă mare și o dată cu literă mică, leagă un unghi de latura care nu-l atinge.

Teorema sinusurilor. Fie un triunghi oarecare $ABC$. Dacă împarți fiecare latură la sinusul unghiului aflat în fața ei, obții de fiecare dată același număr:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$

Teorema funcționează în triunghiurile ascuțitunghice, dreptunghice și obtuzunghice deopotrivă. Motivul este că unghiurile unui triunghi sunt între $0$ și $\pi$, iar pe acest interval sinusul este strict pozitiv, deci fiecare numitor este un număr pozitiv, chiar și pentru un unghi obtuz. Valoarea comună a celor trei rapoarte este o lungime, fiindcă sinusul este un număr fără unitate; înțelesul ei geometric îl afli în lecția următoare.

2. Ce nu poate face teorema cosinusului?

În teorema cosinusului apar trei laturi și un singur unghi. O folosești când cunoști cele trei laturi sau două laturi împreună cu unghiul cuprins între ele. Există însă date la fel de bune pentru a fixa un triunghi în care ea se blochează: o singură latură și unghiurile de la capetele ei. Un astfel de triunghi se poate desena cu rigla și raportorul, deci este bine determinat, dar teorema cosinusului are nevoie de a doua lungime ca să pornească.

Teorema sinusurilor rezolvă tocmai acest gol, pentru că pune în aceeași egalitate o latură și unghiul opus, nu o latură și unghiurile vecine. În plus, ea se potrivește cu felul în care se măsoară în multe științe: unghiurile se citesc ușor și precis, pe când lungimile cer deplasări sau instrumente scumpe. Un astronom citește unghiuri pe cer, un cristalograf citește unghiuri de difracție, un geolog citește înclinări de straturi; în toate aceste cazuri o singură lungime cunoscută, împreună cu unghiurile, fixează restul figurii.

3. De unde vine egalitatea?

Așază triunghiul într-un reper cu vârful $A$ în origine și latura $AB$ pe semiaxa pozitivă $Ox$. Vârful $C$ se află la distanța $b$ de origine, pe semidreapta care face unghiul $A$ cu axa, deci ordonata lui este $b\sin A$, după cum ai văzut la coordonatele unui punct aflat pe un cerc de rază oarecare. Aceeași ordonată se poate citi și din vârful $B$: segmentul $BC$ are lungimea $a$ și face cu dreapta $AB$ unghiul $B$ sau suplementul lui, iar $\sin (\pi -B)=\sin B$. Rezultă $a\sin B=b\sin A$, adică $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$. Pentru a treia pereche se repetă raționamentul cu altă latură pe axă. Programa îți cere să aplici teorema; aici ai ideea, iar verificarea de mai jos o confirmă pe un caz concret.

Luăm $A(0,0)$, $B(5,0)$ și $C(1,3)$. Distanțele sunt $c=AB=5$, $b=AC=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ și $a=BC=\sqrt{16+9}=5$. Ordonata lui $C$ este $3$, deci, în triunghiurile dreptunghice formate de înălțimea din $C$, $\sin A=\frac{3}{\sqrt{10}}$ și $\sin B=\frac{3}{5}$.

Primele două rapoarte ies exact la fel: $\frac{a}{\sin A}=\frac{5}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{5\sqrt{10}}{3}$ și $\frac{b}{\sin B}=\frac{\sqrt{10}}{\frac{3}{5}}=\frac{5\sqrt{10}}{3}$. Pentru al treilea, triunghiul este isoscel, cu $AB=BC=5$, deci unghiurile din $A$ și din $C$ sunt egale și $\sin C=\sin A$: $\frac{c}{\sin C}=\frac{5\sqrt{10}}{3}\approx 5,27$. Trei rapoarte, aceeași valoare, fără nicio aproximare.

4. Ce date îți trebuie ca să pornești?

Egalitatea $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ conține patru mărimi. Dacă trei sunt cunoscute, a patra rezultă printr-o înmulțire și o împărțire. Condiția practică de pornire se formulează simplu: îți trebuie o pereche completă, adică o latură și măsura unghiului opus ei. Perechea dă valoarea comună a rapoartelor; de acolo, orice altă latură sau alt sinus se obține într-un pas.

Merită să recunoști tipul datelor înainte de orice calcul. Trei laturi sau două laturi cu unghiul dintre ele cer teorema cosinusului. O latură și două unghiuri, oriunde ar fi ele așezate, duc la teorema sinusurilor, după ce afli al treilea unghi. Două laturi și un unghi care nu este cuprins între ele duc tot la teorema sinusurilor, dar cer atenție la unicitatea unghiului căutat.

Uneori perechea lipsește la prima vedere, dar se completează imediat. Dacă enunțul dă două unghiuri, al treilea este $\pi$ minus suma lor, adică $180^{\circ }$ minus suma, dacă lucrezi în grade. Dacă datele sunt două laturi și unghiul cuprins între ele, niciun unghi nu stă în fața unei laturi cunoscute, iar pornirea se face cu teorema cosinusului, nu cu cea de față.

5. Cum afli o latură?

Fie $a=4$, $m(\angle A)=48^{\circ }$ și $m(\angle B)=71^{\circ }$. Perechea completă este $(a,A)$, iar latura căutată, $b$, stă în fața unghiului $B$. Din proporție izolăm $b$ și folosim valorile din tabel $\sin 48^{\circ }\approx 0,7431$ și $\sin 71^{\circ }\approx 0,9455$:

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}\approx \frac{4\cdot 0,9455}{0,7431}\approx 5,09.$$

Pe scurt: la numărător stau latura dată și sinusul unghiului care privește latura necunoscută, iar la numitor stă sinusul unghiului care privește latura dată. Controlul de ordine vine imediat: $B$ este mai mare decât $A$, deci $b$ trebuie să fie mai lungă decât $a$, iar $5,09$ este într-adevăr peste $4$.

6. Cum afli sinusul unui unghi și când unghiul este unic?

Fie acum $a=9$, $b=4$ și $A=\frac{\pi }{3}$. Perechea completă este tot $(a,A)$, iar necunoscuta este $\sin B$:

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9}=\frac{2\sqrt{3}}{9}\approx 0,3849.$$

Valoarea nu este în tabelul unghiurilor de bază, așa că unghiul se citește cu tastele inverse ale calculatorului: $B\approx 22,6^{\circ }$. Pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ același sinus îl are și suplementul, de aproximativ $157,4^{\circ }$, dar el nu poate fi unghiul $B$: latura $b$ este mai mică decât $a$, deci $B$ este mai mic decât $A=60^{\circ }$. Unghiul este unic.

Reține cele două situații în care concluzia este sigură: unghiul căutat se află în fața unei laturi mai mici decât latura perechii complete sau triunghiul are deja un unghi obtuz, iar al doilea nu mai încape. În celelalte situații pot exista două triunghiuri cu aceleași date; discuția completă o face lecția M2 despre cazurile ULU și LLU ale rezolvării triunghiului.

7. Ce spune teorema despre forma triunghiului?

Scrisă ca șir de rapoarte egale, teorema spune că laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse:

$$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C.$$

Unghiurile fixează, deci, forma triunghiului, iar o singură lungime îi fixează mărimea. Un triunghi cu unghiurile $44^{\circ }$, $66^{\circ }$ și $70^{\circ }$ are laturile în raportul $\sin 44^{\circ }:\sin 66^{\circ }:\sin 70^{\circ }\approx 0,6947:0,9135:0,9397$, adică, împărțind la primul număr, aproximativ $1:1,32:1,35$, oricât de mare ar fi triunghiul.

Pentru triunghiurile dreptunghice, citirea aceasta nu aduce nimic nou: rapoartele laturilor lor le-ai recapitulat în recapitularea trigonometriei în triunghiul dreptunghic la M2, iar teorema sinusurilor doar le regăsește. Puterea ei se vede în triunghiurile fără unghi drept, ca în exemplele următoare.

O consecință pe care o folosești ca test la fiecare rezultat: ordinea laturilor coincide cu ordinea unghiurilor. O latură calculată care iese mai lungă decât alta, deși unghiul ei este mai mic, semnalează o greșeală de citire a perechilor.

8. Ce faci când unghiul nu are valoare exactă?

Programa de științe spune explicit că, în aplicațiile trigonometriei în geometrie, valorile se pot lua din tabele sau cu mijloace digitale. Pentru $a=12$, $A=50^{\circ }$ și $B=70^{\circ }$ citim $\sin 50^{\circ }\approx 0,7660$ și $\sin 70^{\circ }\approx 0,9397$, apoi calculăm $b\approx \frac{12\cdot 0,9397}{0,7660}\approx 14,72$.

Tabelele din lecția despre valorile trigonometrice din tabele conțin doar unghiuri ascuțite. Pentru un unghi obtuz folosești egalitatea $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$ din lecția despre unghiurile obtuze: de exemplu, $\sin 105^{\circ }=\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$, iar $\sin 130^{\circ }=\sin 50^{\circ }\approx 0,7660$. Două reguli de lucru: rotunjești o singură dată, la final, și scrii $\approx$ acolo unde ai folosit o valoare de tabel. Tot aici intră și unghiurile de $15^{\circ }$, $75^{\circ }$ sau $105^{\circ }$: valorile lor exacte cer formule care nu fac parte din programa clasei, deci la M2 le iei din tabel sau de la calculator.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O latură din două unghiuri date în radiani

În triunghiul $ABC$ se cunosc $BC=9$, $A=\frac{\pi }{3}$ și $B=\frac{\pi }{6}$. Calculează $AC$.

Rezolvare. Latura $BC$ este $a$, opusă unghiului $A$, deci perechea completă este $(BC,A)$. Latura căutată, $AC$, stă în fața unghiului $B$:

$$AC=\frac{BC\sin B}{\sin A}=\frac{9\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\approx 5,20.$$

Controlul: $B<A$, iar $AC\approx 5,20$ este mai scurtă decât $BC=9$, cum trebuie. Al treilea unghi este $C=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$, deci triunghiul e dreptunghic, iar rezultatul coincide cu cel dat de tangentă, ca în recapitularea trigonometriei în triunghiul dreptunghic la M2: $AC=BC\mathrm{tg}B$. Teorema sinusurilor nu contrazice trigonometria triunghiului dreptunghic, ci o cuprinde; de aici încolo lucrăm numai cu triunghiuri fără unghi drept.

Exemplul 2 — Perechea completată din suma unghiurilor

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=15$, $m(\angle A)=38^{\circ }$ și $m(\angle B)=97^{\circ }$. Folosind $\sin 38^{\circ }\approx 0,6157$, calculează $BC$.

Rezolvare. Latura cunoscută, $AB$, stă în fața unghiului $C$, care nu este dat. Îl aflăm din suma unghiurilor: $m(\angle C)=180^{\circ }-38^{\circ }-97^{\circ }=45^{\circ }$. Acum perechea $(AB,C)$ este completă, iar $BC$ stă în fața unghiului $A$:

$$BC=\frac{AB\sin A}{\sin C}\approx \frac{15\cdot 0,6157}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\approx 13,06.$$

Observă că $\sin 97^{\circ }$ nu a fost necesar: unghiul de $97^{\circ }$ a servit doar la aflarea lui $C$. Alegerea perechilor potrivite a ocolit o valoare de tabel; ea ar fi apărut abia dacă s-ar fi cerut și latura $AC$. Dacă ai fi încercat să pornești de la latura $AB$ și unghiul $B$, ai fi amestecat o latură cu un unghi alăturat ei, iar raportul obținut n-ar fi avut nicio legătură cu teorema. Ordinea de control confirmă rezultatul: unghiul $A$ este cel mai mic, deci $BC$ trebuie să fie cea mai scurtă latură, iar $13,06<15$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

În triunghiul $ABC$, $a=14$, $m(\angle A)=36^{\circ }$ și $m(\angle B)=57^{\circ }$, cu $\sin 36^{\circ }\approx 0,5878$ și $\sin 57^{\circ }\approx 0,8387$. Un elev scrie: „$b=\frac{14\cdot 0,5878}{0,8387}\approx 9,81$”. De ce nu poate fi corect și cât este $b$?

Rezolvare. Rezultatul elevului este mai mic decât $a=14$, deși unghiul $B$ este mai mare decât $A$. Ordinea laturilor contrazice ordinea unghiurilor, deci formula a inversat sinusurile: la numărător trebuie sinusul unghiului din fața laturii căutate.

Corect, $b=\frac{a\sin B}{\sin A}\approx \frac{14\cdot 0,8387}{0,5878}\approx 19,98$, o latură mai lungă decât $a$, în acord cu $B>A$.

Exemplul 4 — Distanța de la Soare la Marte

Într-o variantă simplificată a unei idei a lui Kepler, triunghiul are vârfurile $S$ (Soarele), $P$ (Pământul) și $M$ (Marte). Distanța $SP$ este de $1$ UA, adică aproximativ $149,6$ milioane de kilometri. Unghiul din $S$, dintre direcțiile spre Pământ și spre Marte, are $20^{\circ }$, iar unghiul din $P$, dintre direcțiile spre Soare și spre Marte, are $130^{\circ }$. Folosind $\sin 50^{\circ }\approx 0,7660$, calculează distanța $SM$.

Rezolvare. Unghiul din $M$ este $180^{\circ }-20^{\circ }-130^{\circ }=30^{\circ }$. Latura cunoscută $SP$ stă în fața unghiului din $M$, deci perechea este completă. Latura căutată $SM$ stă în fața unghiului din $P$, iar $\sin 130^{\circ }=\sin 50^{\circ }$:

$$SM=\frac{SP\cdot \sin 130^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}\approx \frac{1\cdot 0,7660}{\frac{1}{2}}\approx 1,53\text{UA}.$$

În kilometri, $SM\approx 1,532\cdot 149,6\approx 229,2$ milioane de kilometri. Rezultatul este plauzibil: distanța reală dintre Soare și Marte variază între aproximativ $1,38$ UA și $1,67$ UA, pentru că orbita planetei nu este un cerc perfect. Modelul presupune că cele trei corpuri sunt puncte și că unghiurile sunt măsurate în același moment. Controlul de ordine funcționează și aici: latura $SM$ stă în fața celui mai mare unghi, cel de $130^{\circ }$, deci trebuie să fie cea mai lungă; un rezultat sub $1$ UA ar fi trădat o inversare a sinusurilor.

Exemplul 5 — Fețele unei prisme optice

Secțiunea unei prisme de sticlă este triunghiul $ABC$ cu $m(\angle A)=52^{\circ }$, $m(\angle B)=60^{\circ }$ și $m(\angle C)=68^{\circ }$, iar fața opusă unghiului de $60^{\circ }$ are lățimea $AC=4$ cm. Folosind $\sin 52^{\circ }\approx 0,7880$, $\sin 60^{\circ }\approx 0,8660$ și $\sin 68^{\circ }\approx 0,9272$, calculează lățimile celorlalte două fețe.

Rezolvare. Suma unghiurilor este $52^{\circ }+60^{\circ }+68^{\circ }=180^{\circ }$, deci datele sunt compatibile. Perechea completă este $(AC,B)$. Fața $AB$ stă în fața unghiului $C$, iar fața $BC$ în fața unghiului $A$:

$$AB=\frac{AC\sin C}{\sin B}\approx \frac{4\cdot 0,9272}{0,8660}\approx 4,28\text{cm},BC=\frac{AC\sin A}{\sin B}\approx \frac{4\cdot 0,7880}{0,8660}\approx 3,64\text{cm}.$$

Ordinea $3,64<4<4,28$ respectă ordinea unghiurilor $52^{\circ }<60^{\circ }<68^{\circ }$. Pentru fizician, unghiul din vârful prismei hotărăște cât de mult deviază lumina; lățimile fețelor contează la montarea prismei în suport.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=4$, $AC=7$ și $B=\frac{2\pi }{3}$. Arătați că $\sin C=\frac{2\sqrt{3}}{7}$.

Rezolvare. Latura $AC$ stă în fața unghiului $B$, deci perechea completă este $(AC,B)$; latura $AB$ stă în fața unghiului $C$. Sinusul unghiului obtuz vine din relația $\sin (\pi -x)=\sin x$: $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Din teorema sinusurilor, $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, deci

$$\sin C=\frac{AB\sin B}{AC}=\frac{4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{2\sqrt{3}}{7}\approx 0,4949.$$

Unghiul $C$ este sigur ascuțit, fiindcă triunghiul are deja unghiul obtuz $B$; cu tastele inverse ale calculatorului, $C\approx 29,66^{\circ }$. Latura $AC$, din fața unghiului obtuz, este cea mai lungă, cum cere ordinea unghiurilor. Enunțul folosește unghiuri în radiani, ca modelul oficial al probei M_șt-nat, și verbul „Arătați”; este construit de noi în stilul Subiectului I, nu preluat dintr-un subiect oficial.

Să exersăm

Identifică întâi perechea completă; dacă lipsește, completează-o cu suma unghiurilor. Rezultatele cu radicali rămân exacte, iar cele cu valori de tabel se dau cu două zecimale.

1. În triunghiul $ABC$, $a=11$, $m(\angle A)=46^{\circ }$ și $m(\angle B)=77^{\circ }$. Calculează $b$, folosind $\sin 46^{\circ }\approx 0,7193$ și $\sin 77^{\circ }\approx 0,9744$.

2. În triunghiul $ABC$, $a=8$, $\sin A=0,4$ și $\sin B=0,5$. Calculează $b$.

3. În triunghiul $ABC$, $a=7$, $m(\angle A)=135^{\circ }$ și $m(\angle B)=20^{\circ }$. Calculează $b$, folosind $\sin 20^{\circ }\approx 0,3420$.

4. În triunghiul $ABC$, $c=18$, $m(\angle A)=42^{\circ }$ și $m(\angle B)=23^{\circ }$. Calculează $a$, folosind $\sin 42^{\circ }\approx 0,6691$ și $\sin 65^{\circ }\approx 0,9063$.

5. În triunghiul $ABC$, $BC=6$, $AC=4$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Află $\sin B$. Poate fi $B$ un unghi obtuz? Justifică.

6. În triunghiul $ABC$, $a=10$, $m(\angle A)=38^{\circ }$ și $m(\angle B)=64^{\circ }$. Calculează $b$, folosind $\sin 38^{\circ }\approx 0,6157$ și $\sin 64^{\circ }\approx 0,8988$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În triunghiul $ABC$ cu $a=7$, $m(\angle A)=25^{\circ }$ și $m(\angle B)=30^{\circ }$, latura $b$ este mai mică decât $8$.” Folosește $\sin 25^{\circ }\approx 0,4226$.

8. Triunghiul isoscel $ABC$ are $AB=AC$, baza $BC=10$ și $m(\angle A)=36^{\circ }$. Folosind $\sin 36^{\circ }\approx 0,5878$ și $\sin 72^{\circ }\approx 0,9511$, calculează $AB$ și raportul $\frac{AB}{BC}$.

9. Punctele $A(0,0)$, $B(7,0)$ și $C(2,2)$ sunt vârfurile unui triunghi. Calculează $BC$, $AC$, $\sin A$ și $\sin B$ și verifică egalitatea $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$.

10. Diagonala $AC$ a paralelogramului $ABCD$ are lungimea $10$ și formează cu laturile $AB$ și $AD$ unghiuri de $30^{\circ }$, respectiv $50^{\circ }$. Calculează laturile $AB$ și $BC$, folosind $\sin 50^{\circ }\approx 0,7660$ și $\sin 80^{\circ }\approx 0,9848$.

11. (Problemă aplicată.) O seră are secțiunea transversală un triunghi $ABC$ cu baza $AB=6$ m, iar cele două pante ale acoperișului fac cu solul unghiurile $m(\angle A)=25^{\circ }$ și $m(\angle B)=40^{\circ }$. Folosind $\sin 25^{\circ }\approx 0,4226$, $\sin 40^{\circ }\approx 0,6428$ și $\sin 65^{\circ }\approx 0,9063$, calculează lungimile celor două pante, $AC$ și $BC$.

12. În triunghiul $ABC$, $BC=9$, $m(\angle A)=100^{\circ }$ și $m(\angle B)=35^{\circ }$. Calculează $AC$, folosind $\sin 80^{\circ }\approx 0,9848$ și $\sin 35^{\circ }\approx 0,5736$.

13. Într-un triunghi $ABC$ are loc $\sin A=2\sin B$. Ce relație există între laturile $a$ și $b$?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $BC=7$, $\sin A=\frac{7}{8}$ și $B=\frac{\pi }{3}$. Arătați că $AC=4\sqrt{3}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=9$, $\sin C=\frac{3}{4}$ și $\sin A=\frac{2}{3}$. Arătați că $BC=8$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AC=3$, $BC=4$ și $A=\frac{\pi }{4}$. Arătați că $\sin B=\frac{3\sqrt{2}}{8}$.

17. Arată că, în orice triunghi $ABC$, are loc $\frac{a-b}{b}=\frac{\sin A-\sin B}{\sin B}$.

18. (Provocare.) Arată că, în orice triunghi $ABC$, are loc $\sin A+\sin B>\sin C$.

Răspunsuri și explicații

1. $b=\frac{a\sin B}{\sin A}\approx \frac{11\cdot 0,9744}{0,7193}\approx 14,90$. Controlul de ordine: $B>A$, deci $b>a$, iar $14,90>11$.

2. $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{8\cdot 0,5}{0,4}=10$. Nu a fost nevoie de măsurile unghiurilor: teorema lucrează direct cu sinusurile lor.

3. $\sin 135^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $b=\frac{a\sin B}{\sin A}\approx \frac{7\cdot 0,3420}{0,7071}\approx 3,39$. Latura opusă unghiului obtuz rămâne cea mai lungă: $7>3,39$.

4. $m(\angle C)=180^{\circ }-42^{\circ }-23^{\circ }=115^{\circ }$, iar perechea completă este $(c,C)$, cu $\sin 115^{\circ }=\sin 65^{\circ }$. Atunci $a=\frac{c\sin A}{\sin C}\approx \frac{18\cdot 0,6691}{0,9063}\approx 13,29$. Sinusul lui $23^{\circ }$ nu intervine, iar $a<c$, pentru că $A<C$.

5. Perechea completă este $(BC,A)$: $\sin B=\frac{AC\sin A}{BC}=\frac{4\cdot \frac{1}{2}}{6}=\frac{1}{3}\approx 0,3333$, deci $B\approx 19,47^{\circ }$. Unghiul $B$ nu poate fi obtuz: $AC<BC$, deci $B$ este mai mic decât $A=30^{\circ }$, iar suplementul, de aproximativ $160,53^{\circ }$, este exclus.

6. $b=\frac{a\sin B}{\sin A}\approx \frac{10\cdot 0,8988}{0,6157}\approx 14,60$. Cum $B>A$, era de așteptat $b>a$.

7. Fals. $b=\frac{a\sin B}{\sin A}\approx \frac{7\cdot 0,5}{0,4226}\approx 8,28$, deci $b>8$. Ordinea unghiurilor spunea doar că $b>7$; pragul de $8$ se decide numai prin calcul.

8. Unghiurile de la bază au câte $\frac{180^{\circ }-36^{\circ }}{2}=72^{\circ }$. Latura $AB$ stă în fața unghiului $C$, iar $BC$ în fața unghiului $A$: $AB=\frac{BC\sin C}{\sin A}\approx \frac{10\cdot 0,9511}{0,5878}\approx 16,18$, iar $\frac{AB}{BC}\approx 1,618$. Este raportul de aur, pe care îl regăsești în steaua cu cinci colțuri a unui pentagon regulat.

9. $BC=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$ și $AC=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$. Punctul $C$ se află pe bisectoarea primului cadran, deci $A=\frac{\pi }{4}$ și $\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Înălțimea din $C$ are lungimea $2$, deci $\sin B=\frac{2}{\sqrt{29}}$. Rapoartele: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{2\sqrt{29}}{\sqrt{2}}=\sqrt{58}$ și $\frac{AC}{\sin B}=\frac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{29}}{2}=\sqrt{58}$.

10. În triunghiul $ABC$, $m(\angle BAC)=30^{\circ }$, iar $m(\angle BCA)=m(\angle CAD)=50^{\circ }$, unghiuri alterne interne, fiindcă $BC\parallel AD$. Atunci $m(\angle B)=100^{\circ }$, cu $\sin 100^{\circ }=\sin 80^{\circ }$. Latura $AB$ stă în fața unghiului de $50^{\circ }$: $AB\approx \frac{10\cdot 0,7660}{0,9848}\approx 7,78$. Latura $BC$ stă în fața unghiului de $30^{\circ }$: $BC\approx \frac{10\cdot 0,5}{0,9848}\approx 5,08$.

11. $m(\angle C)=180^{\circ }-25^{\circ }-40^{\circ }=115^{\circ }$, cu $\sin 115^{\circ }=\sin 65^{\circ }$, iar perechea completă este $(AB,C)$. Panta $AC$ stă în fața unghiului $B$: $AC=\frac{AB\sin B}{\sin C}\approx \frac{6\cdot 0,6428}{0,9063}\approx 4,26$ m. Panta $BC$ stă în fața unghiului $A$: $BC=\frac{AB\sin A}{\sin C}\approx \frac{6\cdot 0,4226}{0,9063}\approx 2,80$ m. Panta mai abruptă este cea mai scurtă.

12. Latura $BC$ stă în fața unghiului $A$, iar $AC$ în fața unghiului $B$. Cum $\sin 100^{\circ }=\sin 80^{\circ }$, avem $AC=\frac{BC\sin B}{\sin A}\approx \frac{9\cdot 0,5736}{0,9848}\approx 5,24$. Unghiul $A$ este obtuz, deci $BC=9$ rămâne cea mai lungă latură.

13. Din teorema sinusurilor, $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}=2$, deci $a=2b$. Latura $a$ este dublul laturii $b$, chiar dacă unghiul $A$ nu este neapărat dublul unghiului $B$.

14. Latura $BC$ stă în fața unghiului $A$, iar $AC$ în fața unghiului $B$: $AC=\frac{BC\sin B}{\sin A}=\frac{7\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{7}{8}}=\frac{7\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{8}{7}=4\sqrt{3}$. Nu e nevoie să afli unghiul $A$: rezultatul este același, fie că $A$ este ascuțit, fie că este obtuz.

15. Latura $AB$ stă în fața unghiului $C$, iar $BC$ în fața unghiului $A$, deci perechea completă este $(AB,C)$: $BC=\frac{AB\sin A}{\sin C}=\frac{9\cdot \frac{2}{3}}{\frac{3}{4}}=6\cdot \frac{4}{3}=8$. Controlul: $\sin A<\sin C$, iar $BC=8<9=AB$.

16. Perechea completă este $(BC,A)$: $\sin B=\frac{AC\sin A}{BC}=\frac{3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{8}\approx 0,5303$. Cum $AC<BC$, unghiul $B$ este mai mic decât $A$, deci ascuțit, de aproximativ $32,03^{\circ }$.

17. Din $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ rezultă $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}$. Scădem $1$ din ambii membri: $\frac{a}{b}-1=\frac{\sin A}{\sin B}-1$, adică $\frac{a-b}{b}=\frac{\sin A-\sin B}{\sin B}$.

18. Notăm cu $k$ valoarea comună a rapoartelor, un număr pozitiv. Atunci $\sin A=\frac{a}{k}$, $\sin B=\frac{b}{k}$ și $\sin C=\frac{c}{k}$. Inegalitatea triunghiului, $a+b>c$, împărțită la $k>0$, dă $\sin A+\sin B>\sin C$.

De reținut

• În orice triunghi, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$; fiecare raport pune o latură lângă unghiul din fața ei, iar valoarea comună este o lungime.
• Pornirea cere o pereche completă, latură și unghi opus; două unghiuri date o completează prin suma lor, egală cu $\pi$, pe când două laturi cu unghiul dintre ele cer teorema cosinusului.
• Pentru latura necunoscută: la numărător pui latura dată și sinusul unghiului care o privește pe cea căutată, la numitor sinusul unghiului care privește latura dată.
• Un unghi aflat din sinus este sigur unic dacă stă în fața unei laturi mai mici decât latura perechii sau dacă triunghiul are deja un unghi obtuz; altfel discuția se face la cazul LLU.
• Unghiurile de $15^{\circ }$, $75^{\circ }$ sau $105^{\circ }$ nu au la M2 valori exacte: le iei din tabel sau de la calculator, rotunjești la final și verifici ordinea laturilor.

Greșeli frecvente

• Produsul în locul raportului. Cine scrie „$a\sin A=b\sin B$” înmulțește fiecare latură cu propriul unghi. Egalitatea corectă, după ce elimini numitorii, este $a\sin B=b\sin A$: fiecare latură se înmulțește cu sinusul unghiului din fața celeilalte.
• Laturile proporționale cu unghiurile. Din $B$ dublu față de $A$ nu rezultă $b$ dublu față de $a$. Proporția leagă laturile de sinusuri, iar sinusul nu crește proporțional cu unghiul.
• Grade și radiani în aceeași scădere. Scris „$C=180^{\circ }-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}$”, al treilea unghi iese fără sens. În aceeași sumă toate unghiurile se scriu în grade sau toate în radiani: $C=\pi -\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{12}$.
• Laturile luate egale cu sinusurile. Când enunțul dă doar unghiurile, unii elevi scriu $a=\sin A$. Unghiurile dau doar forma, adică raportul laturilor; fără o lungime cunoscută, mărimea triunghiului rămâne nedeterminată.
• Sinusul unui unghi obtuz scris cu minus. Un unghi obtuz are cosinusul negativ, dar sinusul pozitiv: $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, nu $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Un raport negativ într-o latură calculată este semnul acestei confuzii.

Aplică acasă

1. Formula într-o foaie de calcul. Construiește o foaie de calcul în care introduci o latură și două unghiuri în grade, iar celulele calculează al treilea unghi și celelalte două laturi cu teorema sinusurilor. Atenție: funcția de sinus a programului lucrează în radiani, deci conversia face parte din formulă. Verifică foaia cu exercițiile 4, 6 și 11 din lecție.
2. Triunghiul dintr-o fotografie. Fotografiază frontal o structură triunghiulară, de exemplu fronton, suport de raft sau indicator rutier. Cu o aplicație de măsurat unghiuri pe imagine, citește două unghiuri, apoi măsoară o latură în pixeli. Calculează celelalte două laturi cu teorema sinusurilor și compară-le cu măsurătoarea directă din imagine.
3. Aceeași formă la trei mărimi. Desenează cu raportorul trei triunghiuri cu unghiurile de $40^{\circ }$, $60^{\circ }$ și $80^{\circ }$, cu latura cea mai scurtă de $4$ cm, $6$ cm și $8$ cm. Măsoară toate laturile și calculează, pentru fiecare, rapoartele dintre laturi. Compară-le cu $\sin 40^{\circ }:\sin 60^{\circ }:\sin 80^{\circ }$.

Pentru părinți și profesori

Teorema sinusurilor este a doua relație de bază a unității. La profilul științe ale naturii ea vine în clasa a IX-a, imediat după teorema cosinusului și natura triunghiului, iar Anexa 28 o numește explicit în conținuturile de la IX.7. Lecția prezintă enunțul, ideea care îl explică, citirea aceleiași înălțimi din două vârfuri într-un reper, și o verificare numerică, apoi insistă pe folosire: alegerea perechii complete, completarea ei din suma unghiurilor, controlul prin ordinea laturilor. Aflarea unui unghi din sinus este tratată doar în situațiile în care unghiul este sigur unic; discuția completă rămâne pentru lecția despre cazul LLU. Întrebări de control: „Ce pereche folosești aici și de ce?”; „De ce ai nevoie de al treilea unghi?”; „Cum știi că unghiul găsit este unic?”. O dificultate care apare des nu ține de trigonometrie, ci de citirea literelor: elevul care nu marchează pe desen perechile latură–unghi opus amestecă ușor numitorii. Cereți schița înaintea calculului și, la fiecare rezultat, o propoziție despre ordinea laturilor. Pentru reluarea sinusului unui unghi ascuțit din gimnaziu este utilă lecția de clasa a VII-a despre sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, care numește teorema sinusurilor în conținuturile unității IX.7 și permite valori din tabele ori obținute cu mijloace digitale. Pentru generația care a început liceul în 2026, matematica este din 2030 o probă la alegere la științe ale naturii (OME 4138/2026); cine o alege dă proba MAT_P2 (programa din anexa 4.2 la OMEC 5077/2026), unde tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține explicit „teorema sinusurilor” și „rezolvarea triunghiurilor oarecare”. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință de trigonometrie într-un triunghi dreptunghic, fără teorema sinusurilor într-un triunghi oarecare; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul Subiectului I, nu preluate dintr-un subiect oficial.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: teorema sinusurilor, enunț și aplicații are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2, lecția următoare este teorema sinusurilor și raza cercului circumscris la M2, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la teorema sinusurilor în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, teorema se învață în clasa a IX-a, în aceeași unitate cu cercul trigonometric, și se aplică des cu unghiuri date în radiani. Lecția M2 adaugă ideea explicată într-un reper cartezian, modele din astronomie și optică și limitează aflarea unghiurilor la cazurile în care unghiul este sigur unic.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea teorema sinusurilor?

Programa de examen pentru 2027–2029 numește explicit teorema sinusurilor și rezolvarea triunghiurilor oarecare, iar în modelul oficial cerințele scurte de trigonometrie sunt la Subiectul I. Modelul publicat pentru 2026 folosește acolo un triunghi dreptunghic; exercițiile noastre marcate sunt construite în același stil, cu unghiuri în radiani.

De ce valoarea comună a rapoartelor se măsoară în unități de lungime?

Sinusul este un raport de două lungimi, deci un număr fără unitate. Împărțind o latură măsurată în centimetri la un asemenea număr, rezultatul rămâne în centimetri. Tocmai de aceea valoarea comună a celor trei rapoarte poate avea un înțeles geometric, o lungime legată de triunghi, pe care o vei descoperi în lecția următoare.

Pot folosi teorema sinusurilor cu unghiuri date în radiani?

Da. Teorema folosește sinusul unghiului, iar sinusul lui $\frac{\pi }{6}$ este același cu sinusul lui $30^{\circ }$. Singura grijă apare la calculator și la suma unghiurilor: toate unghiurile dintr-un calcul se scriu în aceeași unitate, iar calculatorul se pune în modul potrivit înainte de a apăsa tasta sinus.

De ce la M2 nu calculez exact sinusul unui unghi de 75 de grade?

Valoarea exactă se obține din formula sinusului unei sume, care la științe ale naturii nu face parte din programa clasei a IX-a; ea apare doar în suplimentul pentru bacalaureatul M2 din 2027–2029. În aplicațiile de geometrie, programa îți permite să iei valoarea din tabel sau de la calculator.

Cum verific rapid dacă latura calculată este plauzibilă?

Compară ordinea laturilor cu ordinea unghiurilor opuse: unghiului mai mare trebuie să-i corespundă latura mai lungă. Dacă latura calculată iese mai lungă deși unghiul ei este mai mic, ai inversat sinusurile în formulă. Pentru triunghiurile cu un unghi obtuz, latura din fața lui trebuie să fie cea mai lungă.