Coeficientul binomial e totuna cu al termenului?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Termenul general

Nu. Coeficientul binomial al termenului $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ este doar $C_{n}^{k}$ . Coeficientul termenului este numărul rămas în fața literelor după ce calculezi și puterile constantelor din $a$ și $b$ , cu semn cu tot. Exemplu: la $(2 x - 1)^{5}$ , termenul al treilea are $k = 2$ și este $C_{5}^{2} (2 x)^{3} (- 1)^{2} = 10 \cdot 8 x^{3} = 80 x^{3}$ . Coeficientul binomial este $10$ , iar coeficientul termenului este $80$ .

Un singur termen al dezvoltării lui $(a + b)^{n}$ se scrie direct: $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , cu $k$ de la $0$ la $n$ . Rangul unui termen este poziția lui, numărată de la $1$ , deci pentru rangul $r$ iei $k = r - 1$ ; tot $k$ apare ca putere a lui $b$ și ca indice superior în $C_{n}^{k}$ .

Programa de științe cere să deosebești coeficientul binomial, $C_{n}^{k}$ , de coeficientul termenului, numărul rămas în fața literelor după ce ai calculat puterile. La $(a - b)^{n}$ semnul termenului este dat de $(- 1)^{k}$ : pozițiile impare sunt pozitive, cele pare negative.

Pentru termenul liber sau pentru un anumit $x^{m}$ exprimi puterea lui $x$ în funcție de $k$ și rezolvi ecuația obținută. Dacă $k$ nu iese număr natural între $0$ și $n$ , termenul nu există. Când $n$ e par, dezvoltarea are un termen central; când $n$ e impar, are doi, cu același coeficient binomial. Simetria $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ face ca termenii simetrici față de centru să aibă coeficienți binomiali egali.

De reținut

$T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , iar rangul este $k + 1$
coeficientul binomial este $C_{n}^{k}$ ; coeficientul termenului include și puterile constantelor
la $(a - b)^{n}$ semnul termenului este $(- 1)^{k}$

Greșeala tipică

Se răspunde cu $C_{n}^{k}$ când enunțul cere coeficientul termenului; la $(2 x - 1)^{5}$ , termenul al treilea are coeficientul $80$ , nu $10$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce valoare are $k$ în formula termenului general pentru termenul al șaselea?
- a) $6$
- b) $5$
- c) $7$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Rangul este $k + 1$ , deci $k = 6 - 1 = 5$ .
Care este termenul al doilea al dezvoltării $(x + 5)^{5}$ ?
- a) $5 x^{4}$
- b) $25 x^{4}$
- c) $125 x^{4}$
- d) $10 x^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $25 x^{4}$

Pentru $k = 1$ : $C_{5}^{1} x^{4} \cdot 5 = 25 x^{4}$ .
Care este coeficientul binomial al termenului al șaselea din dezvoltarea $(2 x - 5)^{11}$ ?
- a) $462$
- b) $330$
- c) $55$
- d) $11$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $462$

Rangul $6$ înseamnă $k = 5$ , deci coeficientul binomial este $C_{11}^{5} = 462$ . Puterile lui $2 x$ și $- 5$ intră abia în coeficientul termenului, nu în cel binomial.

Întrebări conexe

Cum aflu un coeficient necunoscut din binom?

Scrii coeficientul cerut în funcție de parametru și rezolvi ecuația. Dacă în $(1 + a x)^{5}$ coeficientul lui $x^{2}$ este $40$ , termenul cu $x^{2}$ are $k = 2$ : $C_{5}^{2} a^{2} = 10 a^{2} = 40$ , deci $a^{2} = 4$ și $a = 2$ sau $a = - 2$ . Ambele valori verifică, pentru că $a$ apare la pătrat.

Care sunt termenii din mijloc ai dezvoltării lui $(a + b)^{7}$ ?

Dezvoltarea are $8$ termeni, un număr par, deci două mijloace: termenii de rang $4$ și $5$ , adică $C_{7}^{3} a^{4} b^{3}$ și $C_{7}^{4} a^{3} b^{4}$ . Coeficienții lor binomiali sunt egali, $35$ , prin formula combinărilor complementare.

Ce semn are termenul de rang $6$ din dezvoltarea lui $(x - 2)^{9}$ ?

Rangul $6$ înseamnă $k = 5$ , iar semnul oricărui termen din $(a - b)^{n}$ este dat de $(- 1)^{k}$ , deci semnul se află fără calcul. Cum $(- 1)^{5} = - 1$ , termenul este negativ, lucru confirmat de calculul complet: $- C_{9}^{5} \cdot 2^{5} x^{4} = - 126 \cdot 32 x^{4} = - 4032 x^{4}$ .

Ce rang are termenul care îl conține pe $x^{4}$ în $(x + 3)^{10}$ ?

Scrii termenul general, $C_{10}^{k} x^{10 - k} 3^{k}$ , și ceri ca exponentul lui $x$ să fie $4$ : din $10 - k = 4$ rezultă $k = 6$ , deci termenul căutat are rangul $7$ , nu $6$ . Termenul este $C_{10}^{6} \cdot 3^{6} x^{4} = 210 \cdot 729 x^{4} = 153090 x^{4}$ .

Cum se compară coeficienții binomiali a doi termeni vecini?

Împarți coeficientul următor la cel curent și obții o formulă simplă: $\frac{C _{n}^{k + 1}}{C _{n}^{k}} = \frac{n - k}{k + 1}$ . În $(1 + x)^{10}$ , $\frac{C _{10}^{4}}{C _{10}^{3}} = \frac{210}{120} = \frac{7}{4}$ , iar $\frac{10 - 3}{3 + 1} = \frac{7}{4}$ . Cât timp raportul trece de $1$ , coeficienții cresc; după mijloc încep să scadă.

Oamenii mai întreabă și: coeficient binomial sau coeficientul termenului · diferența dintre coeficientul binomial și coeficient · coeficientul unui termen din dezvoltarea binomului · ce este coeficientul binomial al unui termen