Termenul general al dezvoltării binomiale: pe scurt

Termenul general: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, pentru $k=0,1,\dots ,n$. Din el obții orice termen fără să scrii toată dezvoltarea. Decalajul de indice este esențial: termenii se numără de la $1$, dar exponentul lui $b$ pornește de la $0$, deci rangul este $k+1$, nu $k$ — pentru termenul al patrulea iei $k=3$, pentru al șaselea, $k=5$.

Două verificări de siguranță: suma exponenților lui $a$ și $b$ dintr-un termen este mereu $n$; iar indicele de sus al combinării trebuie să fie același cu exponentul lui $b$. Când $a$ sau $b$ au coeficienți numerici (ca în $(2x+3{)}^5$), întregul $a$, respectiv $b$, se ridică la putere — se pun în paranteze.

La $(a-b{)}^n$, factorul $(-1{)}^k$ decide semnul: termenii de rang impar sunt pozitivi, cei de rang par sunt negativi. Termenii egal depărtați de capete au același coeficient binomial $C_n^k=C_n^{n-k}$; la $n$ par există un termen unic din mijloc (rangul $\frac{n}{2}+1$), la $n$ impar există doi termeni din mijloc.

Se face distincție între coeficientul binomial ($C_n^k$) și coeficientul termenului (numărul final, după toate calculele) — ele coincid doar când $a,b$ nu au factori numerici.

Exerciții din această mini-lecție

1. Determinați termenul al treilea al dezvoltării $(a+b{)}^5$.

   • a) $10a^3{b}^2$
   • b) $10a^2{b}^3$
   • c) $5a^{4}b$
   • d) $10a^3{b}^3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $10a^3{b}^2$

   Pentru rangul $3$, $k=2$: $T_3=C_5^2{a}^{5-2}{b}^2=10a^3{b}^2$.

2. Determinați termenul al patrulea al dezvoltării $(2x+1{)}^5$.

   • a) $10x^2$
   • b) $40x^2$
   • c) $80x^2$
   • d) $40x^3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $40x^2$

   Pentru rangul $4$, $k=3$: $T_4=C_5^3(2x{)}^2\cdot 1^3=10\cdot 4x^2=40x^2$.

3. Determinați termenul al patrulea al dezvoltării $(x-3{)}^5$.

   • a) $-90x^2$
   • b) $270x^2$
   • c) $-270x^2$
   • d) $-270x^3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-270x^2$

   Pentru rangul $4$, $k=3$: $T_4=C_5^3{x}^2(-3{)}^3=10\cdot x^2\cdot (-27)=-270x^2$. Rangul $4$ e par, deci semnul e negativ — coerent cu regula.