Termenul general al dezvoltării binomiale (M2, științe ale naturii)

Clorul din natură are doi izotopi stabili, cu numerele de masă $35$ și $37$, aflați aproximativ în raportul $3:1$. Într-o moleculă cu șase atomi de clor, fiecare atom poate fi de un fel sau de celălalt, iar un spectrometru de masă separă moleculele după masa lor totală: rezultă un șir de picuri, fiecare corespunzând unui număr dat de atomi grei. Înălțimile acestor picuri sunt termenii unei dezvoltări binomiale, iar chimistul care vrea un singur pic nu are nevoie de toată dezvoltarea, ci de un singur termen. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul „Metode de numărare”, și îți arată cum scoți direct orice termen al unei dezvoltări, fără s-o scrii pe toată. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: binomul lui Newton este trecut la capitolul de metode de numărare, deși modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință despre el.

Lecția pornește de la dezvoltarea binomului și pregătește identitățile cu coeficienți binomiali, care vin imediat după ea în traseu.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii termenul general $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ și să obții din el termenul de orice rang.
• Vei ști să deosebești coeficientul binomial al unui termen de coeficientul termenului, exact cum cere programa de științe.
• Vei ști să afli semnul unui termen dintr-o dezvoltare cu minus fără să-l calculezi.
• Vei ști să găsești termenul liber și termenul care conține o putere dată a lui $x$, sau să arăți că el nu există.
• Vei ști să recunoști termenii din mijloc și perechile de termeni cu același coeficient binomial.
• Vei ști să citești un pic dintr-un spectru de masă ca termen al unei dezvoltări binomiale.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este termenul general?

În dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$, termenii se scriu în ordine, de la cel cu $a^n$ la cel cu $b^n$. Termenul general al dezvoltării este expresia

$$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k,k\in \{0,1,2,\dots ,n\},$$

iar $T_{k+1}$ se numește termenul de rang $k+1$: primul termen are rangul $1$, al doilea rangul $2$ și așa mai departe, până la ultimul, de rang $n+1$. Formula nu e nouă: e chiar termenul pe care l-ai văzut în lecția despre dezvoltare, doar că acum îi dai un nume și o folosești singur. Dându-i lui $k$ o valoare, obții un termen anume, fără să scrii restul dezvoltării.

2. De ce rangul este $k+1$, nu $k$?

Pentru că numărăm termenii de la $1$, iar exponentul lui $b$ pornește de la $0$. Tabelul de mai jos arată legătura pentru un exponent oarecare, de exemplu $n=8$:

Regula de lucru e una singură: $k$ este rangul minus unu, și tot $k$ este exponentul lui $b$ și indicele de sus al combinării. Dacă ți se cere al cincilea termen, scrii întâi „$k=4$” și abia apoi formula. Cele trei locuri în care apare $k$ trebuie să conțină același număr; dacă nu, ai amestecat rangul cu exponentul.

3. Coeficient binomial sau coeficientul termenului?

Programa de științe ale naturii vorbește explicit despre prelucrarea unor expresii algebrice cu binomul lui Newton „pentru a determina un coeficient al unui termen dintr-o dezvoltare”. Cuvântul „coeficient” are aici două sensuri, și enunțurile le folosesc pe amândouă. Coeficientul binomial al termenului de rang $k+1$ este numărul $C_n^k$. Coeficientul termenului este numărul care înmulțește literele după ce ai calculat toate puterile.

Să luăm al treilea termen al lui $(2x-3{)}^6$: $k=2$, $a=2x$, $b=-3$, deci

$$T_3=C_6^2(2x{)}^4(-3{)}^2=9\cdot 16x^4\cdot C_6^2=2160x^4.$$

Coeficientul binomial este $15$; coeficientul termenului este $2160$. Cele două coincid numai când $a$ și $b$ nu aduc factori numerici, ca în $(x+y{)}^n$. Când un enunț spune doar „coeficientul lui $x^4$”, se referă la coeficientul termenului, adică la numărul din fața lui $x^4$.

4. Cum afli semnul unui termen fără să-l calculezi?

Într-o dezvoltare de forma $(a-b{)}^n$, cu $a$ și $b$ pozitivi, termenul general este $C_n^k{a}^{n-k}(-b{)}^k$, iar semnul îl dă factorul $(-1{)}^k$. Pentru $k$ par termenul e pozitiv, pentru $k$ impar e negativ. Tradus în ranguri: pozitivi sunt termenii aflați pe pozițiile $1,3,5,\dots$, iar negativi cei aflați pe pozițiile $2,4,6,\dots$ Poți răspunde la „ce semn are al șaptelea termen?” fără niciun calcul: rangul $7$ înseamnă $k=6$, par, deci plus.

Dacă minusul stă la primul termen al binomului, ca în $(-a+b{)}^n$, regula se schimbă, fiindcă atunci puterea lui $-a$ decide semnul. Cel mai sigur e să nu înveți reguli pentru fiecare formă, ci să scrii $a$ și $b$ cu semnul lor și să lași puterile să lucreze.

5. Cum găsești termenul care conține o putere dată a lui $x$?

Când $a$ și $b$ conțin amândouă puteri ale lui $x$, rangul nu mai e dat direct. Metoda are trei pași: scrii termenul general, aduni toți exponenții lui $x$ într-un singur exponent care depinde de $k$, apoi pui condiția ca acest exponent să fie cel cerut.

La ${\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}^5$, termenul general este $C_5^k(x^2{)}^{5-k}(x^{-2}{)}^k=C_5^k{x}^{10-4k}$. Pentru $x^2$ punem condiția $10-4k=2$, de unde $k=2$, adică poziția a treia; termenul este $C_5^2{x}^2=10x^2$. Rezolvarea e o ecuație de gradul întâi în $k$, cea mai simplă ecuație pe care o poți întâlni aici. Partea delicată nu e ecuația, ci exponentul: puterile lui $x$ din $a$ se înmulțesc cu $n-k$, cele din $b$ cu $k$, iar un $x$ aflat la numitor aduce un exponent negativ. Dacă scrii fiecare factor ca putere a lui $x$ înainte de a aduna, nu mai greșești semnul exponentului.

6. Când nu există termenul căutat?

Ecuația în $k$ poate da un număr care nu e rang. La același binom, termenul liber, adică termenul fără $x$, ar cere $10-4k=0$, deci $k=\frac{5}{2}$, care nu e număr natural. Concluzia corectă este că dezvoltarea nu are termen liber, nu că „termenul liber este al doilea și jumătate”. La fel, dacă ecuația dă un $k$ negativ sau mai mare decât $n$, termenul nu există. Verificarea lui $k$ este pasul care se uită cel mai ușor, și tocmai el decide răspunsul.

Un control rapid înainte de orice calcul: exponenții posibili ai lui $x$ formează un șir din patru în patru, de la $10$ la $-10$. Orice exponent cerut care nu e în șirul acesta nu apare în dezvoltare.

7. Care sunt termenii din mijloc?

Dezvoltarea are $n+1$ termeni. Când $n$ e par, numărul termenilor e impar, iar mijlocul este un singur termen, cel de rang $\frac{n}{2}+1$. Când $n$ e impar, numărul termenilor e par, iar mijlocul e format din doi termeni, cu rangurile $\frac{n+1}{2}$ și $\frac{n+3}{2}$.

Doi termeni aflați la aceeași distanță de capete au coeficienți binomiali egali, fiindcă $C_n^k=C_n^{n-k}$ — egalitatea combinărilor complementare. Termenul de rang $k+1$ numărat de la început și cel de rang $k+1$ numărat de la sfârșit au deci același coeficient binomial, chiar dacă termenii înșiși diferă atunci când $a$ și $b$ au coeficienți diferiți.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un termen de rang dat

Determinați termenul al cincilea al dezvoltării $(2x+1{)}^9$ și precizați coeficientul lui binomial.

Rezolvare. Rangul $5$ înseamnă $k=4$; avem $n=9$, $a=2x$, $b=1$. Termenul general dă

$$T_5=C_9^4(2x{)}^5\cdot 1^4=126\cdot 32x^5=4032x^5.$$

Coeficientul binomial este $C_9^4=126$, iar coeficientul termenului este $4032$. Control: exponenții lui $2x$ și $1$ sunt $5$ și $4$, cu suma $9=n$, iar $k=4$ apare în toate cele trei locuri ale formulei.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev calculează termenul al patrulea al dezvoltării $(x-3{)}^7$ astfel: „$T_4=C_7^4{x}^3(-3{)}^4=35\cdot 81x^3=2835x^3$”. Găsiți greșeala și corectați.

Rezolvare. Elevul a luat $k=4$, adică exact rangul. Pentru termenul al patrulea, $k=3$:

$$T_4=C_7^3{x}^4(-3{)}^3=35\cdot (-27)x^4=-945x^4.$$

Greșeala e greu de văzut după coeficientul binomial, fiindcă $C_7^4=C_7^3=35$, dar se vede după semn: rangul $4$ e par, deci termenul trebuie să fie negativ. Elevul a calculat de fapt termenul al cincilea, $2835x^3$.

Exemplul 3 — Termenul liber

Determinați termenul liber al dezvoltării ${\left(x^4-\frac{2}{x}\right)}^5$, unde $x$ este un număr real nenul.

Rezolvare. Cu $a=x^4$ și $b=-\frac{2}{x}=-2x^{-1}$, termenul general este

$$T_{k+1}=C_5^k(x^4{)}^{5-k}(-2{)}^k{x}^{-k}=C_5^k(-2{)}^k{x}^{20-5k}.$$

Termenul liber cere $20-5k=0$, deci $k=4$, valoare naturală și cel mult $5$. Termenul căutat are rangul $5$, adică penultimul:

$$T_5=C_5^4(-2{)}^4=16\cdot C_5^4=80.$$

Semnul e plus, pentru că puterea lui $-2$ este pară.

Exemplul 4 — Există sau nu?

Se consideră dezvoltarea ${\left(x^3+\frac{1}{x^2}\right)}^8$, cu $x$ număr real nenul. a) Are dezvoltarea un termen liber? b) Determinați termenul care îl conține pe $x^4$.

Rezolvare. Termenul general este $C_8^k(x^3{)}^{8-k}(x^{-2}{)}^k=C_8^k{x}^{24-5k}$.

a) Termenul liber ar cere $24-5k=0$, adică $k=\frac{24}{5}$, care nu e număr natural. Dezvoltarea nu are termen liber.

b) $24-5k=4$ dă $k=4$, deci termenul de rang $5$: $C_8^4{x}^4=70x^4$.

Exponenții lui $x$ scad din cinci în cinci: $24,19,14,9,4,-1,\dots$. Se vede direct că $0$ lipsește din șir, iar $4$ e prezent.

Exemplul 5 — Picurile hexaclorobenzenului

Molecula de hexaclorobenzen, $C_{6}C{l}_6$, are șase atomi de clor. Considerăm izotopii clorului în raportul ${}^{35}Cl:{}^{37}Cl=3:1$ și neglijăm izotopii carbonului. Înălțimile relative ale picurilor din spectrul de masă sunt proporționale cu termenii dezvoltării $(3+1{)}^6$, în care termenul de rang $k+1$ corespunde moleculelor cu exact $k$ atomi de ${}^{37}Cl$. a) Calculați termenul corespunzător moleculelor cu exact doi atomi grei. b) Care pic este cel mai înalt?

Rezolvare. a) Exact doi atomi de ${}^{37}Cl$ înseamnă $k=2$, adică termenul de rang $3$:

$$T_3=C_6^2\cdot 3^4\cdot 1^2=15\cdot 81=1215.$$

Suma tuturor termenilor este $4^6=4096$, deci acest pic reprezintă aproximativ $\frac{1215}{4096}\approx 0,297$, adică circa $30\%$ din moleculele cu șase atomi de clor.

b) Termenii sunt $C_6^k{3}^{6-k}$: $729$, $1458$, $1215$, $540$, $135$, $18$, $1$. Cel mai mare este al doilea, $C_6^1\cdot 3^5=1458$, deci picul cel mai înalt corespunde moleculelor cu un singur atom greu, cu două unități de masă peste picul moleculelor cu clor ușor. Deși izotopul ușor e de trei ori mai frecvent, molecula „toată ușoară” nu e cea mai frecventă: coeficientul $6$ o depășește. Chimiștii folosesc exact acest tipar ca să recunoască din spectru câți atomi de clor are o moleculă necunoscută: două picuri aproape egale, la două unități distanță, trădează de obicei un atom de brom, pe când un grup de șapte picuri, cu cel mai înalt pe locul al doilea, indică șase atomi de clor. Modelul e o aproximare: raportul real al izotopilor e puțin diferit de $3:1$, iar carbonul are și el un izotop greu, care adaugă picuri mici.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră dezvoltarea ${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^8$, unde $x$ este număr real nenul. a) Arătați că dezvoltarea are $9$ termeni. b) Determinați termenul al patrulea al dezvoltării. c) Determinați termenul liber al dezvoltării.

Rezolvare. a) Dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$ are $n+1$ termeni, câte unul pentru fiecare $k$ de la $0$ la $n$; aici $n=8$, deci $9$ termeni.

b) Termenul general este $C_8^k{x}^{8-k}\cdot 2^k{x}^{-k}=C_8^k{2}^k{x}^{8-2k}$. Rangul $4$ înseamnă $k=3$: $T_4=C_8^3\cdot 2^3{x}^2=56\cdot 8x^2=448x^2$.

c) Termenul liber cere $8-2k=0$, deci $k=4$ și rangul $5$: $T_5=C_8^4\cdot 2^4=70\cdot 16=1120$.

Exemplul urmează forma cerințelor scurte de calcul de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat 2026, deși acel model nu conține o cerință cu binomul lui Newton; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat, deci structura ei nu se poate anticipa.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi $n$, $a$, $b$ (cu semn) și valoarea lui $k$; abia apoi aplică formula. Când cerința e o putere a lui $x$, scrie exponentul lui $x$ în funcție de $k$ și verifică dacă soluția e un rang posibil.

1. Pentru $(x+3{)}^{12}$, spune numărul termenilor, rangul termenului din mijloc și valoarea lui $k$ care îi corespunde.

2. Determină termenul al treilea al dezvoltării $(x+9{)}^8$.

3. Determină termenul al cincilea al dezvoltării $(1-2x{)}^7$.

4. Pentru termenul al patrulea al dezvoltării $(3x-1{)}^9$, scrie coeficientul binomial și coeficientul termenului.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Termenul al cincilea al dezvoltării $(-4x+3{)}^5$ are coeficientul negativ.”

6. Determină termenul liber al dezvoltării ${\left(x-\frac{2}{x^2}\right)}^6$, unde $x\ne 0$.

7. Determină coeficientul lui $x^{10}$ din dezvoltarea $(x^2+3{)}^8$.

8. Se consideră dezvoltarea ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^7$, cu $x\ne 0$. a) Arată că ea nu are termen liber. b) Determină termenul care îl conține pe $x^5$.

9. (Problemă aplicată.) Un filtru optic este format din $10$ foi identice, iar fiecare foaie lasă să treacă $97\%$ din lumina care ajunge la ea. Fracția de lumină transmisă de filtru este $(1-0,03{)}^{10}$. a) Calculează al doilea și al treilea termen ai dezvoltării. b) Estimează fracția transmisă folosind primii trei termeni și compar-o cu valoarea $0,97^{10}\approx 0,7374$.

10. a) Determină termenul din mijloc al dezvoltării $(x-5{)}^8$. b) Scrie ambii termeni centrali ai lui $(x+7{)}^5$ și explică de ce au același coeficient binomial, dar coeficienți diferiți.

11. În dezvoltarea lui $(a+b{)}^9$, arată fără să calculezi toți termenii că termenul al treilea și termenul al optulea au același coeficient binomial și precizează-l.

12. Determină rangul termenului care îl conține pe $a^2$ din dezvoltarea $(a-b{)}^7$, apoi scrie termenul.

13. Știind că $T_2$, în dezvoltarea lui $(x+4{)}^n$, are coeficientul $44$, determină $n$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră dezvoltarea $(x+2{)}^{10}$. a) Arătați că termenul al treilea are coeficientul binomial $45$, iar coeficientul lui este $180$. b) Determinați termenul al doilea al dezvoltării. c) Determinați coeficientul lui $x^6$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră dezvoltarea ${\left(x^2-\frac{1}{x^3}\right)}^{10}$, unde $x\ne 0$. a) Determinați termenul liber al dezvoltării. b) Determinați termenul care îl conține pe $x^{10}$. c) Determinați rangul și coeficientul termenului care îl conține pe $x^{-30}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră dezvoltarea $(1+5x{)}^6$. a) Determinați coeficientul lui $x^2$. b) Determinați suma primilor doi termeni ai dezvoltării. c) Determinați termenul de rang $5$ al dezvoltării.

17. Determină termenul al șaselea al dezvoltării $(x-2{)}^8$ și explică de ce are semnul minus.

18. (Provocare.) În dezvoltarea lui $(x+m{)}^n$, unde $m$ este un număr real nenul, primii trei termeni sunt $x^n$, $24x^{n-1}$ și $240x^{n-2}$. Determină $n$ și $m$.

Răspunsuri și explicații

1. Dezvoltarea are $12+1=13$ termeni. Numărul lor e impar, deci mijlocul e unic: al șaptelea termen, cu $k=6$, având șase termeni înaintea lui și șase după el. Termenul însuși nu a fost cerut; pentru el ar fi nevoie de coeficientul binomial central al liniei $12$ și de puterea a șasea a lui $3$.

2. Rangul $3$ înseamnă $k=2$; primul termen al binomului este $x$, al doilea $9$: $T_3=C_8^2{x}^6\cdot 9^2=28\cdot 81x^6=2268x^6$. Suma exponenților lui $x$ și $9$ este $6+2=8$.

3. Aici $a=1$ și $b=-2x$; rangul $5$ înseamnă $k=4$: $T_5=C_7^4\cdot 1^3\cdot (-2x{)}^4=35\cdot 16x^4=560x^4$. Semnul e plus, pentru că $k$ e par.

4. Rangul $4$ înseamnă $k=3$. Coeficientul binomial este $C_9^3=84$. Termenul este $T_4=C_9^3(3x{)}^6(-1{)}^3=84\cdot 729x^6\cdot (-1)=-61236x^6$, deci coeficientul termenului este $-61236$.

5. Adevărat. Aici $a=-4x$ și $b=3$; rangul $5$ înseamnă $k=4$, iar termenul este $C_5^4(-4x{)}^1\cdot 3^4=5\cdot (-4x)\cdot 81=-1620x$. Minusul stă la primul termen al binomului, deci semnul îl dă puterea lui $-4x$, care este $1$, impară. Regula „rangurile impare sunt pozitive” de la $(a-b{)}^n$ nu se aplică aici.

6. $T_{k+1}=C_6^k{x}^{6-k}(-2{)}^k{x}^{-2k}=C_6^k(-2{)}^k{x}^{6-3k}$. Termenul liber cere $6-3k=0$, deci $k=2$: $T_3=C_6^2\cdot (-2{)}^2=15\cdot 4=60$.

7. Aici $a=x^2$, deci puterea lui $x$ din termen este $2(8-k)$, iar $b=3$ nu aduce niciun $x$: $T_{k+1}=C_8^k{x}^{16-2k}\cdot 3^k$. Condiția $16-2k=10$ dă $k=3$, deci coeficientul este $C_8^3\cdot 3^3=56\cdot 27=1512$.

8. $T_{k+1}=C_7^k(x^2{)}^{7-k}(-1{)}^k{x}^{-k}=C_7^k(-1{)}^k{x}^{14-3k}$. a) $14-3k=0$ ar cere $k=\frac{14}{3}$, care nu e număr natural, deci dezvoltarea nu are termen liber. b) $14-3k=5$ dă $k=3$: $T_4=C_7^3(-1{)}^3{x}^5=-35x^5$.

9. a) Cu $a=1$ și $b=-0,03$: $T_2=C_{10}^1(-0,03)=-0,3$ și $T_3=C_{10}^2\cdot 0,0009=45\cdot 0,0009=0,0405$. b) Primii trei termeni dau $1-0,3+0,0405=0,7405$, adică $74,05\%$, față de aproximativ $73,74\%$ cât dă calculul direct. Termenul al patrulea, $C_{10}^3(-0,03{)}^3=-0,00324$, explică aproape toată diferența.

10. a) $n=8$ e par, deci mijlocul e termenul de rang $5$: $T_5=C_8^4{x}^4(-5{)}^4=70\cdot 625x^4=43750x^4$. b) $n=5$ e impar, deci termenii din mijloc au rangurile $3$ și $4$: $T_3=C_5^2{x}^3\cdot 7^2=490x^3$ și $T_4=C_5^3{x}^2\cdot 7^3=3430x^2$. Coeficienții binomiali sunt egali, $C_5^2=C_5^3=10$, dar puterile lui $7$ diferă, deci și coeficienții termenilor.

11. Termenul al treilea are $k=2$, termenul al optulea are $k=7$, iar $2+7=9$: sunt egal depărtați de capete, fiecare având doi termeni după, respectiv înaintea lui. Din $C_9^2=C_9^7$, coeficientul binomial comun este $36$: $T_3=C_9^2{a}^7{b}^2=36a^7{b}^2$ și $T_8=C_9^7{a}^2{b}^7=36a^2{b}^7$, termeni diferiți cu același coeficient.

12. Aici condiția privește litera $a$, nu pe $x$, dar metoda e aceeași. Exponentul lui $a$ este $7-k$, iar $7-k=2$ dă $k=5$, deci rangul $6$. Termenul este $T_6=C_7^5{a}^2(-b{)}^5=-21a^2{b}^5$, negativ, fiindcă rangul e par.

13. $T_2=C_n^1{x}^{n-1}\cdot 4=4n{x}^{n-1}$, deci $4n=44$ și $n=11$.

14. a) Rangul $3$ înseamnă $k=2$: coeficientul binomial este $C_{10}^2=45$, iar termenul este $T_3=C_{10}^2{x}^8\cdot 2^2=180x^8$, cu coeficientul $180$. b) $k=1$: $T_2=C_{10}^1{x}^9\cdot 2=20x^9$. c) $x^6$ apare pentru $k=4$: coeficientul este $C_{10}^4\cdot 2^4=210\cdot 16=3360$.

15. $T_{k+1}=C_{10}^k(x^2{)}^{10-k}(-1{)}^k{x}^{-3k}=C_{10}^k(-1{)}^k{x}^{20-5k}$. a) $20-5k=0$ dă $k=4$, deci termenul liber este $T_5=C_{10}^4(-1{)}^4=210$. b) $20-5k=10$ dă $k=2$: $T_3=C_{10}^2(-1{)}^2{x}^{10}=45x^{10}$. c) $20-5k=-30$ dă $k=10$, adică ultimul termen, de rang $11$: $T_{11}=C_{10}^{10}(-1{)}^{10}{x}^{-30}=x^{-30}$, cu coeficientul $1$.

16. Primul termen al binomului este $1$, deci toate puterile lui $x$ vin din $5x$: $T_{k+1}=C_6^k(5x{)}^k=C_6^k{5}^k{x}^k$. a) Pentru $k=2$: $C_6^2\cdot 25=15\cdot 25=375$. b) $T_1+T_2=1+30x$. c) Rangul $5$ înseamnă $k=4$: $T_5=C_6^4\cdot 5^4{x}^4=15\cdot 625x^4=9375x^4$.

17. Rangul $6$ înseamnă $k=5$, iar semnul îl dă puterea lui $-2$, adică $(-2{)}^5=-32$, negativă, fiindcă $5$ e impar: $T_6=C_8^5{x}^3(-2{)}^5=56\cdot (-32)x^3=-1792x^3$.

18. Al doilea termen este $C_n^{1}m{x}^{n-1}=nm{x}^{n-1}$, iar al treilea $C_n^2{m}^2{x}^{n-2}$. Din $nm=24$ și $\frac{n(n-1)}{2}{m}^2=240$ rezultă, împărțind a doua egalitate la prima, $\frac{(n-1)m}{2}=10$, deci $(n-1)m=20$. Scăzând din $nm=24$ obținem $m=4$, apoi $n=6$. Verificare: $C_6^1\cdot 4=24$ și $C_6^2\cdot 16=240$.

De reținut

• Termenul general al lui $(a+b{)}^n$ este $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$; pentru rangul $r$ iei $k=r-1$, iar același $k$ e exponentul lui $b$ și indicele de sus al combinării.
• Programa de științe vorbește despre „un coeficient al unui termen”: citește dacă enunțul vrea $C_n^k$ (coeficientul binomial) sau numărul rămas în fața literelor după calculul puterilor.
• Un termen poate modela o mărime măsurată: în spectrul unei molecule cu $n$ atomi de clor, picul cu $k$ atomi grei e proporțional cu $C_n^k{3}^{n-k}$, iar semnul oricărui termen din $(a-b{)}^n$ îl dă $(-1{)}^k$.
• Pentru o putere dată a lui $x$ scrii exponentul lui $x$ în funcție de $k$ și rezolvi; dacă $k$ nu e natural între $0$ și $n$, termenul nu există.
• Pentru $n$ par există un singur termen din mijloc, de rang $\frac{n}{2}+1$; pentru $n$ impar există doi, cu același coeficient binomial.

Greșeli frecvente

• Exponentul lui $x$ din $b$ uitat. La ${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^8$, cine scrie termenul ca „$C_8^k{2}^k{x}^{8-k}$” pierde factorul $x^{-k}$ din $b$; exponentul corect este $8-2k$, iar termenul liber iese la alt rang.
• Ordinea termenilor binomului ignorată. Al treilea termen al lui $(x+8{)}^6$ nu este al treilea termen al lui $(8+x{)}^6$: numărătoarea pornește de la primul termen scris. Când un enunț schimbă ordinea, se schimbă rangurile.
• Termenul liber luat drept ultimul termen. Ultimul termen e $b^n$; el e liber doar dacă $b$ nu conține $x$. La binoame cu $x$ și $\frac{1}{x}$, termenul liber stă undeva la mijloc sau lipsește.
• $T_k$ confundat cu termenul în $x^k$. Al treilea termen al lui $(x+6{)}^9$ conține $x^7$, nu $x^3$: rangul numără poziția, iar exponentul lui $x$ scade de la stânga la dreapta.
• Un singur termen din mijloc la exponent impar. Pentru $n=11$ sunt doisprezece termeni, deci doi termeni din mijloc; cine alege doar unul, sau caută rangul $\frac{11}{2}$, a uitat că numărul termenilor este $n+1$.

Aplică acasă

1. Foaia de calcul a termenilor. Într-un tabel, pune pe coloane $k$ de la $0$ la $10$, coeficientul binomial (funcția COMBIN), puterea lui $3$ corespunzătoare și produsul lor, pentru dezvoltarea $(x+3{)}^{10}$. Citește din tabel coeficientul lui $x^7$, verifică-l apoi cu formula termenului general și colorează perechile de rânduri care au același coeficient binomial.
2. Un spectru de masă adevărat. Caută în manualul de chimie sau într-o bază de date deschisă spectrul de masă al cloroformului ($CHC{l}_3$) și compară înălțimile picurilor moleculare cu termenii lui $(3+1{)}^3$. Explică de unde vin micile diferențe (raportul real al izotopilor nu e exact $3:1$).
3. Jocul rangurilor. Un coleg alege un binom și un rang, tu calculezi termenul; apoi el inversează ordinea termenilor binomului și tu spui, fără calcul, ce rang are acum termenul găsit. Notează regula pe care ai descoperit-o.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă formula binomului dintr-o dezvoltare care se scrie integral într-o unealtă punctuală: elevul extrage un singur termen, după rang sau după puterea lui $x$. Programa de științe ale naturii numește exact aceste activități la competența X.CS.2.1: „prelucrarea unor expresii algebrice cu ajutorul binomului lui Newton, pentru a determina un coeficient al unui termen dintr-o dezvoltare” și „determinarea unor termeni de rang dat dintr-o dezvoltare a unui binom la o putere”. Termenul liber și termenul cu o putere dată a lui $x$ se reduc la același calcul: coeficientul unui termen cu exponent cunoscut. Programa de matematică-informatică merge mai departe, cu ranguri care verifică diverse condiții și cu sume calculate prin binom; lecția de față nu le tratează.

Ce merită urmărit în caiet: dacă elevul scrie „$k=$ rangul $-1$” înainte de formulă; dacă scrie $b$ cu semnul lui; dacă, la puterile lui $x$, adună corect exponenții din $a$ și din $b$; dacă verifică faptul că $k$ e un rang posibil. Întrebări utile la tablă: „Ce valoare are $k$ pentru al șaselea termen?”, „Ce semn are termenul, înainte să-l calculezi?”, „Există termenul? Cum știi?”. Un obicei bun este ca elevul să scrie exponentul lui $x$ ca expresie în $k$ chiar și atunci când cerința e un rang dat: expresia îi arată dintr-o privire ce puteri apar în dezvoltare și îl ferește de confuzia dintre rang și exponent. Exemplul cu izotopii clorului arată că formula are și un sens experimental: fiecare pic al spectrului e un termen, iar cel mai înalt pic nu e neapărat cel al moleculei cu izotopul cel mai frecvent.

Termenul liber al unui polinom e noțiunea din clasa a IX-a, de la forma algebrică a polinoamelor; dezvoltarea completă e în lecția anterioară, iar coeficienții citiți pe linii în triunghiul lui Pascal. La finalul unității, testul de includere–excludere și binomul lui Newton verifică termenul general. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: termenul general al dezvoltării binomiale.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Metode de numărare” numește dezvoltarea binomului lui Newton, iar exemplele de activități ale competenței X.CS.2.1 numesc termenii de rang dat și coeficientul unui termen; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține „Binomul lui Newton” la „Metode de numărare”. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu binomul lui Newton: cerința lui de numărare de la Subiectul I este o probabilitate. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția despre termenul general de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Formula termenului general e aceeași. La științe ale naturii programa numește doar termenii de rang dat și coeficientul unui termen, iar lecția le leagă de o aplicație din chimie, spectrul de masă al unei molecule cu clor. Calculul unui termen se face la fel la ambele profiluri; diferă doar lista cerințelor, lămurită în ultima întrebare de mai jos.

La ce subiect apare termenul general la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 are binomul lui Newton la „Metode de numărare”, fără să împartă temele pe subiecte. Modelul oficial 2026 nu conține, la niciun subiect, o cerință despre binom, deci nu se poate spune cât de des apare. Pentru MAT_P2 din 2030 tema e în domeniul Algebră, fără model publicat încă.

Contează în ce ordine scriu termenii binomului? Pentru dezvoltarea completă, nu: $(x+8{)}^6$ și $(8+x{)}^6$ sunt același polinom. Pentru ranguri, da: numărătoarea pornește de la primul termen scris, deci termenul al doilea al lui $(x+8{)}^6$ conține $x^5$, iar al lui $(8+x{)}^6$ conține $x$. Respectă ordinea din enunț și scrie-ți $a$ și $b$ înainte de calcul.

Cum arată picurile unei molecule cu doi atomi de brom? Bromul are doi izotopi stabili, cu numerele de masă $79$ și $81$, aproape la fel de frecvenți, deci raportul lor este cam $1:1$. Pentru doi atomi, înălțimile picurilor sunt proporționale cu termenii lui $(1+1{)}^2$, adică cu coeficienții binomiali $C_2^0$, $C_2^1$, $C_2^2$. Apar trei picuri, la câte două unități de masă unul de altul, cel din mijloc fiind de două ori mai înalt decât vecinii lui.

De ce se folosește binomul în spectrometria de masă? Pentru că fiecare atom al unui element cu doi izotopi e, independent, de un fel sau de celălalt. Numărul de feluri în care exact $k$ atomi dintr-o moleculă sunt grei este o combinare, iar abundențele izotopilor dau puterile din termen. Picurile moleculare ale compușilor cu clor sau brom se recunosc după acest tipar.

De ce programa de științe nu cere termenul maxim sau termenii raționali? Pentru că, la clasa a X-a, ea se oprește la termenii de rang dat și la coeficientul unui termen. Programa de mate-info (M1) adaugă rangurile termenilor care verifică anumite condiții, cum ar fi cel mai mare termen al unei dezvoltări sau termenii raționali ai unei dezvoltări cu radicali. De aceea lecția de față nu le exersează; ele se găsesc în versiunea M1 a lecției.