De la ce rang termenii progresiei cu b₁=500 și q= 1/2 scad sub 1?

Ceri 500/2ⁿ⁻¹ 500. Cum 2⁸=256 și 2⁹=512, trebuie n-1≥ 9, deci n≥ 10. Verificare pe cei doi termeni vecini: b₉= 500/256≈ 1,95 este încă peste 1, iar b₁₀= 500/512≈ 0,98 este primul sub 1.

Este bₙ=5· 2ⁿ o progresie geometrică?

Da: raportul bₙ₊₁/bₙ= (5· 2ⁿ⁺¹)/(5· 2ⁿ)=2 este constant. Atenție însă la primul termen: b₁=5· 2=10, nu 5. Formula se poate rescrie bₙ=10· 2ⁿ⁻¹, în forma obișnuită, din care se citesc direct primul termen și rația.

Cum aflu rangul unui termen geometric dat?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Termenul general geometric

Egalezi termenul general cu valoarea dată și cauți exponentul: din $b_{1} q^{n - 1} = x$ obții $q^{n - 1} = \frac{x}{b _{1}}$ . Exemplu: $b_{1} = 5$ , $q = 3$ , $x = 405$ . Cum $\frac{405}{5} = 81 = 3^{4}$ , rezultă $n - 1 = 4$ , deci $405$ este termenul de rang $5$ . În schimb, $1000$ nu este termen: $\frac{1000}{5} = 200$ nu este o putere a lui $3$ , fiindcă $3^{4} = 81$ și $3^{5} = 243$ .

Formula directă a unei progresii geometrice comprimă multiplicările dintre două poziții. Când începutul este $b_{1}$ , valoarea de la rangul $n$ se scrie $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ . Exponentul reprezintă distanța dintre indici. Condițiile $b_{1} \neq = 0$ și $q \neq = 0$ rămân active, chiar dacă unele probleme nu le repetă.

Un reper aflat în interiorul șirului poate fi folosit la fel: avansezi cu puterea factorului corespunzătoare distanței până la rangul dorit. Pentru revenire, împarți la acea putere. Nu este obligatoriu să reconstruiești începutul dacă întrebarea se rezolvă direct din reperul disponibil.

La controlul unei expresii propuse verifică separat valoarea inițială și regula de trecere. O expresie poate avea factorul potrivit, dar poate începe cu alt număr. Rațiile negative cer atenție la paritatea puterii și la semnul valorii de pornire.

O problemă despre rang cere un indice natural admis. Valorile repetate pot corespunde mai multor indici, iar într-o aplicație domeniul poate fi finit. Când numerotarea începe la zero, puterea numără operațiile efectuate de la acel moment. Explică notația înainte de substituție.

De reținut

$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ și $b_{n} = b_{k} q^{n - k}$
rangul lui $x$ : rezolvi $q^{n - 1} = \frac{x}{b _{1}}$ cu $n$ natural
numerotat de la zero: $b_{k} = b_{0} q^{k}$

Greșeala tipică

Se consideră un număr termen al progresiei doar pentru că se află între doi termeni; el trebuie să fie exact de forma $b_{1} q^{n - 1}$ , cu $n$ natural.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru progresia cu $b_{1} = 31$ și $q = 2$ , cât este $b_{4}$ ?
- a) $124$
- b) $248$
- c) $496$
- d) $33$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $248$

Rangul patru este la trei treceri de început: $31 \cdot 2^{3} = 248$ .
Șirul are formula $b_{n} = 47 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}$ , cu $n \geq 1$ . Care este primul termen?
- a) $47$
- b) $\frac{47}{2}$
- c) $94$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $47$

La rangul întâi exponentul este zero. Factorul la puterea zero este unu, deci primul termen este $47$ .
Într-o progresie geometrică, $b_{4} = - 18$ și $q = - 3$ . Cât este $b_{6}$ ?
- a) $54$
- b) $162$
- c) $- 54$
- d) $- 162$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 162$

Între rangurile patru și șase sunt două treceri: $(- 18) \cdot (- 3)^{2} = - 162$ .

Întrebări conexe

Cum scriu termenul general dacă numerotarea începe de la zero?

Scrii $b_{k} = b_{0} q^{k}$ , unde exponentul numără etapele încheiate. O cultură de $300$ de celule care se triplează zilnic are, după $k$ zile, $300 \cdot 3^{k}$ celule. După $4$ zile modelul dă $300 \cdot 81 = 24300$ de celule.

Ce semn are $b_{10}$ dacă $b_{1} = 4$ și $q = - 2$ ?

Calculezi $b_{10} = 4 \cdot (- 2)^{9}$ . Exponentul $9$ este impar, deci puterea este negativă: $(- 2)^{9} = - 512$ . Rezultă $b_{10} = - 2048$ . La rație negativă, semnul termenului depinde de paritatea exponentului $n - 1$ : termenii de rang impar sunt pozitivi, iar cei de rang par sunt negativi.

Cum calculez intensitatea luminii după mai multe filtre identice?

Dacă fiecare filtru lasă să treacă $80%$ din lumină, intensitatea după $n$ filtre este $I_{n} = I_{0} \cdot 0, 8^{n}$ . Pornind de la $1000$ de lucși, după $3$ filtre rămân $1000 \cdot 0, 512 = 512$ lucși. Șirul intensităților este o progresie geometrică cu rația $0, 8$ .

De la ce rang termenii progresiei cu $b_{1} = 500$ și $q = \frac{1}{2}$ scad sub $1$ ?

Ceri $\frac{500}{2 ^{n - 1}} < 1$ , adică $2^{n - 1} > 500$ . Cum $2^{8} = 256$ și $2^{9} = 512$ , trebuie $n - 1 \geq 9$ , deci $n \geq 10$ . Verificare pe cei doi termeni vecini: $b_{9} = \frac{500}{256} \approx 1, 95$ este încă peste $1$ , iar $b_{10} = \frac{500}{512} \approx 0, 98$ este primul sub $1$ .

Este $b_{n} = 5 \cdot 2^{n}$ o progresie geometrică?

Da: raportul $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{5 \cdot 2 ^{n + 1}}{5 \cdot 2 ^{n}} = 2$ este constant. Atenție însă la primul termen: $b_{1} = 5 \cdot 2 = 10$ , nu $5$ . Formula se poate rescrie $b_{n} = 10 \cdot 2^{n - 1}$ , în forma obișnuită, din care se citesc direct primul termen și rația.

Oamenii mai întreabă și: rangul unui termen al progresiei geometrice · al câtelea termen este un număr într-o progresie geometrică · verificarea apartenenței la progresia geometrică · este un număr termen al progresiei