Ce este unghiul exterior al unui triunghi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Teorema unghiului exterior

Este unghiul dintre o latură și prelungirea alteia, luate din același vârf. Împreună cu unghiul dinăuntru al acelui vârf acoperă o dreaptă, deci cele două adună 180 de grade. Teorema care îl privește spune că măsura lui este cât cele două unghiuri dinăuntru din vârfurile depărtate, adunate: la 40 și 60 de grade iese 100. Fiind o sumă, el întrece fiecare dintre cele două.

Unghiul exterior al unui triunghi se formează între o latură a triunghiului și prelungirea unei alte laturi, dincolo de vârful comun. El este suplementar cu unghiul interior din același vârf: dacă notăm cu $c$ unghiul interior și $e$ unghiul exterior din același vârf, atunci $c + e = 180°$ . Teorema unghiului exterior spune că măsura lui este egală cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente (cele din celelalte două vârfuri): $e = a + b$ . De exemplu, dacă $m (∠ A) = 40°$ și $m (∠ B) = 60°$ , unghiul exterior din $C$ este $40° + 60° = 100°$ . Deoarece $e$ este sumă a două unghiuri pozitive, el este mereu mai mare decât fiecare dintre ele. Suma celor trei unghiuri exterioare ale unui triunghi este întotdeauna $360°$ .

De reținut

unghi exterior + unghi interior din același vârf $= 180°$
unghi exterior = cele două unghiuri interioare depărtate, adunate
cele trei unghiuri exterioare adună $360°$

Greșeala tipică

În sumă intră și unghiul din vârful unghiului exterior. Se adună numai cele două unghiuri din vârfurile depărtate; cel din același vârf este vecinul lui și se lasă deoparte.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $A B C$ , $m (∠ A) = 48°$ și $m (∠ B) = 77°$ . Cât are unghiul exterior din vârful $C$ ?
- a) $55°$
- b) $103°$
- c) $125°$
- d) $150°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $125°$

Unghiul exterior din $C$ este suma unghiurilor neadiacente $A$ și $B$ : $48° + 77° = 125°$ . Verificare: $m (∠ C) = 180° - 48° - 77° = 55°$ , iar suplementarul lui este $180° - 55° = 125°$ — aceeași valoare.
În triunghiul $A B C$ prelungim latura $A B$ dincolo de $B$ , formând unghiul exterior din vârful $B$ . Care sunt cele două unghiuri interioare neadiacente acestui unghi exterior?
- a) Unghiurile $A$ și $C$
- b) Unghiurile $A$ și $B$
- c) Unghiurile $B$ și $C$
- d) Doar unghiul $B$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Unghiurile $A$ și $C$

Unghiul interior din același vârf cu unghiul exterior ( $B$ ) este adiacent lui și nu intră în sumă. Unghiurile neadiacente sunt cele din celelalte două vârfuri, adică $A$ și $C$ , iar unghiul exterior din $B$ este egal cu $m (∠ A) + m (∠ C)$ .
Într-un triunghi, unghiul exterior dintr-un vârf este întotdeauna mai mare decât fiecare dintre cele două unghiuri interioare neadiacente lui. Dacă acest unghi exterior are $95°$ , care dintre valorile de mai jos NU poate fi măsura unui unghi interior neadiacent lui?
- a) $45°$
- b) $85°$
- c) $95°$
- d) $15°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $95°$

Unghiul exterior este sumă a două unghiuri interioare pozitive, deci este strict mai mare decât fiecare dintre ele: orice unghi neadiacent lui trebuie să fie mai mic decât $95°$ . Valorile $45°$ , $85°$ și $15°$ respectă condiția (fiecare ar avea un al doilea unghi neadiacent pozitiv: $50°$ , $10°$ , respectiv $80°$ ), dar $95°$ nu — un unghi neadiacent nu poate fi egal cu unghiul exterior din care face parte, căci ar lăsa $0°$ pentru celălalt.

Întrebări conexe

Cât are unghiul exterior din C dacă A are 48 și B are 77 de grade?

Are 125 de grade, adică suma celor două unghiuri din vârfurile depărtate. Poți verifica pe drumul lung: unghiul din $C$ are $180 - 125 = 55$ de grade, iar suplementul lui este tot 125. Ambele căi duc la același număr.

De ce cele trei unghiuri exterioare ale unui triunghi adună 360 de grade?

Fiecare unghi exterior completează până la 180 unghiul dinăuntru din vârful lui, deci cele trei perechi dau $3 \cdot 180 = 540$ . Din acest total, unghiurile dinăuntru iau 180, așa că exterioarelor le rămân $540 - 180 = 360$ de grade.

Cum aflu un unghi interior când știu unghiul exterior și un alt unghi?

Scazi unghiul cunoscut din unghiul exterior, fiindcă acesta este suma celor două unghiuri depărtate. La un unghi exterior de 118 grade și un unghi de 51, celuilalt îi rămân $118 - 51 = 67$ de grade.

Când are unghiul exterior aceeași măsură cu unghiul interior?

Numai când amândouă au 90 de grade, fiindcă ele adună 180 și sunt egale doar dacă fiecare ia jumătate. Se întâmplă așadar în vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic. În rest, unul este ascuțit și celălalt obtuz.

Câte unghiuri exterioare are un triunghi în fiecare vârf?

Câte două, obținute prelungind pe rând fiecare dintre cele două laturi care pleacă din acel vârf. Ele sunt opuse la vârf, deci au aceeași măsură, iar în probleme se ia de obicei unul singur. Așa se ajunge la trei unghiuri exterioare cu măsuri distincte.

Ce unghiuri exterioare are un triunghi dreptunghic?

Unul dintre ele are 90 de grade, cel din vârful unghiului drept, iar celelalte două sunt obtuze, fiindcă fiecare completează până la 180 un unghi ascuțit. Împreună, cele trei adună tot 360 de grade.

Oamenii mai întreabă și: unghiul exterior al unui triunghi · teorema unghiului exterior · unghi exterior egal cu suma unghiurilor neadiacente · cum aflu unghiul exterior · unghi exterior triunghi