De ce 5³ nu înseamnă 5 · 3?

Fiindcă exponentul arată de câte ori se repetă baza ca factor, nu cu cât se înmulțește. Așadar 5³ înseamnă 5 · 5 · 5 = 125, în timp ce 5 · 3 dă doar 15. Confuzia coboară rezultatul de la 125 la 15, deci de peste opt ori.

Cum se calculează volumul unui cub?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Volumul cubului și paralelipipedului

Ridici muchia la puterea a treia, adică $V = l^{3}$ , fiindcă toate cele douăsprezece muchii ale cubului au aceeași lungime. Un cub cu muchia de 5 cm are volumul $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ de centimetri cubi. La paralelipipedul dreptunghic dimensiunile diferă, așa că formula devine $V = L \cdot l \cdot h$ . Înainte de a înmulți, potrivește toate dimensiunile pe aceeași unitate, iar rezultatul scrie-l mereu cu exponentul 3.

Volumul unui corp arată câte cuburi unitate (cu latura de 1 cm, 1 dm sau 1 m) încap în interiorul lui. Pentru cub, unde toate muchiile sunt egale cu $l$ : $V = l \cdot l \cdot l = l^{3}$ Pentru paralelipipedul dreptunghic, cu lungimea $L$ , lățimea $l$ și înălțimea $h$ : $V = L \cdot l \cdot h$ Cele trei dimensiuni trebuie aduse la aceeași unitate înainte de înmulțire, iar rezultatul se exprimă întotdeauna „la cub": $c m^{3}$ , $d m^{3}$ sau $m^{3}$ . Reține că $1 d m^{3} = 1$ litru, iar între trepte se înmulțește/împarte cu 1000 (nu cu 10, ca la lungime). Exemplu: un cub cu muchia $l = 5 c m$ are $V = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 c m^{3}$ . Pentru un paralelipiped cu $L = 4 d m$ , $l = 3 d m$ , $h = 2 d m$ : $V = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 d m^{3} = 24$ litri.

De reținut

cub: $V = l^{3}$
paralelipiped dreptunghic: $V = L \cdot l \cdot h$
toate dimensiunile se aduc la aceeași unitate înainte de calcul
$1$ decimetru cub $= 1$ litru

Greșeala tipică

Se înmulțesc doar două dintre cele trei dimensiuni, iar rezultatul iese o arie deghizată în volum. Un corp are înălțime, deci calculul cere toți cei trei factori și o unitate cu exponentul 3.

Exerciții din această mini-lecție

Un paralelipiped dreptunghic are $L = 7 c m$ , $l = 4 c m$ și $h = 5 c m$ . Cât este volumul lui?
- a) $16 c m^{3}$
- b) $140 c m^{3}$
- c) $70 c m^{3}$
- d) $35 c m^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $140 c m^{3}$

Folosim $V = L \cdot l \cdot h$ : $V = 7 \cdot 4 \cdot 5 = 140 c m^{3} .$ Varianta a) 16 apare dacă aduni greșit dimensiunile ( $7 + 4 + 5$ ) în loc să le înmulțești. Varianta d) 35 apare dacă înmulțești doar $L \cdot h = 7 \cdot 5$ și uiți lățimea $l$ . Corect este să folosești toate cele trei dimensiuni înmulțite: $V = L \cdot l \cdot h$ .
Un cub are muchia de $9 c m$ . Care este volumul lui?
- a) $729 c m^{3}$
- b) $81 c m^{3}$
- c) $819 c m^{3}$
- d) $639 c m^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $729 c m^{3}$

Folosim formula $V = l^{3}$ , cu $l = 9 c m$ : $9 \times 9 \times 9 = 729 c m^{3}$ . Varianta b) apare dacă folosești greșit $9^{2}$ în loc de $9^{3}$ (uiți al treilea factor); c) și d) provin din greșeli de calcul.
Un paralelipiped dreptunghic are $L = 8 c m$ , $l = 5 c m$ și $h = 3 c m$ . Calculează volumul lui.
- a) $120 c m^{3}$
- b) $40 c m^{3}$
- c) $16 c m^{3}$
- d) $1200 c m^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $120 c m^{3}$

Folosim $V = L \cdot l \cdot h$ : $8 \times 5 \times 3 = 120 c m^{3}$ . Varianta b) apare dacă înmulțești doar $L \cdot l = 40$ și uiți înălțimea; c) apare dacă aduni dimensiunile în loc să le înmulțești ( $8 + 5 + 3 = 16$ ); d) apare dintr-o greșeală de ordin de mărime.

Întrebări conexe

Cât este volumul unui paralelipiped cu dimensiunile 7, 4 și 5 cm?

Se înmulțesc toate trei: $7 \cdot 4 \cdot 5 = 140$ de centimetri cubi. Cine adună dimensiunile ajunge la 16, iar cine sare peste una dintre ele obține 35 sau 28. Formula cere neapărat toți cei trei factori.

De ce $5^{3}$ nu înseamnă $5 \cdot 3$ ?

Fiindcă exponentul arată de câte ori se repetă baza ca factor, nu cu cât se înmulțește. Așadar $5^{3}$ înseamnă $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ , în timp ce $5 \cdot 3$ dă doar 15. Confuzia coboară rezultatul de la 125 la 15, deci de peste opt ori.

Câte cuburi cu muchia de 1 cm încap într-un cub cu muchia de 1 dm?

O mie. Muchia de un decimetru are zece centimetri, deci pe fiecare direcție intră câte zece cuburi mici, iar $10 \cdot 10 \cdot 10$ dă 1000. Tot de aici vine și factorul de transformare dintre unitățile de volum.

Cum se numesc dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic?

Lungime, lățime și înălțime, notate de obicei cu $L$ , $l$ și $h$ . Ele sunt trei muchii care pornesc din același vârf și sunt perpendiculare două câte două. Ordinea în care le înmulțești nu schimbă volumul.

Ce diferență e între volumul și aria totală a unui cub?

Volumul spune cât spațiu ocupă cubul și se măsoară în centimetri cubi, iar aria totală spune cât carton trebuie ca să îl îmbraci, deci se măsoară în centimetri pătrați. La un cub cu muchia de 5 cm ies 125 de centimetri cubi și 150 de centimetri pătrați.

Oamenii mai întreabă și: volumul cubului · formula volumului cubului · volumul paralelipipedului dreptunghic · cum aflu volumul unui cub