Care e formula volumului piramidei?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Volumul piramidei: formula cheie

Volumul este a treia parte din produsul dintre aria bazei și înălțime: $V = \frac{A _{b} \cdot h}{3}$ . Înălțimea se măsoară de la vârf perpendicular pe planul bazei, nu pe o față. La o piramidă cu baza pătrat de latură $6 cm$ și înălțimea $10 cm$ obții $A_{b} = 36 cm^{2}$ și $V = 120 cm^{3}$ . Împărțirea la trei vine din faptul că trei piramide de acest fel umplu o prismă cu aceeași bază.

Volumul unei piramide regulate se calculează cu o singură formulă, pentru orice bază: $V = \frac{A _{b} \cdot h}{3}$ , unde $A_{b}$ este aria bazei, iar $h$ este înălțimea (perpendiculara din vârf pe planul bazei). Ideea din spate: o prismă cu aceeași bază și aceeași înălțime se poate împărți în trei piramide cu volume egale, deci piramida are o treime din volumul ei. Capcana clasică: uiți împărțirea la $3$ .

Ariile de bază uzuale: pătrat $A_{b} = l^{2}$ , triunghi echilateral $A_{b} = \frac{l ^{2} 3}{4}$ , hexagon regulat $A_{b} = \frac{3 l ^{2} 3}{2}$ .

Exemplu: o piramidă patrulateră cu $l = 9$ cm și $h = 7$ cm are $A_{b} = 81 cm^{2}$ , deci $V = \frac{81 \cdot 7}{3} = 189 cm^{3}$ .

Dacă nu ai înălțimea direct, dar ai apotema piramidei $a_{p}$ și apotema bazei $a_{b}$ , o scoți din triunghiul dreptunghic $V O M$ : $h^{2} = a_{p}^{2} - a_{b}^{2}$ . Pentru tetraedrul regulat de muchie $a$ , folosești direct formula gata dedusă: $V = \frac{a ^{3} 2}{12}$ .

De reținut

$V = \frac{A _{b} \cdot h}{3}$
baza pătrat: $A_{b} = l^{2}$ ; triunghi echilateral: $A_{b} = \frac{l ^{2} 3}{4}$
când înălțimea lipsește: $h^{2} = a_{p}^{2} - a_{b}^{2}$

Greșeala tipică

Se înmulțește aria bazei cu înălțimea și calculul se oprește acolo, deci rezultatul iese de trei ori mai mare. Piramida ocupă doar a treia parte din prisma ridicată pe aceeași bază, la aceeași înălțime.

Exerciții din această mini-lecție

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $l = 6$ cm și înălțimea $h = 8$ cm. Calculează volumul piramidei.
- a) $96 cm^{3}$
- b) $288 cm^{3}$
- c) $144 cm^{3}$
- d) $16 cm^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $96 cm^{3}$

Baza e pătrat, deci $A_{b} = l^{2} = 6^{2} = 36 cm^{2}$ . Volumul: $V = \frac{A _{b} \cdot h}{3} = \frac{36 \cdot 8}{3} = 96 cm^{3}$ . Varianta b apare dacă uiți împărțirea la 3, iar c dacă împarți greșit la 2.
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $l = 10$ cm și apotema piramidei $a_{p} = 13$ cm. Calculează volumul piramidei.
- a) $400 cm^{3}$
- b) $1200 cm^{3}$
- c) $200 cm^{3}$
- d) $40 cm^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $400 cm^{3}$

Apotema bazei: $a_{b} = \frac{l}{2} = 5$ cm. Din triunghiul $V O M$ : $h^{2} = a_{p}^{2} - a_{b}^{2} = 169 - 25 = 144 \Rightarrow h = 12$ cm. Aria bazei $A_{b} = 1 0^{2} = 100 cm^{2}$ , deci $V = \frac{100 \cdot 12}{3} = 400 cm^{3}$ . Varianta b apare dacă uiți împărțirea la 3.
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $l = 8$ cm și înălțimea $h = 9$ cm. Calculează volumul piramidei.
- a) $576 cm^{3}$
- b) $72 cm^{3}$
- c) $192 cm^{3}$
- d) $312 cm^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $192 cm^{3}$

Baza e pătrat, deci $A_{b} = l^{2} = 8^{2} = 64 cm^{2}$ . Volumul: $V = \frac{A _{b} \cdot h}{3} = \frac{64 \cdot 9}{3} = 192 cm^{3}$ . Varianta a apare dacă uiți împărțirea la 3 ( $64 \cdot 9 = 576$ ).

Întrebări conexe

Cum se schimbă volumul dacă dublez latura bazei pătrate?

Volumul devine de patru ori mai mare, fiindcă aria bazei crește cu pătratul laturii, iar înălțimea rămâne aceeași. De la $l = 5$ la $l = 10$ , aria trece de la $25$ la $100$ , deci și volumul se înmulțește cu $4$ .

Ce se întâmplă cu volumul dacă dublez înălțimea piramidei?

Se dublează și el, pentru că înălțimea apare la puterea întâi în formulă. Dacă piramida avea $60 cm^{3}$ , după dublarea înălțimii ajunge la $120 cm^{3}$ , cu baza neschimbată. Legătura dintre cele două mărimi este direct proporțională.

Cât e volumul unei piramide triunghiulare cu latura 6 cm și înălțimea 5 cm?

Baza este un triunghi echilateral, deci $A_{b} = \frac{6 ^{2} 3}{4} = 93 cm^{2}$ . Volumul iese $V = \frac{9 3 \cdot 5}{3} = 153 cm^{3}$ , aproximativ $25, 98 cm^{3}$ . Ordinea comodă este: calculezi întâi aria bazei, apoi înmulțești cu înălțimea și împarți la trei.

Ce legătură are volumul piramidei cu cel al conului?

Amândouă folosesc aceeași idee: o treime din aria bazei înmulțită cu înălțimea. La con baza este un disc, deci aria ei este $π R^{2}$ , iar formula devine $\frac{π R ^{2} h}{3}$ . Conul se poate privi ca o piramidă cu baza rotunjită.

Cum aflu volumul dacă se dă muchia laterală, nu înălțimea?

Folosești triunghiul dreptunghic format din înălțime, raza bazei și muchia laterală: $h^{2} = m^{2} - R^{2}$ , unde $R$ este distanța de la centrul bazei la un vârf al ei. După ce afli $h$ , intri cu el în formula obișnuită a volumului.

Formula merge și la o piramidă care nu este regulată?

Da, împărțirea la trei a produsului dintre aria bazei și înălțime este valabilă pentru orice piramidă, indiferent de forma bazei sau de poziția vârfului. Ce se schimbă este doar modul în care calculezi aria bazei și locul unde cade piciorul înălțimii.

Oamenii mai întreabă și: volum piramidă · formula volumului piramidei · volumul piramidei patrulatere regulate · cum calculez volumul unei piramide · volumul piramidei cu baza pătrat