Diagrama boxplot (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-o păstrăvărie de munte, tehnicianul măsoară în fiecare lună câteva zeci de puieți și trebuie să spună, dintr-o privire, dacă lotul crește uniform sau dacă s-au desprins câțiva pești mult mai mari, care îi vor mânca pe ceilalți. Un tabel cu treizeci de lungimi nu se citește dintr-o privire; un desen făcut din cinci numere, da. Desenul acesta, diagrama boxplot, e tema lecției de față, din programa clasei a X-a la profilul științe ale naturii (M2). Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa numește explicit diagramele boxplot. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cere reprezentarea grafică a datelor statistice și parametrii de poziție, dar nu conține cuartilele și nici diagrama boxplot.

Cele cinci numere pe care se sprijină desenul le-ai calculat în lecția despre cuartile și amplitudine: minimul, prima cuartilă, mediana, a treia cuartilă și maximul. Aici le transformăm într-o imagine pe care o desenezi corect, o citești fără să greșești procentele și îi cunoști limitele — ce îți trebuie când dai peste o astfel de diagramă într-un articol de biologie.

Ce vei învăța

Vei ști ce este o diagramă boxplot și din ce părți e alcătuită: cutia, linia medianei, cele două mustăți.
Vei putea desena diagrama pe o axă gradată la scară, pornind de la date sau direct de la cele cinci numere.
Vei citi pe o diagramă dată ce fracțiune din date se află într-o zonă și vei ști de ce, la seturi mici, procentele sunt aproximative.
Vei recunoaște asimetria unui set după poziția medianei în cutie și după lungimile mustăților, și vei ști ce spune ea despre medie.
Vei ști ce informații lipsesc dintr-o diagramă boxplot și de ce aplicațiile digitale pot desena o cutie puțin diferită de a ta.

Hai să descoperim împreună

1. Ce desenează o diagramă boxplot?

Pornim de la rezumatul celor cinci numere al unui set de date ordonat crescător: $x_{m i n}$ , $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ , $x_{m a x}$ . Diagrama boxplot (în românește, „cutia cu mustăți”) este reprezentarea acestui rezumat pe o axă gradată la scară: un dreptunghi întins de la $Q_{1}$ la $Q_{3}$ , un segment trasat în interiorul dreptunghiului la valoarea $Q_{2}$ și două segmente, numite mustăți, care pleacă din laturile dreptunghiului, unul până la $x_{m i n}$ și celălalt până la $x_{m a x}$ .

În lecțiile acestui traseu, ca și în testul unității, mustățile merg exact până la minimul și maximul setului, iar cuartilele se calculează cu regula din lecția despre cuartile: la un număr impar de date, valoarea din mijloc nu intră în niciuna dintre jumătăți. Înălțimea dreptunghiului nu înseamnă nimic; contează numai pozițiile pe axă.

De ce un desen, dacă cele cinci numere încap pe un rând? Pentru că ochiul compară lungimi mai repede decât diferențe de numere.

2. Cum se desenează, pas cu pas?

Tehnicianul din deschidere a măsurat $13$ puieți; lungimile, în centimetri, ordonate crescător, sunt

$11, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 28, 29.$

Rezumatul celor cinci numere este $x_{m i n} = 11$ , $Q_{1} = 12, 5$ , $Q_{2} = 15$ , $Q_{3} = 20$ , $x_{m a x} = 29$ (la $n = 13$ , mediana e a șaptea valoare, iar fiecare jumătate are șase valori). Desenul se face în patru pași.

Axa. Trasezi o axă orizontală care acoperă tot intervalul de la $11$ la $29$ , cu gradații la distanțe egale pentru pași egali — aici din $5$ în $5$ , de la $10$ la $30$ — și scrii unitatea de măsură. Fără scară uniformă, desenul minte.

Cutia. Desenezi dreptunghiul cu laturile verticale la $12, 5$ și la $20$ .

Mediana. Tragi în interiorul cutiei segmentul vertical de la $15$ .

Mustățile. Duci un segment de la latura din stânga până la $11$ și unul de la latura din dreapta până la $29$ , fiecare terminat cu o liniuță scurtă.

Lungimile a 13 puieți de păstrăv: cutia de la 12,5 la 20 cm, mediana la 15 cm, mustățile până la 11 și 29 cm.

3. Ce înseamnă fiecare bucată din desen?

Cele cinci numere împart setul în patru porțiuni care conțin, fiecare, cam tot atâtea valori: sub $Q_{1}$ stă aproximativ un sfert din date, între $Q_{1}$ și $Q_{2}$ încă un sfert, al treilea sfert se află între $Q_{2}$ și $Q_{3}$ , iar ultimul peste $Q_{3}$ . Cutia cuprinde deci cam jumătate din date, cea din mijloc, iar fiecare mustață cam un sfert.

Diferența pe care trebuie să o ții minte: sferturile sunt egale ca număr de valori, dar nu ca lungime pe axă. La puieți, mustața stângă are lungimea $12, 5 - 11 = 1, 5$ centimetri, iar cea dreaptă $29 - 20 = 9$ centimetri. Pe aceeași „porție” de date, puieții cei mai mici sunt înghesuiți pe un centimetru și jumătate, iar cei mai mari se risipesc pe nouă. Lungimea mică înseamnă date dese; lungimea mare, date rare și răsfirate.

Cuvântul „aproximativ” nu e o politețe: $13$ valori nu se împart în patru grupe egale. Aici sub $Q_{1} = 12, 5$ se află trei puieți și peste $Q_{3} = 20$ tot trei, din treisprezece. La seturi mari procentele citite pe desen se apropie de $25%$ ; la seturi mici sunt doar o orientare.

4. Cum recunosc asimetria unui set?

Două repere se citesc în ordinea asta. Primul este poziția liniei medianei în cutie: la puieți, între $Q_{1}$ și mediană sunt $2, 5$ centimetri, iar între mediană și $Q_{3}$ sunt $5$ . Al doilea este raportul lungimilor mustăților: $1, 5$ față de $9$ . Ambele repere arată spre dreapta, deci setul este asimetric spre dreapta — are o „coadă” lungă de valori mari.

Direcția asimetriei se numește după partea în care se întinde coada, nu după partea în care se înghesuie datele. Când cele două repere se contrazic (mediana împinsă spre dreapta în cutie, dar mustața stângă mai lungă), nu declari o asimetrie netă; spui ce arată fiecare.

Asimetria are o consecință pe care o poți verifica. Media, pe care o știi din lecția despre media aritmetică și media ponderată, folosește toate valorile, deci e trasă spre coadă; mediana unui set de date nu se clintește. Suma celor $13$ lungimi este $221$ , deci media este $17$ centimetri, peste mediana de $15$ . Diagrama nu desenează media, dar forma ei îți spune de care parte a medianei trebuie să cadă.

5. Ce nu arată diagrama?

Desenul e clar tocmai pentru că aruncă aproape tot; trei pierderi contează.

Numărul de date nu se vede. O cutie din $13$ puieți arată la fel cu una din $1300$ care are aceleași cinci numere; de aceea volumul $n$ se scrie lângă diagramă.

Golurile și grupurile nu se văd. Un lot cu două generații de puieți are două aglomerări și un gol între ele, iar cutia poate acoperi exact golul și să pară plină. Pentru aglomerări ai nevoie de histogramă.

Media nu se vede: desenul e făcut numai din valori de poziție.

6. De ce desenează aplicațiile o cutie puțin diferită?

Programa îți cere să construiești diagrame și cu aplicații digitale. Două surprize te așteaptă.

Prima: foile de calcul (Excel, Google Sheets, LibreOffice) și GeoGebra nu folosesc toate aceeași regulă pentru cuartile, deci la seturi mici $Q_{1}$ și $Q_{3}$ pot ieși cu câteva zecimi altfel decât pe caiet. Nu e o greșeală a ta, ci o altă convenție; la clasă se folosește regula din lecția despre cuartile.

A doua: în multe programe și în multe articole de cercetare, mustățile nu ajung până la extreme. O valoare aflată mult în afara grupului format de celelalte se numește valoare depărtată. O regulă răspândită o socotește depărtată când trece de latura cea mai apropiată a cutiei cu mai mult de o dată și jumătate lungimea cutiei, adică de $1, 5 \cdot (Q_{3} - Q_{1})$ ; mustața se termină atunci înaintea ei, iar valoarea apare ca punct izolat. Când vezi puncte în afara mustăților, știi că autorul a folosit convenția aceasta; în exercițiile tale mustățile merg până la minim și maxim.

7. Ce pot afla de pe desen, dacă știu câte date sunt?

Alături de volumul $n$ , proporțiile devin numere: la $n = 200$ de măsurători, cutia cuprinde cam $100$ , iar fiecare mustață cam $50$ . Dacă valorile sunt toate distincte și $n$ se împarte la $4$ , numărătorile devin exacte: la $n = 12$ valori distincte, $Q_{1}$ este media dintre a treia și a patra valoare, deci exact $3$ valori sunt mai mici decât $Q_{1}$ . Fără ipoteza „distincte”, spui „cel puțin” sau „cel mult”, nu un număr fix.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Construcția, cu un număr par de date

Masele, în grame, a $12$ ouă de prepeliță dintr-un cuibar sunt $9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 16$ . Construiește diagrama boxplot și descrie forma setului.

Rezolvare. Datele sunt ordonate și $n = 12$ e un număr par, așa că mediana e media dintre a șasea și a șaptea valoare: $Q_{2} = \frac{12 + 12}{2} = 12$ . Jumătatea inferioară, $9, 10, 10, 11, 11, 12$ , dă $Q_{1} = \frac{10 + 11}{2} = 10, 5$ ; jumătatea superioară, $12, 12, 13, 13, 14, 16$ , dă $Q_{3} = \frac{13 + 13}{2} = 13$ .

Rezumatul este $9$ ; $10, 5$ ; $12$ ; $13$ ; $16$ (grame). Pe o axă de la $8$ la $17$ , gradată din unu în unu, cutia merge de la $10, 5$ la $13$ , linia medianei stă la $12$ , mustața stângă ajunge la $9$ , iar cea dreaptă la $16$ .

Forma: în cutie, partea din stânga medianei ( $1, 5$ grame) e mai lungă decât cea din dreapta ( $1$ gram), dar mustața dreaptă ( $3$ grame) e de două ori mai lungă decât cea stângă ( $1, 5$ grame). Reperele se contrazic, deci setul nu are o asimetrie netă: grosul ouălor e ușor răsfirat spre valorile mici, iar câteva ouă mari formează o coadă scurtă spre dreapta.

Exemplul 2 — Citirea unei diagrame date

Diagrama de mai jos rezumă pulsul în repaus, în bătăi pe minut, a $48$ de sportivi de la un club de canotaj. Aproximativ câți sportivi au pulsul peste $70$ ? Între ce valori se află pulsul jumătății din mijloc? Este setul simetric?

Pulsul în repaus al celor 48 de sportivi, în bătăi pe minut: cele cinci numere sunt 48; 56; 61; 70; 88.

Rezolvare. Pe desen se citesc $x_{m i n} = 48$ , $Q_{1} = 56$ , $Q_{2} = 61$ , $Q_{3} = 70$ , $x_{m a x} = 88$ . Peste $Q_{3} = 70$ se află ultimul sfert, deci aproximativ $\frac{48}{4} = 12$ sportivi (numărul exact depinde de valorile egale cu $70$ ). Jumătatea din mijloc are pulsul între $56$ și $70$ de bătăi pe minut.

Pentru formă: în cutie, $61 - 56 = 5$ la stânga medianei și $70 - 61 = 9$ la dreapta; mustățile au $56 - 48 = 8$ și $88 - 70 = 18$ . Ambele repere arată spre dreapta, deci setul este asimetric spre dreapta: câțiva sportivi au pulsul de repaus sensibil mai mare decât restul grupului.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

La o oră de biologie, senzorul unei săli de clasă a înregistrat concentrația de dioxid de carbon, în părți pe milion (ppm), la nouă momente ale zilei: $600, 640, 680, 720, 760, 820, 900, 1060, 1380$ . Un elev a desenat diagrama de mai jos. Ce a greșit?

Desenul elevului: cutia și mustățile sunt corecte, dar linia din cutie stă la 840 ppm, adică la medie.

Rezolvare. Verificăm cele cinci numere. Pentru $n = 9$ , mediana este a cincea valoare, $Q_{2} = 760$ . Jumătățile sunt $600, 640, 680, 720$ și $820, 900, 1060, 1380$ , deci $Q_{1} = \frac{640 + 680}{2} = 660$ și $Q_{3} = \frac{900 + 1060}{2} = 980$ . Cutia și mustățile elevului sunt corecte.

Greșită este linia din cutie: stă la $840$ . Suma valorilor este $7560$ , iar $\frac{7 560}{9} = 840$ — elevul a desenat media, nu mediana. Linia corectă stă la $760$ , mult mai aproape de latura din stânga. Cu linia la $840$ cutia pare aproape simetrică; cu linia la $760$ se vede că și jumătatea din mijloc, ca și mustața dreaptă, are coada spre valorile mari.

Exemplul 4 — Care set corespunde diagramei?

O diagramă boxplot rezumă numărul de frunze de pe $9$ plante de busuioc: $4$ ; $6$ ; $9$ ; $13$ ; $17$ . Care dintre seturile $A : 4, 6, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 17$ și $B : 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 17$ poate fi setul din care s-a construit?

Rezolvare. Ambele seturi au minimul $4$ , maximul $17$ și a cincea valoare $9$ , deci trebuie comparate cuartilele. Pentru $A$ , jumătatea inferioară $4, 6, 6, 8$ dă $Q_{1} = 6$ , iar cea superioară $11, 13, 15, 17$ dă $Q_{3} = \frac{13 + 15}{2} = 14$ ; diagrama are $Q_{3} = 13$ , deci $A$ nu se potrivește. Pentru $B$ , din $4, 5, 7, 8$ iese $Q_{1} = \frac{5 + 7}{2} = 6$ , iar din $10, 12, 14, 17$ iese $Q_{3} = \frac{12 + 14}{2} = 13$ . Setul $B$ corespunde diagramei.

Observă că două seturi pot avea patru numere comune din cinci; controlul trebuie făcut pe toate cinci.

Exemplul 5 — Cât de exacte sunt sferturile?

Rezumatul celor mai bune sărituri în lungime ale celor $20$ de sportivi ai unui club de atletism, în metri, este $5, 2$ ; $5, 8$ ; $6, 3$ ; $6, 9$ ; $7, 8$ . a) Câți sportivi au sărit mai puțin de $5, 8$ m, dacă lungimile sunt distincte? b) Ce poți spune fără ipoteza aceasta?

Rezolvare. a) Pentru $n = 20$ , jumătatea inferioară are $10$ valori, iar $Q_{1}$ este media dintre a cincea și a șasea. Dacă valorile sunt distincte, a cincea este strict mai mică decât $5, 8$ și a șasea strict mai mare, deci exact $5$ sportivi au sărit sub $5, 8$ m.

b) Dacă a cincea și a șasea valoare sunt egale, amândouă valorează $5, 8$ , iar sub $5, 8$ m pot fi mai puțin de $5$ sărituri. Sigur rămâne doar că cel mult $5$ sportivi au sărit sub $5, 8$ m și cel puțin $6$ au sărit cel mult $5, 8$ m.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2 (MAT_P2 2030)

Se consideră setul de date $6, 8, 9, 9, 11, 12, 14, 15, 18, 22, 27$ , reprezentând numărul de vizitatori intrați într-un muzeu de științele naturii în fiecare dintre cele $11$ ore de program ale unei zile.

a) Scrie rezumatul celor cinci numere al acestui set.

b) Calculează lungimea cutiei și lungimile celor două mustăți ale diagramei boxplot.

c) Precizează dacă setul este simetric și justifică.

Rezolvare. a) Setul este ordonat și $n = 11$ , deci mediana este a șasea valoare, $Q_{2} = 12$ . Jumătatea inferioară $6, 8, 9, 9, 11$ dă $Q_{1} = 9$ , iar cea superioară $14, 15, 18, 22, 27$ dă $Q_{3} = 18$ . Rezumatul: $6$ ; $9$ ; $12$ ; $18$ ; $27$ (vizitatori pe oră).

b) Cutia are lungimea $Q_{3} - Q_{1} = 18 - 9 = 9$ vizitatori; mustața stângă are $9 - 6 = 3$ vizitatori, iar cea dreaptă $27 - 18 = 9$ vizitatori.

c) Setul nu este simetric: în cutie sunt $3$ vizitatori la stânga medianei și $6$ la dreapta, iar mustața dreaptă are triplul lungimii celei din stânga. Setul este asimetric spre dreapta — orele aglomerate au fost puține și foarte diferite între ele.

Cuartilele și diagrama boxplot sunt în programa probei MAT_P2 din 2030; pentru bacalaureatul M2 din 2027–2029, un astfel de exemplu este exersare, nu o temă a programei de examen.

Să exersăm

Pornește mereu de la datele ordonate; notează rezumatul și numai după aceea trasează desenul pe o axă gradată la scară, cu unitatea de măsură. Mustățile merg până la minim și până la maxim.

1. Determină cele cinci numere ale setului $14, 17, 18, 21, 23, 26, 30, 31, 38$ și desenează diagrama boxplot pe o axă gradată din $5$ în $5$ .

2. Rezumatul maselor a $30$ de pepeni verzi dintr-o recoltă, în kilograme, este $2, 4$ ; $3, 0$ ; $3, 3$ ; $4, 1$ ; $5, 6$ . Calculează lungimea cutiei și a celor două mustăți și descrie forma setului.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă unui set de date i se adaugă o valoare egală cu mediana lui, cutia diagramei boxplot rămâne aceeași.”

4. Rezumatul grosimii stratului de zăpadă, măsurată în centimetri în $36$ de puncte ale unei pârtii, este $12$ ; $15$ ; $19$ ; $22$ ; $31$ . Aproximativ în câte puncte grosimea a fost între $15$ și $22$ de centimetri? Dar sub $15$ ?

5. În setul $12, 15, 16, 19, 20, 22, 24, 27, 33, 38$ , valoarea $38$ se înlocuiește cu $68$ . Care dintre cele cinci numere se schimbă și cum se modifică desenul?

6. Scrie un set de $7$ numere naturale al cărui rezumat al celor cinci numere să fie $3$ ; $5$ ; $8$ ; $12$ ; $20$ și verifică-l.

7. Numărul de semințe găsite în $7$ mere este $5, 5, 5, 6, 8, 9, 10$ . Determină cele cinci numere și descrie cum arată diagrama în partea stângă.

8. Scorurile, din $50$ , obținute de $11$ elevi la o lucrare de laborator sunt $22, 31, 36, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 48$ . Construiește rezumatul celor cinci numere, precizează direcția asimetriei și spune dacă media este mai mare sau mai mică decât mediana.

9. (Problemă aplicată.) La monitorizarea unui lac s-au cântărit $15$ caracude; masele, în grame, sunt $85, 92, 96, 101, 104, 110, 112, 118, 121, 125, 131, 140, 152, 168, 205$ . a) Determină cele cinci numere. b) Calculează lungimea cutiei și a mustăților. c) Câți pești au masa mai mare decât $Q_{3}$ și ce procent din lot reprezintă ei?

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Pentru datele statistice $13, 17, 19, 22, 27, 28, 33, 35, 38, 46$ : a) află mediana. b) Determină cuartilele $Q_{1}$ și $Q_{3}$ . c) Calculează lungimea cutiei diagramei boxplot și lungimile mustăților.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Un set are valori distincte. Exact $6$ valori sunt mai mici decât $Q_{1}$ , iar $Q_{1}$ nu este o valoare din set. Câte valori poate avea setul?

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră setul de date ordonat $4, 6, 7, a, 13, 16, 18$ , unde $a$ este un număr real. Determină $a$ astfel încât linia medianei să se afle exact la mijlocul cutiei diagramei boxplot.

13. Setului $7, 9, 10, 12, 15, 16, 19, 22, 25$ i se adaugă valoarea $11$ . Determină cele cinci numere înainte și după adăugare și spune ce s-a schimbat în desen.

14. Explică de ce linia medianei nu poate ieși niciodată în afara cutiei unei diagrame boxplot.

15. Numărul de ouă din $10$ cuiburi de mierlă este $2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6$ . Determină $Q_{1}$ și numără câte cuiburi au cel mult $Q_{1}$ ouă. Este acest număr un sfert din cuiburi?

16. Rezumatul distanțelor parcurse zilnic de o navă de cercetare, în mile marine, este $4$ ; $10$ ; $15$ ; $20$ ; $30$ . Scrie rezumatul în kilometri, știind că o milă marină are $1, 852$ km, și spune de câte ori se lungește cutia pe o axă cu aceeași scară.

17. Rezumatul maselor, în kilograme, a $40$ de colete predate într-o zi la un oficiu poștal este $0, 8$ ; $1, 6$ ; $2, 1$ ; $3, 4$ ; $6, 2$ . Care dintre valorile $1, 8$ kg și $2, 6$ kg este mai plauzibilă ca medie a setului? Justifică din forma diagramei.

18. (Provocare.) Arată că există un singur set de $8$ numere naturale cu $x_{m i n} = 3$ , $Q_{1} = Q_{2} = Q_{3} = 11$ și $x_{m a x} = 20$ , scrie-l și descrie cum arată diagrama lui.

Răspunsuri și explicații

1. $n = 9$ , deci $Q_{2} = 23$ (a cincea valoare). Jumătatea inferioară $14, 17, 18, 21$ dă $Q_{1} = 17, 5$ , cea superioară $26, 30, 31, 38$ dă $Q_{3} = 30, 5$ . Rezumatul: $14$ ; $17, 5$ ; $23$ ; $30, 5$ ; $38$ . Pe axa de la $10$ la $40$ , cutia merge de la $17, 5$ la $30, 5$ , cu linia la $23$ , iar mustățile ajung la $14$ și $38$ .

2. Cutia are $4, 1 - 3, 0 = 1, 1$ kg, mustața stângă $3, 0 - 2, 4 = 0, 6$ kg, cea dreaptă $5, 6 - 4, 1 = 1, 5$ kg. În cutie, mediana e la $0, 3$ kg de $Q_{1}$ și la $0, 8$ kg de $Q_{3}$ . Ambele repere arată spre dreapta: setul este asimetric spre dreapta, cu câțiva pepeni mult mai grei decât ceilalți.

3. Fals. Setul $3, 7, 10, 14, 16$ are mediana $10$ , $Q_{1} = \frac{3 + 7}{2} = 5$ și $Q_{3} = \frac{14 + 16}{2} = 15$ , deci cutia de la $5$ la $15$ . Cu valoarea $10$ adăugată, setul $3, 7, 10, 10, 14, 16$ are tot mediana $10$ , dar jumătățile $3, 7, 10$ și $10, 14, 16$ dau $Q_{1} = 7$ și $Q_{3} = 14$ : cutia se îngustează la intervalul de la $7$ la $14$ . Linia medianei a rămas pe loc, însă volumul s-a schimbat și, odată cu el, componența jumătăților.

4. Între $Q_{1} = 15$ și $Q_{3} = 22$ se află aproximativ jumătate din puncte, adică $18$ ; sub $Q_{1}$ , aproximativ un sfert, adică $9$ puncte. Numerele sunt aproximative, pentru că nu știm dacă unele grosimi sunt egale cu $15$ sau cu $22$ .

5. Înainte: $n = 10$ , $Q_{2} = \frac{20 + 22}{2} = 21$ , $Q_{1} = 16$ , $Q_{3} = 27$ , maximul $38$ . După înlocuire se schimbă numai maximul, care devine $68$ ; jumătatea superioară este acum $22, 24, 27, 33, 68$ , cu aceeași mediană $27$ . În desen, cutia și linia medianei rămân pe loc, iar mustața dreaptă se lungește de la $11$ la $41$ .

6. Un exemplu: $3, 5, 6, 8, 10, 12, 20$ . Verificare: $n = 7$ , mediana este a patra valoare, $8$ ; din $3, 5, 6$ iese $Q_{1} = 5$ , din $10, 12, 20$ iese $Q_{3} = 12$ . A treia și a cincea valoare se pot alege și altfel, cu ordinea păstrată.

7. $n = 7$ , mediana este $6$ ; jumătatea $5, 5, 5$ dă $Q_{1} = 5$ , jumătatea $8, 9, 10$ dă $Q_{3} = 9$ . Rezumatul: $5$ ; $5$ ; $6$ ; $9$ ; $10$ . Cum $Q_{1}$ coincide cu minimul, mustața stângă lipsește: cutia pornește chiar din $5$ . Desenul nu e greșit — un sfert din date are aceeași valoare.

8. $n = 11$ , $Q_{2} = 43$ ; jumătatea $22, 31, 36, 39, 41$ dă $Q_{1} = 36$ ; jumătatea $44, 45, 46, 47, 48$ dă $Q_{3} = 46$ . Rezumatul: $22$ ; $36$ ; $43$ ; $46$ ; $48$ . În cutie sunt $7$ puncte la stânga medianei și $3$ la dreapta; mustața stângă are $14$ , cea dreaptă $2$ . Setul este asimetric spre stânga, deci media e sub mediană: suma este $442$ , iar media $\frac{442}{11} \approx 40, 18 < 43$ .

9. a) $n = 15$ , $Q_{2} = 118$ (a opta valoare); jumătatea inferioară $85, 92, 96, 101, 104, 110, 112$ dă $Q_{1} = 101$ , cea superioară $121, 125, 131, 140, 152, 168, 205$ dă $Q_{3} = 140$ . Rezumatul: $85$ ; $101$ ; $118$ ; $140$ ; $205$ (grame). b) Cutia are $39$ g, mustața stângă $16$ g, cea dreaptă $65$ g. c) Peste $140$ g sunt $152$ , $168$ și $205$ , deci $3$ pești din $15$ , adică $20%$ , nu $25%$ .

10. a) $n = 10$ , deci $Q_{2} = \frac{27 + 28}{2} = 27, 5$ . b) Jumătatea $13, 17, 19, 22, 27$ dă $Q_{1} = 19$ ; jumătatea $28, 33, 35, 38, 46$ dă $Q_{3} = 35$ . c) Cutia are lungimea $35 - 19 = 16$ , mustața stângă $19 - 13 = 6$ , cea dreaptă $46 - 35 = 11$ .

11. Dacă jumătatea inferioară ar avea un număr impar de valori, $Q_{1}$ ar fi chiar valoarea ei din mijloc, deci o valoare din set — ceea ce enunțul exclude. Jumătatea inferioară are deci un număr par de valori, $2 k$ , iar $Q_{1}$ este media valorilor de rang $k$ și $k + 1$ ; valorile fiind distincte, exact $k$ dintre ele sunt sub $Q_{1}$ . Din $k = 6$ , jumătatea inferioară are $12$ valori, așa că setul are $24$ de valori (număr par, jumătăți de câte $12$ ) sau $25$ (număr impar, cu mediana lăsată deoparte).

12. Cu $n = 7$ , mediana este a patra valoare, $a$ (ordinea cere $7 \leq a \leq 13$ ). Jumătatea $4, 6, 7$ dă $Q_{1} = 6$ , jumătatea $13, 16, 18$ dă $Q_{3} = 16$ . Linia medianei e la mijlocul cutiei dacă $a = \frac{6 + 16}{2} = 11$ , valoare care respectă ordinea.

13. Înainte: $n = 9$ , rezumatul $7$ ; $9, 5$ ; $15$ ; $20, 5$ ; $25$ . După adăugare, setul ordonat $7, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 19, 22, 25$ are $n = 10$ : $Q_{2} = \frac{12 + 15}{2} = 13, 5$ , $Q_{1} = 10$ , $Q_{3} = 19$ . Extremele rămân; cutia se mută spre stânga și se îngustează de la $11$ la $9$ , iar linia medianei coboară de la $15$ la $13, 5$ .

14. $Q_{1}$ este mediana valorilor din jumătatea inferioară, toate mai mici sau egale cu mediana setului, deci $Q_{1} \leq Q_{2}$ ; la fel, $Q_{3}$ vine din valori mai mari sau egale cu mediana, deci $Q_{2} \leq Q_{3}$ . Linia medianei stă între laturi sau cel mult pe una dintre ele.

15. $n = 10$ ; jumătatea inferioară $2, 3, 3, 3, 4$ dă $Q_{1} = 3$ . Au cel mult $3$ ouă cuiburile cu $2, 3, 3, 3$ ouă, adică $4$ cuiburi din $10$ , nu $2, 5$ . Valorile repetate egale cu $Q_{1}$ strică împărțirea exactă în sferturi.

16. Înmulțirea cu un număr pozitiv păstrează ordinea, deci se aplică fiecărui număr: $1, 852 \cdot 4 = 7, 408$ ; $1, 852 \cdot 10 = 18, 52$ ; $1, 852 \cdot 15 = 27, 78$ ; $1, 852 \cdot 20 = 37, 04$ ; $1, 852 \cdot 30 = 55, 56$ (km). Cutia trece de la $10$ mile la $18, 52$ km, deci se lungește de $1, 852$ ori, ca toate lungimile; forma rămâne aceeași.

17. În cutie, mediana e la $0, 5$ kg de $Q_{1}$ și la $1, 3$ kg de $Q_{3}$ , iar mustața dreaptă ( $2, 8$ kg) e mult mai lungă decât cea stângă ( $0, 8$ kg): setul e asimetric spre dreapta, deci media e trasă peste mediana de $2, 1$ kg. Plauzibilă este $2, 6$ kg; valoarea $1, 8$ kg, sub mediană, ar cere o coadă spre stânga.

18. Cu $n = 8$ , jumătățile sunt $x_{1}, \dots, x_{4}$ și $x_{5}, \dots, x_{8}$ , deci $Q_{1} = \frac{x _{2} + x _{3}}{2}$ , $Q_{2} = \frac{x _{4} + x _{5}}{2}$ și $Q_{3} = \frac{x _{6} + x _{7}}{2}$ , toate egale cu $11$ . Din $x_{4} \leq x_{5}$ și $x_{4} + x_{5} = 22$ rezultă $x_{4} \leq 11$ ; atunci $x_{2} \leq x_{3} \leq 11$ și $x_{2} + x_{3} = 22$ obligă $x_{2} = x_{3} = 11$ , deci $x_{4} = 11$ și $x_{5} = 11$ . La fel, $11 \leq x_{6} \leq x_{7}$ și $x_{6} + x_{7} = 22$ obligă $x_{6} = x_{7} = 11$ . Setul este $3, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 20$ . Cutia se turtește într-un segment la $11$ , peste care cade și linia medianei; mustățile pleacă spre $3$ și spre $20$ .

De reținut

Diagrama boxplot desenează rezumatul $x_{m i n}$ , $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ , $x_{m a x}$ pe o axă la scară: cutia între $Q_{1}$ și $Q_{3}$ , linia medianei în ea și mustățile până la minim și maxim.
Cele patru porțiuni ale desenului conțin aproximativ același număr de date, un sfert fiecare; o porțiune lungă înseamnă date răsfirate, nu date mai multe.
La seturi mici sau cu valori repetate, procentele citite pe desen sunt aproximative; numărătorile exacte cer volumul $n$ și ipoteza valorilor distincte.
Asimetria se recunoaște după locul liniei medianei în cutie și după lungimile celor două mustăți și poartă numele părții cu coada lungă; spre coadă e trasă și media.
Diagrama nu arată volumul, valorile individuale, golurile dintre grupuri și media; aplicațiile digitale pot folosi alte reguli pentru cuartile și pentru mustăți.

Greșeli frecvente

Axa gradată neuniform. Cele cinci numere așezate la distanțe egale, ca etichete, șterg exact informația desenului: lungimile. Gradațiile stau la distanțe egale pentru pași egali de valoare.
„Un sfert din date” citit ca „un sfert din interval”. Prima cuartilă nu se află la un sfert din drumul de la minim la maxim; ea desparte un sfert din valori, oriunde ar cădea acesta pe axă.
Asimetria numită după partea înghesuită. Direcția se dă după coada lungă. Un set cu datele strânse în stânga și cu o mustață lungă spre dreapta este asimetric spre dreapta, nu spre stânga.
Cutia cu mediana pe o latură socotită greșeală. Când multe valori sunt egale, $Q_{1}$ poate coincide cu mediana și linia cade pe latura cutiei. Elevul „corectează” atunci calculul, deși desenul e bun.
Procentele citite pe desen luate drept numere exacte. Desenul arată sferturi aproximative, nu un număr de valori. Un număr exact se poate spune numai când știi volumul și știi că valorile sunt distincte; altfel răspunsul corect începe cu „aproximativ”.

Aplică acasă

Boabele din păstăi. Numără boabele din $15$ păstăi de fasole sau de mazăre. Construiește diagrama, apoi scrie o propoziție despre formă și una despre ce vezi în listă, dar nu pe desen.
Ghicește setul. Dă-i unui coleg doar cele cinci numere ale tale și volumul $n$ . Cere-i să construiască un set compatibil. Comparați-l cu setul tău: câte valori coincid și unde se pot deosebi fără ca desenul să se schimbe?
Diagrama dintr-un articol. Caută într-o revistă de popularizare a științei sau pe site-ul unei instituții de cercetare o figură cu diagrame boxplot. Notează ce mărime e pe axă, dacă apar puncte izolate în afara mustăților și ce volum $n$ scrie autorul lângă desen.

Pentru părinți și profesori

Diagrama boxplot este singura reprezentare din unitate construită numai din valori de poziție. Lecția se sprijină pe cuartilele din lecția precedentă și exersează trei deprinderi: desenul la scară, citirea prudentă a procentelor și interpretarea formei, pe date de laborator și de teren.

Întrebări utile: „Ce parte a desenului conține jumătate din date?”; „Unde crezi că e media?”. Semnul că elevul a înțeles: spune „aproximativ” fără să i se ceară și numește asimetria după coadă. Legătura cu clasa a IX-a este ordonarea numerelor reale și reprezentarea lor pe axă, din lecția despre ordonarea numerelor reale și aproximări. Pasul următor este abaterea standard, iar două diagrame puse una sub alta se folosesc în lecția despre compararea a două seturi de date. Exerciții de recapitulare găsiți în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: diagrama boxplot, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică și probabilități” numește explicit „diagrame boxplot” printre reprezentările grafice, iar competența X.CS.5.2 cere argumentarea concluziilor și cu reprezentări boxplot. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) cere „reprezentarea grafică a datelor statistice” și „interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie”, dar nu numește cuartilele și nici diagrama boxplot. De aceea exercițiile marcate aici poartă mențiunea „MAT_P2 2030”. Nota capitolului „Matematici financiare” din aceeași programă, care cere aplicații din domeniul financiar, privește temele numite acolo; diagrama boxplot nu e printre ele, așa că exercițiile de aici nu au contexte financiare. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are la Subiectul I nicio cerință de statistică; cerința din familia datelor este o probabilitate.

Întrebări frecvente

Ce diferă la diagrama boxplot între M2 și mate-info (M1)? Desenul și regulile sunt aceleași. Lecția de la științe ale naturii lucrează pe date de laborator și de teren, citește prudent procentele la seturi mici și arată cum apare diagrama în articolele științifice, cu puncte izolate. Comparația a două seturi pe diagrame alăturate are aici o lecție separată.

La ce subiect apare diagrama boxplot la bacalaureatul M2? Programa de examen din 2014, după care se dă bacalaureatul M2 în 2027–2029, nu numește cuartilele și nici diagrama boxplot, iar modelul oficial publicat pentru 2026 nu are nicio cerință de statistică. Pentru proba MAT_P2 din 2030, programa numește explicit diagramele boxplot în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, dar un model de subiect nu a fost încă publicat.

Cât de precis pot citi o valoare de pe desen? Cel mult cu jumătate de gradație. Dacă axa e gradată din $5$ în $5$ și o latură a cutiei cade între două liniuțe, scrii „aproximativ $57, 5$ ” sau „între $55$ și $60$ ”, nu $57, 3$ . De aceea autorii scriu adesea cele cinci numere lângă diagramă; când ele lipsesc, spui că valorile citite sunt aproximative și precizezi cât de fin e gradată axa.

Ce sunt punctele desenate în afara mustăților într-un articol? Sunt valorile depărtate, cele aflate mult în afara grupului format de celelalte. Multe programe le socotesc depărtate când trec de cutie cu mai mult de o dată și jumătate lungimea ei; mustața se termină atunci la ultima valoare care nu e depărtată, iar restul apar ca puncte separate. În lecțiile acestui traseu mustățile merg până la minim și maxim.

Când este mai utilă o diagramă boxplot decât o histogramă? Când vrei să citești repede centrul, împrăștierea jumătății din mijloc și coada setului, sau când pui mai multe seturi unul lângă altul. Histograma e mai bună când te interesează cum se grupează datele: arată aglomerările și golurile, pe care boxplot-ul le ascunde. Cele două desene se completează, nu se înlocuiesc.

Pot desena diagrama boxplot vertical? Da. Axa stă atunci pe verticală, cutia se întinde în sus de la $Q_{1}$ la $Q_{3}$ , iar mustățile pleacă în sus și în jos. Informația este aceeași; în multe articole de biologie și de medicină diagramele sunt verticale, pentru că încap mai multe una lângă alta. Regulile de citire rămân neschimbate.